2024年广东省高考数学一轮复习第1章第1讲：集合（附答案解析）

2024年广东省高考数学一轮复习第1章第1讲：集合

【考试要求】1.了解集合的含义，了解全集、空集的含义2理解元素与集合的属于关系，理解

集合间的包含和相等关系.3.会求两个集合的并集、交集与补集4能用自然语言、图形语言、

集合语言描述不同的具体问题，能使用Venn图表示集合间的基本关系和基本运算.

・落实主干知识

【知识梳理】

I.集合与元素

(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性.

(2)元素与集合的关系是属王或丕属王，用符号反或生表示.

(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法.

(4)常见数集的记法

非负整数集

集合正整数集整数集有理数集实数集

(或自然数集)

符号NN*（或N+）ZQR

2.集合的基本关系

(1)子集：一般地，对于两个集合4B,如果集合力中任意一个元素都是集合8中的元素,

就称集合N为集合B的子集，记作ZUB(或8?4).

(2)真子集：如果集合4=8,但存在元素且母，就称集合工是集合8的真子集，记

作/休8(或8国4).

(3)相等：若4qB,且2S4则4=8.

(4)空集：不含任何元素的集合叫做空集，记为0.空集是任何集合的子集,是任何非空集合的

真子集.

3.集合的基本运算

表示

集合语言图形语言记法

运

并集IrlxGN,或xGB}HUB

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交集且(友)4cB

补集三C退

【常用结论】

1.若集合“有〃(〃21)个元素，则集合“有2"个子集，2”—1个真子集.

2.ACtB=A^AQB,AUB=A^BQA.

【思考辨析】

判断下列结论是否正确(请在括号中打“J”或“X”)

(1)集合{XGNH=X},用列举法表示为{-1,0,1}.(X)

(2){x[y=x2+1}={y\y=x2+1}={(x,y)\y=x2+l].(X)

(3)若1e*2,x},则x=-1或x=l.(X)

(4)对任意集合Z,B,都有(ZC5)a(/U8).(V)

【教材改编题】

1.(2022•新高考全国H)已知集合4={-1,1,2,4},5={x||x-l|Wl},则ZC8等于()

A.{-1,2}B.{152}

C.{1,4}D.{-1,4}

答案B

解析由区一1|这1,得一IWX-IWI,解得0WxW2,所以5={x|0WxW2},所以NCB={1,2},

故选B.

2.下列集合与集合力={2022,1}相等的是()

A.(1,2022)

B.{(x,y)|x=2022,y=\}

C.{x\x2~2023x+2022=0}

D.{(2022,1)}

答案C

解析(1,2022)表示一个点，不是集合，A不符合题意；

集合{(x，y)\x=2022,y=l}的元素是点，与集合1不相等，B不符合题意；

{x\x2~2023x+2022=0}={2022,1}=/,故C符合题意；

集合{(2022,1)}的元素是点，与集合/不相等，D不符合题意.

3.设全集U=R,集合/=3一1在欠＜3},8=32》一4三》一2},则/口8=,C

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答案{x|x2一1}{x|x<2或x》3}

解析因为4={x|—lWx<3},8={x|2x—4》x—2}={x|x>2},

所以」U8={x|x》一1},4n8={x[2Wx<3},

C或x23}.

■探究核心题型

题型一集合的含义与表示

例1（1）（2022•衡水模拟）设集合Z={（x,y）\y=x],B={（x,j/）[y=x2},则集合/CB的元素

个数为（）

A.0B.1C.2D.3

答案C

解析如图，函数y=x与y=x2的图象有两个交点，

故集合ZC5有两个元素.

（2）已知集合力={1,a~2,a2~a~\},若一164则实数。的值为（）

A.1B.1或0

C.0D.-1或0

答案C

解析V—1^A,

若a—2=—1,即a=l时，4={1,—1,—1）,不符合集合元素的互异性；

若a2—a—i=—1,即a=l（舍去）或a=0时，

力={1,-2,—1）,

故a=0.

思维升华解决集合含义问题的关键有三点：一是确定构成集合的元素：二是确定元素的限

制条件；三是根据元素的特征（满足的条件）构造关系式解决相应问题.

跟踪训练1（1）（多选）若集合屈=国》一2<0,》昼1^},则下列四个命题中，错误的命题是（）

A.B.{0}6M

C.{\}^MD.1£A/

答案ABD

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解析对于A,因为Af={x|x-2<0,x£N},所以OEM,所以A错误；

对于B,因为{0}是集合，且0GM,所以{0}UM,所以B错误；

对于C,因为ie〃，所以所以C正确；

对于D,因为1是元素，所以D错误.

