安徽省宿州市2014-2015学年高二上学期期末考试数学(理)试卷

2014-2015学年安徽省宿州市高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．将无盖正方体纸盒展开如图，则直线AB、CD在原正方体中的位置关系是（）A．平行B．相交且垂直C．相交成60°D．异面2．“a=1”是“函数f（x）=cos2ax的最小正周期为π”的（）A．充分条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．充要条件3．若||=||=||=1，且＜，＞=，则（+﹣）•（++）=（）A．0B．1C．2D．34．经过圆x2+2x+y2=0的圆心C，且与直线x+y=0垂直的直线方程是（）A．x+y+1=0B．x+y﹣1=0C．x﹣y﹣1=0D．x﹣y+1=05．若双曲线的标准方程为﹣y2=1，则其渐近线方程是（）A．y=±4xB．y=±xC．y=±2xD．y=±x6．已知点A（2，1），抛物线y2=4x的焦点F，P是抛物线上的一动点则|PA|+|PF|的最小值为（）A．1B．2C．3D．47．过椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点F1，作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若∠F1PF2=60°，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．8．体积为V的正方体，过不相邻四顶点连成一个正四面体，则该正四面体的体积是（）A．B．C．D．9．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱长和底面边长均为2，且侧棱AA1⊥底面ABC，其主视图是边长为2的正方形，则此三棱柱左视图的面积为（）A．2B．2C．D．410．如图过椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点F任作一条与两坐标轴都不垂直的弦AB，若点M在x轴上，且使得MF为△AMB的一条内角平分线，则称点M为该椭圆的“左特征点”，则椭圆+=1的“左特征点”M的坐标为（）A．（﹣2，0）B．（﹣3，0）C．（﹣4，0）D．（﹣5，0）二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11．命题“存在实数x，使x2+2x+2≤0”的否定是．12．已知向量=（1，1，0），=（﹣1，0，2），且k+与2互相垂直，则k值是．13．直线l与椭圆+y2=1相交于A，B两点，若弦AB中点为（﹣1，），则直线l的方程为．14．抛物线y2=12x被直线x﹣y﹣3=0截得弦长为．解答：解：当a=1，则f（x）=cos2x，则函数的周期T=，若函数f（x）=cos2ax的最小正周期为π，则，解得a=±1，则“a=1”是“函数f（x）=cos2ax的最小正周期为π”的充分条件和必要条件，故选：B点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，以及三角函数周期的计算，比较基础．3．若||=||=||=1，且＜，＞=，则（+﹣）•（++）=（）A．0B．1C．2D．3考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：运用向量垂直的条件：数量积为0，以及向量的平方即为模的平方，计算即可得到所求．解答：解：若||=||=||=1，且＜，＞=，则=0，则（+﹣）•（++）=（+）2﹣2=++2﹣2=1+1﹣2=0，故选A．点评：本题考查向量的数量积的性质，向量垂直的条件：数量积为0，向量的平方即为模的平方，考查运算能力，属于基础题．4．经过圆x2+2x+y2=0的圆心C，且与直线x+y=0垂直的直线方程是（）A．x+y+1=0B．x+y﹣1=0C．x﹣y﹣1=0D．x﹣y+1=0考点：直线的一般式方程与直线的垂直关系；圆的一般方程．专题：直线与圆．分析：设与直线x+y=0垂直的直线方程为x﹣y+c=0，把圆心C（﹣1，0）代入，能求出所求直线方程．