三垂线定理1-人教课标版

立体几何专题之

三垂线定理北京大学光华管理学院何洋立体几何专题之

三垂线定理北京大学光华管理学院何洋1写在前面的话高三同学在对立体几何的基本知识进行了系统的复习之后，对于比较重要的定理、概念以及在学习过程中感到难于掌握的问题进行综合性的专题复习是很必要的。在专题复习中应通过分类、总结，提高对所学内容的认识和理解。今天我和大家共同探讨高中立体几何中的三垂线问题。写在前面的话高三同学在对立体几何的基本知识进行了系统的复习之2写在前面的话学习三垂线定理中，感到困难的是分辨直线与直线之间的位置关系，加上往往题目中线条较多，加大了判断难度。另外，许多同学对定理内容不清楚，导致做题时思路混乱。我们首先来说明以下几点，以澄清定理内容：写在前面的话学习三垂线定理中，感到困难的是分辨直线与直线之间3三垂线定理说明（1）对于平面α的斜线OP，在平面α内必存在射影OA三垂线定理说明（1）对于平面α的斜线OP，在平面α内必存在射4三垂线定理说明（2）如果平面α内的直线a垂直于斜线OP的射影OA，那么α必垂直于斜线OP；反之也成立三垂线定理说明（2）如果平面α内的直线a垂直于斜线OP的射影5三垂线定理说明（3）满足条件（2）的直线a必垂直于斜线及射影所确定的平面三垂线定理说明（3）满足条件（2）的直线a必垂直于斜线及射影6三垂线定理说明（4）运用三垂线定理及逆定理的规律：确定平面、找到斜线、找到（做出）垂线、连成射影、查面内线三垂线定理说明（4）运用三垂线定理及逆定理的规律：确定平面、7三垂线定理说明（5）关于三垂线定理及逆定理的图形，有以下三种情况：①直线a可能过O点；②直线a可能与OA相交；③直线a可能与AO或OA的延长线相交三垂线定理说明（5）关于三垂线定理及逆定理的图形，有以下三种8举两个例子①直线a可能过O点举两个例子①直线a可能过O点9举两个例子举两个例子10举两个例子③直线a可能与AO或OA的延长线相交举两个例子③直线a可能与AO或OA的延长线相交11举两个例子举两个例子12三垂线定理说明（6）平行于平面α的直线a，如果垂直于斜线OP在平面α内的射影OA，那么直线a也垂至于斜线OP，它在解某些较复杂的问题时可能化难为易三垂线定理说明（6）平行于平面α的直线a，如果垂直于斜线OP13举一个例子举一个例子14举一个例子举一个例子15三垂线定理说明（7）大家往往习惯于在水平放置地平面上运用三垂线定理，而在竖直或倾斜放置的平面上需用三垂线定理解题时，即使是很明显的问题，有时也会感到力不从心。应明确的是，三垂线定理及其逆定理的适用与平面所在的位置无关。可做一些练习加深这种印象。三垂线定理说明（7）大家往往习惯于在水平放置地平面上运用三垂16举一个例子举一个例子17举一个例子举一个例子18三垂线定理说明（8）应用这两个定理时，首先要明确是针对哪个平面应用定理，尤其是应注意此平面非水平面放置的情况，然后再明确斜线、垂线、斜线的射影及面内直线的位置，有时需要添加其中某些线，这样可以确保正确应用定理三垂线定理说明（8）应用这两个定理时，首先要明确是针对哪个平19三垂线定理应用归类判定空间中两条直线相互垂直求平面外一点到平面内一条定直线的距离求二面角的平面角三垂线定理应用归类判定空间中两条直线相互垂直20一些例子判定空间中两条直线相互垂直一些例子判定空间中两条直线相互垂直21一些例子判定空间中两条直线相互垂直一些例子判定空间中两条直线相互垂直22一些例子判定空间中两条直线相互垂直一些例子判定空间中两条直线相互垂直23一些例子求平面外一点到平面内一条定直线的距离一些例子求平面外一点到平面内一条定直线的距离24一些例子求平面外一点到平面内一条定直线的距离一些例子求平面外一点到平面内一条定直线的距离25一些例子求平面外一点到平面内一条定直线的距离说明：这种求平面外一定点到平面内一条定直线的距离的问题，一般方法是过定点做平面的垂线，再过垂足作定直线的垂线，找到这条垂线与定直线的交点，则定点和交点的距离就是所求的距离。这种运用三垂线定理的练习十分多，比如上题可以转换成其他角度即为多个练习，同学们可以自己尝试一下。一些例子求平面外一点到平面内一条定直线的距离26一些例子求二面角的平面角一些例子求二面角的平面角27一些例子求二面角的平面角说明：运用三垂线定理及其逆定理是找出二面角的平面角的常用手段，应当熟练掌握，其过程是在二面角的一个面上找一点P，过P分别作棱和另一个面的垂线，设其垂足分别是E、F，连结EF，则角PEF即是所要找的二面角的平面角一些例子求二面角的平面角28写在最后的话三垂线定理是立体几何的重点定理，建议对其掌握不好的同学，一方面扎实基础，牢牢掌握三垂线定理的各种情况，另一方面所作相关练习，重点突破祝大家学习成功，高考顺利！写在最后的话三垂线定理是立体几何的重点定理，建议对其掌握不好29读一本好书，就是和许多高尚的人谈话。---歌德书籍是人类知识的总结。书籍是全世界的营养品。---莎士比亚书籍是巨大的力量。---列宁好的书籍是最贵重的珍宝。---别林斯基任何时候我也不会满足，越是多读书，就越是深刻地感到不满足，越感到自己知识贫乏。---马克思书籍便是这种改造灵魂的工具。人类所需要的，是富有启发性的养料。而阅读，则正是这种养料。---雨果

