冬季行车安全学习教育

人教版·数学·九年级（下）第27章相似图形27.2.1相似三角形的判定第3课时两边成比例且夹角相等的两个三角形相似人教版·数学·九年级（下）第27章相似图形1.探索“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”的判定定理并且会运用。2.会运用“两边成比例且夹角相等”判定两个三角形相似，并进行相关计算与推理。学习目标1.探索“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”的判定定理并1.

两个三角形全等有哪些判定方法？2.我们学习过哪些判定三角形相似的方法？SSS、SAS、ASA、AAS、HL(1)通过定义（三边对应成比例，三角分别相等）(2)平行于三角形一边的直线(3)三边对应成比例导入新知1.两个三角形全等有哪些判定方法？SSS、SAS、ASA、3

类似于判定三角形全等的SAS方法，我们能不能通过两边和夹角来判断两个三角形相似呢？探究类似于判定三角形全等的SAS方法，我们能不探究∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=∠B+∠BCD=90°.∴∠FDC＋∠EDB＝120°，∴∠BED＝∠FDC.5，AC=2，BC=3，且，求DE的长.证明：(1)∵∠DAB＝∠EAC，∴∠DAB＋∠BAE＝∠EAC＋∠BAE，∴．但x２＝－3不符合题意,应舍去．∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=∠B+∠BCD=90°.【思考】对于△ABC和△A′B′C′，如果A′B′:AB=A′C′:AC.解：（1）CD:CB＝BC:AC解：（1）CD:CB＝BC:AC2．(贵阳中考)如图，在△ABC中，BC＝6，BC边上的高为4，（2）若△CBD∽△CAB，且AD＝2，,求CD的长．B″两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．△ABC∽△A'B'C'.我们学习过哪些判定三角形相似的方法？另外两个顶点分别在AB，AC边上，则对角线EG长的最小值为_______.等于k吗？另外两组对应角∠B与∠B'，∠C与∠C'是否相等？改变∠A或k值的大小，再试一试，是否有同样的结论？实际上，我们有利用两边和夹角判定两个三角形相似的方法.等于k∠B=∠B'∠C=∠C'改变k的值具有相同的结论利用刻度尺和量角器画△ABC和△A'B'C'，使∠A＝∠A'，量出它们第三组对应边BC和B'C'的长，它们的比等于k吗？另外两组对应角∠B与∠B'，∠C与∠C'是否相等？新知一两边成比例且夹角相等的两个三角形相似合作探究∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=∠B+∠BCD=A'B'C'ABC∠A＝∠A'如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似．类似于证明通过三边判定三角形相似的方法，我们试证明这个结论．△ABC∽△A'B'C'A'B'C'ABC∠A＝∠A'如果两个三角形已知：如图，

△A'B'C'和

△ABC中，∠A'=∠A，A'B'：AB=A'C'：AC求证：△A'B'C'∽△ABC证明：在△ABC的边AB、AC（或它们的延长线）上分别截取AD＝A'B'，AE＝A'C'，连结DE，因∠A'=∠A，这样△A'B'C'≌△ADE∴DE//BC∴△ADE∽△ABC∴△A'B'C'∽△ABCA'B'C'ABCDE已知：如图，△A'B'C'和△ABC中，∠A'=∠A，由此得到利用两边和夹角来判定三角形相似的定理：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．符号语言：∵

∠A=∠A′，BACB'A'C'∴△ABC∽△A′B′C′

.归纳：由此得到利用两边和夹角来判定三角形相似的定理：符号语8【思考】对于△ABC和△A′B′C′，如果A′B′:AB=A′C′:AC.∠C=∠C′，这两个三角形一定会相似吗？

不一定，如下图，因为能构造符合条件的三角形有两个，其中一个和原三角形相似，另一个不相似.

A

B

C

A′

B′

B″

C′【思考】对于△ABC和△A′B′C′，如果A′B′:9

归纳总结

如果两个三角形两边对应成比例，但相等的角不是两条对应边的夹角，那么两个三角形不一定相似，相等的角一定要是两条对应边的夹角.归纳总结如果两个三角形两边对应成比例，10已知∠A＝120°，AB＝7cm，AC＝14cm，∠A'＝120°，A'B'＝3cm，A'C'＝6cm，判断△ABC与△A′B′C′是否相似，并说明理由.∵又

∠A＝∠A'∴△ABC∽△A'B'C'例1典例精析1利用两边成比例且夹角相等识别三角形相似两三角形的相似比是多少？

△ABC∽△A'B'C'.理由如下：解：∴已知∠A＝120°，AB＝71.