解答：解：设与直线x+y=0垂直的直线方程为x﹣y+c=0，把圆x2+2x+y2=0的圆心C（﹣1，0）代入，得c=1，∴所求直线方程为x﹣y+1=0．故选：D．点评：本题考查直线方程的求法，是基础题，解题时要注意直线与直线垂直的性质和圆的简单性质的合理运用．5．若双曲线的标准方程为﹣y2=1，则其渐近线方程是（）A．y=±4xB．y=±xC．y=±2xD．y=±x考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由双曲线﹣=1的渐近线方程为y=x，求出a，b即可得到渐近线方程．解答：解：双曲线﹣y2=1的a=2，b=1，由于渐近线方程为y=x，即为y=±x．故选D．点评：本题考查双曲线的方程和性质，考查渐近线方程的求法，考查运算能力，属于基础题．6．已知点A（2，1），抛物线y2=4x的焦点F，P是抛物线上的一动点则|PA|+|PF|的最小值为（）A．1B．2C．3D．4考点：抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用抛物线的定义，将点P到其焦点的距离转化为它到其准线的距离即可．解答：解：根据题意，作图如右．设点P在其准线x=﹣1上的射影为M，有抛物线的定义得：|PF|=|PM|∴欲使|PA|+|PF|取得最小值，就是使|PA|+|PM|最小，∵|PA|+|PM|≥|AM|（当且仅当M，P，A三点共线时取“=”），∴|PA|+|PF|取得最小值时（M，P，A三点共线时），点P的纵坐标y0=1，设其横坐标为x0，∵P（x0，1）为抛物线y2=4x上的点，∴x0=，则有当P为（，1）时，|PA|+|PF|取得最小值，为3．故选C．点评：本题考查抛物线的定义和简单性质，将点P到其焦点的距离转化为它到其准线的距离是关键，考查转化思想的灵活应用，属于中档题．7．过椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点F1，作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若∠F1PF2=60°，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．考点：椭圆的简单性质．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：把x=﹣c代入椭圆方程求得P的坐标，进而根据∠F1PF2=60°推断出=整理得e2+2e﹣=0，进而求得椭圆的离心率e．解答：解：由题意知点P的坐标为（﹣c，）或（﹣c，﹣），∵∠F1PF2=60°，∴=，即2ac=b2=（a2﹣c2）．∴e2+2e﹣=0，∴e=或e=﹣（舍去）．故选：D．点评：本题主要考查了椭圆的简单性质，考查了考生综合运用椭圆的基础知识和分析推理的能力，属中档题．8．体积为V的正方体，过不相邻四顶点连成一个正四面体，则该正四面体的体积是（）A．B．C．D．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：空间位置关系与距离．分析：如图所示，设正方体的棱长为a，则=﹣，即可得出．解答：解：如图所示，设正方体的棱长为a，则=﹣===．点评：本题考查了正方体与三棱锥的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱长和底面边长均为2，且侧棱AA1⊥底面ABC，其主视图是边长为2的正方形，则此三棱柱左视图的面积为（）A．2B．2C．D．4考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由三视图和题意可知三棱柱是正三棱柱，结合正视图，俯视图，不难得到侧视图，然后求出面积．解答：解：由三视图和题意可知三棱柱是正三棱柱，底面边长为2，侧棱长2，结合正视图，俯视图，得到侧视图是矩形，长为2，宽为面积为：2×=2故选：A．点评：本题考查由三视图求侧视图的面积，是基础题．10．如图过椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点F任作一条与两坐标轴都不垂直的弦AB，若点M在x轴上，且使得MF为△AMB的一条内角平分线，则称点M为该椭圆的“左特征点”，则椭圆+=1的“左特征点”M的坐标为（）A．