2020高考数学一轮复习三角函数三角恒等变换题型大全

第五节三角恒等变换

突破点（一）三角函数的化简求值

基础联通

1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式

c

(a-£)

c

(a+为

S(5

;变形：

T（a一阶

T;变形：

(a+W)

2.二倍角公式

S0sin2a=a；变形：

2a

cos2a=

c2a1+cos2a1—cos2a

变形：cos2(z—2，sin2a—1

2tana

Ttan2a—.,。

2na1-tan2a

考点一三角函数式的化简

_______________1________________

［例1］已知ad(O,兀,)化简：

(a.

(1+sina+cos(cos］—sin/J

•\/2+2cosa

考点二三角函数的给角求值

Sm10(-tan5

［例2］求值：(1)2sin20°°tan5°°)；

1

(2)sin50°(l+\/3tan10°).

能力练通抓应用体蛤的“得”与“失”

1—cos2l0°

L岗点口计臬3。“"。)

1egD.

A.B-

坐2

2.［考点二］(1+tan18°).(l+tan27°)的值是()

A.SB.1+^2C.2D.2(tan18°+tan273)

(sin2a+cos2a—l)(sin2a—cos2a+1)

3.［考点一］化简:

sin4a

2cos4x—2cos2x+1

4.［考点一］化简:

突破点（二）三角函数的条件求值

给值求值问题

1

兀

［例1］已知cos吟+a)cos一l\--

3-z-4

⑴求sin2a的值；

⑵求tana一总;的值.

taila

给值求角问题

=,，COS6=—臂，则a+£的值为（

［例2］（1）设a,£为钝角，且sina-)

兀兀兀兀

一357571f7

aA4B・丁D.7或彳

2

(2)已知a,(£(0,7i),且tan(a一尸)=g,tan片一去则为一小的值为

能力练通

1.［考点一］已知sin2a=/则cos］。一乎=()

221

AjC.D.

33

2.［考点一］若a,尸都是锐角，且cosa=(,sin(a—.)=R^,则cos0=(

)

3.［考点二］若sin2a=5，sin0—a)=,且］£不兀,用£兀，万a+/3的值是()

7兀9TI571f7兀571T9兀

A.丁B.—仁7或疝Dq■或彳

4.［考点二］若锐角a,尸满足(1+5121100(1+51@11£)=4,则a+£=

5.［考点一］已知7ij,且sing+cos§=2.

(1)求cosa的值；

(2)若sin(a-.)=—|,夕金电兀),求cos夕的值.

跟踪练习1、

1.判断正误(在括号内打“/”或“X”)

⑴两角和与差的正弦、余弦公式中的角a,。是任意的.()

(2)存在实数a,B,使等式sin(a+^)=sina+sin。成立.()

3

八,tana+tanp一…一»、1

(3)公式tan(a+/?)=------------5可以变形为

“1—tanortanp

tana+tan0=tan(«+yS)(1—tanatan0),且对任意角a,0都成立.(

(4)存在实数a,使tan2a=2tana.()

2.(2016•全国HI卷)若tan6则cos26=()

4114

A.15B.一§C.5D.5

3.(2015・重庆卷)若tana=1,tan(a+.)=；,则tan(3等于()

11-55

A.yB%C.yDq

4.(2017・广州调研)已知sina+cosa=；,贝!jsin2(3■—j=()

178

B-c-

A.89

18

5.(必修4P137Al3(5)改编)sin347°cos148°+sin77°•cos58°=

6.(2017.宁波调研)已知cos,十千一最6为锐角，则sin26=,sin(20H--2~j=

7三角函数式的化简

(1)(2017・杭州模拟允05(。十为以)5B+sin(a+.)sin(=()

A.sin(a+20B.sinaC.COS(Q+2£)D.cosa

(1+sina+cosa)[cos^-sin^-

(2)化简:(0<«<TT)=

-\j2+2cosa

8、(1)J2+2cos8+211—sin8的化简结果是.

4

9、三角函数式的求值

(l)[2sin500+sin10°(l+^tan10°)]-{2sin280=.

,(IT,、317n7TTfSin2a+2sin2a弘,

(2)已知cos|g-+aj=5，<—>则——tana---的值为---------

(3)已知a,BG(0,IT),且tan(a—§)=工,tan(3=—y,贝!J2a一夕的值为.

