北师大版数学必修二课件：第一章-立体几何初步-(15份打包)5

第2课时等角定理与异面直线所成的角第2课时等角定理与异面直线所成的角北师大版数学必修二课件：第一章--立体几何初步-(15份打包)51.等角定理空间中,如果两个角的两条边分别对应平行,那么这两个角相等或互补.名师点拨等角定理的符号语言与图形语言及作用.(1)图形语言:如图①②所示.(2)符号语言:已知OA∥O'A',OB∥O'B',则∠AOB=∠A'O'B'或∠AOB+∠A'O'B'=180°.(3)作用:判断或证明两个角相等或互补.1.等角定理名师点拨等角定理的符号语言与图形语言及作用.【做一做1】

空间两个角α,β的两边分别对应平行,且方向相同,若α=50°,则β等于(

)A.50° B.130°C.40° D.50°或130°解析:由等角定理知β与α相等.答案:A【做一做1】空间两个角α,β的两边分别对应平行,且方向相同2.异面直线所成的角

如图所示,过空间任意一点P分别引两条异面直线a,b的平行线l1,l2(a∥l1,b∥l2),这两条相交直线所成的锐角(或直角)就是异面直线a,b所成的角.如果两条异面直线所成的角是直角,我们称这两条直线互相垂直.记作:a⊥b.2.异面直线所成的角如图所示,过空间任意一点P分别引两条异做一做2

如图所示,在四面体ABCD中,E,F,G分别为BC,AD,DB的中点,若AB与CD所成的角为60°,则∠FGE=

.

解析:因为E,F,G分别为BC,AD,DB的中点,所以FG∥AB,EG∥DC,所以∠FGE=60°或120°.答案:60°或120°做一做2如图所示,在四面体ABCD中,E,F,G分别为BC3.空间四边形四个顶点不在同一平面内的四边形叫作空间四边形.3.空间四边形思考辨析判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.(1)若一个角的两边和另一个角的两边分别平行,且方向相同,则这两个角相等.(

)(2)若一个角的两边和另一个角的两边分别平行,且有一组对边方向相同,另一组对边方向相反,则这两个角互补.(

)(3)若一个角的两边和另一个角的两边分别平行,则这两个角相等.(

)(4)若一个角的两边和另一个角的两边分别平行,且方向相反,则这两个角互补.(

)(5)两条异面直线所成角的范围为[0°,90°).(

)答案:(1)√

(2)√

(3)×

(4)×

(5)×思考辨析探究一探究二一题多解探究一等角定理的应用

【例1】

如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,M1分别是棱AD和A1D1的中点.求证:(1)四边形BB1M1M为平行四边形;(2)∠BMC=∠B1M1C1.分析:本题是在正方体中研究问题,(1)欲证四边形BB1M1M是平行四边形,可证其一组对边平行且相等;(2)可结合(1)利用定理证明或利用三角形全等证明.探究一探究二一题多解探究一等角定理的应用

(1)四边形BB1探究一探究二一题多解证明:(1)在正方形ADD1A1中,∵M,M1分别为AD,A1D1的中点,∴MM1=AA1,MM1∥AA1.又AA1=BB1,AA1∥BB1,∴MM1=BB1,且MM1∥BB1.∴四边形BB1M1M为平行四边形.(2)方法一:由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形,∴B1M1∥BM.同理可得四边形CC1M1M为平行四边形,∴C1M1∥CM.由平面几何知识可知,∠BMC和∠B1M1C1都是锐角,∴∠BMC=∠B1M1C1.探究一探究二一题多解证明:(1)在正方形ADD1A1中,∵M探究一探究二一题多解方法二:由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形,∴B1M1=BM.同理可得四边形CC1M1M为平行四边形.∴C1M1=CM.又B1C1=BC,∴△BCM≌△B1C1M1.∴∠BMC=∠B1M1C1.反思感悟1.要明确等角定理的两个条件,即两个角的两条边分别对应平行,并且方向相同,这两个条件缺一不可.2.空间中证明两个角相等,可以利用等角定理,也可以利用三角形的相似或全等,还可以利用平行四边形的对角相等.在利用等角定理时,关键是弄清楚两个角对应边的关系.探究一探究二一题多解方法二:由(1)知四边形BB1M1M为平探究一探究二一题多解变式训练1在三棱柱ABC-A1B1C1中,M,N,P分别为边A1C1,AC和AB的中点.求证:∠PNA1=∠BCM.证明:因为P,N分别为AB,AC的中点,所以PN∥BC.①又M,N分别为A1C1,AC的中点,所以A1M

