高考数学二轮复习练习：23圆锥曲线中的定点、定值、探索性问题

专题突破练23圆锥曲线中的定点、定值、探索性问题

L(2021∙重庆八中月考)已知椭圆CT+5=1的右焦点为F,过点M(4,0)的直线/交椭圆C于A,B两

点,连接ARBF并延长分别与椭圆交于异于A,B的两点PQ.

(1)求直线/的斜率的取值范围；

⑵若而=2同,行=〃而,证明为定值.

2.(2021•河北张家口三模)已知抛物线CV=4px(p>0)的焦点为F,且点M(1,2)到点F的距离比至IJy轴

的距离大p.

(1)求抛物线C的方程；

(2)若直线/:尤加(γ+2)-5=0与抛物线C交于A,B两点,问是否存在实数九使IMAHMBI=64√Σ?若存在,

求出m的值;若不存在,请说明理由.

3.(2021•江苏南通适应性联考)已知双曲线4-∖=l(a＞O力＞0)的两个焦点为尸陋,一条渐近线方程

为y=bxg∈N"),且双曲线C经过点D(√2,l).

(1)求双曲线C的方程；

(2)设点P在直线x=m()乎土九0＜相＜1,且〃?是常数)上,过点P作双曲线C的两条切线PA,PB,切点为

A,8,求证:直线AB过某一个定点.

4.(2021•山东济南二模)已知椭圆。当+察1(心匕＞0)的离心率为与,且经过点”(-2,1).

aDN

(1)求椭圆C的方程；

⑵过点P(-3,0)的直线(不与X轴重合)与椭圆C相交于A,B两点,直线H4,HB分别交X轴于MN两点,

点G(-2,0),若丽=亦或而=〃方,求证」+工为定值.

5.(2021•广东汕头三模)已知圆CΛ2+(J-2)2=1与定直线/:y=-l,且动圆M与圆C外切并与直线/相切.

(1)求动圆圆心M的轨迹E的方程；

(2)已知点P是直线ky=-2上一个动点,过点P作轨迹E的两条切线,切点分别为A,B.

①求证:直线AB过定点；

会证:NPCA=/PCA

6.(2021•北京东城一模)已知椭圆谆+3=im>b>0)过点。(-2,0),且焦距为2√5.

(1)求椭圆C的方程；

⑵过点4-4,0)的直线/(不与X轴重合)与椭圆C交于P,Q两点,点7与点。关于X轴对称,直线TP与

X轴交于点H,是否存在常数九使得∣A0∙∣O∕∕∣=2(IAoHoHl)成立?若存在,求出Z的值;若不存在,说明

理由.

专题突破练23圆锥曲线中的定点、定值、探索性问题

1.(1)解由题意知直线/的斜率不为零,故设其方程为尤=(y+4,与椭圆方程联立,消去X得

(3p+4)y2+24<y+36=0,∕=144(∕2-4)>0,解得t<-2或t>2.

故直线/的斜率Zq的取值范围为(4,0)u(o,ɪ).

⑵证明∕7(l,0),设A(XI,yι),8(X2,*),P(X3,”),。(%4,丁4),由⑴得6+?=号*/少2=爱果，

3

所以WU2=一翅+").

由两=4成,得尸3_=产-1)，即产=λx1-λ-l,

(-丫3—1,匕丫3—1-

又点尸在椭圆上,即有3χf+4y2=12,

代入上式得3(2xι-A-1)2+4λ2yf=12,即λ2(3xl+4yl)-6λ(λ+1)ΛI+3(Λ+1)2=12,

又3*+4弁=12,所以12(2+1)(2-1)-6Λ(2+1)xι+3(2+1)2=0.

易知％+l≠0,故％=/—,同理可得μ=-^--.

ɔ-zɪɪ5-Z%2

又(5-2xι)(5-2x2)=25-10(x∣+x2)+4%1x2

=25-10[r(>,ι+^2)+8]+4(∕>ι+4)(ty2+4)

所以=—~~~；=1-

2.解(1)由点M到点b的距离比到y轴的距离大p,

得点M到点尸的距离与到直线X=N的距离相等.

由抛物线的定义,可知点M在抛物线C上,所以4=4p,解得P=L

所以抛物线C的方程为)>2=4X.

(2)存在满足题意的见其值为1或-3.

理由如下：

由I'~(4ɪɔʌCn得y2-4my-8"2-20=0.

U-m(y+2)-5=0,

因为/=16川+4(8m+20)>0恒成立,所以直线/与抛物线C恒有两个交点.

设A(XI,yI),8(x2,y2),则yι+>2=4/〃,y∣>2=-4(2/a+5).

+(yι-2)(*-2)

_州)2+：赳+5)_4(2加+5)一所+5

=0,

所以MALMB,即aMAB为直角三角形.

设d为点M到直线/的距离,所以IMAHMBl=IA8R∕=√1+τ∏2.[优+yz^-^y-^2'

4===4-11+m∖∙J16m2+16(2m+5)=16∙11+/?z∣∙(m+I)2+4=64-/2,

√l+m2\

所以(/〃+l)4+4("z+1)2-32=0,

解得(m+l)2=4或("z+l)2=-8(舍).

所以m=1或m=-3.

