新东方函数单调性讲义含答案

函数单调性题型一、用定义法证明函数单调性：方法与步骤：令比拟的大小例1：用定义法证明函数上是减函数。练习1、=1\*GB2⑴试证f(x)=1−2QUOTE在R上单调递减.=2\*GB2⑵试证f(x)=QUOTE在(2,+∞)单调递减.练习2.〔1〕讨论函数在(-2,2)内的单调性。〔2〕讨论函数f(x)＝(a≠0)在区间(-1，1)内的单调性.题型二：抽象函数单调性方法：定义法〔注：如无法直接比拟时，可用配凑法;即或〕例2、函数对任意的都有，当时，，证明在R上是减函数。练习3、函数f(x)对任意的a、b∈R,都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1,并且当x＞0时，f(x)＞1.〔1〕求证：f(x)是R上的增函数；〔2〕假设f(4)=5,解不等式f(3m2-m-2)＜3.练习4、函数对任意的都有，当时，，证明在R上是增函数。练习5、函数的定义域为，且满足，当时，，证明在其定义域内是减函数。练习6.定义在区间〔0，+∞〕上的函数f(x)满足f(=f(x1)-f(x2)，且当x＞1时，f(x)＜0.〔1〕求f(1)的值；〔2〕判断f(x〕的单调性；〔3〕假设f(3)=-1,解不等式f(|x|)＜-2.练习7函数f(x)对于任意x，y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且当x>0时，f(x)<0，f(1)＝－eq\f(2,3).(1)求证：f(x)在R上是减函数；(2)求f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值．题型三：求函数的单调区间例3、〔1〕函数的减区间是〔2〕、假设函数，那么〔〕A、B、C、D、例4求以下函数的单调区间=1\*GB2⑴y=x+QUOTE=2\*GB2⑵y=-QUOTE−2=3\*GB2⑶y=QUOTE−2QUOTE−3=4\*GB2⑷y=QUOTE±QUOTE=5\*GB2⑸y=QUOTE例5、〔1〕定义在R上的偶函数满足：对任意的，有.那么(A)(B)(C)(D)〔2〕、定义在R上的偶函数满足：对任意的，有.那么当时,有〔〕(A)(B)(C)(D)例6.〔1〕设y=f(x)的单增区间是(2，6)，求函数y=f(2－x)的单调区间． (2)函数f(x)=8＋2x－x2，如果g(x)=f(2－x2)，那么函数g(x)〔〕A．在区间(－1，0)上是减函数 B．在区间(0，1)上是减函数C．在区间(－2，0)上是增函数 D．在区间(0，2)上是增函数练习8函数的单调递增区间是____________函数的单调递增区间是_______.函数的递增区间是________函数在递增区间是，那么的递增区间是_______以下四个函数中，在区间上为减函数的是〔〕A．；B．；C．；D．(6)设是上的减函数，那么的单调递减区间为(7)给定函数①y＝xeq\f(1,2)；②y＝logeq\f(1,2)(x＋1)；③y＝|x－1|；④y＝2x＋1，其中在区间(0,1)上单调递减的函数的序号是()A．①②B．②③C．③④D．①④(8)在区间(0，＋∞)上不是增函数的函数是 〔〕 A．y=2x＋1 B．y=3x2＋1 C．y= D．y=2x2＋x＋(9)定义在R上的偶函数f(x)的局部图象如下图，那么在(－2,0)上，以下函数中与f(x)的单调性不同的是()A．y＝x2＋1B．y＝|x|＋1C．y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋1，x≥0，,x3＋1，x<0))D．y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ex，x≥0，,e－x，x<0))(10)函数y=(x－1)-2的减区间是___单调区间的书写要求由于函数在其定义域内某一点处的函数值是确定的,讨论函数在某点得的单调性是没有意义的,书写函数的单调区间时,区间的端点的开或闭是没有严格的规定的.事实上,假设函数在区间的端点有定义,常常写成闭区间,当然写成开区间也是可以的.但是假设函数在区间的端点处没有定义,那么必须写成开区间.另外,假设函数在其定义内的两个区间、上都是单调增〔减〕函数，一般不能认简单地认为在区间在区间上是减函数，在区间上也是减函数，但不能说它在定义域上是减函数.