NC.所以四边形A1NCM为平行四边形,故A1N∥MC.②由①②及∠PNA1与∠BCM对应边方向相同,得∠PNA1=∠BCM.探究一探究二一题多解变式训练1在三棱柱ABC-A1B1C1中探究一探究二一题多解

探究二求两条异面直线所成的角【例2】

如图所示,已知正方体ABCD-A'B'C'D'.(1)哪些棱所在的直线与直线BC'是异面直线?(2)求异面直线AD'与B'C,BC'与CD'所成角的大小以及A'C与AB所成角的正切值.分析:(1)按照异面直线的定义进行判断;(2)根据异面直线所成角的定义进行求解.探究一探究二一题多解探究二求两条异面直线所成的角【例探究一探究二一题多解解:(1)所在直线与BC'是异面直线的棱有:AA',DD',A'B',DC,AD,A'D'.(2)因为AD'∥BC',所以AD'与B'C所成的角就是BC'与B'C所成的角.因为BC'⊥B'C,所以AD'与B'C所成的角等于90°.因为A'B∥CD',所以BC'与CD'所成的角就是BC'与A'B所成的角.因为△A'C'B是等边三角形,所以∠A'BC'=60°,故BC'与CD'所成角的大小为60°.因为AB∥CD,所以∠A'CD就是异面直线A'C与AB所成的角.在△A'CD中,若设正方体的棱长为a,探究一探究二一题多解解:(1)所在直线与BC'是异面直线的棱探究一探究二一题多解反思感悟求异面直线所成的角1.求两条异面直线所成的角,一般是根据其定义求解,步骤如下:(1)平移;(2)构造三角形;(3)解三角形;(4)作答.2.在所给几何体中平移直线构造异面直线所成的角时,一般是选取其中一条直线上的特殊点,如顶点、棱的中点等.探究一探究二一题多解反思感悟求异面直线所成的角探究一探究二一题多解变式训练2导学号91134011如图所示,已知三棱锥A-BCD,AD=BC,E,F分别是AB,CD的中点,且EF=AD,求异面直线AD和BC所成角的大小.探究一探究二一题多解变式训练2导学号91134011如图所示探究一探究二一题多解解:取AC的中点G,连接EG,FG.因为E,F分别是AB,CD的中点,由异面直线所成角的定义可知∠EGF或其补角即为异面直线AD,BC所成的角.所以异面直线AD和BC所成的角为90°.探究一探究二一题多解解:取AC的中点G,连接EG,FG.由异探究一探究二一题多解【典例】

如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是A1B1,B1C1的中点,求异面直线DB1与EF所成角的大小.分析:要求异面直线所成角的大小,关键是作出异面直线所成的角,把它归结到三角形中,通过解三角形就可以得出答案.同时在解题时要注意异面直线所成角的范围.探究一探究二一题多解【典例】如图所示,在正方体ABCD-A探究一探究二一题多解解法1(直接平移法)如图所示.连接A1C1,B1D1交于点O,取DD1的中点G,连接GA1,GC1,OG,则OG∥B1D,EF∥A1C1,故∠GOA1或其补角就是异面直线DB1与EF所成的角.∵GA1=GC1,O为A1C1的中点,∴GO⊥A1C1.∴异面直线DB1与EF所成的角为90°.探究一探究二一题多解解法1(直接平移法)如图所示.探究一探究二一题多解∴HF2=EF2+HE2,∴∠HEF=90°,∴异面直线DB1与EF所成的角为90°.探究一探究二一题多解∴HF2=EF2+HE2,∴∠HEF=9探究一探究二一题多解解法3如图所示,分别取AA1,CC1的中点M,N,连接MN,则MN∥EF,所以直线MN与DB1所成的角就是异面直线DB1与EF所成的角.连接MB1,DN,DM,B1N,则B1N∥DM,且B1N=DM,∴四边形DMB1N为平行四边形,∴MN与B1D必相交,设交点为P.∴DM2=DP2+MP2,∴∠DPM=90°,即DB1⊥EF,∴异面直线DB1与EF所成的角为90°.探究一探究二一题多解解法3如图所示,分别取AA1,CC1的中探究一探究二一题多解解法4(补形法)如图所示,在原正方体的右侧补上一个同样的正方体,连接B1Q,DQ,则B1Q∥EF.于是∠DB1Q或其补角就是异面直线DB1与EF所成的角,通过计算,不难得到B1D2+B1Q2=DQ2,故异面直线DB1与EF所成的角为90°.探究一探究二一题多解解法4(补形法)如图所示,在原正方体的右探究一探究二一题多解名师点评求两条异面直线所成角大小的步骤:(1)构造:选择适当的点,平移异面直线中的一条或两条成为相交直线,这里的点通常选择特殊位置的点,如线段的端点或中点,也可以是异面直线中某一直线上的一个特殊点.(2)证明:证明作出的角就是要求的角.(3)计算:求角度,常利用三角形.(4)结论:若求出的角是锐角或直角,则它就是所求异面直线所成的角;若求出的角是钝角,则它的补角就是所求异面直线所成的角.探究一探究二一题多解名师点评求两条异面直线所成角大小的步骤:123451.若∠AOB=∠A'O'B',OA∥O'A',且OA与O'A'的方向相同,则OB与O'B'(

