新教材高中数学人教B版学案7-2-1三角函数的定义

7．2任意角的三角函数7．2.1三角函数的定义[课程目标]1.理解并掌握任意角三角函数的定义．2．理解三角函数是以实数为自变量的函数．3．通过任意角三角函数的定义，认识到锐角三角函数是任意角三角函数的一种特例，加深对特殊与一般关系的理解．[填一填]1．任意角的三角函数以角α的顶点O为坐标原点，以角α的始边的方向作为x轴的正方向，建立直角坐标系xOy(如图所示)，并且使∠xOy＝90°.在角α终边上任取一点P(x，y)，则OP的长度记为r＝eq\r(x2＋y2).(1)称eq\f(y,r)为角α的正弦，记作sinα，即sinα＝eq\f(y,r)，定义域为{α|α∈R}；(2)称eq\f(x,r)为角α的余弦，记作cosα，即cosα＝eq\f(x,r)，定义域为{α|α∈R}；(3)称eq\f(y,x)为角α的正切，记作tanα，即tanα＝eq\f(y,x)，定义域为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(α≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z)))).这三个对应法则都是以α为自变量的函数，分别叫做角α的正弦函数、余弦函数和正切函数．2．三角函数在各个象限的符号[答一答]1．如何理解三角函数的定义？提示：(1)各三角函数都是以实数为自变量，以比值为函数值的函数，其关系如图所示．这样，三角函数就像前面研究的其他基本初等函数一样，都是以实数为自变量的函数了．(2)设角α是一个任意大小的角，在角α的终边上任取一点P(x，y)，P到原点的距离|OP|＝r，则sinα＝eq\f(y,r)，cosα＝eq\f(x,r)，tanα＝eq\f(y,x).eq\f(y,r)，eq\f(x,r)，eq\f(y,x)这三个比值的大小都与点P在角的终边上的位置无关，而只与角的大小有关，这是因为：如图△OQQ1∽△OPP1，∴eq\f(QQ1,OQ)＝eq\f(PP1,OP)，eq\f(OQ1,OQ)＝eq\f(OP1,OP)，….2．一个角的正弦、余弦、正切在各个象限的符号如何？提示：三角函数值的符号是根据三角函数定义和各象限内坐标符号导出的．从原点到角的终边上任意一点的距离r总是正值．根据三角函数定义知：正弦值符号取决于纵坐标y的符号，余弦值的符号取决于横坐标x的符号，正切值则是x、y同号为正，异号为负．三角函数值在各象限的符号判别记忆规律如下：一全正、二正弦、三正切、四余弦(“一全正”是指角的终边在第一象限时，各种三角函数值的符号全为正号；“二正弦”是指第二象限仅正弦为正；“三正切”是指第三象限仅正切为正；“四余弦”是指第四象限仅余弦为正)．类型一求三角函数值命题视角1：利用定义求三角函数值[例1]如图，∠AOP＝eq\f(π,3)，点Q与点P关于y轴对称，P，Q都为角的终边与单位圆的交点，求：(1)点P的坐标；(2)∠AOQ的正弦函数值、余弦函数值．[解](1)设点P的坐标为(x，y)，则x＝cos∠AOP＝coseq\f(π,3)＝eq\f(1,2)，y＝sin∠AOP＝sineq\f(π,3)＝eq\f(\r(3),2).故点P的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(\r(3),2))).(2)∵点P与点Q关于y轴对称，∴点Q的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2))).根据正弦函数、余弦函数的定义可知sin∠AOQ＝eq\f(\r(3),2)，cos∠AOQ＝－eq\f(1,2).利用定义求α的三角函数值，其关键是求出角的终边与单位圆的交点P的坐标u，v，由三角函数的定义得sinα＝v，cosα＝u.[变式训练1]在平面直角坐标系中，以x轴的非负半轴为角的始边，如果角α，β的终边分别与单位圆交于点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(12,13)，\f(5,13)))和eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)，\f(4,5)))，那么sinαcosβ＝(B)A．－eq\f(36,65) B．－eq\f(3,13)C．eq\f(4,13) D．eq\f(48,65)解析：sinαcosβ＝eq\f(5,13)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)))＝－eq\f(3,13)，故选B．