10、(l)4cos50°-tan40°=()

A.*BV2+A/3C^3D.272-1

⑵已知singer+-y^+sina,--y<a<0,则cosa的值为.

(3)(2017.绍兴月考)已知cosa=；,cos(a—A)=j^(0<A<a<g"),则tan2a=

突破点(三)三角恒等变换的综合问题

一点三角恒等变换与三角函数性质的综合问题

_______________________I_________________________________________________

_A

［典例］已知向量机=(sinx,l),n=(\/3Acosx,/cos2x)(A>0),函数4x)=加”的最大值为6.

⑴求A;

(2)将函数尸危)的图象向左平移自IT个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来晦1倍，纵坐标

不变，得到函数y=g⑴的图象，求g(x)在［。，用上的值域.

5

能力练通

1.已知函数Z(x)=2sin%sinQ+/.

jr

(1)求函数八彳)的最小正周期和单调递增区间；(2)当xe［0,引时，求函数的值域.

2.已知函数ytr)=Ssinox—coscox—1,x^R(其中o>0).

⑴求函数/(x)的值域；

JT

(2)若函数y=/(x)的图象与直线y=-1的两个相邻交点间的距离为求函数y=/H)的单调增区间.

3.已知函数/Cx)=2cos20x—1+25sincoxcoscox(0«o<l),直线x=］是函数«x)的图象的一条对称轴.

(1)求函数/U)的单调递增区间；

2兀

(2)已知函数〉=8(功的图象是由y=/(x)的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍,然后再向左平移了个

单位长度得到的，若g(2a+g)=E，aG(0,F),求sinot的值.

「课时达标检测］

［练基础小题——强化运算能力］

、，任sin110°sin20°,,

1.(2017•丽水模拟)计算嬴2155。二sin215丁的值为()

113

BC

A-2-2_2D.-723

1

兀

的值

周

一

2.(2017・临安中学高三月考)已知sin住+。-一-2COS-

2?

A.TB.TC.—ZD.1

6

7则sinQ+三）的值为（

3.（2017•江西新余三校联考）已知

8f)

1717

A-B-CD

48+—F+-F-

1\

兀)

一-^

4.637

7117

----

BC--

A.933D.9

的值

知

十

是

5已••4V3••

sm5Sm+■

［练常考题点——检验高考能力］

一、选择题

1.已矢口sin2a=g,贝!Jcos2(a—；)=()

122

A.B,C.—D.1

33

兀则cosx+cos(x-

2.已知coslX=()

6」3，

D.±1

D.4

则sina=()

5.在斜三角形AHC中，sinA=—也cos8cosC,且tanBtanC=l一6，则角A的值为（）

1

-

6.（2017•浙江金丽衢十二校联考）已知锐角a,用满足sina6tan(x+tan^+\/3-tanoctan尸=小,

则a,P的大小关系是（）

兀兀兀兀

A.a<^</3B./3<^<aC.^<a</3D.1〈夕va

二、填空题

2

7.2sin2x的最小正周期是

7

已矢口cos4oc-sin4a=|,且a£(0,?，贝UCOS(2Q+§

8.

9.已知tana,tan4是方程*+3由x+4=0的两根，且Q,多号，则a+£=,

10.若0<1若，—^<^<0,cosG+a)=/cos(^-4)=g，贝！Jcos(a+9=.

三、解答题

11.已知函数/(x)=cos2%+sinxcos%,x£R.

⑴求4%的值；

求痣十同

(2)若sina=W，

12.已知函数八无)=4tanxsin怎一JcosQ—一由.

(1)求的定义域与最小正周期；

⑵讨论/(尤)在区间［一『71力71上的单调性.

答案

第五节三角恒等变换

本节主要包括3个知识点：

1.三角函数的化简求值；2.三角函数的条件求值;

3.三角恒等变换的综合问题.