（﹣2，0）B．（﹣3，0）C．（﹣4，0）D．（﹣5，0）考点：椭圆的简单性质．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设M（m，0）为椭圆的左特征点，根据椭圆左焦点，设直线AB方程代入椭圆方程，由∠AMB被x轴平分，kAM+kBM=0，利用韦达定理，即可求得结论．解答：解：设M（m，0）为椭圆+=1的左特征点，椭圆的左焦点F（﹣1，0），可设直线AB的方程为x=ky﹣1（k≠0）代入+=1得：3（ky﹣1）2+4y2=12，即（3k2+4）y2﹣6ky﹣9=0，设A（x1，y1），B（x2，y2）得y1+y2=，y1y2=﹣∵∠AMB被x轴平分，kAM+kBM=0，即，即y1（ky2﹣1）+y2（ky1﹣1）﹣（y1+y2）m=0∴2ky1y2﹣（y1+y2）（m+1）=0于是，2k×（﹣）﹣×（m+1）=0∵k≠0，∴﹣18﹣6（m+1）=0，即m=﹣4，∴M（﹣4，0）．故选：C．点评：本题以新定义为载体主要考查了椭圆性质的应用，直线与椭圆相交关系的处理，要注意解题中直线AB得方程设为x=ky﹣2（k≠0）的好处在于避免讨论直线的斜率是否存在．二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11．命题“存在实数x，使x2+2x+2≤0”的否定是对任意实数x，使x2+2x+2＞0．．考点：特称命题；命题的否定．专题：规律型．分析：根据特称命题与全称命题是互为否定命题求解即可．解答：解：命题为特称命题，其否定为求出命题，其否定命题是：对任意实数x，使x2+2x+2＞0．故答案是对任意实数x，使x2+2x+2＞0．点评：本题考查特称命题的否定．12．已知向量=（1，1，0），=（﹣1，0，2），且k+与2互相垂直，则k值是．考点：向量语言表述线线的垂直、平行关系．专题：计算题．分析：由已知中向量=（1，1，0），=（﹣1，0，2），我们可以求出向量k+与2的坐标，根据k+与2互相垂直，两个向量的数量积为0，构造关于k的方程，解方程即可求出a值．解答：解：∵向量=（1，1，0），=（﹣1，0，2），∴k+=（k﹣1，k，2），2=（3，2，﹣2）∵k+与2互相垂直，则（k+）•（2）=3（k﹣1）+2k﹣4=5k﹣7=0解得k=故答案为：点评：本题考查的知识点是向量语言表述线线的垂直关系，其中根据k+与2互相垂直，两个向量的数量积为0，构造关于k的方程，是解答本题的关键．13．直线l与椭圆+y2=1相交于A，B两点，若弦AB中点为（﹣1，），则直线l的方程为x﹣2y+2=0．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设A（x1，y1），B（x2，y2），则+=1，，两式相减，再利用中点坐标公式、斜率计算公式即可得出．解答：解：设A（x1，y1），B（x2，y2），则+=1，，两式相减可得：+（y1+y2）（y1﹣y2）=0，∵弦AB中点为（﹣1，），∴=0，∴kAB=．∴直线l的方程为y﹣=（x+1），解得x﹣2y+2=0．故答案为：x﹣2y+2=0．点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、“点差法”、中点坐标公式、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14．抛物线y2=12x被直线x﹣y﹣3=0截得弦长为24．考点：抛物线的简单性质．专题：直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：直接把直线方程和抛物线方程联立，消去一个未知数，利用韦达定理和弦长公式求解．解答：解：假设直线和哦抛物线的两个交点分别为（x1，y1）、（x2，y2），由，得x2﹣18x+9=0，∴x1+x2=18，x1•x2=9，∴弦长为•=×=24．故答案为：24．点评：本题考查了直线与抛物线的关系，考查了韦达定理和弦长公式的应用，是中档题．15．如图所示正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，线段B1D1上有两个动点E，F且EF=，给出下列五个结论①AC⊥BE②EF∥平面ABCD③异面直线AE，BF所成的角为60°④A1点到面BEF的距离为定值⑤三棱柱A﹣BEF的体积为定值其中正确的结论有：①②④⑤（写出所有正确结论的编号）考点：棱柱的结构特征．