(完整)圆锥曲线中的取值范围最值问题

圆锥曲线中的最值取值范围问题X2v290.已知尸，尸分别是双曲线」—上二I(a〉0,b>0)的左、右焦点，P为双曲线上的一点，若ZFPF=90。,

1 2 12 1 2且1的三边长成等差数列.又一椭圆的中心在原点，短轴的一个端点到其右焦点的距离为V5,双曲线与该椭圆离心率之积为士匹。3(I)求椭圆的方程；(II)设直线/与椭圆交于A,B两点，坐标原点0到直线I的距离为巡，求AAOB面积的最大值.290.解：iVPF\=m,\PF1=〃，不妨P在第一象限，则由已知得1 2m-n=2a,〈根2+〃2=(2c)2,=>5。2-6ac+c2=0, /.e2—6e+5=0,n+2c=2m.解得e=5或e=l(舍去)。设椭圆离心率为/，则5/=壁.：.e'=—.3 3可设椭圆的方程为£+二=1,半焦距为c’.a2 b’2c_<67=丁 k=<3,<Z?r2+cr2=3,解之得Z/=l,/.椭的方程为=+y2=1.3b‘2+cf2=a2. c'=V2.(II)①当AB_Lx轴时,1481=乔.TOC\o"1-5"\h\z②当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为j=kx+m,A(x,y),B(x ),1 1 2 2ImI 3由已知,得m2=—(左2+1),把y=kx+m代入椭圆方程，整理得J1+左2 2 4(3左(3左2+1)%2+6kmx+31n2—3=0,-6km 3(根2-1)X+X= ,xX= 1 23左2+112 3左2+1_12(m2-l)

_12(m2-l)

3^2+1…2八，、/ 、八，、-36k2n12：\AB|2=(1+女2)(x—X)2=(1+^2)[ 2 1 (3左2+1)212(1+k2)(3k2+1-m2)_3(k2+1)(9k2+1)(3k2+1)2 (3k2+1)2—TOC\o"1-5"\h\z12k2 12 12=3+ =3+ (k丰0)<3+ =4.9k2+6k2+1 1,, 2x3+69k2+——+6k2当且仅当9k2=—,即k=+-^—-时等号成立，此时IAB1=2.k2 3③当k=0时,IABI=；3.综上所述:IABI=2，max此时AAOB面积取最大值S=-IABIx21=±1,2max2 285。已知曲线C的方程为x2=2j,F为焦点。(1)过曲线上C一点P(x,j)(x*0)的切线l与y轴交于A,试探究|AF|与|PF|之间的关系；00 0(2)若在(1)的条件下P点的横坐标x=2,点N在y轴上，且|PNI等于点P到直线2j+1=0的距离，圆0M能覆盖三角形APN,当圆M的面积最小时，求圆M的方程。85。（文）（1）由炉券划银41■ ’=3在产（町|_n）处切筑方程疗-加飞）•将*=。代人・得F*11flK%-2%:「为5.嫉直F瞪林[0*9卜1，惘=4■中为,又1”£=§*丁产4*X，J4FI=IPFL …….心升⑵由（I）易知巩工”40一）,点常的坐标为（。£-闽0，1■卜勖M为三角彩心的外腰圜时.禹曲程最小,曲此图的方程为产+/中层小曲”二0际♦/-4八。）西点*的蟹标为（d；）时，则4+白、置=*4 24-2fc+F=（Jf^D=<多上=?"前-1z44且42。半之内4芦X。此时所求拊圜的方程为?*/-5x+p-l-0r4fl7¥*我+尸=。4 2"的”孙。春时.一万"四 DN5一右4T此时所求帕明的力4i442ZJ+^£+F=0TOC\o"1-5"\h\z程为1中尸寸/一一¥右。 13分维上【用的方耨为:/+尸-5**白-L=0*1*『dx-:"了M分.... X2V2 174.已知椭圆C:一+工=1（a>b>0）的长轴长为4，离心率为—，F,F分别为其左右焦点.一动圆过1a2b2 2 12点F，且与直线x=一1相切.2（I）（i）求椭圆C的方程；（ii）求动圆圆心轨迹C的方程；1 TOC\o"1-5"\h\z（II）在曲线C上有四个不同的点M,N,P,Q,满足MF与NF共线，PF与QF共线，且2 2 2 2PF-MF'=0，求四边形PMQN面积的最小值.2 2[2a=4 「I Ia=274。解：（I）（i）由已知可得1 c1=1 nb2=a2一c2=3,e=—=5 1c=1【a2则所求椭圆方程C:xi+y2=1.14 3（ii）由已知可得动圆圆心轨迹为抛物线，且抛物线C的焦点为（1,0），准线方程为x=-1，则动圆圆心轨迹方程为C:y2=4x.（II）由题设知直线MN,PQ的斜率均存在且不为零设直线MN的斜率为k（k丰0）,M（x,y）,N（x,y），则直线MN的方程为：y=k（x-1）1 1 2 2联立C:y2=4x 消去y可得k2x2-（2k2+4）x+k2=0由抛物线定义可知：

