2024年中考数学探究性训练专题20四边形

备考2024年中考数学探究性训练专题20四边形一、选择题1．我们在探究“任意一个四边形内角和是多少度？”时，采用的方法是连接四边形的一条对角线，把四边形分割成两个三角形，从而探究出任意四边形的内角和等于360°，这一过程体现的数学思想是（）A．转化思想 B．方程思想C．函数思想 D．数形结合思想2．对于一元二次方程，我国古代数学家还研究过其几何解法．以方程x(x+6)=72为例加以说明．数学家赵爽在其所著的《勾股圆方注》中记载的方法是：如图，将四个长为x+6，宽为x的长方形纸片拼成一个大正方形，则大正方形的边长是x+6+x，面积是四个矩形的面积与中间小正方形的面积之和，即4×72+62，据此易得x=18−62=6A．2 B．4 C．6 D．83．在《类比探究菱形的有关问题》这节网课中，老师给出了如下画菱形的步骤，请问这么画的依据是（）A．四条边都相等的四边形是菱形B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形，有一组邻边相等的平行四边形是菱形C．两组对边分别平行的四边形是平行四边形，有一组邻边相等的平行四边形是菱形D．两组对边分别平行的四边形是平行四边形，两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形4．数学家莫伦在1925年发现了世界上第一个完美长方形（如图1），即它恰好能被分割成10个大小不同的正方形，从这以后人们开始热衷图形完美分割的研究，平行四边形EFGH被分割成13个小正三角形（如图2），已知中间最小的两个正三角形△ABC和△ADC边长均为4，平行四边形A．152 B．156 C．160 D．164二、填空题5．如图是跷跷板的示意图，立柱OC与地面垂直，以O为横板AB的中点，AB绕点O上下转动，横板AB的B端最大高度h是否会随横板长度的变化而变化呢？一位同学做了如下研究：他先设AB=2m，OC=0.5m，通过计算得到此时的h1，再将横板AB换成横板A'B'，O为横板A'B'的中点，且A'B'=3m，此时B'点的最大高度为h2，由此得到h16．在图1所示的3×3的网格内有一个八边形，其中每个小方格的边长均为1.经探究发现，此八边形可按图2的方式分割成四个全等的五边形和一个小正方形①.现将分割后的四个五边形重新拼接（即图2中的阴影部分），得到一个大正方形ABCD，发现该正方形中间的空白部分②也是一个正方形，且正方形②的面积恰好是正方形①的面积的2倍，则AE的长为.7．利用图形的分、和、移、补探索图形关系，是我国传统数学的一种重要方法．如图1，BD是矩形ABCD的对角线，将△BCD分割成两对全等的直角三角形和一个正方形，然后按图2重新摆放，观察两图，若a=5，b=3，则矩形ABCD8．何老师在一次“探析矩形折叠问题”的公开课上，与同学们一起对折纸进行了如下探究：已知正方形ABCD边长为1，G是AB边的中点，E是射线DC上的一个动点.