高考数学大一轮复习 阶段检测试题(一)集合与常用逻辑用语 理试题

阶段检测试题（一）

（时间：120分钟满分：150分）

【选题明细表】

知识点、方法题号

集合与常用逻辑用语1,3

函数概念与表示2,4,10

函数的基本性质5,7,13,16

指数函数与对数函数17,18

函数图象6

函数与方程12

导数在研究函数中的应用9,11,14,15,19,20,21,22

定积分及应用8

一、选择题（本大题共12小题,每小题5分，共60分）

1.（2017•山东师大附中高三一模）已知集合11=々，-2*-8忘0},集合N={x|lgx20},则MCN

等于（C）

（A）{x|-2这x这4}（B）{x|x21}

（C）{x11WxW4}（D）{x|x》-2}

解析:因为xJ2x-8W0,

所以-2WxW4,

所以M={x|-2WxW4},因为1gx20,

所以x》l,

所以N={x|x'l},

所以MCN={x|1WXW4}.选C.

2.（2017•江西九江高三七校联考）函数y」°g2（x+1）的定义域是（D）

（A）（-1,3）（B）（-1,3]

(C)(-1,0)U(0,3)(D)(-1,0)U(0,3]

解析：由9-X2>0,X+1>0,X+1W1知T〈xW3且xWO,故选D.

3.(2017•江西瑞金一中等红色七校高三第一次联考)下列说法正确的是(A)

1

(A)aGR,“a〈i”是匕“”的必要不充分条件

(B)“p/\q为真命题”是“pVq为真命题”的必要不充分条件

(C)命题a3xWR,使得X2+2X+3〈0”的否定是：“VXWR,X2+2X+3>0”

(D)命题p:"VxGR,sinx+cosxW"”,则p是真命题

11

解析:因为a〉l时,a〈l,但a〈i时,a<0或a>l.故A正确；当pAq为真命题时,p,q均为真命题,

而pVq为真命题时,p,q中至少有一个为真命题，因此“pAq”为真是“pVq”为真的充分

不必要条件;C中原命题的否定是“VxGR,x，2x+320"；1)中,p是真命题,因此p是假命

题.

4.设函数f(x)=13x+l,xN0,则f[f(-2)]等于(A)

1

(A)3(B)l(C)0(D)3

解析:f(-2)=-2+2=0,f[f(-2)]=f(0)=30H=3.故选A.

5.(2016•滨州模拟)设f(x)为定义在R上的奇函数,且是周期为4的周期函数,f(1)=1,则

f(-l)+f(8)等于(B)

(A)-2(B)-l(C)0(D)l

解析：因为f(x)为定义在R上的奇函数，

所以f(O)=O,f(-x)=-f(x)

因为f(x)是周期为4的周期函数，

所以f(x+4)=f(x).

因为f(1)=1,

所以f(-l)+f(8)=-f(l)+f(0)=-l.

2

6.(2017•河北衡水中学高三上学期一调)函数f(x)=(l+eX-i)cosx的图象大致是(B)

所以f(-x)」+ecos(-x)=l+ecosx=-f(x),

所以函数f(x)为奇函数,排除A,C.

21-e

当x=l时，f(1)=(1+©T)cos1=1+ecosl<0.选B.

/-x2-ax-5(x<1),

a

4x>l)

7.已知函数f(x)=1x是R上的增函数，则a的取值范围是(C)

(A)[-3,0)(B)(-oo,-2]

(C)[-3,-2](D)(-8,O)

解析:若f(x)为R上的增函数,

a

I—51,

2

A

a<0,

2La

-l--aT-50一,

则应满足I1所以-3WaW-2.选C.

8.曲线y=e*,y=e*及x=l围成图形的面积是(B)

11

(A)e+e(B)e+e-2

12

(C)2+e(D)e

解析:如图.

X=1

(y=ex.

由ly=e-x知x=0,

1

r,i-、

故S二。(ex-ex)dx=(ex+ex)I0=e+e-2.选B.

1

9.设a£R,若函数f(x)=x+alnx在区间(Re)有极值点，则a的取值范围为(B)

1

(A)(e,e)

1

(B)(-e,-e)

1

(C)(-8,e)u(e,+8)

1

(D)-e)U(-e,+8)

a1

解析:f'(x)=l+x(x>0),『(x)为单调函数，所以函数f(x)在区间(e,e)有极值点，即f'

1a11

(e)f'(e)<0,得(1+ae)(1+©)<O=(a+e)(a+。)<0,解得-故选B.