突破点(一)三角函数的化简求值

基础联通抓丰干知识的“源”与“流”________________

1.两角和与差的正弦、余弦'正切公式

C(“Rcos(a—j?)=cosacosjff+sinasinfi

8

ccos(a+fl)=8s_acos/-sin_asin_0

(a+fi)

Qsin(a­/?)=sin,cos/-cosuzsin_B

(a-fl)

Qsin(a+/?)=sin-cos6+cosasinB

(a+fl)

tana—tanB

T变形：tana—tan/?—tan(a—/?)(l+tanatanfl)

(a-fi)

tana+tanB-

Ttan(a+/?)—浦变形：tana+tantan(a+/?)(l—tanatan/?)

(a+fl)xinnffi3np

2.二倍角公式

sin2(z=2sin«cosa；变形：1+sin2a=(sina+cosa)2,1—sin2a=(sina—cosa)2

s2a

cos2c=8s2a—；sin2a=2co¥a-1=1-2sin2〃；

%l+cos2a.1—cos2a

变形：8s2a—2，sin2a—2

.2tana

Ttan2a—...

2«1—tan2a

考点贯通抓高考命题的“形”与“神”

考点一三角函数式的化简

1.三角函数式化简的一般要求：（1）函数名称尽可能少；（2）项数尽可能少；（3）尽可能不含根式；（4）次

数尽可能低、尽可能求出值.

2.常用的基本变换方法有：异角化同角、异名化同名、异次化同次，降塞或升寨，“1”的代换，弦切

互化等.

［例1］已知ad(0,Jt),化简:

(1+sina+cosa)"(cos^—sin£)

^2+2cosa

［解析］原式=

(2COS22+2sii^cos£)'(cos^—sin£)

因为aG（0,n）,所以券（0,n

a

所以co町＞0,

9

2cos2：+2siu*2ssGOS2-§畸)

所以原式=一a

2cos2

a.a

=COS22-sin22=cosa.

［答案］cosa

［方法技巧］三角函数式的化简要遵循“三看”原则

一看:通过看角之间的差别与联系,把角进行合理的

角一1拆分，从而正确使用公式

口函数名称之MJ的开诉，从例斓定使用的公式,

州.见的有“切化弦”

分析结构特征，找到变形的方向,常见的々“遇

三看_到分式要通分”“整式内式分解”.二次式也

结构伸3

方”等

考点二三角函数的给角求值

I___________________

—sin10—ten5

［例2］求值：(1)2sin20°—tan5°°；

(2)sin50°(1+由tan10°).

5小工》2cos210°______.…cos5°sin5°

［解］(1)原式=2X2sinlO°cos10。-sml。sin5°-cos5"

^10^_sinl0o.cos25。_sin25。

2sin10°‘in川sin5°cos5°

cos10°.in。COS10°

sm10*7

2sin10°

zsin10°

cos10°cos10°—2sin20°

2sinl0°-2cos10=2sin10°

cos10。-2sin(30°—10°)

=2sin10°

cos10°—2^1cos10°—^sin10°

=2sin10°

=V3sin10°=g

=2sin10°=2.

(2)sin50°(1+黄tan10°)=sin50°(l+tan60°tan10°)

10

.cos60°cos100+sin60°sin10°

-Sin*cos60°cos10°

.cos(60°-10°)

=sin50•-----77^-------

cos60cos10

2sin500cos500

—cos10°

_sinl00°cos10°_

一cos10°-cos10°一°

［方法技巧］

给角求值问题的解题规律

解决给角求值问题的关键是两种变换：一是角的变换，注意各角之间是否具有和差关系、互补（余）关

系、倍半关系，从而选择相应公式进行转化，把非特殊角的三角函数相约或相消，从而转化为特殊角的三

角函数；二是结构变换，在熟悉各种公式的结构特点、符号特征的基础上，结合所求式子的特点合理地进

行变形.

能力练通抓应用体验的“得”与“失”

1—

1.［考点二］计算:)

cos80°cos20°

A.\B.|

C.)D.一5

3A1-COS2100

：cos80°>Jl-cos20"

__________siiPio。__________

-sin10°^/l-(l-2sin210°)

sin210°\/2

一，isin210°-2,

2.［考点二］(1+tan18°)-(l+tan27°)的值是()

A.由B.I+A/2

C.2D.2(tan18°+tan27")

解析：选C原式=l+tanl8°+tan27°+tan18°tan27°=l+tanl8°tan27°+tan45°(1-

tanl8°tan27")=2,故选C.