(2)(2023•聊城模拟)已知集合/={0,1,2},B^[ab\a^A,b^A},则集合8中元素的个数为

()

A.2B.3C.4D.5

答案C

解析因为/={0,1,2},aGA,b^A,

所以ab=O或ab=1或ab=2或ab=4,

故5={4切〃《4,6G4}={0,1,2,4},

即集合8中含有4个元素.

题型二集合间的基本关系

例2(1)(2022•宜春质检)已知集合4={x[y=ln(x—2)},8={x|x>一3},则下列结论正确的是

()

A.A—BB.ADB—0

C.加水8D.BQA

答案C

解析由题设，可得N={x|x>2},

又B={x|x>一3},

所以才是8的真子集，

故A,B,D错误，C正确.

(2)设集合N={x|-1WX+1W2},8={x|w-1WXW2W+1},当xGZ时，集合力的真子集有

个；当8U/时，实数机的取值范围是.

答案15(-8,-2)U[-l,0]

解析N={x|-2WxWl},

若xGZ,则/={一2,-1,0,1).

故集合4的真子集有24-1=15(个).

由B三A,

得①若8=0,则2机+1〈加一1,即加〈一2,

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2阳+1，加-1,

②若8W0,则.2"?+lWl,

"?一12一2,

解得一1W机＜0,

综上，实数机的取值范围是(-8,-2)U[-l,0].

思维升华(1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系问题时，必须考虑空集的情况，否则

易造成漏解.

(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转

化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题.

跟踪训练2(1)(多选)已知非空集合朋■满足：①叱{一2,一1,1,2,3,4},②若xGM,则踪

则集合M可能是()

A.{-1,1}B.{-1,1,2,4)

C.{1}D.{1,-2,2}

答案AC

解析由题意可知3主M且而一2或2与4同时出现，

所以一2庄M且2+

所以满足条件的非空集合又有{-1,1},{1}.

(2)函数.次》)=42—2一3的定义域为4集合8={x|-aWxW4-a},若则实数。的取

值范围是.

答案(-8,-3]U[5,+8)

解析由冗2—2%—320,得了23或xW—1,

即4={x\x^3或xW—1).

显然8W0,

・・.4—oW—1或一。23,

解得或。〈一3,

故实数〃的取值范围是(一8,-3]U[5,+8).

题型三集合的基本运算

命题点1集合的运算

例3(1)(2021•全国乙卷)已知集合5="卜=2〃+1,??ez},T={t\t=4n+1,«ez},则SAT

等于()

A.0B.SC.rD.z

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答案c

解析方法一在集合7中，令，?=WtGZ),则f=4〃+l=2(2A)+l%GZ),而集合S中，s

=2n+l(neZ),所以必有7=S,所以SA7=7.

方法二$=〕••，-3,-1,1,3,5,7={…，-3,1,5,-},观察可知，TGS,所以SOT

=7.

(2)设全集U=R,Z={x|-2<x<4},B={x\y=y[^+2},则图中阴影部分表示的集合为()

A.{x|xW—2}B.{x|x>—2}

C.{x|x24}D.{x|xW4}

答案C

解析观察Venn图，可知阴影部分的元素由属于8而不属于/的元素构成，所以阴影部分

表示的集合为(C必)(18

•.,Z={x|-2Wx<4},U=R,

CuZ={x|xv—2或x24},

又B={x\y=~\[x+2]=^B={x\x^—2},

A(C")nB={x|xN4}.

命题点2利用集合的运算求参数的值(范围)

例4(2023•衡水模拟)已知集合/={x[y=ln(l-N)},B=[x\x^a},若(CR/)UB=R,则实

数a的取值范围为()

A.(1,+°°)B.[1,+8)

C.(一8,1)D.(-OO,1]

答案B

解析由题可知/={x卜=ln(l—r)}=3一

CRA={x|x<—1或xel},

所以由(CR/1)U8=R,得

思维升华对于集合的交、并、补运算，如果集合中的元素是离散的，可用Venn图表示；

如果集合中的元素是连续的，可用数轴表示，此时要注意端点的情况.

跟踪训练3(1)(2022•全国甲卷)设全集U={-2,-1,0,1,2,3).集合4={T,2},5-{x\x2

-4x+3=0},则C“{U8)等于()

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A.{1,3}B.{0,3}

C.{-2,1}D.{-2,0}

答案D

解析由题意得集合8={1,3},所以ZU8={-1,1,2,3},

所以C”4U8)={—2,0}.故选D.

(2)(2023•驻马店模拟)已知集合4={x|(x—l)(x-4)<0},B^{x\x>a],若4UB={x|x>l},则a

的取值范围是()

A.[1,4)B.(1,4)

C.[4,+0°)D.(4,+8)

答案A

解析由题意可得/={x|l〈x<4}.