喜欢读书，就等于把生活中寂寞的辰光换成巨大享受的时刻。---孟德斯鸠如果我阅读得和别人一样多，我就知道得和别人一样少。---霍伯斯[英国作家]读书有三种方法：一种是读而不懂，另一种是既读也懂，还有一种是读而懂得书上所没有的东西。---克尼雅日宁[俄国剧作家・诗人]要学会读书，必须首先读的非常慢，直到最后值得你精读的一本书，还是应该很慢地读。---法奇(法国科学家)了解一页书，胜于匆促地阅读一卷书。---麦考利[英国作家]读书而不回想，犹如食物而不消化。---伯克[美国想思家]读书而不能运用，则所读书等于废纸。---华盛顿(美国政治家)书籍使一些人博学多识，但也使一些食而不化的人疯疯颠颠。---彼特拉克[意大利诗人]生活在我们这个世界里，不读书就完全不可能了解人。---高尔基读书越多，越感到腹中空虚。---雪莱(英国诗人)读书是我唯一的娱乐。我不把时间浪费于酒店、赌博或任何一种恶劣的游戏；而我对于事业的勤劳，仍是按照必要，不倦不厌。---富兰克林书读的越多而不加思索，你就会觉得你知道得很多；但当你读书而思考越多的时候，你就会清楚地看到你知道得很少。---伏尔泰(法国哲学家、文学家)读书破万卷，下笔如有神。---杜甫读万卷书，行万里路。---顾炎武读书之法无他，惟是笃志虚心，反复详玩，为有功耳。---朱熹读书无嗜好，就能尽其多。不先泛览群书，则会无所适从或失之偏好，广然后深，博然后专。---鲁迅读书之法，在循序渐进，熟读而精思。---朱煮读书务在循序渐进；一书已熟，方读一书，勿得卤莽躐等，虽多无益。---胡居仁[明]读书是学习，摘抄是整理，写作是创造。---吴晗看书不能信仰而无思考，要大胆地提出问题，勤于摘录资料，分析