9尖子生培优第九讲高一对数函数难点提升-教师用卷

第=page11页，共=sectionpages11页尖子生培优高一函数第九讲对数函数难点提升一、单选题1.已知函数f(x)=2|x|+x2，设m=f(log213)，n=f(7−0.1)A.m>p>n B.n>p>m C.p>n>m D.p>m>n【答案】D

解：因为函数f(x)=2|x|+x2的定义域为R，

而f(−x)=2|−x|+−x2=2x+x2=f(x)，

所以函数f(x)=2|x|+x2为R上的偶函数，因此flog213=f−log23=flog23．

又因为函数y=22.已知函数f(x)=ln(x2−1)+2x+2A.(−∞,−1)∪(1,+∞) B.(1,+∞)

C.(−∞,−13)∪(1,+∞)【答案】D

解：易得f(x)是(−∞,−1)∪(1,+∞)上的偶函数，设g(x)=2x+2−x，

任取1<x1<x2，

则gx1−gx2=2x1+2−x1−2x2+2−x2=2x1−2x2+2x2−2x3.已知a>0且a≠1，若函数f(x)=loga(x+x2+k)在A. B.

C. D.【答案】A

解：由题意可知：f(0)=0，∴logak=0，∴k=1；

又因为函数f(x)在实数集上是增函数，

且函数y=x+x2+1，对其求导故g(x)=loga|x−1|的图象是将y=又y=loga|x|的图象关于y轴对称，且a>1，

∴函数g(x)的图象为A．故选4.若函数f(x)=−ln(−x),a≤x<0,−x2+2x,0≤x≤2A.[−1,0) B.−1,−1e C.−1【答案】C

解：当0⩽x⩽2时，f(x)=−x2+2x=−x−12+1∈[f(0),f(1)]=[0,1]，

当a⩽x<0时，f(x)=−ln⁡(−x)∈[f(a),+∞)=[−ln(−a),+∞),

故要使f(x)的值域是[0,+∞),则0≤−5.设函数f(x)=ax2+ax+1,x⩽0,lnx,x>0,若函数y=f(x)+a在R上有A.(−43,+∞) B.(−∞,0) C.[−1,0)【答案】D

解：函数y=f(x)+a在R上有4个不同的零点⇔y=f(x)与y=−a有4个交点，

①当a>0时，作出函数y=f(x)的图象，如图所示，

其中y=ax+122−14a+1的顶点为−12,−14a+1，

则−a⩽1−a>−14a+1⇒a⩾−1a<−43⇒⌀;

②当a<0时，作出函数6.设13a=log2a，2b=log13b，A.b<a<c B.c<b<a C.a<b<c D.b<c<a【答案】B

解：构造函数f(x)=log2x−(13)x，因为函数y=log2x、y=−(13)x在(0,+∞)上均为增函数，所以，函数f(x)为(0,+∞)上的增函数，且f(1)=−13<0，f(2)=89>0，

因为f(a)=0，由零点存在定理可知1<a<2;

构造函数g(x)=2x−log13x，因为函数y=2x二、填空题7.已知f(x)=loga(x2−ax+3)(a>0且a≠1)，对任意x1,x【答案】1,2解：

因为对任意x1,x2∈(−∞,a2],x1≠x2，不等式f(x1又由定义域知，当x∈(−∞,a2]时，x2−ax+3>0恒成立，

所以(a2)2−a×a2+3>08.已知函数f(x)=log2(x2+1−x)，若对任意的正数a，b，满足【答案】12

解：因为x2+1−x>x2−x≥x−x=0，所以函数f(x)的定义域为R．

因为f(−x)=log2(x2+1+x)=−f(x)，所以f(x)为奇函数．

又f(a)+f(3b−1)=0，所以f(a)=f(1−3b)，a=1−3b，即a+3b=1，

所以3a+1b9.若函数y=loga[(5a−2)x2−4ax+2]有最小值，则【答案】(0,2解：设t=g(x)=(5a−2)x2−4ax+2，

当a>1时，y=logat为增函数，

当a>1时，5a−2>0，g(x)对应抛物线开口向上，要使函数y=loga[(5a−2)x2−4ax+2]有最小值，

则g(x)有最小值，且g(x)min>0，即判别式Δ=16a2−8(5a−2)<0，

得2a2−5a+2<0，得12<a<2，此时1<a<2;

当0<a<1时，y=logat为减函数，

当5a−2=0时，即a=25时，g(x)=−85x+2，此时y=loga[(5a−2)x2−4ax+2]

10.若函数f(x)=loga(−x2+ax+1)(a>0且a≠1)在[2,3]是减函数，则实数【答案】(83,4]