（1）如图①，若点E在线段DC上且点E与点C不重合，连结BE，将△BCE沿着BE翻折，使点C落在DG上的点M处，连结CM延长交AD边于点F且CF⊥DG，则EH·（2）若点E与点C不重合，以点C为圆心，线段GE的长为半径作⊙C，当⊙C与线段DG只有一个公共点时，CE的取值范围是9．综合实践课上，小聪用一张长方形纸ABCD对不同折法下的折痕进行了探究，已知AB＝12，∠CAB＝30°，点E，F分别在AB，CD上，且AE＝5，（1）把长方形纸片沿着直线EF翻折，使点A的对应点A′恰好落在对角线AC上，点D的对应点为D′，如图①，则折痕EF长为；（2）在EF，A′D′上取点G，H，沿着直线GH继续翻折，使点E与点F重合，如图②，则折痕GH长为.10．如图，某数学兴趣小组在学完矩形的知识后一起探讨了一个纸片折叠问题：如何将一张平行四边形纸片ABCD的四个角向内折起，拼成一个无缝隙、无重叠的矩形EFGH．图中EF，FG，GH，HE表示折痕，折后B，D的对应点分别是M，N．若AB=8cm，AD=10cm，∠B=60°，则纸片折叠时AH的长应取．三、实践探究题11．综合与探究如图，经过B(3，0)，C(0（1）求抛物线的解析式；（2）点D在抛物线的对称轴上，当△ACD的周长最小时，求D（3）已知点M在抛物线上，求S△ABM=8（4）已知E(2，−3)，请直接写出能以点A，B，E12．【问题】北师大版数学八年级下册P32第2题：已知：如图1，△ABC的外角∠CBD和∠BCE求证：点F在∠DAE某数学兴趣小姐的小明同学提出了如下的解题方法：如图2，过点F作FG⊥AD于点G，作FH⊥AE于点H，作FM⊥BC于点M，由角平分线的性质定理可得：FG=FM，FH=FM．∴FG=FH．∵FG⊥AD，FH⊥AE，∴F在∠DAE【探究】（1）小方在研究小明的解题过程时，还发现图2中BG、BC和CH三条线段存在一定的数量关系，请你直接写出它们的数量关系：（2）小明也发现∠BFC和∠GFH之间存在一定的数量关系．请你直接写出它们的数量关系：（3）如图3，边长为3的正方形ABCD中，点E，F分别是边CD、BC上的点，且DE=1．连接AE，AF，（4）如图4，△ABC中，AB=AC=5，BC=4．△DEF中，∠EDF=∠B．将△DEF的顶点D放在BC边的中点处，边DF交线段AB于点G，边DE交线段AC于点H，连接GH．现将△DEF绕着点D旋转，在旋转过程中，13．小星和小红在学习了正方形的相关知识后，对正方形内一些特殊线段的关系进行探究.（1）问题解决如图(1)所示，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD边上的点，连接AE，BF，且AE⊥BF，求证：△ABE≌△BCF；（2）类比探究如图(2)所示，在正方形ABCD中，E，F，G，H分别是BC，AD，AB，CD边上的点，连接EF，GH，且EF⊥GH，求证：EF=GH；（3）迁移应用如图(3)所示，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，D是BC的中点，E是AC边上的点，连接AD，BE，且BE⊥AD，求AE∶CE的值.14．某校数学活动小组探究了如下数学问题：