因为4U8={x|x>l},

所以lWa<4.

题型四集合的新定义问题

例5(1)(多选)当一个非空数集厂满足条件“若a,b®F,则a+b,a-b,abWF,且当bWO

时，尸”时，称尸为一个数域，以下说法正确的是()

b

A.0是任何数域的元素

B.若数域尸有非零元素，则2023GF

C.集合P={x|x=3%,左CZ}为数域

D.有理数集为数域

答案ABD

解析对于A,若aG尸，则a—。=0v尸，故A正确；

对于B,若°C尸且则1=06尸，2=1+1e凡3=1+26尸，依此类推，可得2023G尸,

a

故B正确；

对于C,P={x\x=3k,左GZ},3GR6GP,但]生尸，故尸不是数域，故C错误；

对于D,若a,6是两个有理数，则a+6,a-b,ab,f(bWO)都是有理数，所以有理数集是

b

数域，故D正确.

(2)已知集合加={1,2,3,4},AQM,集合力中所有元素的乘积称为集合N的“累积值”，且

规定：当集合Z只有一个元素时，其累积值即为该元素的数值，空集的累积值为0.设集合/

的累积值为n.

①若"=3,则这样的集合A共有个；

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②若n为偶数,则这样的集合A共有个.

答案213

解析①若〃=3,据“累积值”的定义得4={3}或/={1,3},这样的集合/共有2个；

②因为集合〃的子集共有24=16（个），

其中“累积值”为奇数的子集为{1},{3},{1,3},共3个，

所以“累积值”为偶数的集合共有13个.

思维升华解决集合新定义问题的关键

解决新定义问题时，一定要读懂新定义的本质含义，紧扣题目所给定义，结合题目所给定义

和要求进行恰当转化，切忌同已有概念或定义相混淆.

跟踪训练4设集合U={2,3,4},对其子集引进“势”的概念：①空集的“势”最小；②非

空子集的元素越多，其“势”越大；③若两个子集的元素个数相同，则子集中最大的元素越

大，子集的“势”就越大.最大的元素相同，则第二大的元素越大，子集的“势”就越大，

依此类推.若将全部的子集按“势”从小到大的顺序排列，则排在第6位的子集是.

答案{2,4}

解析根据题意，将全部的子集按“势”从小到大的顺序排列为：0,{2},{3},{4},{2,3},

{2,4},{3,4},{2,3,4}.

故排在第6位的子集为{2,4}.

课时精练

立基础保分练

1.(2022•全国乙卷)设全集{1,2,3,4,5},集合〃满足C=={1,3},则()

A.2GMB.3GM

C.D.5CM

答案A

解析由题意知{2,4,5},故选A.

2.设集合4={x=N*12y4},8={xWN|-l<x<2},则/US等于()

A.{x|—l<x<2}B.{x|x<2}

C.{0,1}D.{1}

答案C

解析由2-y4可得x<2,

则/={xWN*12y4}={1},

5={xeN|-l<r<2}={0,l},

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所以ZUB={O,1}.

3.(2022•娄底质检)集合M={(x,y)\2x-y=0},N={(x,y)|x+y—3=0},则MAN等于()

A.{(2,-1)}B.{2,-1}

C.{(1,2)}D.{1,2}

答案C

解析联立卜=°，

k+y—3=0,

解得•‘则MAN={(1,2)}.

卜=2,

4.(2023•南京模拟)已知集合4={x|/—6x-7<0},8={如=3",》<1},则ZC(C6)等于()

A.[3,7)B.(—1,0]U[3,7)

C.[7,+8)D.(-8,-1)U[7,+8)

答案B

解析4={4^-6x-7〈0}=(-1,7),

B={y\y=y,x<l}=(0,3),

所以CR8=(-8,0]U[3,+00),

所以/CI(CRB)=(-l,0]U[3,7).

5.(2022•海南模拟)己知集合4={x|%2Wl},集合8={x|xGZ且x+ie/},则8等于()

A.{—1,0,1}B.{-2,-1,0}

C.{-2,-1,0,1}D.{-2,-1,0,1,2}

答案B

解析因为集合力={x|«l},

所以4={x|-lWxWl},

在集合8中，由x+lGZ,得-1WX+1W1,即一2Wx<0,又xWZ,所以x=—2,—1,0,

即8={-2,-1,0}.

6.（2022•怀仁模拟）己知集合力={x[l<x<2},B={x\x>m},若/n（CRB）=0,则实数机的取

值范围为()

A.(—8,1]B.(—8,1)

C.[1,+~)D.(1,+8)

答案A

解析由题知/C(CR8)=0,得则“W1.