专题：综合题；空间位置关系与距离．分析：①AC⊥BE，可由线面垂直证两线垂直；②EF∥平面ABCD，可由线面平行的定义请线面平行；③由两个极端位置说明两异面直线所成的角不是定值；④A1点到面DD1B1B距离是定值，所以A1点到面BEF的距离为定值；⑤三棱锥A﹣BEF的体积为定值，可证明棱锥的高与底面积都是定值得出体积为定值．解答：解：①AC⊥BE，由题意及图形知，AC⊥面DD1B1B，故可得出AC⊥BE，此命题正确；②EF∥平面ABCD，由正方体ABCD﹣A1B1C1D1的两个底面平行，EF在其一面上，故EF与平面ABCD无公共点，故有EF∥平面ABCD，此命题正确；③由图知，当F与B1重合时，令上底面顶点为O，则此时两异面直线所成的角是∠A1AO，当E与D1重合时，此时点F与O重合，则两异面直线所成的角是∠OBC1，此二角不相等，故异面直线AE、BF所成的角不为定值，故不正确．④A1点到面DD1B1B距离是定值，所以A1点到面BEF的距离为定值，正确；⑤三棱锥A﹣BEF的体积为定值，由几何体的性质及图形知，三角形BEF的面积是定值，A点到面DD1B1B距离是定值，故可得三棱锥A﹣BEF的体积为定值，此命题正确．故答案为：①②④⑤．点评：本题考查棱柱的结构特征，解答本题关键是正确理解正方体的几何性质，且能根据这些几何特征，对其中的点线面和位置关系作出正确判断．熟练掌握线面平行的判断方法，异面直线所成角的定义以及线面垂直的证明是解答本题的知识保证．三、解答题（共6小题，满分75分）16．已知p：对任意x∈R，不等式x2+ax+a＞0恒成立，q：方程x2+ay2=a表示的是焦点在x轴上的椭圆，如果命题“p且q”为假命题，命题“p或q”为真命题，求实数a的取值范围．考点：复合命题的真假．专题：简易逻辑．分析：由p：对任意x∈R，不等式x2+ax+a＞0恒成立，可得△＜0，解得a的取值范围．由q：方程x2+ay2=a表示的是焦点在x轴上的椭圆，得=1，a＞1．由于命题“p且q”为假命题，命题“p或q”为真命题，故p、q一真一假，解出即可．解答：解：p：对任意x∈R，不等式x2+ax+a＞0恒成立，∴△=a2﹣4a＜0，解得0＜a＜4，得a的取值范围是0＜a＜4．q：方程x2+ay2=a表示的是焦点在x轴上的椭圆，得=1，故a＞1．∵命题“p且q”为假命题，命题“p或q”为真命题，故p、q一真一假，∴或，解得0＜a≤1或a≥4．综上实数a的取值范围是：0＜a≤1或a≥4．点评：本题考查了一元二次不等式的解集与判别式的关系、椭圆的标准方程、复合命题的判定，考查了推理能力，属于基础题．17．如图，在四棱柱P﹣ABCD中，底面是边长为2的正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，PA=2，M，N分别为AD，BC的中点．（1）求证：平面PMN⊥平面PAD（2）求PM与平面PCD所成角的正弦值．考点：直线与平面所成的角；平面与平面垂直的判定．专题：综合题；空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）证明MN⊥平面PAD，即可证明平面PMN⊥平面PAD（2）过M作MO⊥平面PCD，连接PO，则∠MPO即为所求，利用VM﹣PCD=VP﹣MCD，求出OM，即可求PM与平面PCD所成角的正弦值．解答：（1）证明：∵PA⊥面ABCD，∴PA⊥MN，PA⊥AB，∵M、N分别为AD、BC中点，∴AB∥MN，∵AB⊥AD，AD∩MN=M，∴AB⊥平面PAD，∵AB∥MN，∴MN⊥平面PAD，∵MN⊂平面PMN，∴平面PMN⊥平面PAD﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）（2）解：过M作MO⊥平面PCD，连接PO，则∠MPO即为所求．∵VM﹣PCD=VP﹣MCD，∴=，∴OM=，∴sin∠MPO==﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）点评：本题考查平面与平面、直线与平面垂直的判定，考查线面角，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．