人教版九年级数学上册2412：垂直于弦的直径课件

24.1圆的有关性质第二十四章圆24.1.2垂直于弦的直径24.1圆的有关性质第二十四章圆24.1.2垂直于11.进一步认识圆，了解圆是轴对称图形.2.理解垂直于弦的直径的性质和推论，并能应用它解决一

些简单的计算、证明和作图问题.（重点）3.灵活运用垂径定理解决有关圆的问题.（难点）学习目标1.进一步认识圆，了解圆是轴对称图形.学习目标2折一折：(1)你能通过折叠的方式找到圆形纸片的对称轴吗？在折的过程中你有何发现？圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴．导入新课●O

（2）如何说明圆是轴对称图形呢？

回顾轴对称的判断方法3折一折：(1)你能通过折叠的方式找到圆形纸片的对称轴吗？圆是问题1：如图,AB是⊙O的一条弦,直径CD⊥AB,垂足为E.你能发现图中有那些相等的线段和劣弧?线段:AE=BE弧:AC=BC,AD=BD⌒⌒⌒⌒理由如下：连接AO,BO.把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，点A与点B重合，AE与BE重合，AC和BC,AD与BD重合．⌒⌒⌒⌒·OABCDE一、垂径定理及其推论问题1：如图,AB是⊙O的一条弦,直径CD⊥AB,垂足4垂径定理·OABCDE垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.∵

CD是直径，CD⊥AB，∴

AE=BE,⌒⌒AC

=BC,⌒⌒AD=BD.归纳总结推导格式：温馨提示：垂径定理是圆中一个重要的定理,三种语言要相互转化,形成整体,才能运用自如.垂径定理·OABCDE垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的5在折的过程中你有何发现？必平分此弦所对的弧一条直线满足:①过圆心;②垂直于弦;③平分弦（不是直径）;④平分弦所对的优弧;⑤平分弦所对的劣弧.些简单的计算、证明和作图问题.下列哪些图形能直接满足垂径定理的题设条件?∵CD是直径，CD⊥AB，你能发现图中有那些相等的线段和劣弧?（1）CD⊥AB吗？为什么？（4）平分弦所对的优弧必平分此弦所对的弧∵CD是直径，CD⊥AB，∴赵州桥的主桥拱半径约为27.垂径定理的几个基本图形：ABOCDEABOEDABO

DCABOC在折的过程中你有何发现？垂径定理的几个基本图形：ABOCDE6辨析定理的应用条件：下列哪些图形能直接满足垂径定理的题设条件?O(1)O(2)O(3)O(4)O(5)O(6)辨析定理的应用条件：下列哪些图形能直接满足垂径定理的题设条件7

如果把垂径定理（垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧）结论与题设交换一条，命题是真命题吗？①过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧.上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论吗？思考探索8共21张如果把垂径定理（垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦根据已知条件进行推导：①过圆心②垂直于弦③平分弦④平分弦所对优弧⑤平分弦所对劣弧①⑤③④②①④③②⑤①③②④⑤①④⑤②③①②③④⑤思考探索9共21张根据已知条件进行推导：①③④②①③②⑤①③②④⑤①②①②③④如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使AE=BE.（1）CD⊥AB吗？为什么？（2）·OABCDE⌒AC与BC相等吗？AD与BD相等吗？为什么？⌒⌒⌒（2）由垂径定理可得AC=BC，AD=BD.⌒⌒⌒⌒证明举例：（1）连接AO,BO,则AO=BO,又AE=BE，∴△AOE≌△BOE（SSS），∴∠AEO=∠BEO=90°，∴CD⊥AB.如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使AE=BE.·OAB10

平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.垂径定理的推论归纳总结CD⊥AB,

CD是直径

AM=BM⌒⌒AC=BC,⌒⌒AD=BD.可推得推导格式：ＤＣＡＢＥＯ平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧11思考：“不是直径”这个条件能去掉吗？如果不能，请举出反例.·OABCD特别说明：圆的两条直径是互相平分的.思考：“不是直径”这个条件能去掉吗？如果不能，请举出反例.·12定理及推论，总结：一条直线只需满足：（1）过圆心（2）垂直于弦（3）平分弦（4）平分弦所对的优弧（5）平分弦所对的劣弧

上述条件中的任意两个条件，就能推出其它三个.13共21张定理及推论，总结：一条直线只需满足：上述条件中的例1

如图，OE⊥AB于E，若⊙O的半径为10cm,OE=6cm,则AB=

cm.·OABE解析：连接OA，∵OE⊥AB，∴AB=2AE=16cm.16一垂径定理及其推论的计算三∴cm.14共21张例1如图，OE⊥AB于E，若⊙O的半径为10cm,·OA例2：已知：⊙O中弦AB∥CD,求证：AC＝BD.⌒⌒.MCDABON证明：作直径MN⊥AB.∵AB∥CD，∴MN⊥CD.则AM＝BM，CM＝DM（垂直平分弦的直径平分弦所对的弧）

AM－CM＝BM－DM∴AC＝BD⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒例2：已知：⊙O中弦AB∥CD,⌒⌒.MCDABON证明：作15答：⊙O的半径为5cm。∵AB∥CD，∴MN⊥CD.∵AB∥CD，∴MN⊥CD.例2：已知：⊙O中弦AB∥CD,⑦在圆中，如果一条直线经过圆心且平分弦，理由如下：连接AO,BO.如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使AE=BE.∴四边形ADOE为正方形。进一步认识圆，了解圆是轴对称图形.OD=OC－CD=R－7.解得：R≈27．9（m）圆的两条直径是互相平分的.解得：R≈27．9（m）解决求赵州桥拱半径的问题在Rt△OAD中，由勾股定理，得即R2=18.72+（R－7.2）2∴赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.OA2=AD2+OD2OD=OC－CD=R－7.2在图中AB=37.4，CD=7.2，BODARC例三如图，用表示主桥拱，设所在圆的圆心为O，半径为R．经过圆心O

作弦AB的垂线OC，D为垂足，OC与AB相交于点D，根据前面的结论，D是AB的中点，C是的中点，CD就是拱高．⌒AB⌒AB⌒AB答：⊙O的半径为5cm。解得：R≈27．9（m）解决求赵州16垂径定理内容推论辅助线一条直线满足:①过圆心;②垂直于弦;③平分弦（不是直径）;④平分弦所对的优弧;⑤平分弦所对的劣弧.满足其中两个条件就可以推出其它三个结论（“知二推三”）垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧两条辅助线：连半径，作弦心距构造Rt△利用勾股定理计算或建立方程.基本图形及变式图形课堂小结垂径定理内容推论辅助线一条直线满足:①过圆心;②垂直于弦;171．如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径．·OABE练习答：⊙O的半径为5cm。RtAOE△在中活动三学.科.网1．如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O·OABE练习182．如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证四边形ADOE是正方形．D·OABCE又∵AC=AB∴AE=AD∴四边形ADOE为正方形。2．如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的D·OABC19①平分弧的直径必平分弧所对的弦一条直线满足:①过圆心;②垂直于弦;③平分弦（不是直径）;④平分弦所对的优弧;⑤平分弦所对的劣弧.∴AB=2AE=16cm.∴赵州桥的主桥拱半径约为27.垂直于弦的直径平分弦,进一步认识圆，了解圆是轴对称图形.⑥平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦OA2=AD2+OD2些简单的计算、证明和作图问题.∴赵州桥的主桥拱半径约为27.满足其中两个条件就可以推出其它三个结论（“知二推三”）解得：R≈27．9（m）巩固训练判断下列说