命题视角2：取点求三角函数值[例2]已知θ终边上一点P(x,3)(x≠0)，且cosθ＝eq\f(\r(10),10)x，求sinθ.[解]由题意知r＝|OP|＝eq\r(x2＋9)，由三角函数定义得cosθ＝eq\f(x,r)＝eq\f(x,\r(x2＋9)).又∵cosθ＝eq\f(\r(10),10)x，∴eq\f(x,\r(x2＋9))＝eq\f(\r(10),10)x.∵x≠0，∴x＝±1.当x＝1时，P(1,3)，此时sinθ＝eq\f(3,\r(12＋32))＝eq\f(3\r(10),10).当x＝－1时，P(－1,3)，此时sinθ＝eq\f(3,\r(－12＋32))＝eq\f(3\r(10),10).综上所述，sinθ＝eq\f(3\r(10),10).在解决有关角的终边在直线上的问题时，应注意到角的终边为射线，所以应分两种情况处理，取射线上异于原点的任意一点坐标a，b，则对应角的三角函数值分别为sinα＝eq\a\vs4\al(\f(b,\r(a2＋b2)))，cosα＝eq\a\vs4\al(\f(a,\r(a2＋b2))).[变式训练2]已知角α的终边在直线y＝－3x上，求10sinα＋eq\f(3,cosα)的值．解：由题意知，cosα≠0.设角α的终边上任意一点为P(k，－3k)(k≠0)，则x＝k，y＝－3k，r＝eq\r(k2＋－3k2)＝eq\r(10)|k|.(1)当k>0时，r＝eq\r(10)k，α是第四象限角，sinα＝eq\f(y,r)＝eq\f(－3k,\r(10)k)＝－eq\f(3\r(10),10)，eq\f(1,cosα)＝eq\f(r,x)＝eq\f(\r(10)k,k)＝eq\r(10)，∴10sinα＋eq\f(3,cosα)＝10×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3\r(10),10)))＋3eq\r(10)＝－3eq\r(10)＋3eq\r(10)＝0.(2)当k<0时，r＝－eq\r(10)k，α是第二象限角，sinα＝eq\f(y,r)＝eq\f(－3k,－\r(10)k)＝eq\f(3\r(10),10)，eq\f(1,cosα)＝eq\f(r,x)＝－eq\f(\r(10)k,k)＝－eq\r(10)，∴10sinα＋eq\f(3,cosα)＝10×eq\f(3\r(10),10)＋3×(－eq\r(10))＝3eq\r(10)－3eq\r(10)＝0.综上所述，10sinα＋eq\f(3,cosα)＝0.类型二判断三角函数值的符号[例3]下列各式：①sin1125°；②taneq\f(37,12)π·sineq\f(37,12)π；③eq\f(sin4,tan4)；④sin|－1|.其中为负值的个数是()A．1 B．2C．3 D．4[分析]确定一个角的某一三角函数值的符号关键要看角在哪一象限；确定一个式子的符号，则需要观察构成该式的结构特点及每部分的符号．[解析]对于①，因为1125°＝1080°＋45°，所以1125°是第一象限角，所以sin1125°>0；对于②，因eq\f(37,12)π＝2π＋eq\f(13,12)π，则eq\f(37,12)π是第三象限角，所以taneq\f(37,12)π>0，sineq\f(37,12)π<0，故taneq\f(37,12)π·sineq\f(37,12)π<0；对于③，因4弧度的角在第三象限，则sin4<0，tan4>0，故eq\f(sin4,tan4)<0；对于④，因eq\f(π,4)<1<eq\f(π,2)，则sin|－1|>0.综上，②③为负数．[答案]B对于较“大”的角先利用终边相同的角转化为较“小”的角即[0，2π内的角，再根据角所在的象限与三角函数值的符号进行判断.[变式训练3]判断下列各式的符号：(1)α是第四象限角，sinα·tanα；(2)sin3·cos4·taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(23,4)π)).解：(1)∵α是第四象限角，∴sinα<0，tanα<0，∴sinα·tanα>0.(2)∵eq\f(π,2)<3<π，π<4<eq\f(3π,2)，∴sin3>0，cos4<0，∵－eq\f(23π,4)＝－6π＋eq\f(π,4)，∴taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(23π,4)))＝taneq\f(π,4)>0，∴sin3·cos4·taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(23,4)π))<0.类型三由三角函数值的符号确定角的范围[例4]已知：cosα<0，tanα<0.