（1）问题发现：如图1，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC.点P是底边BC上一点，连接AP，以AP为腰作等腰Rt△APQ，且∠PAQ=90°，连接CQ、则BP和（2）变式探究：如图2，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC.点P是腰AB上一点，连接CP，以CP为底边作等腰Rt△CPQ，连接AQ，判断（3）问题解决；如图3，正方形ABCD的边长为10，点P是边AB上一点，以DP为对角线作正方形DEPQ，连接AQ.若设正方形DEPQ的面积为y，AQ=x.求y与15．[探究与证明]折纸，操作简单，富有数学趣味，我们可以通过折纸开展数学探究，探索数学奥秘.[动手操作]如图1，将矩形纸片ABCD对折，使AD与BC重合，展平纸片，得到折痕EF；折叠纸片，使点B落在EF.上，并使折痕经过点A，得到折痕AM.点B，E的对应点分别为B'，E'，展平纸片，连结AB'，BB'，BE'.请完成：（1）观察图1中∠1，∠2和∠3，试猜想这三个角的大小关系.（2）证明（1）中的猜想.（3）[类比操作]如图2，N为矩形纸片ABCD的边AD上的一点，连结BN，在AB上取一点P，折叠纸片，使B，P两点重合，展平纸片，得到折痕EF；折叠纸片，使点B，P分别落在EF，BN上，得到折痕l，点B，P的对应点分别为B'，P'，展平纸片，连结BB'，P'B'.请完成：证明BB'是∠NBC的一条三等分线.16．小王在学习浙教版九上课本第72页例2后，进一步开展探究活动：将一个矩形ABCD绕点A顺时针旋转α（0°<a≤90°）得到矩形AB'C'D'，连结BD..（1）【探究1】如图1，当α=90°时，点C'恰好在DB的延长线上.若AB=1，求BC的长.（2）【探究2】如图2，连结AC，过点D'作D'M//AC'交BD于点M.线段D'M与DM相等吗？请说明理由.（3）【探究3】在探究2的条件下，射线DB分别交AD'，AC'于点P，N（如图3），发现线段DN，MN，PN之间存在一定的数量关系，请写出这个关系式，并加以证明.17．【探究与证明】折纸，操作简单，富有数学趣味，我们可以通过折纸开展数学探究，探索数学奥秘．【动手操作】如图1，将矩形纸片ABCD对折，使AD与BC重合，展平纸片，得到折痕EF；折叠纸片，使点B落在EF上，并使折痕经过点A，得到折痕AM，点B，E的对应点分别为B'，E'，展平纸片，连接AB'，请完成：（1）观察图1中∠1，∠2和∠3，试猜想这三个角的大小关系；（2）证明（1）中的猜想；【类比操作】如图2，N为矩形纸片ABCD的边AD上的一点，连接BN，在AB上取一点P，折叠纸片，使B，P两点重合，展平纸片，得到折痕EF；折叠纸片，使点B，P分别落在EF，BN上，得到折痕l，点B，P的对应点分别为B'，P'，展平纸片，连接，（3）证明BB'是18．【问题情境】：数学活动课上，同学们开展了以折叠为主题的探究活动，如图1，已知矩形纸片ABCD(AD>AB)（1）【动手实践】：如图1，威威同学将矩形纸片ABCD折叠，点A落在BC边上的点M处，折痕为BN，连接MN，然后将纸片展平，得到四边形ABMN，则折痕BN的长度为．（2）【探究发现】：如图2，胜胜同学将图1中的四边形ABMN剪下，取AN边中点E，将△ABE沿BE折叠得到△A'BE，延长BA'交MN于点F．点Q为BM边的中点，点P是边MN上一动点，将△MQP沿PQ折叠，当点M（3）【反思提升】：明明同学改变图2中Q点的位置，即点Q为BM边上一动点，点P仍是边MN上一动点，按照（2）中方式折叠△MQP，使点M'落在线段BF上，明明同学不断改变点Q的位置，发现在某一位置∠QPM与（2）中的∠PQM相等，请直接写出此时19．某数学兴趣小组在数学课外活动中，对矩形内两条互相垂直的线段做了如下探究：（1）[观察与猜想]如图①，在正方形ABCD中，点E、F分别是AB、AD上的两点，连接DE、CF，DE⊥CF，则DECF的值为＝（2）如图②，在矩形ABCD中，AD=7，CD=4，点E是AD上的一点，连接CE，BD，且CE⊥BD，则CEBD的值为（3）[性质探究]如图③，在四边形ABCD中，∠A=∠B=90°．点E为AB上一点，连接DE，过点C作DE的垂线交ED的延长线于点G，交AD的延长线于点F．求证：DE⋅AB=CF⋅AD；（4）[拓展延伸]已知四边形ABCD是矩形，AD=6，AB=8如图④，点P是BC上的点，过点P作PE⊥CF，垂足为O，点O恰好落在对角线BD上．求OCOE（5）如图⑤，点P是BC上的一点，过点P作PE⊥CF，垂足为O，点O恰好落在对角线BD上，延长EP、AB交于点G．当BG=2时，DE=．20．问题提出

