人大版微积分第三版课件隐函数的导数

一、隐函数的导数若由方程可确定y是x

的函数,由表示的函数,称为显函数.例如,可确定显函数可确定y是x

的函数,但此隐函数不能显化.函数为隐函数.则称此隐函数求导方法:两边对x求导(含导数的方程)一、隐函数的导数若由方程可确定y是x的函数,由表示1例1.求由方程在x=0

处的导数解:方程两边对x求导得因x=0时y=0,故确定的隐函数例1.求由方程在x=0处的导数解:方程两边对2例2解解得例2解解得3例3.求由方程的导数解:方程两边对x求导得确定的隐函数机动目录上页下页返回结束例3.求由方程的导数解:方程两边对x求导得确定的隐4二、对数求导法观察函数方法:先在方程两边取对数,然后利用隐函数的求导方法求出导数.--------对数求导法适用范围:二、对数求导法观察函数方法:先在方程两边取对数,然后利用5例4.求的导数.解:两边取对数,化为隐式两边对x求导例4.求的导数.解:两边取对数,化为隐式两边对62)有些显函数用对数求导法求导很方便.例如,两边取对数两边对x求导2)有些显函数用对数求导法求导很方便.例如,两边取对数两7然后,对方程两边关于x求导：方法:在条件允许的情况下,对y=f(x)两边同时取对数：注意：y是x的函数.取对数求导法或然后,对方程两边关于x求导：方法:在条件允许的情况下8取对数求导法常用来求一些复杂的乘除式、根式、幂指函数等的导数.取对数求导法常用来求一些9运用取对数求导法两边关于x求导：解例5运用取对数求导法两边关于x求导：解例510整理得对这类型的题用取对数求导法很方便哦！整理得对这类型的题用取对数求导法很方便哦！11又如,

对x求导两边取对数又如,对x求导两边取对数12三、由参数方程所确定的函数的导数例如消去参数问题:消参困难或无法消参如何求导?三、由参数方程所确定的函数的导数例如消去参数问题:消参困难13若参数方程可确定一个y与x之间的函数可导,且则时,有时,有(此时看成x是y的函数)关系,若参数方程可确定一个y与x之间的函数可导,且则时,14例6.设由方程确定函数求解:方程组两边对t

求导,得故例6.设由方程确定函数求解:方程组两边对t求导15四、相关变化率为两可导函数之间有联系之间也有联系称为相关变化率相关变化率问题解法:找出相关变量的关系式对t求导得相关变化率之间的关系式求出未知的相关变化率四、相关变化率为两可导函数之间有联系之间也有联系称为相关变16例9.一气球从离开观察员500m处离地面铅直上升,其速率为当气球高度为500m

时,观察员视线的仰角增加率是多少?解:设气球上升t分后其高度为h,仰角为

,则两边对t求导已知

h=500m时,例9.一气球从离开观察员500m处离地面铅直上升,其速17思考题:当气球升至500m时停住,有一观测者以100m／min的速率向气球出发点走来,当距离为500m时,仰角的增加率是多少?提示:对t求导已知求思考题:当气球升至500m时停住,有一观测者以18试求当容器内水例10.有一底半径为Rcm,高为hcm的圆锥容器,今以自顶部向容器内注水,位等于锥高的一半时水面上升的速度.解:设时刻t容器内水面高度为

x,水的两边对t

求导而故体积为V,则试求当容器内水例10.有一底半径为Rcm,高为h19内容小结1.隐函数求导法则直接对方程两边求导2.对数求导法:适用于幂指函数及某些用连乘,连除表示的函数3.参数方程求导法极坐标方程求导4.相关变化率问题列出依赖于t的相关变量关系式对t求导相关变化率之间的关系式转化求高阶导数时,从低到高每次都用参数方程求导公式