18．已知圆x2+y2﹣6x﹣7=0与抛物线C：y2=2px（p＞0）的准线相切（Ⅰ）求抛物线C的方程（Ⅱ）过抛物线C的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，若|AB|=7，求线段AB的中点M到y轴的距离．考点：圆与圆锥曲线的综合；抛物线的标准方程；直线与圆锥曲线的关系．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）求出圆的圆心与半径，利用y2=2px（p＞0）的准线相切，求出p，得到抛物线方程．（Ⅱ）求出抛物线C的焦点坐标为（1，0），准线方程为x=﹣1，求出抛物线定义知线段AB的中点M到准线的距离，然后求解线段AB的中点M到y轴的距离．解答：解：（Ⅰ）圆x2+y2﹣6x﹣7=0，即（x﹣3）2+y2=16，所以圆心（3，0），半径为4，抛物线的准线方程为x=，依题意，有3﹣（﹣）=4，得p=2，故抛物线方程为y2=4x；﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知，抛物线C的焦点坐标为（1，0），准线方程为x=﹣1，由抛物线定义知线段AB的中点M到准线的距离为，故线段AB的中点M到y轴的距离d=．﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）点评：本题考查圆的方程与抛物线方程的综合应用，点到直线的距离，考查分析问题解决问题的能力．19．已知圆心为C（﹣2，6）的圆经过点M（0，6﹣2）（1）求圆C的标准方程；（2）若直线l过点P（0，5）且被圆C截得的线段长为4，求直线l的方程．考点：直线和圆的方程的应用；圆的标准方程．专题：直线与圆．分析：（1）根据题意求得圆的半径，则圆的方程可得．（2）先看当斜率不存在时，设出直线的方程，与圆的方程联立，消去y，得到关于x的一元二次方程，利用韦达定理和弦长公式建立等式求得k．则直线的方程可得．最后看斜率不存在时，进而验证．解答：解：（1）圆C的半径为|CM|=，∴圆C的标准方程为（x+2）2+（y﹣6）2=16．（2）当所求直线l的斜率存在时，设所求直线的方程为y=kx+5，即kx﹣y+5=0．联立直线与圆C的方程：，消去y得（1+k2）x2+（4﹣2k）x﹣11=0①设方程①的两根为x1，x2，由根与系数的关系得②由弦长公式得|x1﹣x2|==4③将②式代入③，并解得k=，此时直线l的方程为3x﹣4y+20=0．当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=0，验算得方程为x=0的直线也满足题意．∴所求直线l的方程为3x﹣4y+20=0或x=0．点评：本题主要考查了直线与圆的方程问题．解题过程中对直线斜率不存在的情况一定不要疏漏．20．如图，已知四边形ABCD，EADM，MDCF都是边长为2的正方形，点P，Q分别是ED，AC的中点．（1）求几何体EMF﹣ABCD的表面积；（2）证明：PQ∥平面BEF；（3）求平面BEF与平面ABCD夹角的余弦值．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定；二面角的平面角及求法．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）设EMF﹣ABCD的表面积为S，利用S=S正方形ABCD+S正方形MDCF+S正方形EADM+S△EAB+S△FBC+S△MEF+S正△BEF，即可得出；（2）P是AM的中点，Q是AC的中点，由三角形中位线定理可得PQ∥BE，再利用线面平行的判定定理即可得出；（3）利用即可得出．解答：（1）解：设EMF﹣ABCD的表面积为S，则S=S正方形ABCD+S正方形MDCF+S正方形EADM+S△EAB+S△FBC+S△MEF+S正△BEF=22×3+3×+=18+2．（2）证明：∵P是AM的中点，Q是AC的中点，由三角形中位线定理可得：PQ∥BE，PQ⊄平面BEF，BE⊂平面BEF，∴PQ∥平面BEF．（3）解：设平面BEF与平面ABCD夹角为θ．由于△BEF在平面ABCD