如图（1），E是菱形ABCD边BC上一点，△AEF是等腰三角形，AE=EF，∠AEF＝∠ABC＝α（α≥90°），AF交CD于点G，探究∠GCF与α的数量关系.（1）问题探究先将问题特殊化，如图（2），当α=90°，直接写出∠GCF的大小；（2）再探究一般情形，如图（1），求∠GCF与α的数量关系．问题拓展

将图（1）特殊化，如图（3），当α=120°，若DGCG=121．综合与探究问题情境：数学课上，老师引导同学们以“正方形中线段的旋转”为主题开展数学活动.已知正方形ABCD中，AB=2，点E是射线CD上一点（不与点C重合），连接BE，将BE绕点E顺时针旋转90°得到FE，连接DF.（1）特例分析：如图1，当点E与点D重合时，求∠ADF的度数；（2）深入谈及：当点E不与点D重合时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请在图2与图3中选择一种情况进行证明；若不成立，请说明理由；（3）问题解决：如图4，当点E在线段CD上，且DF=DA时，请直接写出线段BF的长.22．小明学习了平行四边形这一章后，对特殊四边形的探究产生了兴趣，发现另外一类特殊四边形，如图1，我们把两条对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．（1）概念理解：在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，一定是垂美四边形的是（2）性质探究：通过探究，直接写出垂直四边形ABCD的面积S与两对角线AC，BD之间的数量关系：．（3）问题解决：如图2，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CG，BE，GE，已知AC＝4，AB＝5．①求证：四边形BCGE为垂美四边形；②求出四边形BCGE的面积．23．综合与实践问题情境：数学课上，同学们以特殊四边形为基本图形，添加一些几何元素后探究图形中存在的结论.已知在□ABCD中，AB<BC，∠ABC的平分线交AD边于点E，交CD边的延长线于点F，以DE，DF为邻边作□DEGF.（1）特例探究：如图1，“创思”小组的同学研究了四边形ABCD为矩形时的情形，发现四边形DEGF是正方形，请你证明这一结论；（2）“敏学”小组的同学在图1基础上连接BG，AC，得到图2，发现图2中线段BG与AC之间存在特定的数量关系，请你帮他们写出结论并说明理由；（3）拓展延伸：“善问"小组的同学计划对□ABCD展开类似研究.如图3，在□ABCD中，∠ABC=60.请从下面A，B两题中任选一题作答.我选择▲题.A：当AB=4，BC=6时，请补全图形，并直接写出A，G两点之间的距离.B：当BC=6时，请补全图形，并直接写出以A，C，G为顶点的三角形面积的最小值.24．通过以前的学习，我们知道：“如图1，在正方形ABCD中，CE⊥DF，则CE=DF”．某数学兴趣小组在完成了以上学习后，决定对该问题进一步探究：（1）【问题探究】如图2，在正方形ABCD中，点E，F，G，H分别在线段AB，BC，CD，DA上，且EG⊥FH，试猜想EGFH=（2）【知识迁移】如图3，在矩形ABCD中，AB=m，BC=n，点E，F，G，H分别在线段AB，BC，CD，DA上，且EG⊥FH，试猜想EGFH（3）【拓展应用】如图4，在四边形ABCD中，∠DAB=90°，∠ABC=60°，AB=BC，点E，F分别在线段AB，AD上，且CE⊥BF，求CEBF25．在数学活动课上，老师让同学们以“三角形纸片的折叠、旋转”为主题开展数学活动，探究与角的度数、线段长度有关的问题．对直角三角形纸片ABC(（1）【初步探究】如图1，折叠三角形纸片ABC，使点C与点A重合，得到折痕DE，然后展开铺平，则AB与DE位置关系为，AB与DE的数量关系为；（2）【再次探究】如图2，将△CDE绕点C顺时针旋转得到△CMN，连接BM，AN，若BC=5，AB=3，求ANBM（3）【拓展提升】在（2）的条件下，在顺时针旋转一周的过程中，当CN∥AB时，求AM的长．26．综合与探究：如图，直线l1：y=34x与直线l2：y=−34x+6交于点A（4，m），直线l2与x轴交于点B（n，0），点C从点O出发沿OB向终点B运动，速度为每秒1个单位，同时点D从点B出发以同样的速度沿BO向终点（1）求A，B点的坐标；（2）在点C，点D运动过程中，①当点M，N分别在OA，AB上时，求证四边形CMND是矩形；②在点C，点D的整个运动过程中，当四边形CMND是正方形时，请你直接写出t的值；（3）点P是平面内一点，在点C的运动过程中，问是否存在以点P，O，A，C为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由．27．一张矩形纸片ABCD（如图1），AB=6，AD=3.点E是BC边上的一个动点，将△ABE沿直线AE折叠得到△AEF，延长AE交直线CD于点G，直线AF与直线CD交于点Q.【初步探究】（1）求证：△AQG是等腰三角形；（2）记FQ=m，当BE=2CE时，计算m的值；（3）【深入探究】

将矩形纸片放入平面直角坐标系中（如图2所示），点B与点O重合，边OC、OA分别与x轴、y轴正半轴重合.点H在OC边上，将△AOH沿直线AH折叠得到△APH.①当AP经过CD的中点N时，求点P的坐标；

②在①的条件下，已知二次函数y=-x2+bx+c的图象经过A、D两点.若将直线AH右侧的抛物线沿AH对折，交y轴于点M，请求出AM的长度.28．【性质探究】如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE平分∠BAC，交BC于点E.作DF⊥AE于点H，分别交AB，AC于点F，G.（1）判断△AFG的形状并说明理由.（2）求证：BF=2OG.（3）【迁移应用】

