高考数学考前最后一轮基础知识巩固之第十二章第1课导数的概念及运算

第1课导数的概念及运算

【考点导读】

1.了解导数概念的某些实际背景(如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等)；

2.掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念；

3.熟记基本导数公式；

4.掌握两个函数和、差、积、商的求导法则；

5.了解复合函数的求导法则.会求某些简单函数的导数.(理科)

【基础练习】

1.设函数f(x)在x=x处可导,则lim八',")二"Z)与x,h的关系是仅与X.有关而与h

02。h°---°------

无关。

17

2.一点沿直线运动，如果由始点起经过t秒后的距离为5=0+7/2-g，那么速度

43

为零的时刻是1,2,4秒末。

3.已知/(X)=X3+X2尸(1),则片(2)=0。

sinx2兀

4.已知y=；---一,xe(一兀，兀)，则当y=2时，*=±二-。

1+cosx3;

5.(1)已知/(%)=05。，则尸⑴=aln。+。2。

(2)(理科)设函数/。)=皿2—3x)5,贝(1)=-15o

6.已知两曲线y="+ax和y=冷+bx+c都经过点P(1,2),且在点P处有公切线，试求

a,b,c值。

解：因为点P(1,2)在曲线y=X3上，1

函数y=X3+ax和y=X2+/ZX+C的导数分别为y'=3x2+a和y=2x+8,且在点p处有

公切数

.,.3x12+4=2x1+6,得b=2

又由2=12+2x1+c,得c=-l

【X例导析】

例1.电流强度是单位时间内通过导体的电量的大小。从时刻，=0开始的f秒内，通过导体

的电量(单位：库仑)可由公式4=20+3/表示。

(1)求第5秒内时的电流强度；

(2)什么时刻电流强度达到63安培(即库仑/秒)？

分析：为了求得各时刻的电流强度，类似求瞬时速度一样，先求平均电流强度，然后再用平

均电流强度逼近瞬时电流强度。

-1-/5

解：(1)从时刻看到时刻/+/通过导体的这一横截面的电量为：

00

△q—2(力+△力”+3(力+△/)—(2%2+3%)=(3+4/)△%+2(4)2

00000

则这段时间内平均电流强度为弟=3+4+2/，当/-0,吧―3+小

△foAf0

当/=5时，贝！j3+4t=23(安培)。

00

(2)令3+4/=63,得t=15(秒)。

oo

答：(1)第5秒时电流强度为23安培；(2)第15秒时电流强度为63安培。

点评：导数的实际背景丰富多彩，本题从另一个侧面深化对导数概念的理解。

例2.下列函数的导数：

①y=(X+1)(2X2+3x-l)®y=2X3-3'+G1③/(x)=e，•(cosx+sinx)

Xy/x

分析：利用导数的四则运算求导数。

解：①法——：y=2x3+3x2-X+2X2+3x-1=2x3+5x2+2x-l

y'=6x2+10x+2

法二：yr=(x+l)r(2%2+3x-1)+(x+1)(2x2+3X-1)'=2m+3x-l+(x+l)(4x+3)

=6x2+10x+2

3_-L/

②y=2X2-3X~2+XT-x~2

13_33_5

...yf=3x2+—1一2-X-2+-X~2

22

③((x)=e-x(cosx+sinx)+e-x(—sinx+cosx)=2e-xcosx,

点评：利用基本函数的导数、导数的运算法则及复合函数的求导法则进行导数运算，是高考

对导数考查的基本要求。

例3.如果曲线丫=尤3+犬-10的某一切线与直线y=4x+3平行，求切点坐标与切线方程.