(1)求角α的集合；(2)求角eq\f(α,2)的终边所在的象限；(3)试判断sineq\f(α,2)，coseq\f(α,2)，taneq\f(α,2)的符号．[分析]根据cosα<0，tanα<0.借助三角函数的符号的判断原则不难解得．[解](1)∵cosα<0，∴角α的终边可能位于第二或第三象限或x轴的非正半轴上．∵tanα<0，∴角α的终边可能位于第二或第四象限．∴角α的终边只能位于第二象限．故角α的集合为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\f(π,2)＋2kπ<α<π＋2kπ，k∈Z)).(2)∵eq\f(π,2)＋2kπ<α<π＋2kπ(k∈Z)，∴eq\f(π,4)＋kπ<eq\f(α,2)<eq\f(π,2)＋kπ(k∈Z)．当k＝2n(n∈Z)时，eq\f(π,4)＋2nπ<eq\f(α,2)<eq\f(π,2)＋2nπ(n∈Z)，∴eq\f(α,2)是第一象限角；当k＝2n＋1(n∈Z)时，eq\f(5π,4)＋2nπ<eq\f(α,2)<eq\f(3π,2)＋2nπ(n∈Z)，∴eq\f(α,2)是第三象限角．(3)由(2)可知，当eq\f(α,2)是第一象限角时，sineq\f(α,2)>0，coseq\f(α,2)>0，taneq\f(α,2)>0；当eq\f(α,2)是第三象限角时，sineq\f(α,2)<0，coseq\f(α,2)<0，taneq\f(α,2)>0.设单位圆与角α的终边交于点Px，y，则由三角函数定义知eq\a\vs4\al(\f(x,r))＝cosα<0，eq\a\vs4\al(\f(y,x))＝tanα<0，∴x<0，y>0，∴点P在第二象限，即角α为第二象限角，从而eq\a\vs4\al(\f(α,2))为第一或第三象限角.再由符号法则可知3中各值的符号.[变式训练4]若sin2θ>0，且cosθ<0，试确定角θ所在的象限．解：因为sin2θ>0，所以2kπ<2θ<2kπ＋π，k∈Z，所以kπ<θ<kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z.当k＝2m，m∈Z时，有2mπ<θ<2mπ＋eq\f(π,2)，m∈Z；当k＝2m＋1，m∈Z时，有2mπ＋π<θ<2mπ＋eq\f(3π,2)，m∈Z.故θ为第一或第三象限角．由cosθ<0可知，角θ在第二或第三象限或其终边位于x轴负半轴上．综上所述，角θ在第三象限．类型四三角函数式的化简求值与证明[例5]化简：eq\f(sinx,|sinx|)＋eq\f(|cosx|,cosx)＋eq\f(tanx,|tanx|)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(其中x≠\f(kπ,2)，k∈Z)).[分析]分象限对三角函数值的符号进行讨论．[解]因为x≠eq\f(kπ,2)，k∈Z，所以当x是第一象限角时，sinx>0，cosx>0，tanx>0，原式＝eq\f(sinx,sinx)＋eq\f(cosx,cosx)＋eq\f(tanx,tanx)＝3；当x是第二象限角时，sinx>0，cosx<0，tanx<0，原式＝eq\f(sinx,sinx)＋eq\f(－cosx,cosx)＋eq\f(tanx,－tanx)＝－1；当x是第三象限角时，sinx<0，cosx<0，tanx>0，原式＝eq\f(sinx,－sinx)＋eq\f(－cosx,cosx)＋eq\f(tanx,tanx)＝－1；当x是第四象限角时，sinx<0，cosx>0，tanx<0，原式＝eq\f(sinx,－sinx)＋eq\f(cosx,cosx)＋eq\f(tanx,－tanx)＝－1.综上可知，eq\f(sinx,|sinx|)＋eq\f(|cosx|,cosx)＋eq\f(tanx,|tanx|)的值为3或－1.求含绝对值的代数式的值时，要根据绝对值的意义先去绝对值符号，为此常采用分类讨论的思想.本题结合自身的特点按角x所在的象限进行讨论.[变式训练5]已知角α的终边上的点P与点A(m,2m)(m≠0)关于x轴对称，角β终边上的点Q与点A关于y轴对称，求sinαcosα＋sinβcosβ＋tanαtanβ解：由题意知P、Q两点的坐标分别为(m，－2m)、(－m,2m)，且|OP|＝|OQ|＝|OA|＝eq\r(5)|m|，∴sinαcosα＋sinβcosβ＋tanαtanβ＝eq\f(－2m,\r(5)|m|)·eq\f(m,\r(5)|m|)＋eq\f(2m,\r(5)|m|)·eq\f(－m,\r(5)|m|)＋eq\f(－2m,m)·eq\f(2m,－m)＝－eq\f(2,5)－eq\f(2,5)