k2+\MN1=1MFl+lNF1=x+1+x+1= +2=4+——TOC\o"1-5"\h\z2 2 12 k2 k2同理可得IPQ1=4+4k21,一，1,4、，八、一， 1、一又S=IMNI-IPQ1=(4+—)(4+4k2)=8(2+k2+)>32pmqn2 2k2 k2(当且仅当k=±1时取到等号)所以四边形PMQN面积的最小值为32。69。如图，已知直线l：y=kx-2与抛物线C：x2=-2py(p>0)交于A，B两点，O为坐标原点，OA+OB=(-4,OA+OB=(-4,-12).(I)求直线l和抛物线C的方程;(II)抛物线上一动点P4A到B运动时，求4ABP面积最大值.69.解：(1)由《y=kx-2,得，x2+2pkx-4p=0,x2=-2py设A«y),B(x2,y2),贝4x+x=-2pk,y+y=k(x+x)-4=-2pk2-4,y因为OA+OB=(x+x,y+y1 21 2)=(-2pk,-2pk2-4)=(-4,-12),pp=1,

k=2.1-2pk=-4,所以4 解得1-2pk2-4=-12.所以直线l的方程为y=2x-2,抛物线C的方程为x2=-2y.(II)方法1:设P(x,y),依题意，抛物线过「的切线与l平行时，4APB面积最大,o0y'=-x，所以—x=2nx=-2,y=--x2=-2,所以P(-2,-2).0 0 0 20此时P到直线l的距离d=R.?)-(-竺2=±="，,：122+(-1)2 V5 5Jy=2x-2,由《 得，x2+4x-4=0,x2=-2y,IABI=V1+k2匹+xJ-4x「x2=八+22y(-4)2-4(-4)=4<104<i0.空 _...△ABP的面积最大值为 5-=8V2Iy=2x-2,(II)方法2：由〈 得，x2+4x-4=0,x2=-2y,IABI="+k2.J(x+x)2-4x.x=J1+22..(-4)2-4(-4)=4<10……9分、1 2 1 2 %设P(t,-112),(-2-2<2<t<-2+2K)2(完整)圆锥曲线中的取值范围最值问题因为AB为定值，当P至U直线l的距离d最大时，&BP的面积最大，d二d二(t+2)2—4因为—2—2<2<t<-2+2,2，所以当t=-2时，d=空，此时P(—2,—2).画54V10.空一.••△ABP的面积最大值为——相工=8<266.椭圆x2+21=1(a>b>0)的长轴为短轴的*3倍,直线y-x与椭圆交于A、B两点，C为椭圆的右项点,a2b23OA・OC=2(I)求椭圆的方程;(II)若椭圆上两点£、F使OE+OF=入OA,Xe(0,2),求八0石厂面积的最大值TOC\o"1-5"\h\z12 1266。解:(I)根据题意，a=<3b,C(a,0),设A(t,t),则t>0,一+一-1.a2b2解得12=a2b2=3b2,即t=◎b,a2+b2 4 2— ；3,v3 3,<3一，3OA=(—b,—),OC=(a,0),OA-OC=—ab=—43b2=-,/.b=1,a=*3,2, 2, 2, 2, ^2・•.椭圆方程为上+y2=1.3(II)设E(x,y),F(x,y),EF中点为M(x,y),vOE+OF=XOA,11 22 002x=x+x012X2x=x+x012X=—人，

2_V3) 人,2①...E,F在椭圆上,则，②x2+y2=1,

3 1x2x2由①一②得、+y「2=0,EFy-y-U x-x11 x+x 1—-X-U 2--一,3y+y 312・•・直线EF的方程为y-亘X=-1(x-至X),即x=-3y+我,代入竺+y2=1