7.(多选)已知集合[={1,3,机2},8={1,m}.^AUB=A,则实数加的值为()

A.0B.1C.2D.3

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答案AD

解析因为ZU8=4所以

因为/={1,3,m2},8={1,m},

所以，"2="?或〃7=3,解得加=0或加=1或加=3.

当"?=0时，4={1,3,0},8={1,0},符合题意；

当加=1时，集合/、集合B均不满足集合元素的互异性，不符合题意；

当机=3时，J={1,3,9},8={1,3},符合题意.

综上，m—0或3.

8.(多选)已知全集U的两个非空真子集48满足(CuA)^B=B,则下列关系一定正确的是

()

A.AriB=0B.ACB=B

C.AUB=UD.(CUB)UA=A

答案CD

解析令U={1,2,3,4},/={2,3,4},5={1,2},满足(C⑷UB=B,但//A8W8,

故A,B均不正确；

由(CuA)UB=B,知CuAUB,

.*.U=ZU(Cu/)a(ZU5),：.AUB^U,

由Cu4£B,知CuB—A,

；.(CUB)UA=A,故C,D均正确.

9.(2023•金华模拟)已知集合U={1,2,3,4,5,6},S={1,3,5},T={2,3,6},则SC(CuT)=

,集合S共有个子集.

答案{1,5}8

解析由题意可得C07={1,4,5},

则sn(c。乃={1,5}.

集合S的子集有23个，即8个.

10.(2023・石家庄模拟)已知全集。=R,集合A/={xGZ||x-l|<3},N={-4,一2,0,1,5},则

Venn图中阴影部分的集合为.

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答案{T,2,3}

解析集合M={xeZ||x-l|<3}={xGZ|-3<x-l<3}={xGZ|-2<x<4}={-1,0,1,2,3},

则Venn图中阴影部分表示的集合是A/n(CRN)={-1,2,3}.

11.已知集合/=6=0},8={x|/nx+l=0},且则m的值可能是.

答案0,1

23

解析由N+x—6=0,得x=2或x=-3,

所以/={工廿+%—6=0}={-3,2},

因为所以8=4

当8=0时，8UZ成立，此时方程加x+l=0无解，得m=0；

当8¥0时，得m/0,则集合B={x|"?x+l=0}=卜

因为所以一工=-3或一上=2,

mtn

解得〃?=1或m=-

32

综上，m=0,〃?=，或机=——.

32

12.已知集合/={x|(x+3)(x-3)<0},8={x|2机一3WxWm+l}.当加=一1时，则ZU8=

:若4cB=B,则加的取值范围为.

答案[-5,3][0,2]U(4,+8)

解析/={x|-3WxW3},

当机=-1时，8={x[—5<x<0},

此时/UB=[-5,3].

由208=8可知8£4

若8=0,则2m—3>m+1解得m>4；

2m-3W/H+1,

若8#0,则•加+1W3,解得0W〃?W2,

2加一32一3,

综上所述，实数机的取值范围为[0,2]U(4,+8).

立综合提升练

13.(多选)已知全集U={xGN|bg加<3},/={1,2,3},C"408)={1,2,4,5,6,7},则集合8可

能为()

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A.{2,3,4}B.{3,4,5}

C.{4,5,6}D.{3,5,6}

答案BD

解析由logM<3得0<x<23,即04<8,于是得全集U={1,2,3,4,5,6,7},

因为C凡4A8)={1,2,4,5,6,7},则有Zn5={3},3C8,C不正确;

若8={2,3,4},则/C8={2,3},CM/C8)={1,4,5,6,7},矛盾，A不正确;

若8={3,4,5},则4nB={3},C4/08)={1,2,4,5,6,7},B正确;

若8={3,5,6},则/A8={3},C认/A8)={1,2,4,5,6,7},D正确.

14.某小区连续三天举办公益活动，第一天有190人参加，第二天有130人参加，第三天有

180人参加，其中，前两天都参加的有30人，后两天都参加的有40人.第一天参加但第二

天没参加活动的有人，这三天参加活动的最少有人.

答案160290

解析根据题意画出Venn图，如图所示，

a表示只参加第一天的人，

6表示只参加第二天的人，

c表示只参加第三天的人，

d表示只参加第一天与第二天的人，

e表示只参加第一天与第三天的人，

/表示只参加第二天与第三天的人，

g表示三天都参加的人，

，要使总人数最少，则令g最大，其次d,e,/也尽量大，t/+g=30,,/H-g=40,

...a+e=160,即第一天参加但第二天没参加的有160人，

，gmax=30,d=0,f—10,4+t/+g+e=190,

.*.c+e=140,

•,Cmax=140,.,.c=0,a=20,

则这三天参加活动的最少有a+b+cH---Fg=20+90+0+0+140+10+30=290（人）.

立拓展冲刺练

15.（多选）1872年德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用