高二数学人教A版选择性讲义第26讲圆锥曲线中定值问题

第26讲圆锥曲线中定值问题

【题型目录】

题型一：圆锥曲线中线段长为定值问题

题型二：圆锥曲线中三角形四边形面积定值问题

题型三：圆锥曲线中有关斜率定值问题

题型四：圆锥曲线中有关向量定值问题

题型五：圆锥曲线中角为定值问题

【典型例题】

题型一：圆锥曲线中线段长为定值问题

【例1】(2022.全国•高二课时练习)已知椭圆1+%=l.

(1)若过椭圆的一个焦点引两条互相垂直的弦A8、MN.求证：瑞j+向是定值;

11

(2)若P、Q在椭圆上且OPLOQ.求证：商+鬲是定值.

【答案】(D证明见解析，(2)证明见解析

【分析】(1)对两条弦所在直线的斜率是否同时存在进行分类讨论，设出直线AB的方程，与椭圆方

程联立，结合弦长公式计算可证得结论成立；

(2)对直线OP、OG的斜率是否同时存在进行分类讨论，设出直线OP的方程，与椭圆方程联立，

利用两点间的距离公式计算可证得结论成立.

(1)证明：不妨弦AB、MN过椭圆的左焦点，其中α=3,b=2>∣2，c=y∣a2-b2=}-

当AB、MN中有一条为长轴时•，另一条为过焦点且平行于短轴的弦，

X=-Ix=-l

8,故该过焦点且平行于短轴的弦长为毕,

联立《√γ2押得

—+—=13

98

111317

bill]-----r+]------r=—~=—.

VAMIMNl61648,

当AB、MN中没有一条为长轴时，设％=%,k=-y,

MNK

y=R(x+l)

联立直线AB与椭圆方程得/y2=>(9⅛2+8)X2+18FX+9⅛2-72=0,

—I=1

198

Δ=324/-4侬2+8)(蝴一72)=482(⅛2+l)>0,

18F9*2-72

由韦达定理可得玉+々

9S+8'ʌ'ɪ2^9⅛2+8

根据弦长公式有

22222

1J(l8⅛)-4(9⅛+8)(9⅛-72)48(⅛+l)

y∣+k2-H-

∣AB∣=∖+Λ2)-4XIΛ2=Jl+

%2+89⅛2+8

48(⅛+048(⅛2÷1)

用-2替换上式中的力即得IMNI=

-9,。―9+8r

119⅛2+88⅛2+917

wiltμβj+pWv[-48(jl2+l)+48(⅛2+l)-48'

_J_1_17

综匕’∣AB∣+∣M^∣^48-

(2)证明：分以下两种情况讨论：

当直线。尸的斜率存在且不为零时，设直线OP的斜率为，”（机W0）,

y=mx

72ri1ll272M,,,,,72(1+

联立兰+M=I=Y=五而,则N=C2。'则QP-=X2+y2=_V___L

9万+8118+9浮

198

72∣1+I

T72(m2+l)

用替换上式中的m即得|。。『

▼Sm2+9

m

119√+88∕W2+917

因此研+质厂可/TiJ+河西）一泊

当0尸、。。中有一条斜率不存在时，另一条斜率为0,

11I1_17I1_17

y

U匕时研+国1=§+&=五'因此研+而=五.

1117

综上所述，∣op∣2+-72-

【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：

（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；

（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.

【例2】（2022・湖南•宁乡市教育研究中心模拟预测）已知抛物线G：V=4x的焦点与椭圆E:

⑵过点F且斜率为左的直线/交椭圆E于A8两点，交抛物线G于",N两点，请问是否存在实常数

2t

t,使画+网为定值？若存在，求出f的值；若不存在，说明理由.