已知∠A=40°，AB=8，AC=15，∠A'=40°，A'B'=16，A'C'=30，判断△ABC与△A'B'C'是否相似，并说明理由.解：

∴△ABC∽△A'B'C'△ABC∽△A'B'C'

.

理由如下：∴∠A=∠A'又∵∵巩固新知1.已知∠A=40°，AB=8，AC=15，∠A'=解：∵AE，AC=2，

ACBED例2

如图，D，E分别是△ABC的边AC，AB上的点，AE=1.5，AC=2，BC=3，且，求DE的长.∴又∵∠EAD=∠CAB，∴△ADE∽△ABC，∴∴典例精析2利用三角形相似求线段的长度提示：解题时要找准对应边.合作探究解：∵AE，AC=2，ACBED例2如图，D，E分别是（2）若△CBD∽△CAB，且AD＝2，,求CD的长．又∵∠EAD=∠CAB，∴△ADE∽△ABC，∴∠ADE＝∠C＝90°．改变∠A或k值的大小，再试一试，是否有同样的结论？(2)若PD＝5，PC＝10，BC＝9，求AP的长．又∠A＝∠A,∴．∴△A'B'C'∽△ABC则OE的长是_________．△ABC∽△A'B'C'解：（1）CD:CB＝BC:AC求证：△A'B'C'∽△ABC∴∠ADE＝∠C＝90°．解：(1)证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠C＝60°，提示：解题时要找准对应边.两边成比例且夹角相等的两个三角形相似则OE的长是_________．人教版·数学·九年级（下）2.如图，在△ABC中，AC＞BC，D是边AC

上一点，连接BD．（1）要使△CBD∽△CAB，还需要补充一个条件是;（只要求填一个）（2）若△CBD∽△CAB，且AD＝2，

,求CD的长．ABCD解：（1）CD:CB＝BC:AC

（2）设CD＝x,则CA＝x＋2．当△CBD∽△CAB，且AD＝2，,有CD:CB＝BC:AC，即,所以x２＋2x－3＝0．解得x１＝1，x２＝－3．但x２＝－3不符合题意,应舍去．所以CD＝1．巩固新知（2）若△CBD∽△CAB，且AD＝2，证明：∵CD是边

AB上的高，

∴∠ADC=∠CDB=90°.∴△ADC∽△CDB，∴∠ACD=∠B，∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=∠B+∠BCD=

90°.ABCD例3

如图，在

△ABC

中，CD是边

AB上的高，且，求证：∠ACB=90°．∵典例精析3利用三角形相似求角方法总结：解题时需注意隐含条件，如垂直关系，三角形的高等.合作探究证明：∵CD是边AB上的高，∴△ADC∽△CDB3.如图，已知在△ABC中，∠C＝90°，D、E分别是AB、AC上的点，AE：AD＝AB：AC．试问:DE与AB

垂直吗?为什么?ABCDE证明：DE⊥AB．理由如下:∵AE：AD＝AB：AC,∴．又∠A＝∠A,∴△ABC∽△AED．∴∠ADE＝∠C＝90°．∴DE与AB垂直．巩固新知3.如图，已知在△ABC中，∠C＝90°，D、E分别是A1．(广西中考)如图，在△ABC中，BC＝120，高AD＝60，正方形EFGH一边在BC上，点E，F分别在AB，AC上，AD交EF于点N，则AN的长为()A．15B．20C．25D．30B课堂检测B课堂检测172．(贵阳中考)如图，在△ABC中，BC＝6，BC边上的高为4，在△ABC的内部作一个矩形EFGH，使EF在BC边上，另外两个顶点分别在AB，AC边上，则对角线EG长的最小值为_______.2．(贵阳中考)如图，在△ABC中，BC＝6，BC边上的高为18冬季行车安全学习教育19冬季行车安全学习教育20冬季行车安全学习教育21冬季行车安全学习教育22冬季行车安全学习教育23又∵∠ADE＝∠ABC，∴△ADE∽△ABC△ABC∽△A'B'C'.2．(贵阳中考)如图，在△ABC中，BC＝6，BC边上的高为4，类似于判定三角形全等的SAS方法，我们能不两个三角形全等有哪些判定方法？我们学习过哪些判定三角形相似的方法？两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．∴∠ADE＝∠C＝90°．1．(广西中考)如图，在△ABC中，BC＝120，高AD＝60，正方形EFGH一边在BC上，点E，F分别在AB，AC上，AD交EF于点N，则AN的长为()如图，已知在△ABC中，∠C＝90°，D、E分别是AB、AC上的点，AE：AD＝AB：AC．（2）若△CBD∽△CAB，且AD＝2，,求CD的长．但x２＝－3不符合题意,应舍去．3．如图，在▱ABCD中，AB＝6，E为AB的中点，解：（1）CD:CB＝BC:AC方法总结：解题时需注意隐含条件，如垂直关系，三角形的高等.又∵∠ADE＝∠ABC，∴△ADE∽△ABC【应用】如图③，在△ABC中，AC＝BC＝4，AB＝6，点P在边AB上(点P不与点A，B重合)，连接CP，作∠CPE＝∠A，PE与边BC交于点E.∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=∠B+∠BCD=90°.两边成比例且夹角相等的两个三角形相似利用两边及夹角判定三角形相似相似三角形的判定定理的运用

