北京专用2019版高考数学一轮复习第十一章复数算法推理与证明第三节合情推理与演绎推理课件文

第三节合情推理与演绎推理1a第三节合情推理与演绎推理1a总纲目录教材研读1.合情推理考点突破2.演绎推理考点二归纳推理考点一类比推理考点三演绎推理总纲目录教材研读1.合情推理考点突破2.演绎推理考点二归纳类型定义特点归纳推理根据一类事物的①部分

对象具有某种性质,推出这类事物的②全部

对象都具有这种性质的推理由③

部分

到④

整体

、由⑤个别

到⑥一般

类比推理根据两类事物之间具有某些类似(或一致)性,推测一类事物具有另一类事物类似(或相同)的性质的推理由⑦特殊

到⑧特殊

1.合情推理教材研读类型定义特点归纳根据一类事物的①部分

对象具有某种2.演绎推理(1)定义:从一般性的原理出发,推出某个特殊情况下的结论的推理称为

演绎推理.简言之,演绎推理是由一般到特殊的推理.(2)“三段论”是演绎推理的一般模式,包括:(i)大前提——已知的一般原理;(ii)小前提——所研究的特殊情况;(iii)结论——根据一般原理,对特殊情况作出的判断.

2.演绎推理1.(1)已知a是三角形一边的长,h是该边上的高,则三角形的面积是

ah,如果把扇形的弧长l,半径r分别看成三角形的底边长和高,可得到扇形的

面积为

lr;(2)由1=12,1+3=22,1+3+5=32,可得到1+3+5+…+2n-1=n2.(1)(2)两个推理过程分别属于

()A.类比推理、归纳推理

B.类比推理、演绎推理C.归纳推理、类比推理

D.归纳推理、演绎推理答案

A(1)三角形的性质与扇形的性质有相似之处,此种推理为类比

推理;(2)由特殊到一般,此种推理为归纳推理.故选A.A1.(1)已知a是三角形一边的长,h是该边上的高,则三角形的2.(2017北京海淀二模)一位手机用户前四次输入四位数字手机密码均

不正确,第五次输入密码正确,手机解锁.事后发现前四次输入的密码中,

每次都有两个数字正确,但它们各自的位置均不正确.已知前四次输入

的密码分别为3406,1630,7364,6173,则正确的密码中一定含有数字

()A.4,6

B.3,6

C.3,7

D.1,7答案

D由前四次输入的密码可知3和6均出现四次,且每个位置出现

一次,故正确密码中没有3和6,又前四次输入的密码中,每次有两个数字

正确,故正确密码中数字为0,4,1,7,故正确密码为0741或4017.故选D.D2.(2017北京海淀二模)一位手机用户前四次输入四位数字手3.(2016北京石景山一模)将数字1,2,3,4,5,6书写在每一个骰子的六个表

面上,做成6枚一样的骰子.分别取三枚同样的这种骰子叠放成如图A和B

所示的两个柱体,则柱体A和B的表面(不含地面)上的数字之和分别是

()

A.47,48

B.47,49

C.49,50

D.50,49A3.(2016北京石景山一模)将数字1,2,3,4,5,6书答案

A由图A知,5不与6、4相对,由图B知,5不与1、3相对,故5与2相对.同理,6与1相对,3与4相对.故柱体A和B的表面(不含地面)上的数字之和分别为47,48.答案

A由图A知,5不与6、4相对,4.在平面上,若两个正三角形的边长比为1∶2,则它们的面积比为1∶4,

类似地,在空间中,若两个正四面体的棱长比为1∶2,则它们的体积比为

.答案1∶8解析∵两个正三角形是相似三角形,∴它们的面积比是相似比的平

方.类似地,两个正四面体是两个“相似”几何体,体积比为相似比的立

方,∴所求体积比为1∶8.1∶84.在平面上,若两个正三角形的边长比为1∶2,则它们的面积比5.(2018北京海淀高三期末)某次高三英语听力考试中有5道选择题,每题

1分,每道题在A,B,C三个选项中只有一个是正确的.下表是甲、乙、丙

三名同学每道题填涂的答案和这5道题的得分:

12345得分甲CCABB4乙CCBBC3丙BCCBB2则甲同学答错的题目的题号是

;此题正确的选项是

.5.(2018北京海淀高三期末)某次高三英语听力考试中有5道答案5;A解析∵甲与乙在1,2,4三道题选项相同,又甲选对4道,乙选对3道,∴1,2,

4题正确选项分别为C,C,B;甲选错的是题3或题5,由丙的成绩知其只做

对了题2和题4,∴题3不选C,题5不选B,由乙的答题和得分情况知,题5不

选C,即题5正确的选项为A.答案5;A解析∵甲与乙在1,2,4三道题选项相同,又甲选考点一类比推理考点突破典例1(1)给出下列类比推理命题(其中Q为有理数集,R为实数集,C为