4 3 4 3「3.衿2一4(九2一1)并整理得4y2-2皿y+屹-1=0,・•.y「y2衿2一4(九2一1)，lEF1=J(x-X)2+(y-y)2=<10|y-y|=."0・, 1 2 1 2 1 2又丁原点0(0,0)到直线EF的距离为元='工，.二S =11EFIh=<10 a0EF 2九2九2+4一九2X v3当九=、;2时等号成立,所以a0EF面积的最大值为363。已知椭圆C:x2+2=1，过点凶(0,1)的直线l与椭圆C相交于两点A、B。4(I)若l与乂轴相交于点P,且P为人附的中点，求直线l的方程；(11)设点N(0,-),求1用+NB1的最大值.263。 (I)解：设A(x1,y1),TOC\o"1-5"\h\z因为P为人凶的中点，且「的纵坐标为0,凶的纵坐标为1,所以&11=0，解得y=-1,又因为点A(x,y)2 1 11在椭圆C上，所以X2+空=1,即x2+1=1，解得x=±亘,则点人的坐标为(且,一1)或(一23,-1),所14 14 1 2 2 2以直线l的方程为4,；3x-3y+3=0,或4x3x+3y-3=0.2七-2)，(II)设A(x,y),B(x,y),则而=(x,y—1)，丽二(x1 1 2 22七-2)，所以羽+NB=(x+X,y+y-1)，则INA+NBI=.：'(x+x)2+(y+y—1)212 12 V1 2 1 2当直线AB的斜率不存在时，其方程为x=0,A(0,2),B(0,—2),此时|NA+NBI=1;当直线AB的斜率存在时,设其方程为y=kx+1,'y=kx+1由题设可得人、8的坐标是方程组J V2的解，消去y得(4+k2)x2+2kx-3=0x2+上=1TOC\o"1-5"\h\z[ 42k所以A=(2k)2+12(4+k2)>0,x+x= 1 2 4+k2y+y=(kx+1)+(kx+1)=12 1 2

… —,—> -2k 8 -12k2所以1班+NB\2=( )2+( 1)2= +1<1,4+k2 4+k2 (4… —,—> -2k 8 -12k2所以1班+NB\2=( )2+( 1)2= +1<1,4+k2 4+k2 (4+k2)2当k=0时，等号成立，即此时INA+福I取得最大值1.综上，当直线AB的方程为x=0或)=1时，|丽+NBI有最大值1。50.已知点人是抛物线y2=2px(p>0)上一■点，F为抛物线的焦点，准线l与x轴交于点K,已知|AK|=22|AF|,三角形AFK的面积等于8.(1)求p的值；(2)过该抛物线的焦点作两条互相垂直的直线11,12，与抛物线相交得两条弦，两条弦的中点分别为G,H.求|GH|的最小值.50.解：(I)设A(x»),00因为抛物线的焦点Fppp,0,准线的方程为：x2=-p,K-12) 2Ip,0，作AM1l于M2)则|AM|=x0+p=A^P],又|AK卜J21AF|得|AK|=221AM卜即AAKM为等腰直角三角形,A|KM|=|AM\"x0+pJ p\即A[x0,x0+p),而点八在抛物线上，/x+pTI"。+2)=2px,Ax00p，P..2)p2又2KFK[F\,Iyj=2.P.P=(2)由y2=8x,得F(2,0)，显然直线l,l的斜率都存在且都不为0。12设l的方程为y=k(x-2)，则l的方程为y=-1(x-2)。TOC\o"1-5"\h\z1 2k48.椭圆的中心为原点O，焦点在y轴上，离心率e=g，过P(0,1)的直线l与椭圆交于A、B两点，且AP=2而，求AAOB面积的最大值及取得最大值时椭圆的方程.48。解：设椭圆的方程为y2+上=1(。>b>0),直线l的方程为y=kx+1,a2 b2A(x1,y1)、B(x2,y2):e=且ACA(x1,y1)、B(x2,y2)则椭圆方程可化为止+三=1即3X2+y2=3/?2,3b2 b2 ,3x2+V2=3b2p /、7 得（3+左2）X2+2丘+1—3/72=0 （*）y=kx+1有X+X=—二^,而由已知旅=2而有X=-2x，代入得X二/^1 2 3+左2 1 2 2 3+左2所以SAAOB=—X|OP所以SAAOB=—X|OPIX|X-X2 1 2——IxI- «—— ——2 2 3+左2 2^3IkI2当且仅当Z=±J3时取等号由x由x=;^得不=±遗,2 3+左2 2 3所以AA05面积的最大值为二,取得最大值时椭圆的方程为二十三二15 53Y2V246。已知椭圆C：—+2_=l(〃>b>0)的右焦点为F,上顶点为A,P为C上任一点，MN是圆Cx2+(y-3)2=11a2b2 i 2：的一条直径，若与AF平行且在y轴上的截距为3-卢的直线/恰好与圆。相切。2(D已知椭圆。的离心率； 1(2)若成,丽的最大值为49,求椭圆C的方程。1_46。解：(1)由题意可知直线I的方程为"+ (3-,霓)0=0,因为直线与圆c:非+(y-3”=1相切,TOC\o"1-5"\h\z,_ 2 -所以d=3c-3。+、2=[,既q2=2c2,从而e二五；万2+C2 2(2)设p(x,y),则 =1(。>0)2c2C2又pMpN=1pc'+C而)・(PC，CK)=PC，2—C卡=2 2 2 2 2 2%2+(3-y)2-1=-(y+3)2+2c+17(-c<y<c))_1当023时,（尸面・尸功!112*=17+202=49,解得0=4,此时椭圆方程为—+^=13216k当。<。<3时，（两•丽）max=—（―C+3”+17+22=49,解得。=5点一3但c=5&—3>3,故舍去。综上所述，椭圆的方程为上+止=13216

