河南省名校联盟2020-2021学年高一上学期1月联考数学试题

河南省名校联盟2020~2021学年高一1月联考数学试卷考生注意:1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.4.本卷命题范围:人教版必修1、必修2第一章~第三章第1节(直线的倾斜角与斜率).一、选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合则()A. B.C. D.2.直线的倾斜角为()A.B.C.D.3.下列命题中正确的是()A．若三个平面两两相交，则它们的交线互相平行B．若三条直线两两相交，则它们最多确定一个平面C．若不同点的两条直线均垂直于同一个平面，则这两条直线平行D．不共线的四点可以确定一个平面4.已知函数则的值为()A.B.C.D.5.函数的零点所在的区间是()A． B．C． D．6.如图，边长为的正方形是一个水平放置的平面图形的直观图，则平面图形以为轴旋转周所围成的几何体是()A.一个圆柱B.一个圆柱和一个同底面的圆锥的组合体C.个圆锥和一个同底面的圆柱(内部挖去一个同底等高的圆锥)的组合体D.两个同底的圆锥的组合体7.已知，则的大小关系为()A．B．C．D．8.设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列结论正确的是()A.若//，则//B.若则C.若点到平面的距离相等，则直线D.若//则9.函数的大致图象为()A． B．C． D．10.若竖直放置的圆锥的正视图是一个面积为的直角三角形，则该圆锥的体积为()A． B．C． D．11.在正六棱柱中，设和分别为下底面和上底面正六边形的中心，是线段上的动点，且则下列说法中正确的是()①与异面；②当为中点时，与平面所成角取得最大值；③四面体的体积是定值；④//.A. B.C. D.12.当时，函数的图象恒在轴下方，则实数的取值范围是() B．C. D．二、填空题（每题3分，满分18分，将答案填在答题纸上）13.设点，若三点共线，则实数的值为．14.某圆柱的侧面展开图是一个长、宽分别为和的矩形，则该圆柱其中一个底面的面积为．15.函数的值域为．16.已知四边形为矩形，，平面平面，，若四棱锥外接球的表面积为，则四棱锥体积的最大值为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.如图，正方体的棱长为分别是的中点.求证:四点共面；已知在棱上，求四面体的体积.18.已知函数的图象过点，且为偶函数.求函数的解析式﹔若对任意的不等式恒成立，求的最小值.19.如图，在四棱锥中，平面分别为的中点.求证:平面平面求证:平面平面20.如图，在四棱锥中，过直线的平面与棱分别交于点求异面直线与所成角的正切值﹔求证:21.某地区为了推进节能减排、保护环境和发展经济的需要，政府计划由当地天然气公司在两个工业园区间间修建天然气管道，已知两个工业园区相距并且在两工业园区之间设立供气站点(如图)，为保证两个工业园区的安全，规定站点距两工业园区的距离均不得少于已知工业园区一边有段长的旧管道准备改造利用，改造费用为万元其余管道都要新建，新建的费用与站点到两工业园区方向上新修建管道的长度的平方和成正比，并且当站点距离工业园区时，新建的费用为万元.设站点距工业园区为为两工业园区之间天然气管道的修建总费用为万元.求与之间的函数关系式，并写出其定义域；如何规划站点的位置，才能使修建总费用最小?最小总费用是多少?22.如图，在平行四边形中，现将沿折起，得到三棱锥(如图)，且平面平面，点为棱的中点.求证：平面在的角平分线上是否存在点，使得平面？若存在，求的长；若不存在，请说明理由.联盟2020~2021学年高一1月联考·数学参考答案.提示及评分细则一、选择题1.函数的定义域为，函数的值域为，所以.故选2.由题意得，倾斜角为.故选.3.在中，从正方体的一个顶点出发的三个平面是两两相交，但他们的交线互相垂直，故错误；在中，从正方体的一个顶点出发的三条棱可以确定三个平面，故错误﹔在中，不同的两条直线均垂直于同一个平面，则由线面垂直的性质定理得这两条直线平行，故正确；在中，若四点连线构成两条异面直线，这时四点不能确定一个平面，故错误.故选.4.令，则，所以，所以故选6.由直观图画出原图，如下图所示，因为所以，则平面图形以为轴旋转一周所围成的几何体为一个圆锥和一个圆柱(里面挖去一个圆锥).故选.7.由，所以.故选8.根据面面平行的性质定理得到选项错误；结合面面垂直的性质定理得到，若两个平面互相垂直，则垂直于它们交线的直线必垂直于另一个平面，因而选项错误；对于，可能直线与平面相交，因而选项错误﹔只有选项符合题意.故选.9.因为，所以该函数为奇函数，其图象关于原点对称，只有选项符合题意.故选.10.由题意，得该圆锥的母线长为母线与底面所成角为，易得圆锥高和底面半径均为，则所求圆锥的体积为故选11.结合题意，对于.因为平面平面，所以与异面.正确；对于，当为中点时，可证，点到点的距离取得最小值，此时，与平面所成角取得最大值，正确；对于，因为的面积为定值，而点到平面的距离也是定值，因而其体积为定值，故正确；对于，显然，错误.故选.12.结合题意对任意恒成立，当时，对任意不满足题意；当时，可得对任意恒成立，即结合单调性可知，只需，又，所以.故选.二、填空题13.因为点三点共线，所以，解得14.或设底面半径为则或或，故底面的面积为或15.函数上，因为所以即.16.如下图所示:连接，取的中点，设分别过作平面的垂线，过作平面的垂线，两垂线的交点即为外接球球心.由题意，得球心为由四棱锥外接球的表面积为，得到其半径为则设则.在中，.易知，当时，四棱锥的体积取得最大值，且最大值为.三、解答题17.证明:连接且，四边形是平行四边形，又分别为中点，，四点共面.解:由题意，得的面积又易得平面，且，四面体的体积.18.解:因为为二次函数，且为偶函数，所以的图象的对称轴方程为又的图象过点，故)解得所以令，则原式可化为在上恒成立，因为函数在上单调递增，易得当时，值为.故的取值范围是，所以实数的最小值为.19.证明:是的中点，且，四边形是平行四边形，平面平面平面和分别是的中点，平面平面平面，平面平面平面，又.，又.由底面平面得到又，平面平面平面平面，平面平面平面.20.解:即为异面直线与所成的角或其补角.，又，异面直线与所成角的正切值为.证明:又平面平面，平面.又由题意，得平面平面平面，.21.解:因为站点距两工业园区的距离均不得少于所以解得设，当时，，所以，解得所以，当时，万元.所以