10.|导学号187面面］设函数f(x)=ei,nx(e为自然对数的底数)，若

xHx2且f(x)=f(x，，则下列结论一定不成立的是(C)

(A)x2f(xi)>1(B)x2f(xi)=l

(C)x2f(Xi)<l(D)x2f(Xi)<Xif(x2)

/ejx-

e'blx=-,O<x<1,

解析:f(x)=1x

1

X

作出y=f(x)的图象，若0<XI<KX2,则f(xi)=1>1,f(X2)=x2>l,

则x2f(xi)>l,则A可能成立;

1

X

若O<X2<1<X1,则f(x2)=2>1,f(X1)=X1>1,

则Xzf(X1)=X2X1=1,则B可能成立;

对于D,若0<Xi<l<X2,则x2f(xi)>l,Xif(x2)=l,则D不成立;

若0<X2<KXI,则x2f(xi)=l,xif(x2)>l,则D成立.故有C一定不成立.

故选C.

11.导学号18702162设D是函数y=f(x)定义域内的一个区间，若存在刈0),使f(xo)=~xo,

则称X。是f(x)的一个“次不动点”，也称f(x)在区间D上存在“次不动点”，若函数

5

f(x)=ax?-3x-a+2在区间口,4］上存在“次不动点”，则实数a的取值范围是(D)

1

(A)(-oo,0)(B)(0,2)

11

(C)[2,+8)(D)(-oo,2]

解析:设晨x)=f(x)+x,依题意，

5

存在x£[1,4],使g(x)=f(x)+x=ax2-2x-a+2=o.

1

当x=l时,g⑴=2wo；

54x-5

-2

当xWl时，由ax2-2x-a+2=o得a=2(x•1).

4x-5

2

记h(x)=2(x-l)(Kx^4),

-2x2+5x-2i

22T

则由h'(x)=(x-1)=0得x=2或x=2(舍去).

当xG(l,2)时,h'(x)>0;

当xG⑵4]时,h'(x)<0,

即函数h(x)在(1,2)上是增函数,在(2,4]上是减函数,

因此当x=2时,h(x)取得最大值，

1

最大值是h⑵工，

1

故满足题意的实数a的取值范围是(-8,2],

121导学号187面前已知定义域为R的函数y=g(x)满足以下条件:①VxW

R,g(3-x)=g(3+x);②g(x)=g(x+2);③当xG[1,2]时,g(x)=

-2x'+4x-2,若方程g(x)=log3(x+l)(a>0,且aWl)在[0,+8)上至少有5个不等的实根,则实数

a的取值范围为(C)

亚企

(A)(0,3)(B)(0,3]

企1

(0(0,5)(D)[2+OO)

解析:由g(3-x)=g(3+x)知g(x)的图象关于直线x=3对称，由g(x)=

g(x+2)知g(x)的一个周期T=2,结合g(x)=-2x、4x-2(xG[1,2]),作出g(x)的图象与函数

y=log.(x+l)(x》0)的图象，则方程g(x)=log.(x+l)在[0,+8)上至少有5个不等的实根等价

于函数g(x)的图象与函数y=log.(x+l)(x>0)的图象至少有5个交点,如图所示,则

(0<a<1,4

|lOga(4+l)=Ioga5>-2,所以o<a<5,选c.

二、填空题(本大题共4小题,每小题5分，共20分)

xex+x+2

13.已知函数f(x)=e'+l+sinx,贝！Jf(-4)+f(-3)+f(-2)+f(T)+f(0)+

f(l)+f(2)+f⑶+f(4)的值是.

2

解析：因为f(x)=x+sinx+e*+l,

2ex

f(-x)=-x-sinx+l+e',

22ex

故f(x)+f(-x)=e+1+1+e=2;

所以f(-4)+f(-3)+f(-2)+f(-l)+f(0)+f(l)+f(2)+f(3)+f(4)=2X4+

1=9.

答案：9

111

14.记函数f(x)=3x3-2x42在(0,+8)上的值域为M,g(x)=(x+l)'+a在

(-8,+8)上的值域为N,若NcM,则实数a的取值范围是.