TOC\o"1-5"\h\z25。已知椭圆C:上+£=1(〃>b>0)的离心率为—,直线l:y=x+2与以原点为圆心、以椭圆C的短1a2b2 3 1半轴长为半径的圆相切.(I)求椭圆C的方程；1(II)设椭圆C的左焦点为F，右焦点F，直线l过点F且垂直于椭圆的长轴，动直线l垂直l于点P,1 1 2 1 1 21线段PF垂直平分线交l于点M，求点M的轨迹C的方程；

2 2 2(III)设C2与x轴交于点Q，不同的两点R,S在C2上，且满足5・RS=0,求QM|的取值范围。25。解：(1);e= ，:.e2=c2="~=1,「.2a2=3b2\•直线l:x一y-2=。与圆x2+y2=b2相切，3 〃2 c2 3b,:.b=尢2,b2.・.a2=3・・•椭圆C的方程是 x2b,:.b=尢2,b21 3 2(ll)・「MP=MF2,・••动点乂到定直线l:x=-1的距离等于它到定点F1(1,0)的距离，・••动点乂的轨迹是C为l准线，F为焦点的抛物线・・・点乂的轨迹C的方程为y2=4x12 2,yyyy2y2 y2 ——T y2—y2(lll)Q(0,0),设R(与,y),S(与,y).・・QR;(y-,y),RS二(y^y^,y-y)41 42 41 4 2 1丁QR•RS=0 ・・・y2(y2-y'+y(y-y)=016 12"丁y丰y,y丰0,化简得・・.y=-(y+16).・.y2=y2+256+32>2v256+32=641 21 2 1y2 1y21 y2 1当且仅当y2=*,y2=16,1 y2 1・・・IQS.2+y2=1(y2+8)2-64,又•・,y2・・・IQS.・••当y2=64,y=±8时，IQSI =8.丫’5,故IQSI的取值范围是［8、；5,+8)2 2 min8。8.已知点「(4,4),圆C:(x-m)2+y2=5(m<3)与椭圆E：x2+y2=1(a〉b〉0)有一个公共点A(3,1),a2b2F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，直线PF1与圆C相切.(l)求m的值与椭圆E的方程；1(II)设Q为椭圆E上的一个动点，求通.质的取值范围.【解】(1)点人代入圆C方程，得(3-m)2+1=5.,.,mV3,・・m=1.圆C：(x-1)2+y2=5.设直线PF1的斜率为贝4PF1：y=k(x-4)+4,即kx-y-4k+4=0・;直线 PF1与圆C相切，・・・

Ik—0—4k+41解得k=—,或k=—•22当k=11时，直线PF与x轴的交点横坐标为36,不合题意，舍去.TOC\o"1-5"\h\z1 11当k=2时，直线PF1与乂轴的交点横坐标为-4,・・.c=4.F1(—4,0),F2(4,0).2a=AF+AF=5<2+22=6v2,a=3\：5,a2=18,b2=2.椭圆E的方程为：工+y2=1.12 18 2(II)而=(1,3),设Q(x,y),AQ=(x—3,y-1),AP-而=(x—3)+3(y-1)=x+3y-6.・.・2+y2=1,即x2+(3y)2=18，而x2+(3y)2三2IxI-I3yI，，一18W6xyW18.18 2则(x+3y)2=x2+(3y)2+6xy=18+6xy的取值范围是[0,36].x+3y的取值范围是[一6,6].・・.Q・而=x+3y-6的取值范围是[一12,0].12。12。已知直线l:y=x+1与曲线C:上+y2=1(a>0,b>0)交于不同的两点A,B,O为坐标原点.a2b2(I)若IOAI=IOBI，求证：曲线C是一个圆;(II)若OA1OB，当a>b且ae［上6,'°］时，求曲线。的离心率e的取值范围.22TOC\o"1-5"\h\z【解】(I)证明：设直线l与曲线C的交点为A(x,y),B(x,y)11 22・・•IOAI=IOBI.\..x2+y2=、；x2+y2即：x2+y2=x2+y2V1 1*2 2 1 1 2 2.・.x2-x2=y2-y2 ;A,B在C上12 21・・工+・・工+y2=1,