事实上，假设取，有，这是不符合减函数的定义的.题型四、函数的单调性,求参数的取值范围处理该题型的根本方法是:主要方法是利用图像,结合函数的性质求解;也可利用函数的单调性定义法求解.例7=1\*GB2⑴f(x)=QUOTE+2ax+1在[3,+∞)单调递增,,求a的范围______=2\*GB2⑵f(x)=QUOTE在[-2,+∞)单调递增,求a的范围______=3\*GB2⑶y=QUOTE在[0,1]上是减函数,那么a的范围是_____=4\*GB2⑷f(x)=QUOTE是(−∞,+∞)上的增函数,那么a的取值范围是______=5\*GB2⑸函数f(x)=QUOTE,(a≠1),假设f(x)在区间(0,1]上是减函数,那么实数a的取值范围为=6\*GB2⑹设函数f(x)=aQUOTE+2在[0,+∞)上是增函数,那么a,b的范围分别为_____练习9〔1〕函数f(x)＝x2+2(a-1)x+2在区间(-∞，4］上是减函数，那么实数a的取值范围是. 〔2〕函数f(x)＝x2+2(a-1)x+2的递减区间是(-∞，4］，那么实数a的取值范围是.〔3〕．函数在区间〔-2，+∞〕上是增函数，那么a的取值范围是〔〕A. B. C.a<-1或a>1 D.a>-2练习10.函数f(x)＝eq\f(\r(3－ax),a－1)(a≠1)．(1)假设a>0，那么f(x)的定义域是________；(2)假设f(x)在区间(0,1]上是减函数，那么实数a的取值范围是________．练习11〔1〕函数f(x)=ax2＋4(a＋1)x－3在[2，＋∞]上递减，那么a的取值范围是__．(2)函数f(x)＝eq\f(\r(3－ax),a－1)(a≠1)．f(x)在区间(0,1]上是减函数，那么实数a的取值范围_______(3)假设与在区间上都是减函数，那么的取值范围是___(4)假设函数在区间上为减函数，那么实数的取值范围是___题型五、单调性的应用--单调性的应用主要分为三个方面:比拟大小;求值域;解不等式例8=1\*GB2⑴求f(x)=x+QUOTE在[1,5]上的值域______=2\*GB2⑵求f(x)=QUOTE−2x+2在[-1,4]上的值域______例9〔1〕、函数,那么满足不等式的x的范围是_____。〔2〕、是R上的减函数，那么满足的实数x的取值范围是_______________。A．〔-∞,1〕B．(1,+∞)C．D．〔3〕、函数假设那么实数的取值范围是ABCD例10x∈[0，1]，那么函数的最大值为_______最小值为_________练习12〔1〕f(x)是定义在[－1，1]上的增函数，且f(x－1)<f(x2－1)求x的取值范围．〔2〕函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋4x，x≥0，,4x－x2，x<0.))假设f(2－a2)>f(a)，那么实数a的取值范围是()A．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B．(－1,2)C．(－2,1)D．(－∞，－2)∪(1，＋∞)〔3〕f(x)在其定义域R+上为增函数，f(2)=1，f(xy)=f(x)+f(y)，解不等式f(x)+f(x－2)≤3〔4〕f〔x〕的定义域为〔0，+∞〕，且在〔0，+∞〕是递增的，〔1〕求证：f〔1〕=0，f〔xy〕=f〔x〕+f〔y〕；〔2〕设f〔2〕=1，解不等式。〔5〕定义在上的函数，，当时，，且对任意的，有.(1)求的值；(2)求证：对任意的，恒有；(3)假设，求的取值范围.〔6〕如果奇函数在区间上是增函数，且最小值为，那么在区间上是增函数且最小值为 增函数且最大值为减函数且最小值为 减函数且最大值为函数单调性答案局部题型一、用定义法证明函数单调性：方法与步骤：令比拟的大小例1：用定义法证明函数上是减函数。证明：原函数可变形为，设，那么上是减函数。练习1、=1\*GB2⑴试证f(x)=1−2QUOTE在R上单调递减.=2\*GB2⑵试证f(x)=QUOTE在(2,+∞)单调递减.练习2.〔1〕讨论函数在(-2,2)内的单调性。〔2〕讨论函数f(x)＝(a≠0)在区间(-1，1)内的单调性.