(sin2a+cos2aT)(sin2«-cosZz+l)

3.［考点一］化简:

sin4a

(sin2«+CO!S2«-l)(sin2g-cos2z+l)

解析:

sin4a

11

sin22”一(cos2g-1)2

—2sin2a*cos2a

sin22”一cos22a+2cos2a-l

-2sin2a・cos2a

-2cos22a+2cos2a

-2sin2aecos2a

1-cos2a

sin2a

2sin2a

2sinacosa

sina

=tana.

cosa

答案：tana

2cos虹—2coar+2

4.［考点一］化简:

2tan(^-x)sin2(j+x)

—2sin2xcos2x+2

解析：原式=

1(l-sin22r)

2cos22r]

答案：|cos2x

突破点(二)三角函数的条件求值

考点贯通抓高考命题的“形”与“神”

［一点一给值求值问题

I

［例1］(2017•合肥模拟)已知cosOa)cos；—a=T，ae(1.

⑴求sin2a的值；

(2)求tana一卷的值・

12

［解］(1)Vcos(^+a)-cos(^—a)=cos^+a-sin(^+a)=|sin(2a+^=—1,

.\sin(2a+n|)="1.

・・・加+狂(兀,竽),

又由⑴知sin2a=1,.\cos2a=—'

1sina8sasin2〃-cos%-2cos2a

2X

••而b研=磊sina-sinacosa-sin2a

［方法技巧］

给值求值问题的求解思路

(1)先化简所求式子；

(2)观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入手);

(3)将已知条件代入所求式子，化简求值.

考点二给值求角问题

广।_____________________________________

［例2］⑴设〃，/为钝角，且sin以=?，cosA=-则a+0的值为(

(2)已知如作(0,g),且tanQ—/?)=；,tan/?=—1,则2a—。的值为

［解析］Q)：*/为钝角，sina=^,cosj?=-

・—2\/5.y/16

..cosa=5,smfl=如,

:.cos(a+/?)=cosacos/?—sinasinfi=啦2>0.

13

3%

又a+氏(u2%)**•a+氏~2,2%，

:.a+勺至

/c、r/Atana-0+tan£

⑵"an«=tan[G-8+岭Fa-何”

11

.*.0＜仁,

O+2xa3

-

_c2tang3-

又,'tan为=匚高=一f4

ai2

1一3

3+1

7t,人tan2a—tanB47

,•.0<2云7/.tan(2a-岭+tanMan£=13尸。

IT］

VtanP=—y<0,：.寺隹石-it<2x—30,

/.2a-勺-呈

密案］(1)C(2)-j

历法技巧］

给值求角时选取函数的原则和解题步骤

(1通过先求角的某个三角函数值来求角，在选取曲数时，遵照以下原则：

①已知正切函数值，选正切函数；

冗

②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数.若角的范围是0,2，选正、余弦函।数皆可；若角的范

围是(Q兀)选余弦函数较好；若角的范围为Tf,选正弦国数较好.

(2解给值求角问题的一般步骤：

①求角的某一个三角函数值；

②确定角的范围；

钏艮据角的范围写出所求的角的大小.

能力练通抓应用体验的“得”与“失"_____________

1.［考点T已知sin2c=；,贝［］co挈a-j=()

14

解析:选B*.：）=上丝=曾4乎4

2.［考点一］（2017•杭州模拟）若〃，/都是锐角，且cosa=g,sin（a—Jf）=^^,贝!|cos/?=（）

解析：选AVa,/都是锐角，且cos〃=W，sinQ—液)=\^,，sina=2,，cos((z—倒

，J.vnxv

从而8s/=cos［以一(以―/0］=cos(z8s(a-M+sinasiuQ—6)=2,故选A,

3.［考点二］(2017•台州模拟)若sin2a=4，sin(/?—且口£［:,九］蚱［元，竽］,则〃+夕的

值是（）

A与B・里4

-5n_^7n—5n_^9n

C・彳或彳D・1或彳

解析：选A因为九，所以2a2元］又sin2a=g所以2a^29n9aE4f29

故cos2a=一苗5•又昨［冗，y］,所以小一〃£信，竽］故cos0—〃)=一4俏所以cos3+/?)=8s［2a+3

—")］=cos2a・cos0-〃)-sin2asin0_〃)=-24*(_3；：°)一T><^^=?,又［竽，2元］故a

41考点二喏锐角a,。满足(l+\/5tan以)(l+\j3tanjff)=4,贝!Ia+j?=.