a2b2x2—2—a2a2 a2即：a2=b2・•・两式相减得：x2-x2=一(y2-y即：a2=b21 2b2 2 1 b2・・・曲线C是一个圆(I)设直线l与曲线C的交点为A(x,y),B(x,y),<a>b>011 22・・・曲线C是焦点在x轴上的椭圆・OA1OB・y1-y2-=-1即：yy=-xxxx 12 1212

将y=%+1代入b2x2+a2y2—a2b2=0整理得:(b2+a2)x2+2a2x+a2—a2b2=0. 2a2 a2(1—b2)..x+x=— , x•x= 1 2a2+b2 12a2+b2,/A,B在l上 /. y•y=(x+1)(x+1)=x•x+x+x+11 2 1 2 1212又,「yy=—xx .2x•x+x+x+1=012 12 1 2 1 2.・.2•a2(1一b2)+(--2a^)+1=0 .・.a2+b2—2a2b2二0a2+b2 a2+b2・\・\a2+a2—c2—2a2(a2—c2)=0.\2a4—2a2+c2—2a2c2=02a2a2(a2—1)2a2—1...^2二三二2(a2-D=1—'a2 2a2—1 2a2—1•••ae[ll,2•••ae[ll,210] ・•・2a2—1e[2,4]2 21—-e[1,3]ee[*』2a2—1 24 2215。已知动点A、B分别在x轴、y轴上，且满足从8|二2,点「在线段AB上，且AP=tPB(t是不为零的常数).设点P的轨迹方程为c。(1)求点「的轨迹方程C;(2)若七二2,点凶、N是C上关于原点对称的两个动点川、N不在坐标轴上)，点。…,3坐标为(_,3),>KAQMN的面积S的最大值.15.【解】(1)设A(a,0),B(0,b),P(x,y)•AP=tPB,即(x—a,y)=t(—x,b—y) 2分fa=(1+1)xIx—a=—txI.,.< 则< 1+1，由题意知t>0,[y=t(b—y)b=——•y〔t1+12•IAB1=2Ja2+b2=4即(1+1)2x2+( )y2=4tTOC\o"1-5"\h\z・•・点P轨迹方程。为:+=1 4分4 412(1+1)2 (1+1)29x2 9⑵t=2时，C为乙一+—y2=14 16

设M(x,y),则N=(—x，—y)，则MN=2、x2+y2.11 11 11设直线MN的方程为y=&x,(x丰0)x1

1点Q到MN距离为3I-y—3xITOC\o"1-5"\h\zh=21 7分:x2+y2\1 131 I-y-3xI3S=.2V,'x2+y2•21 —=|_y-3x| 8分AQMN2"1 1 ;x2+y2 21 1c c 9 c=S2 =9x2+—y2-9xyAQMN 1 41 119x2又一+

49x2又一+

4...S2AQMN9y2 9—=1，9x2+-y2=416 141=4-9xy9x2 9y而1=—+—-4 16「.-9xy<4…13x3y 9xy>-2•——1•—1=——1-12 4 4 11分21当且仅当巴二生,即x=-1y时,等号成立

2 4 1 21...S 的最大值为2£2 12分AQMN25。已知椭圆C:x2+y2=1(。>b>0)的离心率为—,直线l:y=x+2与以原点为圆心、以椭圆C的短1a2b2 3 1半轴长为半径的圆相切.(I)求椭圆C的方程；1(II)设椭圆C的左焦点为F，右焦点F，直线l过点F且垂直于椭圆的长轴，动直线l垂直l于点P,TOC\o"1-5"\h\z1 1 2 1 1 21线段PF垂直平分线交l于点M，求点M的轨迹C的方程；

2 2 2(III)设C2与x轴交于点Q，不同的两点R,S在C2上，且满足0落RS=0,求|qs|的取值范围.25。解：(l)Ve=^",「.e2=c2=吧~=,A2a2=3b2\•直线l:x-y-2=0与圆x2+y2=b2相切，3 。2 c2 3x2y2・・・a2=3・・•椭圆