所以当实数加=1或m=-3时MAHMBl=64√Σ

b=b

「1’解得a

3.(1)解由=1,

b=1,

故双曲线方程为/-V=1.

(2)证明设A(XI,yι),B(x2j2),直线PA的斜率为k,P(m,yo).

则PAyyI=A(XM,联立方程组f；)；王)'

消去可得x2-[Ax+(-Ax∣+γι)]2=l,

整理可⅛(l-A2)x2-2⅛(y∣-fccι)x-(yι-Axι)2-l=0.

因为PA与双曲线相切，

所以Δ=4lc(y]-fccι)2+4(1-F)∙(yι-fccι)2+4(1-Z~)=0,

整理得4(yι-Axi)2+4(1-⅛2)=0.

即k2xl-2kx∖y∖+yf+1-A2=O,

即(ɪi-1)⅛2-2fcr∣yι+(jɪ+1)=0,

因为好一衣=1,所以好-1=光,比+1=后代入可得比K-2xιy次+好=0,即(y∣Z-x∣)2=0,所

以k="

Vi

故PAyyi=Nx-Xi),即y∖y=x∖x-1.

y,ι

同理,切线PB的方程为y2y=x2x-l.

因为P(m,yo)在切线PAFB上,所以有｛；：；：::：：：；：

A,B满足直线方程yoy=mx-L而两点唯一确定一条直线,

故AB:yoy=nu-l,所以当卜一加时,无论yo为何值,等式均成立.

Iy=O

故点，0)恒在直线AB上,故无论P在何处,AB恒过定点,0).

4.(1)解由题意知e=?=Jlf=,则。2=2户.

又椭圆C经过点//(2,1),所以刍+~2~∖∙

ab

联立解得标=6,〃=3,所以椭圆C的方程为<+<=l∙

Oɔ

(2)证明设直线AB的方程为X=my-3,A(xι,yι),B(x2,y2),

,x=Tny-3,

⅛'X2y2联立消去X,得(m2+2)/2.6"?y+3=0,

⅛+τ=1

,

所以/=36nr-12(〃P+2)>0,>1+第=^^2,γιp=m^,2由题意知W均不为1.

设M(XM,0),N(XM0),由H,M,A三点共线知询与丽共线,所以XmXI=(小)(2x”),化简

曰%i÷2y

何XM-----1.

由H,N,B三点共线洞理可得XN=罕X

由两=4所,得(XM+3,0)=%(l,0),即λ=XM+3.

由丽=〃而,同理可得μ=XN+3.

所以工+工=_J__J_=]]=Bi,"=R,

+x+2+x+2,+3

λμXM+3XN+3ly↑,O2y210XrYi+3^2-)2(介1)当

ι-yι十ι-y2

1出_1(i-%I+巧—,ɪI⅛2ɔʌ9

,

(Tn-I)及-rn-1y1y2mΛ∖y1y2/"?n-lI3I

∖m2+2)

所以④+工为定值.

5.(1)解依题意知:M到C(0,2)的距离等于M到直线y=-2的距离，

故动点M的轨迹是以C为焦点,直线y=-2为准线的抛物线.

设抛物线方程为Λ2=2py(p>0),则与=2,则〃=4,即抛物线的方程为x2=8y,故动圆圆心

M的轨迹E的方程为X2=Sy.

(2)证明①由X1=Sy得y=∣x2,y-ɪr.

04

设A(XIqM)蟾),PQ,-2),其中XMX2,

则切线PA的方程为ʌ`-ɪɪi=∕x-xι),

即>,⅛w⅛ι∙

，O

同理,切线PB的方程为＞,=2Λ-2X-∣X2∙

zrO

11

y7

4-X--^,%l+%2

由

得

8除X=

2

117

y=--^

4X-8y=管，

_×l+×2

,‘即

故直线AB的方程为＞,-∣xf=哙詈∙(x-xι),化简得y=∖¾-需ɪ,即y=*+2,故直线

AB过定点(0,2).

②由①知:直线AB的斜率为ZAB=；,

⑴当直线PC的斜率不存在时,直线AB的方程为y=2,

ΛPCLAB,.'.ZPCA=ZPCB;

(ii)当直线PC的斜率存在时,P(f,-2),C(0,2),直线PC的斜率APC=H=],痴用c=JX

C-Uɛ4

-4

;=-1,故PCLAB,NPCA=NPCB.

综上所述,NPCA=ZPCB得证.

6.解⑴因为椭圆C：W+，=l(a»>0)过点。(-2,0),所以。=2,又2c=2√3,≡Pc=√^,所以

庐=∕-¢2=4-3=1,所以椭圆C的方程为9+)2=1.

(2)存在常数2=2,满足题意.

理由如下：

显然直线/的斜率存在且不为0,设直线/:y=6x+4),

'y=k(x+4),

联立%2消去y并整理,得(1+4Λ2)Λ2+32∕ΓX+64F-4=0,

匕+y2=ι,

∕=(32F)2-4(1+4F)(64M-4)>0,得0<⅛2<⅛.

22

设P(XIJI),Q(X2J2),则71孙・"),所以九1+X2=-<2"IRX2=6M彳,直线PT:y-y∣=红乜&/

1+4/c1+4/cxrx2

川