【答案】⑴工+"=1,⑵存在，f=-]

433

【分析】（1）由题意可得c=l,。=2,即可得〃=3,即可求得椭圆方程；

（2）设直线/的方程为y=k（x-∖）,勺椭圆方程联立，利用韦达定理可求得,M=1|^答；再

利用韦达定理可求得IMM=4（：：1）,然后计算得

将直线方程与抛物线方程联立,

2t(8+3r)⅛2÷6

西+丽=12(-1)，即可求得答案•

（1）解：因为抛物线G:y2=4x的焦点为（1,0）,所以C=I,又a=2,则/=/一©2=3,

22

故椭圆E的方程为：~+~~=^»

43

（2）解：设Aa，x）、B（X2，%）、加（七，丫3）、N（X4,M），

∖

设直线/的方程为y=A/(x-1),与椭圆E的方程联立—4+—3=1

y=⅛(x-l)

得(3+4左2)χ2一842%+4左2-12=O,

W4⅛2-12

..再+∙^2

3+4/2

2

.^∙IABl=>J∖+k2-J(Xl+g)'_4XlX2=12(⅛+1)

3+4⅛2

y2=4x

设直线/的方程y=46-1),与抛物线G的方程联立•

y=MX-I)，

^k2x2-(2k2+4)x+k2=0,

.1N鼠十今YY-I

•∙ɪɜ+=--------------,“314-1，

...4(⅛2+l)

•∙∖MN∖=X+X+2=V'>

34K2

.t3+4/必(8+3f*+6

,^∣ΛB∣+∣Λ∕∕V∣-6(A2+l)+4(⅛2+l)-12(⅛2+1)，

212

要使西+师［为常数，贝∣］8+3f=6,解得，=一§,

故存在一“2使得两2+两1为定呜1•

【例3】(2022•江苏•南京市中华中学高三阶段练习)已知点B是圆C:(X-1)2+J=16上的任意一点,

点产(-1,0),线段8尸的垂直平分线交BC于点P.

(1)求动点P的轨迹E的方程；

⑵设曲线E与X轴的两个交点分别为A/,A2,Q为直线44上的动点，且Q不在X轴上，QA,与E

的另一个交点为M，。42与E的另一个交点为N,证明：AFMN的周长为定值.

22

【答案】⑴三+3=1，(2)证明见解析

43

【分析】(1)根据垂直平分线的性质，可知PF+PC为定值，可知动点轨迹为椭圆；

(2)分别设出。、M、N的坐标，联立方程，解出M、N的坐标，并求出直线MN的方程，利用其

经过右焦点，即可证得周长为定值.

(1)因为点尸在5F垂直平分线上，所以有PF=P3,所以：PF+PC=PB+PC=BC=r=4,即

PF+PC为定值4>2,所以轨迹E为椭圆，且a=2,c=l,所以从=3,

ɔ2

所以轨迹E的方程为：三+匕=1.

43

(2)由题知：A(-2,0),A(2,0),设Q(4,。，Ma,χ),N(X2,y2)

则％A=(,⅛≈p所以。4方程为：y=((χ+2),a2方程为：y=gχ-2),

2

y>(x+2)∕s4-2r18/

联立方程：XM,可以得出［行了土

—十——1

43

‘2户一6-6/、

同理可以计算出点N坐标:

、3+»'3+2

当右N存在，即/≠9，即f≠±3时，km=-^-

所以直线MN的方程为：y+d=-先X-W=

即：ʃ=-⅛+⅛=-⅛χ-1)-所以直线过定点(1，°)，

即过椭圆的右焦点乙，所以AFMN的周长为44=8.

当右N不存在，即r=9,即，=±3时，

可以计算出％=々=1，周长也等于8.

所以△&WN的周长为定值8.

•52

【例4】(2022•北京•高三开学考试)已知椭圆＜7:5+4=13＞。＞0)的长轴的两个端点分别为

ab

A(-2,0),3(2,0)离心率为母.

(1)求椭圆C的标准方程；

⑵M为椭圆C上除A,8外任意一点，直线AM交直线x=4于点N,点O为坐标原点，过点。且与

直线BN垂直的直线记为/,直线BM交y轴于点P,交直线/子点Q,求证：阁为定值.

【答案】(1)工+y2=l,(2)证明见解析.