解析：f'(x)=x2-x(x>0),由f'(x)>0=xC(l,+8)；由伊(x)〈0=

1

xG(0,1),所以函数f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+8)上单调递增,所以M=[3,+8),又

1

N=[a,+8),所以若NUM,则实数a的取值范围是[§,+8).

1

答案:自+8)

1a

15.导学号18702165若函数f(x)=3x'-2x，+(3-a)x+b有三个不同的单调区间,则实数a的取

值范围是.

解析:f'(x)=x?-ax+3-a,要使f(x)有三个不同的单调区间，需△=

(-a)2-4(3-a)>0,即a£(-°°,-6)U(2,+°°).

答案：(-8,-6)U(2,+8)

16.若直线1与曲线C满足下列两个条件：⑴直线1在点P(x。,y°)处与曲线C相切；(ii)曲线

C在点P附近位于直线1的两侧,则称直线1在点P处“切过”曲线C,下列命题正确的是一

(写出所有正确命题的编号).

①直线l:y=0在点P(0,0)处“切过”曲线C:y=x，;

②直线l：y=xT在点P(l,0)处“切过”曲线C:y=lnx;

③直线l：y=-x+n在点P(n,0)处“切过”曲线C:y=sinx;

④直线l:y=x+l在点P(0,1)处“切过”曲线C:y=e".

解析:对于①,y=/在点P(0,0)处的切线为y=0,符合题中两个条件,所以正确;对于②,曲线

C:y=lnx在直线l:y=xT的同侧,不符合题意,所以错误;对于③,由图象可知，曲线C:y=sinx

在点P(m,0)附近位于直线1的两侧,符合题意，所以正确;对于④,曲线C:y=e”在直线

l：y=x+l的同侧,不符合题意,所以错误;即正确的有①③.

答案:①③

三、解答题(本大题共6小题，共70分)

17.(本小题满分10分)

1+ax

导学号187021翎已知函数f(x)=log2x-1(a为常数)是奇函数.

(1)求a的值与函数f(x)的定义域；

(2)若当xW(1,+8)时,f(x)+log2(x-l)>m恒成立.求实数m的取值

范围.

1+ax

解：⑴因为函数f(x)=log2X-l是奇函数,

所以f(-X)=-f(x),

1-ax1+ax

x1=

所以log2---10g2X-1,

ax-1x-1

即log/x+l=logj+ax,

所以a=].

1+x

令xT>0,解得x〈T或x>l.

所以函数的定义域为{x|x<7或x>l}.

(2)f(x)+loga(x-1)=log2(1+x).

当x>l时，x+l>2,

所以log2(l+x)>log22=l.

因为xG(1,+8),f(x)+log2(x-l)>m恒成立.

所以mWl,

所以m的取值范围是(-8,1].

18.(本小题满分12分)

导学号18702而设函数f(x)=kaX-a”(a>0,aWl)是定义域为R的奇函数.

⑴若f(l)>0,试求不等式f(x2+2x)+f(x-4)>0的解集;

3

(2)若f(1)=2且g(x)=a"+a"4f(x),求g(x)在[1,+8)上的最小值.

解:因为f(x)是定义在R上的奇函数，

所以f(0)=0,

所以k-l=0,即k=l,f(x)=a'-a

(1)因为f(D>0,

所以f(l)=a-a'>0,又因为a>0,aWl,

所以a>l,故f(xha,-a.为增函数，

又f(X2+2X)>-f(x-4),f(x)为奇函数，

所以f(X2+2X)>f(4-x),

则X2+2X>4-X,X2+3X-4>0,

所以x〉l或x<-4,

所以不等式的解集为{x|x>l或x<-4}.

3

⑵因为f(l)=a-a匚2

所以a=2.

所以f(x)=2X_2[g(x)=a2x+a-2x-4(2x-2-x)=(2X-2-X)2-4(2x-2-x)+2,

令t=2x-2-x,则t在xW[1,+8)上为增函数，

3

所以

所以函数g(x)=t2-4t+2=(t-2)2-2,当t=2时，函数g(x)取最小值-2,此时x=log2(l+曲).

19.(本小题满分12分)

1

导学号18702168已知f(x)=2x；g(x)=alnx(a>0).

(1)求函数F(x)=f(x)g(x)的极值;

1

(2)若函数G(x)=f(x)-g(x)+(aT)x在区间e)内有两个零点,求a的取值范围.