复数集):①由“若a,b∈R,则a-b=0⇒a=b”类比推出“若a,b∈C,则a-b=0⇒a=b”;②由“若a,b,c,d∈R,则复数a+bi=c+di⇒a=c,b=d”类比推出“若a,b,c,d

∈Q,则a+b

=c+d

⇒a=c,b=d”;③由“若a,b∈R,则a-b>0⇒a>b”类比推出“若a,b∈C,则a-b>0⇒a>b”;④由“若x∈R,则|x|<1⇒-1<x<1”类比推出“若z∈C,则|z|<1⇒-1<z<1”.其中类比结论正确的个数是

()A.1

B.2

C.3

D.412a考点一类比推理考点突破典例1(1)给出下列类比推理命题((2)如图所示,面积为S的平面凸四边形的第i条边的边长记为ai(i=1,2,3,

4),此四边形内任一点P到第i条边的距离为hi(i=1,2,3,4),若

=

=

=

=k,则1×h1+2×h2+3×h3+4×h4=

.类比以上性质,体积为V的三棱锥的第i个面的面积记为Si(i=1,2,3,4),此三棱锥内任一点Q到第i个面的距离记为

Hi(i=1,2,3,4),若

=

=

=

=k,则H1+2H2+3H3+4H4的值为

()

A.

B.

C.

D.

13a(2)如图所示,面积为S的平面凸四边形的第i条边的边长记为a答案(1)B(2)B解析(1)类比结论正确的只有①②.(2)在平面凸四边形中,连接P点与各个顶点,将其分成四个小三角形,

根据三角形面积公式,可得S=

(a1h1+a2h2+a3h3+a4h4)=

(kh1+2kh2+3kh3+4kh4)=

(h1+2h2+3h3+4h4).所以h1+2h2+3h3+4h4=

.14a答案(1)B(2)B解析(1)类比结论正确的只有①②.类似地,连接Q点与三棱锥的四个顶点,将其分成四个小三棱锥,则有V=

(S1H1+S2H2+S3H3+S4H4)=

(kH1+2kH2+3kH3+4kH4)=

(H1+2H2+3H3+4H4),所以H1+2H2+3H3+4H4=

.15a类似地,连接Q点与三棱锥的四个顶点,将其分成四个小三棱锥,则方法技巧在进行类比推理时,不仅要注意形式的类比,还要注意方法的类比,且要

注意以下两点:(1)找两类对象的对应元素,如:三角形对应三棱锥,圆对应

球,面积对应体积;(2)找对应元素的对应关系,如:两条边(直线)垂直对应

线面垂直或面面垂直,边相等对应面积相等.16a方法技巧16a1-1在平面几何中有如下结论:正三角形ABC的内切圆面积为S1,外接

圆面积为S2,则

=

.推广到空间可以得到类似结论,已知正四面体P-ABC的内切球体积为V1,外接球体积为V2,则

=

()A.

B.

C.

D.

答案

C正四面体的内切球与外接球的半径之比为1∶3,故

=

.C17a1-1在平面几何中有如下结论:正三角形ABC的内切圆面积为典例2(1)观察下列等式:1-

=

;1-

+

-

=

+

;1-

+

-

+

-

=

+

+

;……据此规律,第n个等式可为

.(2)观察下列等式:

+

=

×1×2;

+

+

+

=

×2×3;考点二归纳推理命题角度一与数字有关的等式的推理18a典例2(1)观察下列等式:考点二归纳推理18a

+

+

+…+

=

×3×4;

+

+

+…+

=

×4×5;……照此规律,

+

+

+…+

=

.19a + + +…+ = ×3×4;19a答案(1)1-

+

-

+…+

-

=

+

+…+

(2)

解析(1)规律为等式左边共有2n项,且等式左边分母分别为1,2,…,2n,

分子为1,奇数项为正、偶数项为负,即为1-

+

-

+…+

-

;等式右边共有n项,且分母分别为n+1,n+2,…,2n,分子为1,即为

+

+…+

.所以第n个等式可为1-

+

-

+…+

-

=

+

+…+

.(2)观察前4个等式,由归纳推理可知

+

+…+

=

×n×(n+1)=

.20a答案(1)1- + - +…+ - = + +…+ (2典例3(1)设n为正整数,f(n)=1+

+

+…+

,计算得f(2)=

,f(4)>2,f(8)>

,f(16)>3,观察上述结果,可推测一般的结论为

.(2)已知x∈(0,+∞),观察下列各式:x+

≥2,x+

=

+

+

≥3,x+

=

+

+

+

≥4,……,归纳得x+

≥n+1(n∈N*),则a=

.命题角度二与不等式有关的推理21a典例3(1)设n为正整数,f(n)=1+ + +…+ ,答案(1)f(2n)≥

(n∈N*)(2)nn

解析(1)∵f(21)=

,f(22)>2=

,f(23)>

,f(24)>

,∴归纳得f(2n)≥

(n∈N*).(2)第一个式子是n=1的情况,此时a=11=1;第二个式子是n=2的情况,此时

a=22=4;第三个式子是n=3的情况,此时a=33=27,归纳可知a=nn.22a答案(1)f(2n)≥ (n∈N*)(2)nn解析(命题角度三与数列有关的推理典例4以下数表的构造思路源于我国南宋数学家杨辉所著的《详解

九章算术》一书中的“杨辉三角形”.