记△DGO的面积为S1，△DBF的面积为S2，当S1S2（4）【拓展延伸】

若DF交射线AB于点F，【性质探究】中的其余条件不变，连结EF，当△BEF的面积为矩形ABCD面积的11029．某“数学学习兴趣小组”成员在复习《图形的变化》时，对下面的图形背景产生了浓厚的兴趣，并尝试运用由“特殊到一般”的思想进行了探究：（1）【问题背景】如图1，正方形ABCD中，点E为AB边上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE交BC边于点F，将△ADE沿直线DE折叠后，点A落在点A′处，当∠BEF＝25°，则∠FEA′＝（2）【特例探究】如图2，连接DF，当点A′恰好落在DF上时，求证：AE＝2A（3）【深入探究】若把正方形ABCD改成矩形ABCD，且AD＝mAB，其他条件不变，他们发现AE与A′F之间也存在着一定的数量关系，请直接写出AE与A（4）【拓展探究】若把正方形ABCD改成菱形ABCD，且∠B＝60°，∠DEF＝120°，其他条件不变，他们发现AE与A′30．如图1，小丽借助几何软件进行数学探究：第一步，画出矩形ABCD和矩形EFGH，点E、F在边AB上（EF<AB），且点C、D、G、H在直线AB的同侧；第二步，设置ABAD=m，EFEH=n，矩形EFGH能在边AB上左右滑动；第三步，画出边EF的中点O，射线OH与射线AD相交于点P（点P、D不重合），射线OG与射线BC相交于点Q（点Q、（1）如图2，小丽取AB=4，EF=3，m=1，n=3，滑动矩形EFGH，当点E（2）小丽滑动矩形EFGH，使得O恰为边AB的中点．她发现对于任意的m≠n，（3）经过数次操作，小丽猜想，设定m、n的某种数量关系后，滑动矩形EFGH，DP=CQ总成立．小丽的猜想是否正确？请说明理由．

答案解析部分1．【答案】A2．【答案】C3．【答案】C4．【答案】B5．【答案】=；不变6．【答案】27．【答案】308．【答案】（1）1（2）19．【答案】（1）8（2）210．【答案】3+11．【答案】（1）解：将B(3，0)9−3b+c=0c=−3，解得，b=2∴抛物线的解析式为y=x（2）解：如图所示，连结BC与对称轴直线x=1的交点为点D，此时△ACD设直线BC的解析式为y=mx+n，将B(3，3m+n=0n=−3，解得m=1∴直线BC为y=x−3，当x=1时，y=∴点D的坐标为(1（3）解：在y=x2−2x−3中，令y=0∴A(−1，∴AB=4，∵S∴12×4·|y当yM=4时，x2∴M(1+22当yM=−4时，x2∴M(综上所述，M的坐标为：(1+22，4（4）解：P坐标为(−2，−3)12．【答案】（1）BC=BG+CH（2）∠GFH=2∠BCF（3）3（4）不改变|4213．【答案】（1）证明：如图①所示，∵四边形ABCD为正方形，∴∠ABC=∠C=90°，AB=BC.∵AE⊥BF，∠ABC=90°，∴∠1+∠ABC=∠2+∠ABF=90°.∴∠1=∠2.∴△ABE≌△BCF.（2）证明：如图②所示，分别过点G，E作GM⊥CD，EN⊥AD垂足分别为M，N，∵四边形ABCD为正方形.∴AB=BC=CD，AB∥CD，∠A=∠B=∠D=90°.∵GM⊥CD，∴∠GMD=∠D=∠A=90°.∴四边形ADMG为矩形.∴GM∥AD，GM=AD.同理EN∥AB，EN=AB.∴GM⊥EN，GM=EN.∵∠1+∠3=∠2+∠3=90°，∴∠1=∠2.∵∠ENF=∠GMH=90°，∴△ENF≌△GMH.∴EF=GH.（3）解：如图③所示，分别过点A，C作AG∥BC，CG∥AB，交于点G，延长BE交CG于点H，∵AG∥BC，CG∥AB，∴四边形ABCG为平行四边形.∵∠ABC=90°，∴平行四边形ABCG为矩形.∵AB=BC，∴矩形ABCG为正方形.∵BE⊥AD，由(1)得△ABD≌△BCH.∴BD=CH.∵D是BC的中点，∴BC=2BD=2CH=AB.∵CG∥AB，∴∠BAC=∠1，∠2=∠3.∴△BAE∽△HCE.∴AECE=AB即AE∶CE=2∶1.14．【答案】（1）BP=CQ（2）解：BP=2AQ，理由如下：