解：设-1＜x1＜x2＜１，那么f(x1)-f(x2)＝-＝∵x1，x2∈(-1，1)，且x1＜x２，∴x1-x2＜0，1+x1x2＞0，(1-x21)(1-x22)＞0于是，当a＞0时，f(x1)＜f(x2)；当a＜0时，f(x1)＞f(x2).故当a＞0时，函数在(-1，1)上是增函数；当a＜0时，函数在(-1，1)上为减函数.题型二：抽象函数单调性方法：定义法〔注：如无法直接比拟时，可用配凑法;即或〕例2、函数对任意的都有，当时，，证明在R上是减函数。证明：设且，那么，在R上是减函数练习3、函数f(x)对任意的a、b∈R,都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1,并且当x＞0时，f(x)＞1.〔1〕求证：f(x)是R上的增函数；〔2〕假设f(4)=5,解不等式f(3m2-m-2)＜3.〔1〕设x1,x2∈R，且x1＜x2,那么x2-x1＞0,∴f(x2-x1)＞1.f(x2)-f(x1)=f((x2-x1)+x1)-f(x1)=f(x2-x1)+f(x1)-1-f(x1)=f(x2-x1)-1＞0.∴f〔x2〕＞f(x1).即f(x)是R上的增函数.〔2〕∵f〔4〕=f〔2+2〕=f〔2〕+f〔2〕-1=5，∴f〔2〕=3，∴原不等式可化为f(3m2-m-2)＜f(2),∵f(x)是R上的增函数，∴3m2-m-2＜2,解得-1＜m＜,故解集为.练习4、函数对任意的都有，当时，，证明在R上是增函数。证明：设且，那么，在R上是增函数练习5、函数的定义域为，且满足，当时，，证明在其定义域内是减函数。练习6.定义在区间〔0，+∞〕上的函数f(x)满足f(=f(x1)-f(x2)，且当x＞1时，f(x)＜0.〔1〕求f(1)的值；〔2〕判断f(x〕的单调性；〔3〕假设f(3)=-1,解不等式f(|x|)＜-2.〔1〕f(1)=f(1/1)=f(1)-f(1)=0。〔2〕当0<x<y时，y/x>1，所以f(y)-f(x)=f(y/x)<0。故f单调减。〔3〕f(3)=-1，f(3)=f(9/3)=f(9)-f(3)，f(9)=-2而f〔｜x｜)＜-2=f(9)，且f单调减，所以|x|>9x＞9或x＜-9练习7函数f(x)对于任意x，y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且当x>0时，f(x)<0，f(1)＝－eq\f(2,3).(1)求证：f(x)在R上是减函数；(2)求f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值．(1)解法一：∵函数f(x)对于任意x，y∈R总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，∴令x＝y＝0，得fy＝－x，得f(－x)＝－f(x)．在R上任取x1>x2，那么x1－x2>0，f(x1)－f(x2)＝f(x1)＋f(－x2)＝f(x1－x2)．又∵x>0时，f(x)<0，而x1－x2>0，∴f(x1－x2)<0，即f(x1)<f(x2)．因此f(x)在R上是减函数．解法二：设x1>x2，那么f(x1)－f(x2)＝f(x1－x2＋x2)－f(x2)＝f(x1－x2)＋f(x2)－f(x2)＝f(x1－x2)．又∵x>0时，f(x)<0，而x1－x2>0，∴f(x1－x2)<0，即f(x1)<f(x2)，∴f(x)在R上为减函数．(2)∵f(x)在R上是减函数，∴f(x)在[－3,3]上也是减函数，∴f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值分别为f(－3)与f(3)．而f(3)＝3f(1)＝－2，f(－3)＝－f(3)＝2.∴f(x)在[－3,3]上的最大值为2，最小值为－2.题型三：求函数的单调区间1、函数的减区间是2、假设函数，那么〔〕A、B、C、D、1、例2=1\*GB2⑴y=x+QUOTE=2\*GB2⑵y=-QUOTE−2=3\*GB2⑶y=QUOTE−2QUOTE−3=4\*GB2⑷y=QUOTE±QUOTE=5\*GB2⑸y=QUOTE1、定义在R上的偶函数满足：对任意的，有.那么(A)(B)(C)(D)2、定义在R上的偶函数满足：对任意的，有.那么当时,有〔〕(A)(B)(C)(D)y=f(x)的单增区间是(2，6)，求函数y=f(2－x)的单调区间．上是单调递减的。〕上是单调递减的。