【分析】(1)由顶点坐标求得“，由离心率求得c，再求出b得椭圆方程；

(2)设M(4羽，写出直线AM方程求得N点坐标，求出直线BN的斜率，得直线/斜率及方程，再

∖BP∖Xp-X

求得直线5M的方程可得其与y轴交点P的坐标，求出两直线交点。坐标，由七U=---------8-可得结

(1)由已知α=2,又e=£=£=1,c∙≈√3,所以6="≡∕=1,椭圆标准方程为+=1；

a224

2

22

(2)设Ma,y∣),y≠0,则会+y；=i,χ1+4JI=4,

直线AM的方程为y=+2),令χ=4得y=驾，即N(4,驾)，

X[+2x1+2X1+2

6凶X+2Xt+2

,x÷23χMM=-十一，直线/的方程是尸一言一九，

L=1F=言3χ3y

直线BM的方程为y==∖(χ-2),令χ=0得y=_01,即P(O「心\),

xl-2xl-2X1-2

X+2

1X=-6z

3%

，因为为+4＞：=4,故解得,,二2a+2),即Q-6,

(x-2)

玉一2

I^LI⅛-⅞I|Q-2|=i

所以IPQl∣⅞-⅞∣∣-6-o∣3'

22

[例5](2022・湖南师大附中高三阶段练习)设耳,鸟分别是圆C:=+2=1(“＞b＞0)的左、右焦点,

ab

M是C上一点，M鸟与XM6与C的另一个交点为M且直线MN的斜率为正

(1)求椭圆C的离心率.

⑵设。(0,1)是椭圆C的上顶点，过。任作两条互相垂直的直线分别交椭圆C于48两点，过点O

作线段AB的垂线，垂足为°,判断在y轴上是否存在定点R,使得IRQl的长度为定值？并证明你的

结论.

【答案】(1)在，(2)存在，证明见解析

2

【分析】(1)由题意，表示点M的坐标，根据斜率与倾斜角的关系，可得出ab，c的等量关系，再

根据“涉,c的性质，可得齐次方程，即可得答案；

(2)根据椭圆上顶点的性质，可得匕的值，进而得到椭网的标准方程，设出直线AB的方程，并联

立且消元整理一元二次方程，写韦达定理，根据垂直，解得截距的值，得到直线过定点，根据圆的

性质，直径所对的圆周角为直角，半径为定值，可得圆心便是答案.

(1)由题意知，点M在第一象限.M是C上一点且M8与X轴垂直，

.∙.Λ∕的横坐标为c.当X=C时,γ=-,即M

又直线MN的斜率为乎,所以un∕岬6=2=Q=变,

2c2ac4

即/=也〃C=。2一。2,即也。。一〃2=0,

22

则e?+也-1=0,解得e=变或e=-夜(舍去)，即e=变.

222

(2)已知D(0,1)是椭圆的上顶点，则6=1,.£=也,〃=y+C?,..〃=夜，椭圆的方程为兰+>2=[,

a22

易得直线AB的斜率必然存在，设直线AB的方程为y="+惟A(x"∣),、2)，

y=kx+jn可得（［+2无2）丁+45+2（√_］）=0（*）,

由irz

X+Λy—2.

所以X+x-~4kmXX-2（m~~x

X+X22XX22

'~i+2k''~l+2⅛

又QA=（Xl,y∣-l）,QB=（孙必一1）>

DA-DB-xxx2+(ʃ,-l)(j2-l)=x∣¾+(Axl+∕n-l)(fcc2÷∕w-l)

22

=[k+1)X1X2+⅛(∕M-1)(X∣+JC2)+(/77-I)

2

,2、2(/7?-1)-41lcm2

=(⅛+ι-ɪ~~μ+k(m-ι).^^+(m-i)>

I,l+2⅛2`,∖+lk2

2(m2-1)(⅛2+1)-4⅛2(m2-m)+(1+2⅛2)(m-1)2

=172^=°

化简整理有3加2-2m-I=0>褥，"=-g或〃?=1.