∵△CPQ是等腰直角三角形，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，

∴QCPC=ACBC=22，∠ACB=∠QCP=45°．

∵∠BCP+∠ACP=∠ACQ+∠ACP=45°，

（3）解：连接BD，

∵四边形ABCD是正方形，四边形DEPQ是正方形，

∴△BAD和△PQD都是等腰直角三角形，

∴QDPD=ADBD=22，∠BDA=∠PDQ=45°，

∵∠BDP+∠PDA=∠PDA+∠ADQ=45°，

∴∠BDP=∠ADQ，

∴△BPD∽△AQD，

∴QDPD=ADBD=AQBP=22，

∵AQ=x，AD=10，

∴BP=2x，AP=10−2x，

在Rt15．【答案】（1）∠1=∠2=∠3（2）证明：设AM、EF相交于点O，

由题意得；EF是AB的垂直平分线，AM是BB´的垂直平分线，AB=AB´，

∴AB´=BB´，OA=OB=OB´，

∴AB´=BB´=AB，O为外心，

∴∠ABB´=60°，则∠1=∠2=30°，

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠ABC=90°，

∴∠3=90°-60°=30°，

∴∠1=∠2=∠3；（3）证明：如图，

同理（2）可得：OB=OB´=OP=OP´，BP´=PB´=BB´，

∴∠P´BO=∠B´BO，∠BB´O=∠OBB´，

∵EF∥BC，

∴∠BB´O=∠CBB´，

∴BB'是∠NBC的一条三等分线.16．【答案】（1）解：如图1，设BC=x，

则AD'=AD=BC=x，D'C'=AB'=AB=1，

∴D'B=AD'-AB=x-1，

∵∠BAD=∠D'=90°，∠D'BC'=∠DBA，

∴△D'C'B∽△ADB，

∴D'C'AD=D'BAB，

（2）解：D'M=DM，理由如下：

如图2，连接DD'，

∵D'M∥AC'，

∴∠AD'M=∠D'AC'，

∵AD'=AD，∠AD'C'=∠DAB=90°，D'C'=AB，

∴△AC'D'≌△DBA（SAS），

∴∠D'AC'=∠ADB，

∴∠ADB=∠AD'M，

∵AD'=AD，

∴∠ADD'=∠AD'D，

∴∠MDD'=∠MD'D，

∴D'M=DM；（3）解：MN2=PN·DN．理由如下：

如图3，连接AM，

∵D'M=DM，AD'=AD，AM=AM，

∴△AD'M≌△ADM（SSS），

∴∠MAD'=∠MAD，

∵∠AMN=∠MAD+∠NDA，∠NAM=∠MAD'+∠NAP，

∴∠AMN=∠NAM，

∴MN=AN（等角对等边），

在△NAP和△NDA中，∠ANP=∠DNA，∠NAP=∠NDA，

∴△NPA∽△NAD，

∴PNAN=ANDN，

∴AN2=PN·DN，

∴17．【答案】（1）解：∠1=∠2=∠3

理由：设AM与EF交于点O，

∵将矩形纸片ABCD对折，使AD与BC重合，折叠纸片，使点B落在EF上，并使折痕经过点A，得到折痕AM，点B，E的对应点分别为B'，E'，

∴AM垂直平分BB′，EF垂直平分AB，

∴AB=AB′，OB=OB′=OA，

∴AB=AB′=BB′，

∴△ABB′是等边三角形，

∴∠ABB′=60°，

∴∠1=∠2=30°，

∴∠3=90°-30°-30°=30°，

∴（2）证明：由折叠的性质可得：AB'=BB'，AB=A∴AB'=B∴△AB∵AE'=∴∠ABE∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°，∴∠3=30°，∴∠1=∠2=∠3；（3）证明：设折痕l与线段EF的交点为M，连接BM并延长，交B'P'于点H，连接MP由折叠的性质可知：EF、折痕l分别垂直平分BP，∴BM=MP=BM=MP'，∴∠MBB∵MP'=M∴BH垂直平分B'∴BP∴∠P∴BB'是18．【答案】（1）8（2）解：连接EF，如图，在（1）中已得矩形ABMN是正方形，∴AN=MN=BM=AB=8，∠A=∠N=90∵E为AN中点，Q为BM中点，∴AE=EN=4=BQ=QM，∴根据翻折的性质有AE=A'E，MQ=M'Q，∴AE=A'E=EN=4，∴∠BM∵∠BM∴∠M∵∠EA'F=∠BA'∴△E∴∠A又∵∠AEB=∠A'EB∴∠AEB+∠NEF=90∵∠AEB+∠ABE=90∴∠NEF=∠ABE，∴结合∠A=∠N=90∘有∴ABAE∵AB=8，AE=EN=4，∴84∴MF=MN-NF=8-2=6，∴在Rt△BFM中，tan∠FBM=∵∠M∴tan∠PQM=（3）解：BQ=3919．