1

解：(l)F(x)=f(x)g(x)=2axYnx(x>0),

11

所以F'(x)=axlnx+2ax=ax(Inx+2),

11

22

由F'(x)>0得x>e，由F'(x)<0得0<x<e,

11

'2~?

所以F(x)在(0,e]上单调递减，在[e+8)上单调递增，

1a

所以F(x)极小值=F(e5=_4e,无极大值.

1

(2)因为G(x)=2xJalnx+(a-l)x,

a(x+a)(x-1)

所以G'(x)=x-x+a-l=x

11

又a>0,e<x<e,易得G(x)在(%1]上单调递减,在[1,e)上单调递增，

1

要使函数G(x)在仔,e)内有两个零点，

1a-1

.——+----+a>0.

2e2e

1

-+a-1<0,

[G(-)>0,2

2

e

G(l)<0,一+(a-l)e-a>0

需(G(e)>0即

2e-1

/a>——，

2e+2e

1

a<-

2

2e-e2

a>----,

所以I2e-2

2e-1i2e-11

所以2e?+2e<a<2即a的取值范围是(2e?+2e2).

20.(本小题满分12分)

(2017•河北衡水中学高三调研)已知曲线f(x)=ax+bx21nx在点(1,f(1))处的切线方程是

y=2xT.

(1)求实数a,b的值；

⑵若f(x)》kx2+(k-l)x恒成立,求实数k的最大值.

解：(l)f'(x)=a+2bxlnx+bx,贝!]f(l)=a=l,f'(l)=a+b=2nb=L

(2)由题x+x2lnx2(kx+k-1)•x恒成立，

2+xlnx

即kWX+1恒成立.

2+xlnx

令g(x)=X+1,

(Inx+l)(x+1)-2-xlnxInx+x-1

g，(x)=(x+1)2=(x+l)2,

显然y=lnx+x-1单调递增，且有唯一零点1,

所以g(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增，

所以g(x)mi„=g(l)=l,

所以kWl,故k的最大值为1.

21.(本小题满分12分)

(2016•江苏南京三模)某民营企业从事M国某品牌运动鞋的加工业务,按照国际惯例以美元

结算.依据以往的加工生产数据统计分析,若加工订单的金额为x万美元,可获得的加工费的

1

近似值为51n(2x+l)万美元.2011年以来,受美联储货币政策的影响，美元持续贬值.由于从

生产订单签约到成品交付要经历一段时间，收益将因美元贬值而损失mx万美元(其中m是该

1

时段的美元贬值指数，且从而实际所得的加工费为f(x)=51n(2x+l)-mx万美元.

1

(1)若某时段的美元贬值指数m=200,为了确保企业实际所得加工费随x的增加而增加,该企

业加工产品订单的金额x应该控制在什么范

围内？

1

(2)若该企业加工产品订单的金额为x万美元时共需要的生产成本为20x万美元,已知该企、也

的生产能力为xe[10,20],试问美元贬值指数m在何范围内时,该企业加工生产不会出现亏

2

损？(已知(ln(2x+l))'=2x+l).

11

解：(1)由已知m=200,f(x)=2in(2x+l)-mx,

1X

所以f(x)=2］n(2x+l)-200(x>0),

11199-2x

所以f，(x)=2x+l-200=200(2x+1).

由f'(x)〉0=199-2x>0,解得0<x<99.5,

即加工产品订单金额x£(0,99.5)(单位:万美元)，该企业的实际所得加工费随x的增加而增

加.

11

(2)依题意，该企业加工生产不出现亏损,则当xG［10,20］04,都有51n(2x+l)-mx220x,

即101n(2x+l)-(20m+l)x20,

设g(x)=101n(2x+l)-(20m+l)x,

-(40m+2)x-20m+19

则g'(x)=2x+l

19-20m

令g'(x)=0,得x=40m+2.

19-20m120

因为x=40m+2=_2+40m+2<10>

所以g(x)在［10,20］上是减函数,

所以g(x)mi„=g(20)=101n41-20(20m+l)>0,

ln41-2

所以mW40，又m>0,

ln41-2

所以mG(0,40］时，该企业加工生产不会亏损.

22.(本小题满分12分)

x-1

导学号18702函已知函数f(x)=ax-inx(a¥0).

(1)求函数f(x)的单调区间；

1

(2)当a=l时，求f(x)在口2］上的最大值和最小值(0.69<ln2<0.70);

e21+x

⑶求证：lnxwx.

⑴解