该表由若干行数字组成,从第二行起,每一行中的数字均等于其“肩

上”两数之和,表中最后一行仅有一个数,则这个数为

()A.2017×22015

B.2017×22014C.2016×22015

D.2016×22014

B23a命题角度三与数列有关的推理B23a答案

B解析由题意知数表的每一行都是等差数列,且第一行数的公差为1,第二行数的公差为2,第三行数的公差为4,……,

第2015行数的公差为22014,第1行的第一个数为2×2-1,第2行的第一个数为3×20,第3行的第一个数为4×21,……第n行的第一个数为(n+1)×

,第2016行只有一个数M,则M=(1+2016)×22014=2017×22014.故选B.24a答案

B解析由题意知数表的每一行都是等差数列,第1行命题角度四与图形变化有关的推理典例5下面图形由小正方形组成,请观察图1至图4的规律,依此规律,第

n个图形中小正方形的个数是

(n∈N*).

25a命题角度四与图形变化有关的推理25a答案

解析由题图可知第n个图形中小正方形的个数为1+2+3+…+n=

.26a答案

 解析由题图可知第n个图形中小正方形的个数为规律总结(1)归纳推理的一般步骤①通过对某些个体的观察、分析和比较,发现它们的相同性质或变化规

律;②由发现的相同性质或变化规律推出一个明确表达的一般性命题.(2)归纳是依据特殊现象推出一般现象,因而由归纳所得的结论超越了

前提所包含的范围.(3)归纳推理所得结论未必正确,有待进一步证明,但对数学结论和科学

的发现很有用.27a规律总结27a2-1如图所示,将若干个点摆成三角形图案,每条边(包括两个端点)有n

(n>1,n∈N)个点,相应的图案中总的点数记为an,则

+

+

+…+

=

()

A.

B.

C.

D.

C28a2-1如图所示,将若干个点摆成三角形图案,每条边(包括两个答案

C每条边有n个点,所以3条边有3n个点,三角形的3个顶点重复

计算了一次,所以减3个顶点,即an=3n-3,那么

=

=

=

-

,即

+

+

+…+

=

+

+

+…+

=1-

=

,故选C.29a答案

C每条边有n个点,所以3条边有3n个点,三角形典例6(1)(2017北京朝阳一模)如图,△AB1C1,△B1B2C2,△B2B3C3是三个

边长为2的等边三角形,且有一条边在同一直线上,边B3C3上有5个不同的

点P1,P2,P3,P4,P5,设mi=

·

(i=1,2,…,5),则m1+m2+…+m5=

.

考点三演绎推理30a典例6(1)(2017北京朝阳一模)如图,△AB1C1,△(2)(2017北京西城二模)某班开展一次智力竞赛活动,共a,b,c三个问题,其

中题a满分是20分,题b,c满分都是25分.每道题或者得满分,或者得0分.活动结果显示,全班同学每人至少答对一道题,有1名同学答对全部三道题,

有15名同学答对其中两道题.答对题a与题b的人数之和为29,答对题a与

题c的人数之和为25,答对题b与题c的人数之和为20,则该班同学中只答

对一道题的人数是

;该班的平均成绩是

.31a(2)(2017北京西城二模)某班开展一次智力竞赛活动,共a答案(1)90(2)4;42分解析(1)因为△AB1C1,△B1B2C2,△B2B3C3均是边长为2的等边三角形,所以△AB1C2为等腰三角形,∠AB1C2=120°,∠AB3C3=60°,所以∠C2AB3=30°,AC2=2

,延长AC2,B3C3,交于点D,

32a答案(1)90(2)4;42分解析(1)因为△AB1C则∠D=90°,所以

⊥

,所以

·

=0.所以mi=

·

=

·(

+

)=

·

+

·

=|

|·|

|·cos30°+0=2

×6×

=18,所以m1+m2+…+m5=18×5=90.(2)设答对题a,题b,题c的人数分别为Sa,Sb,Sc,由题意得

⇒

33a则∠D=90°,33a设只答对题a的人数为a,只答对题b的人数为b,只答对题c的人数为c,答

对a与b,b与c,a与c的人数分别为x,y,z.由题可知x+