【答案】（1）1（2）4（3）证明：过F作FK⊥BC于K，如图：∵∠A=∠B=90°，FK⊥BC∴四边形ABKF是矩形，∴AB=FK，AF∥∴∠FCK=∠GFD，∵∠G=∠A=90°，∠ADE=∠GDF∴∠AED=∠GFD，∴∠FCK=∠AED，∵∠FKC=90°=∠A∴△∴FKAD∴FK⋅DE=AD⋅CF，∴DE⋅AB=CF⋅AD；（4）解：过O作OM⊥AD于点M，ON⊥CD于点N，如图：∴∠OMD=∠OND=90°，∵四边形ABCD是矩形，∴BC=AD=6，AB=CD=8，∠MDN=∠A=∠BCD=90°，∴四边形OMDN是矩形，∴∠MON=90°，∵PE⊥CF∴∠COE=90°，∴∠CON=∠EOM=90°−∠EON，∵∠ONC=∠OME=90°∴△∴OCOE∵∠OND=∠BCD∴ON∥∴△∴ONBC同理OMAB∴ONBC∴ONOM∴OCOE（5）820．【答案】（1）解：∠GCF=45°；（2）解：结论：∠GCF=3理由：在AB上截取AN，使AN＝EC，连接NE．∵∠ABC+∠BAE+∠AEB＝∠AEF+∠FEC+∠AEB＝180°，∠ABC＝∠AEF，∴∠EAN＝∠FEC．∵AE＝EF，∴△ANE≌△ECF（SAS）．∴∠ANE＝∠ECF．

∵四边形ABCD是菱形，

∴AB=BC，AB∥CD，

∴AB-AN=BC-EC，

即BN＝BE，

∴∠ENB=∠NEB∵∠EBN＝α，

∴∠ENB=∠NEB=12180°-α=90°-12α，

∴∠ANE=180°-∠ENB=180°-90°-∴∠GCF=∠ECF-∠BCD=∠ANE-∠BCD＝(90°+1问题拓展：过点A作CD的垂线交CD的延长线于点P，设菱形的边长为3b．

∵α＝120°，

∴∠GCF=32α−90°=32×120°-90°=90°，

∵四边形ABCD是菱形，

∴∠B=∠ADC=α＝120°，

∴∠PAD＝∠ADC-90°=120°-90°=30°，

∴AD=2PD，

∴PD=32b，

则AP=AD2-P∵∠AGP＝∠FGC，∠AGP=∠CGF，∴△APG∽△FCG．∴APCF∴33∴CF=635b，

在AB上截取AN，使AN＝EC，连接NE，过点B作BH⊥NE，

则NH=EH，

∵∠ENB=∠NEB=90°-12α=90°-12×120°=30°，

∴BE=2BH，

设BH=x，则BE=2x，EH=BE2-BH2=2x∴CE=BC-BE=3b-6∴BECE21．【答案】（1）解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠A=90°∴∠ADB=∠ABD=由旋转可知∠BDF=90°，∴∠ADF=∠BDF−∠ADB=45°.（2）解：仍然成立若选图2，证明如下：如图，过点F作FG⊥CD交CD的延长线于点G，则∠FGD=90°∵四边形ABCD是正方形，∴∠C=∠ADC=90°，BC=CD∴∠FGD=∠C，∠CBE+∠BEC=90°.由旋转的性质可知EF=BE，∠BEF=90°.∴∠BEC+∠FEG=90°.∴∠FEG=∠CBE∴△∴FG=EC，EG=BC=CD.∴EG−DE=CD−DE，即CE=DG.∴FG=DG又∵∠FGD=90°，∴∠FDG=45°.∵∠ADC=90°，∠FDA=180°−∠FDG−∠ADC=45°若选图3，证明如下：如图，过点F作FG⊥CD交CD的延长线于点G，则∠FGD=90°∵四边形ABCD是正方形，∠C=∠ADC=90°，BC=CD∴∠FGD=∠C，∠CBE+∠BEC=90°.由旋转的性质可知EF=BE，∠BEF=90°.∴∠BEC+∠FEG=90°.∴∠FEG=∠CBE∴△∴FG=EC，EG=BC=CD.∴EG+DE=CD+DE，即CE=DG.∴FG=DG又∵∠FGD=90°，∴∠FDG=45°.∵∠ADC=90°，∴∠FDA=180°−∠FDG−∠ADC=45°.（3）BF=222．【答案】（1）菱形、正方形（2）1（3）解：①证明：连接CG、BE，AB与CE交于点M，BC与CE交于点N，如图：

