期末模拟预测卷02（测试范围：三角、三角函数、平面向量、复数、数列）（解析版）

2022-2023学年高一数学下学期期末模拟预测卷02考生注意：1．本试卷含三个大题，共21题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出解题的主要步骤．一．填空题（共12小题，满分54分）1．（4分）设m为实数，复数z1＝1﹣i，z2＝3+mi．若为纯虚数，则z1+z2的虚部为2．【分析】根据已知条件，结合纯虚数和虚部的定义，即可求解．【解答】解：∵z1＝1﹣i，z2＝3+mi，∴＝（1﹣i）（3﹣mi）＝3﹣m﹣（m+3）i为纯虚数，∴m﹣3＝0，解得m＝3，∴z1+z2＝1﹣i+3+3i＝4+2i，∴z1+z2的虚部为2．故答案为：2．【点评】本题主要考查纯虚数和虚部的定义，属于基础题．2．（4分）已知圆的半径为10，则60°的圆心角所对的弧长为．【分析】利用扇形弧长公式l扇形＝直接计算即可．【解答】解：根据题意，l扇形＝＝＝．故答案为：．【点评】此题主要考查了扇形弧长的计算，注意掌握扇形的弧长公式是解题关键．3．（4分）已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边在直线y＝﹣2x上，则＝．【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，求得tanα的值，进而利用诱导公式，同角三角函数基本关系式以及二倍角公式即可化简求解．【解答】解：在直线y＝﹣2x上任取一点P（m，﹣2m）（m≠0），由已知角α的终边在直线y＝﹣2x上，所以tanα＝＝−2，所以＝sin2α﹣sin2α＝＝＝＝．故答案为：．【点评】本题考查了任意角的三角函数的定义，诱导公式，同角三角函数基本关系式以及二倍角公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．4．（4分）在等差数列{an}中，已知a2＝5，a5＝2，则a3+a5+a7+a9＝4．【分析】直接利用已知条件建立方程组求出数列的通项公式．【解答】解：（1）设等差数列{an}公差为d，∵a2＝5，a5＝2，∴，解得a1＝6，d＝﹣1，∴an＝7﹣n，∴a3+a5+a7+a9＝4a6＝4，故答案为：4．【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，属于基础题．5．（4分）已知平面向量，不共线，且，，记与的夹角是θ，则θ最大时，＝．【分析】把cosθ表示为||的函数，利用函数的性质求出当θ最大时||的值，从而求出|﹣|的值．【解答】解：设||＝x，则•（2+）＝2•+＝2+x2，所以＝4+4•+＝4+4+x2＝8+x2；所以|2+|＝，所以cosθ＝＝，易得cosθ＞0；所以cos2θ＝＝＝＝；当x2＝4，即x＝2时，cos2θ取得最小值，θ取得最大值；此时＝﹣2•+＝1﹣2+4＝3；所以|﹣|＝．故答案为：．【点评】本题考查了平面向量数量积的运算问题，也考查了向量夹角的余弦公式以及配方求二次函数最值的问题，是中档题．6．（4分）若{an}是等比数列，且（a1+a2+…+an）＝（a12+a22+…+an2）＝2，则a1＝．【分析】设等比数列公比q，根据无穷递缩等比数列的各项和公式，列出方程组即可得解．【解答】解：设等比数列{an}公比q，则0＜|q|＜1，数列是首项为，公比为q2的等比数列，依题意得，解得，所以．故答案为：【点评】本题考查数列求和，考查学生的运算能力，属于中档题．7．（5分）若点A的坐标为（2，﹣1），则以A为终点的向量的坐标为（2，﹣1）．错（判断对错）【分析】由向量坐标的定义即可得出．【解答】解：若点A的坐标为（2，﹣1），可得向量的坐标为（2，﹣1）．若向量起点不是原点，以A为终点的向量的坐标不为（2，﹣1）．故答案为：错．【点评】本题考查了向量坐标的定义与运算，是基础题．8．