解：令t=−x2+ax+1，其对称轴为x=a2，

当x≥a2时，t单调递减；当x≤a2时，t单调递增．

又当0<a<1时，y=logat单调递减，此时有a2≥3，无解；

当a>1

11.设函数f(x)=x−1x+1,0≤x≤12−ex,x>1,g(x)=lg(ax【答案】4

解：设g(x)=lg(ax2−4x+1)的值域为A，

当0≤x≤1时，f(x)=x−1x+1=1−2x+1，

则f(x)在[0,1]上单调递增，所以当0≤x≤1时，−1≤f(x)≤0，

当x>1时，f(x)=2−ex，所以f(x)在(1,+∞)上单调递减，

所以当x>1时，f(x)<2−e，

所以当x∈[0,+∞)时，f(x)的值域为(−∞,0],

若对任意x1∈[0,+∞)，都存在x2∈R，使f(x112.若loga 23<1，则实数a【答案】0,23∪1,+∞

解：解：当a>1时，loga23<1=logaa，解得a>23，

所以此时a的取值范围为1,+∞；

当0<

13.设函数f(x)=|log2x−a|,0<x≤4,f(8−x),4<x<8.若存在实数m，使得关于x的方程f(x)=m有4个不相等的实根，且这4【答案】(−∞,1)

解：①当a≥2时，log2x−a≤0在0<x≤4时恒成立，

且当4<x<8时，8−x∈(0,4)，f(8−x)=|log2(8−x)−a|=a−log2(8−x)，

∴此时f(x)=a−log2x,0<x≤4a−log2(8−x),4<x<8,

此时函数f(x)

在(0,4)单调递减，在(4,8)单调递增，

方程f(x)=m最多2个不相等的实根，不合题意；

②当a<2时，log2x−a≤0在(0,4]上有解(0,2a],log2x−a>0在(0,4]上有解(2a若f(x)=m有4个不同的实数根，则m∈(0,2−a)，

从左到右方程f(x)=m有4个不相等的实根，依次为x1，x2，x3，x4，

即x1<2a<x2<4<x3<8−2a<x4，

由f(x1)=a−log2x1<2−a0<x1<2a解得22a−2<x1<2a，

∵a−log2x1=f(x1)=m=f(x2)=log2x2−a，

故x

三、解答题14.设f(x)=log131−axx−1为奇函数，a为常数．

(1)求a的值，

(2)若∀x∈[【答案】解：(1)因为f(x)=log131−axx−1为奇函数，得f(−x)+f(x)=0，

所以log131+ax−x−1+log131−axx−1=log13(1+ax−x−1⋅1−axx−1)=0，

则1+ax−x−1⋅1−axx−1=1，即1−a2x2=1−x2，即(a2−1)x2=0，

因为x2不恒为0，所以a2−1=0，即a=±1，

15.设函数f(x)=log(1)解不等式f(2a+(2)已知对任意的实数m,f(m2+m+1)≥f(34)恒成立，是否存在实数k，使得对任意的x【答案】解：(1)当0<a<1时，由f(2a+6)⩽f(5a)，得2a+6⩾5a>0，

解得当a>1时，

由f(2a+6)⩽f(5a)，得0<2a+6⩽5a，解得综上可知，a∈(0,1)∪[2,+∞)．(2)由于m2且f(m2+m+1)⩾f(f(4x+则有4x+2即k<2⋅4x+令t=2x,t∈[12,1]，设g(t)=2t2+2t,

g(t)在12,1解得：k>1，综上，1<k<316.已知函数f(x)=log2(2(Ⅰ)求k的值并求函数f(x)的值域；

(Ⅱ)若关于x的方程f(x)=x+m有实根，求实数m的取值范围；

(III)若函数g(x)=2f(x)−a⋅2(x2+1),x∈[0,4]，则是否存在实数【答案】解：(1)因为函数f(x)=log2(2x+k)

(k∈R)的图象过点P(0,1)，

所以f(0)=1，即log2(1+k)=1，所以k=1

，所以f(x)=log2(2x+1)。

因为2x+1>1单调递增，所以函数f(x)的值域为(0,+∞)．

(2)因为关于x的方程f(x)=x+m有实根，即方程m=log2(2x+1)−x有实根，即函数y=log2(2x+1)−x与函数y=m有交点，

令g(x)=log2(2x+1)−x，则函数y=g(x)的图象与直线y=m有交点，

又g(x)=log2(2x+1)−x=log2(2x+1)−log22x=log217.已知偶函数f(x)=log2(1)若方程[f(x)+12x+1]·|f(x)+1(2)若g(x)=2x+2−x−2b⋅2【答案】解：(1)偶函数f(x)=log2(2x+1)−kx，

可得f(−x)=f(x)，即log2(2−x+1)+kx=log2(2x+1)−kx，

即为2kx=log22x+12−x+1=log22x=x，由x∈R，可得2k=1，即k=12；

方程[f(x)+12x+1]·|f(x)+12x−1|=a(a∈R)有两不等实根，

即为[log2(2x+1)+1]·|log2(2x+1)−1|=a有两不等实根，

令t=log2(2x+1)(t>0)，

F(t)=(t+1)|t−1|，t>0，

则：F(t)=t2−1,t≥11−t2,0<t<1，

可得F(t)在(0,