∵四边形ACFG和四边形ABDE是正方形，

∴∠F=∠CAG=∠BAE=90°，FG=AG=AC=CF，AB=AE，

∴∠CAG+∠BAC=∠BAE+∠BAC，

即∠GAB=∠CAE，

在△GAB和△CAE中，

AG=AC∠GAB=∠CAEAB=AE，

∴△GAB≌△CAE（SAS），

∴BG=CE，∠ABG=∠AEC，

又∵∠AEC+∠AME=90°，∠AME=∠BMN，

∴∠ABG+∠BMN=90°，

∴∠BNM=90°，

∴BG⊥CE，

∴四边形BCGE为垂美四边形；

②解：∵FG=CF=AC=4，∠ACB=90°，AB=5，

∴BC=AB2−AC2=52−42=3，

∴BF=BC+CF=7，

在Rt△BFG中，23．【答案】（1）解：证明：∵四边形ABCD为矩形，∴∠C=90°，AD∥BC，AB∥CD∴∠FED=∠EBC，∠EFD=∠ABE，∠FDE=∠C=90°∵四边形DEGF平行四边形，∴平行四边形DEGF为矩形∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠EBC=12∠ABC.∴∠FED=∠EFD.∴∴矩形DEGF为正方形.（2）解：BG=AC.理由：连接DG交BF于点O，连接BD.∵由(1)得四边形DEGF为正方形，∴DG⊥EF，GO=OD∴BF垂直平分DG.∴BG=BD∵四边形ABCD为矩形，∴AC=BD，∴BG=AC.（3）A：补全图形如下：此时，A，G两点之间的距离为27B：补全图形如下：以A，C，G为顶点的三角形面积的最小值为27324．【答案】（1）1（2）解：过点A作AM∥HF交BC于点M，作AN∥EG交∴AM=HF，AN=EG，在长方形ABCD中，BC=AD，∠ABM=∠BAD=∠ADN=90°，∵EG⊥FH，∴∠NAM=90°，∴∠BAM=∠DAN，∴△ABM∴AMAN∵AB=m，BC=AD=n，∴AMAN∴EGFH（3）解：如图所示：过C点作CM⊥AB于点M，设CE交BF于点O，∵CM⊥AB，∴∠CME=90°，∴∠1+∠2=90°，∵CE⊥BF，∴∠BOE=90°，∴∠2+∠3=90°，∴∠1=∠3，∴△CME∴CEBF∵AB=BC，∠ABC=60°，∴CE25．【答案】（1）DE∥AB；DE=（2）解：在Rt△ABC中，由勾股定理得AC=∵DE∥AB，CE=AE，

∴CDBC∴CD=1由旋转的性质可得CM=CD=2.5，CN=CE=12AC=2，NM=DE=∴∠ACN=∠BCM，∵ACBC∴△ACN∽△BCM，∴ANBM（3）解：如图3-1所示，当CN∥AB时，延长MN交AB于T，

∵CN∥AB，∴∠ACN=180°−∠BAC=90°，又∵∠BAC=∠CNT=∠CNM=90°，∴四边形ACNT是矩形，∴NT=AC=4，∠ATM=90°，AT=CN=2，∴TM=NT+MN=11在Rt△ATM中，由勾股定理得：AM=A如图3-2所示，当CN∥AB时，过点M作MH⊥AC于H，

∵CN∥AB，∴∠ACN=∠BAC=90°，又∵∠CNM=∠CHM=90°，∴四边形CHMN是矩形，∴CH=MN=3∴AH=AC−CH=5在Rt△AHM中，由勾股定理得：AM=A综上所述，AM的长为1372或4126．【答案】（1）解：当x=4时，y∴A当y=0时，x∴B∴A，B点的坐标分别为(4，（2）解：①证明：∵A(4，∴OA∴∠AOB∵MC⊥x轴，∴∠OCM=∠BDN由点C，D的运动可知，OC=∴△OMC≌△BND∴MC∴