当〃?=1时，直线AB经过点。，不满足题意；

当m=-1时满足方程(*)中A>0,故直线AB经过>轴上定点

又。为过点。作线段AB的垂线的垂足，故。在以DG为宜径的圆上，取OG的中点为R(Oq),则

12

IRQl为定值，且IRQI=万口GI=I

22

【例6】(2022•贵州•黔西南州金成实验学校高二期末(理))己知椭圆U=+4=l(a>6>0)的离

a~b~

心率为立，A、B分别是椭圆的右顶点和上顶点，AB的面积为L

2

(1)求椭圆C的方程；

(2)设P的椭圆C上一点，直线处与>轴交于点M,直线m与X轴交于点N.求证：IANHBMl为

定值.

【答案】⑴J+V=l,(2)见解析

4

【分析】(I)由给定条件建立a,〃的方程组，再求解即得；

(2)设出点P的坐标，求出直线AP,8P方程，进而求得点MN的坐标，再计算∣4V∣∙忸M即可得解.

(1)依题意/=二=——~=1-^7=—=>α=2⅛.

a2a2a24

.又SoAH=Jab=Ina人=2，解得α=2,6=1,

所以椭圆C的方程为《+V=L

4

(2)设点PaO,%),而A(2,0),6(0,1),且x0<2,%<l,片+4y：=4,

当XOHo时，直线AP：y=~7(x-2),点何(0,弃J),

x0-2Z-X0

∣BM∣=∣l-χw∣=∣l+⅛-∣,

直线8P：y-l=^-x,点N(∙r^一,0),

⅞1一%

IANl=I2-∕∣=∣2+壬

%T

IANIIBM∣=∣l+^¾∣∣2+-^-∣

XO-2%-1

=片+4y：+4%%_气-8%+4∣=忤0%―4%—8%+8=4,

/%-XO-2%+2IIXOyo-XO-2%+2

当ΛO=O时，y0=-l,∖BM∖=2,∣AN∣=2,所以∣AN∣∙∣|=4

所以IANHBM是定值.

22

【例7】(2022•江苏•高二专题练习)已知人为椭圆C：*■+方=l(α>6>0)的左、右焦点，过

点8(1,0)且垂直于X轴的直线被C截得的弦长为3,过点耳的直线交C于A,B两点.

(1)求C的方程；

(2)若直线AB的斜率不为0,过A,B作直线x=-4的垂线，垂足分别是£,F,设EB与AF交于点

GD

G,直线X=Y与X轴交于点。，求证：k为定值.

GF、

【答案】(1)工+.=1,(2)证明见解析

43

—ɪɜ

【分析】(1)由题意可得”,解方程即可求出a,。,。，即可得出C的方程；

c=l

(2)当直线AB的斜率不存在时，满足题意，当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为

y=Mx+l),设A(Xl,χ),B(¾,γ2),联立直线与椭圆的方程，结合韦达定理可得再+和再F，表

示出的方程，两式相减可求出的横坐标为-,，所以为。耳垂直平分线卜.•点,

EB,AFGG即可求

出答案.

2⅛2

(1)解：因为过耳且垂直于X轴的直线被C截得的弦长为3,所以=3,CD

因为C的右焦点为月(1,0),所以C=I,②联立①②可得。=2,*=√3,

V2V2

所以C的方程为土+匕=1.

43

(2)证明：当直线AB的斜率不存在时，易知G(等0),心,0),4(-1,0),

GD

所以R=L

当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=k(x+l),

联立y=k(χ+ι)与[+]=1,

得(3+4公+8%'+4公-12=0,

设Aa，M)，8(W'%),

一N"?AL2_10

则Xi+%2=--------y，x1x,=---------,A>0恒成立，

由题可知E(Y,yJ,F(-4,y2),

贝IJ£3的方程为,一乂=^7^L(X+4),①

A尸的方程为3-%]+；Q+4),②

②一①得%-%=—~—(x+4)--_■—(jc+4),

xl÷4X2+4

-^-(x+4)+^--(x+4)

因为y-必≠o,所以I=

x1+4x2+4

=URU⅛+4)=(2K%)(X+4)-

所以》4=包也至2

x1+X2+8

xxx2+4(x1+X2)+16

xl+x2÷8

4/一12,-8⅛2

5-+4--------+16

_3+4K3+4K7

-8公

+8

3+46

4⅛2-12+4∙(-8⅛2)+16(3+4⅛2)

-8⅛2+8(3+4⅛2)

36+36/_3

-24+24⅛2~2,

55

所以x=-∙∣,所以G的横坐标为-1,

又JO(T,0),耳(-1,0),所以G为。片垂直平分线上一点，所以B=L

GΛ

IGDI

综匕国｛=I.