〕，〔－在，由复合函数单调性可知是单减的，上在又〕，〔－〕，〔而〕上是增函数，，〔在那么由得解：令04)]([)2()0,4(2)(04622)(62)(,2)(xxtfxfxxxtxxxtttfxxt (14)函数f(x)=8＋2x－x2，如果g(x)=f(2－x2)，那么函数g(x)〔〕A．在区间(－1，0)上是减函数 B．在区间(0，1)上是减函数C．在区间(－2，0)上是增函数 D．在区间(0，2)上是增函数(10)设是上的减函数，那么的单调递减区间为(8)(2010·北京)给定函数①y＝xeq\f(1,2)；②y＝logeq\f(1,2)(x＋1)；③y＝|x－1|；④y＝2x＋1，其中在区间(0,1)上单调递减的函数的序号是()A．①②B．②③C．③④D．①④(15)在区间(0，＋∞)上不是增函数的函数是 〔〕 A．y=2x＋1 B．y=3x2＋1 C．y= D．y=2x2＋x＋1函数的单调递增区间是____________函数的单调递增区间是_______.函数的递增区间是________函数在递增区间是，那么的递增区间是_______以下四个函数中，在区间上为减函数的是〔〕A．；B．；C．；D．(7)定义在R上的偶函数f(x)的局部图象如下图，那么在(－2,0)上，以下函数中与f(x)的单调性不同的是()A．y＝x2＋1B．y＝|x|＋1C．y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋1，x≥0，,x3＋1，x<0))D．y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ex，x≥0，,e－x，x<0))(9)函数y=(x－1)-2的减区间是___单调区间的书写要求由于函数在其定义域内某一点处的函数值是确定的,讨论函数在某点得的单调性是没有意义的,书写函数的单调区间时,区间的端点的开或闭是没有严格的规定的.事实上,假设函数在区间的端点有定义,常常写成闭区间,当然写成开区间也是可以的.但是假设函数在区间的端点处没有定义,那么必须写成开区间.另外,假设函数在其定义内的两个区间、上都是单调增〔减〕函数，一般不能认简单地认为在区间在区间上是减函数，在区间上也是减函数，但不能说它在定义域上是减函数.事实上，假设取，有，这是不符合减函数的定义的.题型四、函数的单调性,求参数的取值范围处理该题型的根本方法是:主要方法是利用图像,结合函数的性质求解;也可利用函数的单调性定义法求解.例4=1\*GB2⑴f(x)=QUOTE+2ax+1在[3,+∞)单调递增,,求a的范围______=2\*GB2⑵f(x)=QUOTE在[-2,+∞)单调递增,求a的范围______=3\*GB2⑶y=QUOTE在[0,1]上是减函数,那么a的范围是_____=4\*GB2⑷f(x)=QUOTE是(−∞,+∞)上的增函数,那么a的取值范围是______=5\*GB2⑸函数f(x)=QUOTE,(a≠1),假设f(x)在区间(0,1]上是减函数,那么实数a的取值范围为________=6\*GB2⑹设函数f(x)=aQUOTE+2在[0,+∞)上是增函数,那么a,b的范围分别为_____1.〔1〕函数f(x)＝x2+2(a-1)x+2在区间(-∞，4］上是减函数，那么实数a的取值范围是. 〔2〕函数f(x)＝x2+2(a-1)x+2的递减区间是(-∞，4］，那么实数a的取值范围是.6．函数在区间〔-2，+∞〕上是增函数，那么a的取值范围是〔〕A. B. C.a<-1或a>1 D.a>-2解：f(x)＝eq\f(ax＋1,x＋2)＝eq\f(a(x＋2)＋1－2a,x＋2)＝eq\f(1－2a,x＋2)＋a.任取x1，x2∈(－2，＋∞)，且x1<x2，那么f(x1)－f(x2)＝eq\f(1－2a,x1＋2)－eq\f(1－2a,x2＋2) ＝eq\f((1－2a)(x2－x1),(x1＋2)(x2＋2)).∵函数f(x)＝eq\f(ax＋1,x＋2)在区间(－2，＋∞)上为增函数，∴f(x1)－f(x2)<0.∵x2－x1>0，x1＋2>0，x2＋2>0，∴1－2a<0，a>eq\f(1,2).即实数a的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞)).12.