)A.一定平行且方向相同 B.一定平行且方向相反C.一定不平行 D.不一定平行解析:由于两角不一定在同一个平面内或两角所在的平面不一定平行,因此OB与O'B'不一定平行.答案:D123451.若∠AOB=∠A'O'B',OA∥O'A',且123452.若一条直线与两条平行线中的一条为异面直线,则它与另一条(

)A.相交 B.异面C.相交或异面 D.平行解析:在如图所示的长方体ABCD-A1B1C1D1中,直线AA1与直线B1C1是异面直线,与B1C1平行的直线有A1D1,AD,BC,显然直线AA1与A1D1相交,与BC异面.答案:C123452.若一条直线与两条平行线中的一条为异面直线,则它123453.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,M分别为A1B1,B1C1,BB1的中点,下列说法错误的是(

)A.∠BA1C1=∠MEFB.∠A1BC1=∠EMFC.∠B1EM=∠EA1BD.∠EFM=∠A1C1F解析:由等角定理,可知A,B,C均正确.答案:D123453.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,123454.空间中,角A的两边和角B的两边分别平行,若∠A=70°,则∠B=

.

解析:因为角A的两边和角B的两边分别平行,所以∠A=∠B或∠A+∠B=180°.因为∠A=70°,所以∠B=70°或∠B=110°.答案:70°或110°123454.空间中,角A的两边和角B的两边分别平行,若∠A123455.如图所示,在空间四边形ABCD中,两条对边AB=CD=3,E,F分别是和CD所成的角的大小.123455.如图所示,在空间四边形ABCD中,两条对边AB12345∴∠EMF(或其补角)为异面直线AB和CD所成的角.∵AB=3,CD=3,∴EM=2,MF=1.又EF=,∴MF2+EF2=EM2,∴∠MFE=90°,∴∠EMF=60°,∴异面直线AB和CD所成的角为60°.12345∴∠EMF(或其补角)为异面直线AB和CD所成的角当你的才华还撑不起你的野心时，你就该努力。心有猛虎，细嗅蔷薇。我TM竟然以为我竭尽全力了。能力是练出来的，潜能是逼出来的，习惯是养成的，我的成功是一步步走出来的。不要因为希望去坚持，要坚持的看到希望。最怕自己平庸碌碌还安慰自己平凡可贵。脚踏实地过好每一天，最简单的恰恰是最难的。拿梦想去拼，我怎么能输。只要学不死，就往死里学。我会努力站在万人中央成为别人的光。行为决定性格，性格决定命运。不曾扬帆，何以至远方。人生充满苦痛，我们有幸来过。如果骄傲没有被现实的大海冷冷拍下，又怎么会明白要多努力才能走到远方。所有的豪言都收起来，所有的呐喊都咽下去。十年后所有难过都是下酒菜。人生如逆旅，我亦是行人。驾驭命运的舵是奋斗，不抱有一丝幻想，不放弃一点机会，不停止一日努力。失败时郁郁寡欢，这是懦夫的表现。所有偷过的懒都会变成打脸的巴掌。越努力，越幸运。每一个不起舞的早晨，都是对生命的辜负。死鱼随波逐流，活鱼逆流而上。墙高万丈，挡的只是不来的人，要来，千军万马也是挡不住的既然选择远方，就注定风雨兼程。