分析：本题重在理解导数的几何意义：曲线y=/(%)在给定点P(x,/(%))处的切线的斜率

00

k=/'(%),用导数的几何意义求曲线的斜率就很简单了。

0

解：.・・切线与直线y=4x+3平行，斜率为4

又切线在点X的斜率为y'l=(X3+X-10)[=3x2+1

lx=x\x=x

0।1onno0

V3x2+1=4Ax=±l

0o

.a=I_p,[x=-1

・・〈0或，0

y=S[y=-12

l010

・•・切点为(1,-8)或(-1,-12)

切线方程为y+8=4(x-l)或y+12=4(x+l)即y=4工-12或y=4x—8

点评：函数导数的几何意义揭示了导数知识与平面解析几何知识的密切联系，利用导数能解

-2-/5

决许多曲线的切线问题，其中寻找切点是很关键的地方。

变题：求曲线y=2x-X3的过点A(U)的切线方程。

答案：x+y-2=0,5x-4y-1=0

点评：本题中“过点4U)的切线”与“在点4U)的切线”的含义是不同的，后者是以A为

切点，只有一条切线，而前者不一定以A为切点，切线也不一定只有一条，所以要先设切点,

然后求出切点坐标，再解决问题。

备用题：证明：过抛物线y=a(x—x)•(x—x)(aWO,x<x)上两点A(x,0)、B(x,0)

121212

的切线，与X轴所成的锐角相等.

证明：y'=2ax—a(x+x),

12

y'I=a(x—x),即k=a(x—x),

『12Ai2

y'I=a(x—x),即k=a(x—x).

x=x221B21

设两条切线与X轴所成的锐角为a、B,

则tana=|k|=|a(x—x)tanP=|k|=|a(x—x)|,故tana二tanB.

A12B21

又a、B是锐角，所以a=8。

【反馈演练】

1.一物体做直线运动的方程为s=l-t+/2,s的单位是相，/的单位是s,该物体在3秒末的

瞬时速度是5m/s。

2.设生产x个单位产品的总成本函数是C(x)=8+J,则生产8个单位产品时，边际成本是

O

2o

3.已知函数f(x)在x=l处的导数为3,则f(x)的解析式可能为(1)o

(1)f(x)=(X—1)2+3(X—1)(2)f(x)=2(x—1)

(3)f(x)=2(x—1)2(4)f(x)=x—1

4.若曲线y=3的一条切线/与直线x+4y—8=0垂直，则/的方程为4x—y—3=0。

c兀

5.在函数y=%3-8%的图象上，其切线的倾斜角小于)的点中，坐标为整数的点的个数是

4

3o

6设/(%)是可导函数，且lim"仁2个)一/(")=2,则/(%)=一屋

AX->OAx°一

7.函数/(x)=。=一1)，一2)一-0-100)在〉=0处的导数值为100!o

8.过点(0,—4)与曲线y=X3+x—2相切的直线方程是y=4x—4.

9.设f(x)在x=l处连续，且f(1)=0,lim在»=2,则/'(1)=_2___。

3x-1一

-3-/5

解：Vf(1)=0,lim以=2,

]X-1

“⑴=11mAi+斓一/⑴=lim"X—⑴二lim①2

x->lX-1

Ax—->>00Axx—>1]%x—-1x—>1X-1

10.求下列函数的导数：

(l)y=(2x2-1)(3x+l)(2)y=sinx(3)y=ln(x+y/l+x2)

e4+1x+cosxcos2x

(4)y=------(5)y=----；一(6)y=------------

ex-1x+smxsinx-cos%

解：(1)yr=18x2+4x-3,(2)yf=2xsinx+x2cosx；

—lex

—3-1)2；

1+X2

/、,-xcosx-xsinx+sinx-cosx-1,、，.

(5)y=------------------：-----------------,⑹y=smx-cosx.

(x+sinx)2

11.已知曲线C：y=3x4-2x3-9x2+4

(1)求曲线C上横坐标为1的点的切线的方程；

(2)第(1)小题中切线与曲线C是否还有其它公共点。

解：(1)切线方程为y+4=—12(r—1),即y=—12+8

(2)除切点外，还有两个交点(-2,32),

12已知直线(为曲线了=无2+无一2在点(0,-2)处的切线，/,为该曲线的另一条切线，且

(T)求直线/的方程；

2

(II)求由直线1,I和X轴所围成的三角形的面积

12

解：设直线/的斜率为左，直线/的斜率为左,

1122

y'=2x+l,由题意得上=y'l=1,得直线/的方程