【题型专练】

1.(2021•山东•高三开学考试)在平面直角坐标系Xoy中，已知点耳(一遍,0),F式五0),动点M满

足用+1"周=46,记点M的轨迹为曲线C.

(1)求C的方程；

(2)圆V+y2=4的切线与C相交于A,B两点，P为切点，求IpAI∙∣心|的值.

22

【答案】(1)二+二=1,(2)∣PΛ∣∙∣PB∣=4

126

【分析】(I)结合椭圆的定义求得”,4c,由此求得C的方程.

(2)当直线AB斜率不存在时，求得IPAl,∣P8∣,从而求得∣E4∣∙∣PB∣;当宜线AB斜率存在时，设出直

线AB的方程，根据直线和圆的位置关系列方程，联立直线的方程和椭圆的方程，化简写出根与系数

关系，求得OA∙O8=0,由此判断出NAO3=90。，结合相似三角形求得IPAHP印

(1)因为∣MK∣+∣M图=4√5>2#=山闻，所以点”的轨迹曲线C是以耳，行为焦点的椭圆.

22

设其方程为=+[=l(α>6>0),

ab-

则24=4√5,a2-b2=6,解得a=26，b=R,

22

所以曲线C的方程为三+二=1.

126

(2)当直线AB的斜率不存在时，P(±2,0),此时IPAI=IPBl=2,则IPAIIP8|=4.

当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=云+机，

由直线A8与圆/+V=4相切可得如^=2,化简得〃f=4(公+1).

ʃ=Ax+m,

联立—y2得(2k~+1)x~+4knvc+2/??~—12=0,ʌ>0.

l2+^6^~，

设A(%,yj,B(χ2,y2),

-Akrn2W2-12

则占+∙⅜..27，X∣X*>=ɔ

2片+1*1-2⅛2+l

所以0A∙OB=xlx2+yiy2

=(&2+l)x1x2+km(X]+x2)+nr

22

(⅛+1)(2ZW-12)4⅛

+m2

2⅛2+l2Λ2+1

3∕M2-12(⅛2+1)

2公+1

12(Ar2+l)-12(⅛2+l)

=0>

2⅛2+l

所以NAOB=90。，所以aA08为直角三角形.

由OP_LA8,可得ZkAOQZiOBP,

IPAIIOPI

所以漏=隔，所以IPAI∙∣P8HOP∣2=4.

综上，∣PA∣∙∣PB∣=4.

2.(2022・湖北•高三开学考试)在平面直角坐标系XOy中，已知定点6(7,0),6(1,0),动点M满足

∖MFl∖+∖MF2∖=2>j2.记点M的轨迹为C.

(1)求曲线C的方程；

IlllAB

⑵经过K且不垂直于坐标轴的直线/与C交于AB两点，X轴上点P满足IPAl=IP却，证明：丘石为

定值，并求出该值.

【答案】⑴]■+>2=1,(2)证明见解析,2y∣2

【分析】(1)利用椭圆的定义求点M的轨迹方程C：

(2)设出直线/为：y=%(x+l)M≠0,联立椭圆方程，求出两根之和，两根之积，从而表达出弦长

∖AB

l∣AB∣l,再求出AB中点，进而表达出AB的垂直平分线，求出产点坐标，得到耳P的长，得到*河为

定值.