（5分）如图，某班体重为70kg的体育老师在做引体向上示范动作，两只胳膊的夹角为60°，拉力大小均为F，若使身体能向上移动，则拉力F的最小整数值为405N．（取重力加速度大小为g＝10m/【分析】设两只胳膊的向上的合力为F1，则F1＝G，由题意可得，F1＝＝G＝mg，代入数据即可求解．【解答】解：设两只胳膊的向上的合力为F1，则F1＝G，由题意可得，F1＝＝G＝mg＝70×10所以F＝≈405N．故答案为：405【点评】本题主要考查了向量知识在物理实际问题中的应用，属于基础试题．9．（5分）已知，则＝．【分析】由已知利用诱导公式，二倍角公式化简所求即可得解．【解答】解：因为，所以＝sin（2α++）＝cos[2（α+）]＝1﹣2sin2（α+）＝1﹣2×＝．故答案为：．【点评】本题主要考查了诱导公式，二倍角公式在三角函数求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．10．（5分）△ABC中，已知cosB＝，则sin（A+C﹣）＝．．【分析】由已知结合同角平方关系可求sinB，然后利用三角形的内角和定理及两角差的余弦公式展开可求【解答】解：∵cosB＝，∴sinB＝，∴sin（A+C﹣）＝sin（）＝＝．故答案为：．【点评】本题主要考查了和差角公式在三角化简求值中的应用，属于基础试题．11．（5分）已知数列{an}满足an＞0，前n项和为Sn，若a3＝3，且对任意的k∈N*，均有a2k2＝，a2k+1＝2log2a2k+1，则a1＝1；S20＝2146．【分析】根据已知递推式可得数列{a2k﹣1}是公差为2的等差数列，数列{a2k}是公比为2的等比数列，由a3＝3，可求得a1的值，再利用分组求和法可求得S20．【解答】解：因为对任意的k∈N*，均有a2k2＝，且an＞0，所以a2k＝＝，k∈N*，所以a2k+1＝2log2a2k+1＝2log2+1＝2×+1＝a2k﹣1+2，所以a2k+1﹣a2k﹣1＝2，k∈N*，所以数列{a2k﹣1}是公差为2的等差数列，又a2k+2＝＝＝＝2a2k，所以＝2，k∈N*，所以数列{a2k}是公比为2的等比数列，所以a1＝a3﹣2＝3﹣2＝1，a2＝＝2，所以a2k﹣1＝a1+2（k﹣1）＝1+2（k﹣1）＝2k﹣1，a2k＝a22k﹣1＝2k，所以S20＝a1+a2+…+a19+a20＝（a1+a3+…+a19）+（a2+a4+…+a20）＝+＝5（1+19）+2（210﹣1）＝2146．故答案为：1；2146．【点评】本题主要考查数列递推式与数列的求和，考查等差数列与等比数列的通项公式及前n项和公式，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题．12．（5分）若圆O的半径为2，圆O的一条弦AB长为2，P是圆O上任意一点，点P满足，则的最大值为10．【分析】法一：建系法，以AB中点C为原点建系，求出ABO的坐标，求解圆O方程为，设，Q（x0，y0），利用向量的数量积，结合三角函数的最值求解即可．法二：投影法，连接OA，OB过点O作OC⊥AB，垂足为C，利用向量的数量积，推出表达式，判断表达式取得最大值时的位置，求解即可．【解答】解：【法一：建系法】如图以AB中点C为原点建系，则，所以圆O方程为，所以设，Q（x0，y0），因为，，所以，所以，因为cosθ∈[﹣1，1]，所以的最大值为10．【法二：投影法】连接OA，OB过点O作OC⊥AB，垂足为C，则．∴，因为，所以Q所以，＝．且仅当且同向时取等号，∴的最大值为10，故答案为：10．【点评】本题考查向量的数量积的求法与应用，考查直线与圆的位置关系，表达式的最值的求法，是中档题．二．选择题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）已知数列{an}满足a1＝﹣1，an+1＝|1﹣an|+2an+1，其前n项和为Sn，则下列说法正确的个数为（）①数列{an}是等差数列；②数列{an}是等比数列；③an＝3n﹣2；④Sn＝．A．0 B．1 C．2 D．