解析：因为(l+y&anaXl+T5tanmnd,所以1+J§(tana+tanA)+3tauotanA=4,即V§(tana+

tan少)=3-3tanatan/?=3(1—tanotanfi),即tana+tanA=V§(1—tanotanfl)./.tan(a+/?)=

普生乎6=G•又；氏/为锐角，：.a+p=^.

1—tanotanj?、尸尸3

答案：I

15

⑴求COS〃的值；

⑵若sin(“一/?)=一值，作体加)，求cos/的值.

解：⑴已知sin/+cos：=乎，两边同时平方，得l+2sinfc若则sina=/

又：＜“＜九,所以cosa——yjl-sin?a=一W

(2)因为冗,

3

又sin(a-j?)=^

4

所以cos(a—/?)=g.

则cos/?=cos[a-(a-/?)]

=cosacos(a-tf)+sinasin(a-2?)

由413

--

XX

25+-2

突破点(三)三角恒等变换的综合问题

利用三角恒等变换将三角函数化简后研究图象及性质是高考的热点,在高考中以解答题的形式出现,

考查三角函数的值域、最值、单调性、周期、奇偶性、对称性等问题.

考点贯通抓高考命题的“形”与“神”

考点三角恒等变换与三角函数性质的综合问题

__L

［典例］已知向量的=(sinx,l),n=\j3Acosx94cos2xr(A＞0),函数/(x)=/n•〃的最大值为6.

⑴求A;

(2)将函数y=/x)的图象向左平移去个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来碣倍，纵坐标

不变，得到函数尸g(x)的图象，求g(x)在［。，符］上的值域.

[解](X)f(x)=m-n

L4

=\/3Asinxcosx+jCOS2x

=4惇sin2r+|cos

16

因为A>0,由题意知A=6.

⑵由⑴知f(x)=6sin(2r+*

将函数y=#x)的图象向左平移丢个单位后得到y=6siii^2Q+D+U=6sin(2r+；)

的图象;

再将得到图象上各点横坐标缩短为原来的;倍，纵坐标不变，得到y=6sin(4x+；)的图象.

因此g(x)=6sin(4x+；).

因为*G[O,§],所以疝+台信,y],

故g(x)在[o,葭|上的值域为[-3,6].

[方法技巧]

三角恒等变换在三角函数图象和性质中的应用

(1)图象变换问题

先根据和角公式、倍角公式把函数表达式变为正弦型函数y=4sin(cox+9)+f或余弦型函数y=

,Acos(@x+p)+f的形式，再进行图象变换.

(2)函数性质问题

求函数周期、最值、单调区间的方法步骤：

①利用三角恒等变换及辅助角公式把三角函数关系式化成y=Asin(0x+0)+f或y=Acos(a)x+0)+f

’的形式；

I

②利用公式7=詈3>0)求周期；

③根据自变量的范围确定叫+?的范围，根据相应的正弦曲线或余弦曲线求值域或最值，另外求最

,值时，根据所给关系式的特点，也可换元转化为求二次函数的最值；

④根据正、余弦函数的单调区间列不等式求函数y=4sin(ox+?>)+f或y=4cosQx+p)+f的单调区

能力练通抓应用体验的“得”与“失”

1.已知函数式x)=2sinxsinQ+/.

(1)求函数於)的最小正周期和单调递增区间；

⑵当XG,，同时，求函数於)的值域.

解：(1次x)=2sinxdsinx+*osx)='、Bx^~~y^^+|sin2r=sin(2r—：)+乎.

所以函数加)的最小正周期为T=n.

17

由-*与+及加，keZ,

九5元

解得一五+“元元，kGZ,

所以函数/0)的单调递增区间是［一台+无阳居+A元，kGZ.

(2)当*G0,〈时,2x-|e［-1,y］,

sin(2r-1)e［-^,1,

舟)G［。,1+理

故於)的值域为［o,1+中］

2.已知函数/)=、5sin(ox—cos(ox—1,xeR(其中o>0).