函数f(x)＝eq\f(\r(3－ax),a－1)(a≠1)．(1)假设a>0，那么f(x)的定义域是________；(2)假设f(x)在区间(0,1]上是减函数，那么实数a的取值范围是________．解析：(1)当a>0且a≠1时，由3－ax≥0得x≤eq\f(3,a)，即此时函数f(x)的定义域是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(3,a)))；(2)当a－1>0，即a>1时，要使f(x)在(0,1]上是减函数，那么需3－a×1≥0，此时1<a≤3.当a－1<0，即a<1时，要使f(x)在(0,1]上是减函数，那么需－a>0，此时a<0.综上所述，所求实数a的取值范围是(－∞，0)∪(1,3]．3〔1〕函数f(x)＝x2+2(a-1)x+2在区间(-∞，4］上是减函数，那么实数a的取值范围是. 〔2〕函数f(x)＝x2+2(a-1)x+2的递减区间是(-∞，4］，那么实数a的取值范围是.〔3〕函数f(x)=ax2＋4(a＋1)x－3在[2，＋∞]上递减，那么a的取值范围是__．(4)函数在区间〔-2，+∞〕上是增函数，那么a的取值范围是_______(5).假设是上的减函数，那么的取值范围是_________(6)函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ax，x<0，,(a－3)x＋4a，x≥0.))满足对任意x1≠x2，都有eq\f(f(x1)－f(x2),x1－x2)<0成立，那么a的取值范围是____________(7)假设函数f(x)＝|logax|(0<a<1)在区间(a,3a－1)上单调递减，那么实数a的取值范围是_______(8)函数f(x)＝eq\f(\r(3－ax),a－1)(a≠1)．f(x)在区间(0,1]上是减函数，那么实数a的取值范围_______(9)在上是的减函数，那么的取值范围是_________(10)函数在上为增函数，那么实数的取值范围_____(11)假设与在区间上都是减函数，那么的取值范围是___(12)假设函数在区间上为减函数，那么实数的取值范围是___题型五、单调性的应用单调性的应用主要分为三个方面:比拟大小;求值域;解不等式(特别是楚翔函数的不等式)例5=1\*GB2⑴定义域为R的函数f(x)在(8,+∞)上为减函数,且满足y=f(x+8)为偶函数,那么()Af(6)>f(7),Bf(6)>f(9),Cf(7)>f(9),Df(7)>f(10)=2\*GB2⑵比拟a=QUOTE,b=QUOTE,c=QUOTE的大小_______=3\*GB2⑶比拟a=QUOTE,b=QUOTE,c=QUOTE的大小_______例6=1\*GB2⑴求f(x)=x+QUOTE在[1,5]上的值域______=2\*GB2⑵求f(x)=QUOTE−2x+2在[-1,4]上的值域______例7=1\*GB2⑴9f(x)定义域为(0,+∞),且对于一切x>0,y>0,都有f(QUOTE)=f(x)−f(y),当x>1时有f(x)>0.=1\*GB2⑴求f(1)=2\*GB2⑵判断f(x)单调性并证明=3\*GB2⑶假设f(6)=1,解不等式f(x+5)−f(QUOTE)<2=2\*GB2⑵定义域为R的函数f(x)=QUOTE是奇函数.=1\*GB2⑴a=____b=_____=2\*GB2⑵假设对于任意t∈R,不等式f(QUOTE)+f(2QUOTE)<0恒成立,求k的取值范围.函数单调性的应用：1、函数,那么满足不等式的x的范围是_____。2、是R上的减函数，那么满足的实数x的取值范围是_______________。A．〔-∞,1〕B．(1,+∞)C．D．3、函数假设那么实数的取值范围是ABCD〔3〕x∈[0，1]，那么函数的最大值为_______最小值为_________4.：f(x)是定义在[－1，1]上的增函数，且f(x－1)<f(x2－1)求x的取值范围．7.函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋4x，x≥0，,4x－x2，x<0.))假设f(2－a2)>f(a)，那么实数a的取值范围是()A．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B．(－1,2)C．