3【分析】利用数列的递推关系式求出数列的前3项，即可判断①②③的正误；利用数列求和公式求解数列的和判断④的正误即可．【解答】解：数列{an}满足a1＝﹣1，an+1＝|1﹣an|+2an+1，可得a2＝1，a3＝3，a4＝9，所以数列不是等差数列，也不是等比数列，所以①②③不正确；当n≥2时，Sn＝﹣1+1+3+9+…+3n﹣1＝﹣1+＝，当n＝1时，也满足表达式，所以Sn＝，所以④正确．故选：B．【点评】本题考查数列的递推关系式的应用，命题的真假的判断，是中档题．14．（5分）下面四个判断中，正确的是（）A．f（k）＝1+k+k2+…+kn（n∈N*），当n＝1时，f（k）恒为1 B．f（k）＝1+k+k2+…+kn﹣1（n∈N*），当n＝1时，f（k）恒为1+k C．f（n）＝1+++…+（n∈N*），当n＝1时，f（n）为1++ D．f（n）＝++…+（n∈N*），则f（k+1）＝f（k）+++【分析】f（k）即当n＝1时，1+k+k2+…+kn的值，其实它只有一项，对于f（n）＝1+++…+（n∈N*）而言，它也只有一项．注意当n从k到k+1时变化的项，包括增加和减少的项．【解答】解：对于A，当n＝1时，f（k）恒为1+k，错误；对于B，当n＝1时，f（k）恒为1，错误；对于C，当n＝1时，f（n）为1++，正确；对于D，f（k+1）＝f（k）+++﹣，错误；故选：C．【点评】本题主要考查数学归纳法，数学归纳法的基本形式：P（n0）和（k）到P（k+1）的变化情况．15．（5分）函数的部分图象如图所示，则f（x）图象的一个对称中心为（）A． B． C． D．【分析】由函数图象可求A，T，利用周期公式可求ω，由，得，进而可求函数解析式，利用正弦函数的性质即可求解．【解答】解：由图可知A＝，T＝4（﹣）＝π＝，可得ω＝2，所以f（x）＝，由＝，得，所以f（x）＝，令，得，当k＝﹣1时，，即f（x）图象的一个对称中心为．故选：C．【点评】本题考查了由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查了数形结合思想，属于基础题．16．（5分）下列命题中正确的是（）①若数列{an}是等差数列，且am+an＝as+at（m、n、s、t∈N*），则m+n＝s+t；②若Sn是等差数列{an}的前n项的和，则Sn，S2n﹣Sn，S3n﹣S2n成等差数列；③若Sn是等比数列{an}的前n项的和，则Sn，S2n﹣Sn，S3n﹣S2n成等比数列；④若Sn是等比数列{an}的前n项的和，且；（其中A、B是非零常数，n∈N*），则A+B为零．A．①② B．②③ C．②④ D．③④【分析】①取数列{an}为常数列，即可推出该命题是假命题；②根据等差数列的性质，推出2（S2n﹣Sn）＝Sn+（S3n﹣S2n），即可得到Sn，S2n﹣Sn，S3n﹣S2n，…为等差数列；③利用等比数列an＝（﹣1）n，判断选项是否正确；④根据数列的前n项的和减去第n﹣1项的和得到数列的第n项的通项公式，即可得到此等比数列的首项与公比，根据首项和公比，利用等比数列的前n项和的公式表示出前n项的和，即可得到结论．【解答】解：①取数列{an}为常数列，对任意m、n、s、t∈N*，都有am+an＝as+at，故错；②设等差数列an的首项为a1，公差为d，则Sn＝a1+a2+…+an，S2n﹣Sn＝an+1+an+2+…+a2n＝a1+nd+a2+nd+…+an+nd＝Sn+n2d，同理：S3n﹣S2n＝a2n+1+a2n+2+…+a3n＝an+1+an+2+…+a2n+n2d＝S2n﹣Sn+n2d，∴2（S2n﹣Sn）＝Sn+（S3n﹣S2n），∴Sn，S2n﹣Sn，S3n﹣S2n是等差数列，此选项正确；③设an＝（﹣1）n，则S2＝0，S4﹣S2＝0，S6﹣S4＝0，∴此数列不是等比数列，此选项错；④因为an＝Sn﹣Sn﹣1＝（Aqn+B）﹣（Aqn﹣1+B）＝Aqn﹣Aqn﹣1＝（Aq﹣1）×qn﹣1，所以此数列为首项是Aq﹣1，公比为q的等比数列，则Sn＝，所以B＝，A＝﹣，∴A+B＝0，故正确；故选：C．