漫漫长路，荆棘丛生，待我用双手踏平。不要忘记最初那颗不倒的心。胸有凌云志，无高不可攀。人的才华就如海绵的水，没有外力的挤压，它是绝对流不出来的。流出来后，海绵才能吸收新的源泉。感恩生命，感谢她给予我们一个聪明的大脑。思考疑难的问题，生命的意义；赞颂真善美，批判假恶丑。记住精彩的瞬间，激动的时刻，温馨的情景，甜蜜的镜头。感恩生命赋予我们特有的灵性。善待自己，幸福无比，善待别人，快乐无比，善待生命，健康无比。一切伟大的行动和思想，都有一个微不足道的开始。在你发怒的时候，要紧闭你的嘴，免得增加你的怒气。获致幸福的不二法门是珍视你所拥有的、遗忘你所没有的。骄傲是胜利下的蛋，孵出来的却是失败。没有一个朋友比得上健康，没有一个敌人比得上病魔，与其为病痛暗自流泪，不如运动健身为生命添彩。有什么别有病，没什么别没钱，缺什么也别缺健康，健康不是一切，但是没有健康就没有一切。什么都可以不好，心情不能不好；什么都可以缺乏，自信不能缺乏；什么都可以不要，快乐不能不要；什么都可以忘掉，健身不能忘掉。选对事业可以成就一生，选对朋友可以智能一生，选对环境可以快乐一生，选对伴侣可以幸福一生，选对生活方式可以健康一生。含泪播种的人一定能含笑收获一个有信念者所开发出的力量，大于个只有兴趣者。忍耐力较诸脑力，尤胜一筹。影响我们人生的绝不仅仅是环境，其实是心态在控制个人的行动和思想。同时，心态也决定了一个人的视野、事业和成就，甚至一生。每一发奋努力的背后，必有加倍的赏赐。懒惰像生锈一样，比操劳更消耗身体。所有的胜利，与征服自己的胜利比起来，都是微不足道。所有的失败，与失去自己的失败比起来，更是微不足道挫折其实就是迈向成功所应缴的学费。在这个尘世上，虽然有不少寒冷，不少黑暗，但只要人与人之间多些信任，多些关爱，那么，就会增加许多阳光。一个能从别人的观念来看事情，能了解别人心灵活动的人，永远不必为自己的前途担心。当一个人先从自己的内心开始奋斗，他就是个有价值的人。没有人富有得可以不要别人的帮助，也没有人穷得不能在某方面给他人帮助。时间告诉你什么叫衰老，回忆告诉你什么叫幼稚。不要总在过去的回忆里缠绵，昨天的太阳，晒不干今天的衣裳。今天做别人不愿做的事，明天就能做别人做不到的事。到了一定年龄，便要学会寡言，每一句话都要有用，有重量。喜怒不形于色，大事淡然，有自己的底线。趁着年轻，不怕多吃一些苦。这些逆境与磨练，才会让你真正学会谦恭。不然，你那自以为是的聪明和藐视一切的优越感，迟早会毁了你。无论现在的你处于什么状态，是时候对自己说：不为模糊不清的未来担忧，只为清清楚楚的现在努力。世界上那些最容易的事情中，拖延时间最不费力。崇高的理想就像生长在高山上的鲜花。如果要搞下它，勤奋才能是攀登的绳索。行动是治愈恐惧的良药，而犹豫、拖延将不断滋养恐惧。海浪的品格，就是无数次被礁石击碎又无数闪地扑向礁石。人都是矛盾的，渴望被理解，又害怕被看穿。经过大海的一番磨砺，卵石才变得更加美丽光滑。生活可以是甜的，也可以是苦的，但不能是没味的。你可以胜利，也可以失败，但你不能屈服。越是看起来极简单的人，越是内心极丰盛的人。盆景秀木正因为被人溺爱，才破灭了成为栋梁之材的梦。树苗如果因为怕痛而拒绝修剪，那就永远不会成材。生活的激流已经涌现到万丈峭壁，只要再