(1)求函数於)的值域；

(2)若函数y=/(x)的图象与直线y=-1的两个相邻交点间的距离为:，求函数y=#x)的单调增区间.

解：(1次r)=2(Wsine)x—|costux)-1

=2sin(0x-^)—1.

$41,得一342sin(ox—1)

由一lWsin(t»x—-1^1.

所以函数危)的值域为［-3,1］.

(2)由题设条件及三角函数图象和性质可知，y=/(x)的周期为“，所以舞=北，即0=2.

所以於)=2sin(2x—3—1,

nn九

由刀伍

2fcjr/-j<2x-z。4Zhr+/WZ),

得无九一号

所以函数y=Hx)的单调增区间为［无无一点，kn+^(jtGZ).

3.已知函数用)=2cosAux—1+2\/3sincuxcose)x(0<z»<l)，直线x=鼻是函数龟)的图象的一条对称轴.

(1)求函数於)的单调递增区间；

(2)已知函数y=g(x)的图象是由7=於)的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，然后再向左平移2半1r

个单位长度得到的，若g3+|)，«e(0,。求sin”的值.

解：(1次X)=cos2a)x+\&in2a)x=2sin(2a)x+^,

18

由于直线*=:是函数/）=2sin（2tt）x+g的图象的一条对称轴，所以sin（芸）+/=±1,

因此告回+5=加+我£Z）,

□01

31

解得❿=/+?（无WZ）,

又0V«K1,所以。=3，

所以f（x）=2sin（x+/・

由2fc九一（无£Z）,得”靠一萼&:W2fc7r+9（A£Z）,

所以函数加）的单调递增区间为2kn-y,2fcn+1（jtGZ）.

-

A-3

九(-6(-

由

一

a+=-得-

+-32C2C5

-5J

磋4

九n

一

所

肥

<a-25以=-

6+■63+■^

所以sinQ=sinRt

a+z

［课时达标检测1重点保分课时-------练小题夯双基，二练题点过高考

［练基础小题——强化运算能力］

sin110°sin20°

1.（2017•丽水模拟）计算丁的值为（）

cos2155°—sin2155

sin110°sin20°sin70°sin20°

解析：选Bcos2155°-sin2155°=~cos310°

8s200sin20。/也40°

=cos50°=sin40。=7

2.（2017•临安中学高三月考）已知sing+a）=：,—^<a<0,贝！IcosQ—的值是（）

A,2B,3

19

1

-

解析：选C由已知得cosa2

所以cos(a—1=|coSa+fSina=-|.

3.（2017•江西新余三校联考）已知cos（f-2r）=W则sinQ+；）的值为（）

A1B|

解析：选C因为cos|jr一盾-2r）］=cos（2x+竽）=；,所以有sin2^r+1）=|

（1-^）=壶，从而求得sinQ+；）的值为士;，故选C.

4.已知sii点一a=；,则coszg+a）的值是（）

解析：选D

a

n7

=l-2si咋一〃=§,

・

..cos2^+Ia=cos

=COS7T

5.已知sin信+a)+sina=4j,贝!IsinQ+卷)的值是.

解析：V

sin^cosa+cos^sina+sin9

得ina+妥osJ冒

=­(^sina+zcosa)=­1.

20

4

答案-

5

［练常考题点一检验高考能力］

一、选择题

1.已知sin2a=；,则cos2("一皆=()

1

-

-3

Ac.

2

-

-3

[九].asin^2=|(cosa+sina)2=|(l+sin2a)=|.

解析：选D依题意得cos2!aR=8Sacos^+sin

\/3,(n

2.已知cosQr—*)=3,贝n！IJcosx+cos|x-j

瓦-挈B.丹

C.-1D.±1

解析：选CVcos(x—1^)=—

3

-x+Tsinx=\/3geosx+|sinx)=\i'3

/.cosx+cosr-^=cosx+cosxcos^+sinxsing2

cosQ-3=由x(_£)

3.若tana=2tang,则

B.2C.3D.4

COSG10)sinG10+2)SEQ+W)

解析：选C

sin(aY

.n..nsinan..n

sinacosz+cosasinz—-cosz+sinz

55cosa55

.