归纳新知又∵∠ADE＝∠ABC，∴△ADE∽△ABC两边成比例且夹角A

课后练习A课后练习252．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，动点P由点B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为1cm/s，动点Q由点A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为2cm/s，连接PQ.若设运动时间为t(s)(0＜t＜2)，则当t＝_________时，以A，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似．2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4cm，B263．如图，在▱ABCD中，AB＝6，E为AB的中点，DE交AC于点F，FG∥AB交AD于点G，求线段FG的长.3．如图，在▱ABCD中，AB＝6，E为AB的中点，27冬季行车安全学习教育28C

C295．(宜宾中考)在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，BE平分∠ABC交AC于点E，连结CD交BE于点O.若AC＝8，BC＝6，则OE的长是_________．5．(宜宾中考)在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB30两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．解：（1）CD:CB＝BC:AC即∠DAE＝∠BAC.(1)求证：△BDE∽△CFD；我们学习过哪些判定三角形相似的方法？3．如图，在▱ABCD中，AB＝6，E为AB的中点，证明：在△ABC的边AB、AC（或它们的延长线）上分别截取AD＝A'B'，AE＝A'C'，连结DE，因∠A'=∠A，这样△A'B'C'≌△ADE【思考】对于△ABC和△A′B′C′，如果A′B′:AB=A′C′:AC.又∵∠EAD=∠CAB，∴△ADE∽△ABC，典例精析1利用两边成比例且夹角相等识别三角形相似(1)求证：△DAP∽△PBC；△ABC∽△A'B'C'∴△ABC∽△A'B'C'改变∠A或k值的大小，再试一试，是否有同样的结论？由此得到利用两边和夹角来判定三角形相似的定理：A′即∠DAE＝∠BAC.∴∠EDB＋∠BED＝120°.6．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC，BD相交于点O，过点B作BE∥CD交CA的延长线于E.求证：OC2＝OA·OE.两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．6．如图，在四边形AB31冬季行车安全学习教育32冬季行车安全学习教育338．如图，已知∠DAB＝∠EAC，∠ADE＝∠ABC.求证：(1)△ADE∽△ABC；(2)△ADB∽△AEC.证明：(1)∵∠DAB＝∠EAC，∴∠DAB＋∠BAE＝∠EAC＋∠BAE，即∠DAE＝∠BAC.又∵∠ADE＝∠ABC，∴△ADE∽△ABC8．如图，已知∠DAB＝∠EAC，∠ADE＝∠ABC.34C

C

CC35冬季行车安全学习教育36冬季行车安全学习教育37【思考】对于△ABC和△A′B′C′，如果A′B′:AB=A′C′:AC.我们学习过哪些判定三角形相似的方法？6．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC，BD相交于点O，两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．C(1)求证：△DAP∽△PBC；（2）若△CBD∽△CAB，且AD＝2，,求CD的长．人教版·数学·九年级（下）如图，在△ABC中，AC＞BC，D是边AC上一点，连接BD．（2）若△CBD∽△CAB，且AD＝2，,求CD的长．两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．等于k吗？另外两组对应角∠B与∠B'，∠C与∠C'是否相等？解：（1）CD:CB＝BC:AC△ABC∽△A'B'C'.解：(1)证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠C＝60°，∴∠EDB＋∠BED＝120°.已知∠A=40°，AB=8，AC=15，∠A'