【点评】本题考查等差数列与等比数列的性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．三．解答题（共5小题，满分76分）17．（14分）已知关于x的实系数一元二次方程x2﹣mx+1＝0有两个虚根α，β．（1）求m的取值范围；（2）若，求m的值及β3+β．【分析】（1）由已知可得：Δ＜0，解得m的取值范围．（2）根据实系数一元二次方程的虚根成对原理可得β，可得m＝α+β，由β2﹣β+1＝0，得β2＝β﹣1，进而得出β3+β＝β（β﹣1）+β＝β2＝β﹣1．【解答】解：（1）由已知可得：Δ＝m2﹣4＜0，解得﹣2＜m＜2，∴m的取值范围是（﹣2，2）．（2）由，∴β＝，∴m＝α+β＝1，由β2﹣β+1＝0，得β2＝β﹣1，∴β3+β＝β（β﹣1）+β＝β2＝β﹣1＝．【点评】本题考查了复数的四则运算法则、实系数一元二次方程的虚根成对原理、根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．18．（14分）设向量．（1）求与垂直的单位向量；（2）若向量与向量的夹角为钝角，求实数t的取值范围．【分析】（1）根据题意，设要求向量为，其坐标为（x，y），分析可得关于x、y的方程，解可得x、y的值，即可得答案；（2）根据题意，求出和的坐标，由数量积的计算公式可得关于t的不等式，解可得答案．【解答】解：（1）根据题意，设要求向量为，其坐标为（x，y），向量，则＝（3，），则有，解可得或，即要求向量的坐标为（﹣，）或（，﹣）；（2）根据题意，＝（2t+1，），＝（2+t，t），若向量与向量的夹角为钝角，则（）•（）＝（2t+1）（2+t）+3t＜0且t≠±1，变形可得t2+4t+1＜0且t≠±1，解可得：﹣2﹣＜t＜﹣2+且t≠﹣1，即t的取值范围为{t|﹣2﹣＜t＜﹣2+且t≠﹣1}．【点评】本题考查向量数量积的性质以及应用，涉及向量的夹角，属于基础题．19．（14分）已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝4，3Sn﹣Sn+1＝2．设．（1）求Sn；（2）求数列{bn}的前n项和Tn．【分析】（1）由3Sn﹣Sn+1＝2，化简得到Sn+1﹣1＝3（Sn﹣1），得出{Sn﹣1}是以3为首项，3为公比的等比数列，即可求得Sn；（2）由（1）知，，求得，得到，进而求得数列{bn}的前n项和．【解答】（1）解：由3Sn﹣Sn+1＝2，可得Sn+1＝3Sn﹣2，所以Sn+1﹣1＝3（Sn﹣1），又由S1﹣1＝a1﹣1＝3，所以{Sn﹣1}是以3为首项，3为公比的等比数列，所以，所以；（2）解：由（1）知，，当n≥2时，，当n＝1时，a1＝4≠2，所以，所以，当n＝1时，，当n≥2时，，当n＝1时，符合上式，所以数列{bn}的前n项和．【点评】本题考查了等比数列的求和，属于中档题．20．（16分）（1）定理证明：请用向量方法证明余弦定理（只需证明其中的一个式子即可）；（2）定理应用：如图，在平面四边形ABCD中，sinA＝，C＝2A，BC＝2CD＝4，∠ABD＝45°，求AD的长．【分析】（1）利用＝﹣，两边平方可得结论．（2）由已知可得cosC，进而由余弦定理可求BD，进而由正弦定理可求AD．【解答】解：（1）已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，求证：c2＝a2+b2﹣2abcosC．证明：如图，由三角形法则有＝﹣，所以2＝（﹣）2＝2﹣2•+2，c2＝a2+b2﹣2abcosC，（2）因为，所以cosC＝cos2A＝1﹣2sin2A＝，因为BC＝4，CD＝2，由余弦定理得BD2＝BC2+CD2﹣2BC⋅CD⋅cosC＝，所以，由正弦定理，得＝．【点评】本题主要考查平面向量的应用、正弦定理、余弦定理及三角恒等变换等基础知识；考查推理论证能力、运算求解能力等；考查化归与转化思想、函数与方程思想等；考查数学运算、逻辑推理等核心素养，体现基础性、综合性．21．（18分）在平面直角坐标系