(1)由椭圆的定义可知：M的轨迹为以K(T,0),6(1,0)为焦点的椭圆，且∣M4∣+∣M闾=2近

则可得24=2∙^,C=I,所以a=V∑万=/—°。=2—1=1,

所以C的方程为］+V=ι

(2)设直线/为：y=k(x+∖),k≠0,

则联立］+V=I得:(∖+2k2)x2+4k2x+2k2-2=0,

x=,

没A(Xl,*),3(々,必)，则X∣+犬2=-1上°&2，Λ1

1十乙K1I乙K

./x_.2k

y1÷ʃ2=⅛(x1+x2)+2⅛=—-y,

1I乙K

4(2炉2)2√2(l+⅛2)

则F)一

M=H1+2/-1+2公

〜,•,ɪ->,(2J12

AB中H坐标为［一［+2/，］+k2公)y

所以A8的垂直平分线为广币k*一1十(+2西X

令广。得「=一币记'

所以+总'°)年口一原1+公

1+2公

2√2(l+⅛2)

IABlι+2∕-

=2√2

2

∖FiP∖~l+⅛

l+2k2

3.(2023・全国・高三专题练习)已知椭圆£提+，=1(4＞匕＞0)过点«1,芋J,且点8到其两个焦

点距离之和为4.

⑴求椭圆E的方程；

⑵设。为原点，点A为椭圆E的左顶点，过点C(LO)的直线/与椭圆E交于P,。两点，且直线/与X

轴不重合，直线AP,A。分别与y轴交于M,N两点.求证：IOMHOM为定值.

【答案】⑴三+/=1,(2)证明见解析

4

f2o=4

【分析】(I)根据椭圆的定义可得13,，即可求出。、b,从而得解；

(2)山(1)可得A点坐标，当直线/斜率时，直接求出P、。两点坐标，从而得到直线方程，即可

求出∣OΛ∕∣∙∣OM的值，当直线/斜率存在时，设直线/的方程为y=g-i)信W0),P(χi,yl),Q(χ2,y2),

联立直线与椭圆方程,消元、列出韦达定理,表示出直线方程,即可得到点的坐标,从而求IHloMI∙∣OM

的值；

2a=4

∖a=2Y2

(1)解:依题意13解得忆，所以椭圆方程%

=1

(2)解：山(1)可知4(-2,0),当直线/斜率不存在时，直线/的方程为x=l,代入椭圆方程得

→∕=1,解得y=±*，不妨设此时P(l,务Q(L-亭,

所以直线AP的方程为y=无(x+2),即"(0,更)，

63

直线AQ的方程为),=-直(χ+2),即N(0,-B),

所以|。MHONI=丁

当直线I斜率存在时，设直线I的方程为y=k(x-∖)(^≠0),

y=k(x-i)

由(4k2+l)x2-Sk2x+4Z:2-4=O,

—+y-=1

14

依题意，A=64K-4(4工+1)(4产-4)=48犬+16>0,

8*24fc2-4

设,必)，Q(x,y),则玉+%

P(XI224⅛2+l'ʌ'ʌ2^4⅛2+l

又直线赫的方程为y=χ*(χ+2),

令”0,得点M的纵坐标为％=岸,即叩於

同理，得N°，,

I纣跖4%-(x∣-I)(X2-1)4V[χ∕2-(玉+S)+“

所以IoMI∙∣ONI=

∣(XI+2)(X2+2)xx

(ɪ,+2)(X2+2)l2+2(N+x2)+4

22

..2Z4*-4Sk..

4攵3]—4k、]+"4k2(4%2-4-8Aj+4k2+l)Nɪ

4Λ2-4I6Λ2Ak2-4+16—+16⅛2+436p^^3

—1-----------ɔ+4

4½2+l4⅛2+l

综上可得，∣oM∙∣av∣为定值，定值为g∙

4.(2023•全国•高三专题练习)动点M(XM与定点F(®0)的距离和M到定直线/：尤=26的距离

之比是常数也，记动点M的轨迹为曲线C.

2

⑴求曲线C的方程；

⑵设「(，加〃)是曲线C上的一动点，由原点。向圆(x-，〃y+(y-a)2=2引两条切线，分别交曲线C于

点AB,若直线04OB的斜率均存在，并分别记为仁,友,试问限+∣O3/是否为定值？若是，求

出该值；若不是，请说明理由.

【答案】(1)[+《=1,(2)是定值，定值为9

63

【分析】(1)根据题意列式化简方程陋=也即可;

d∣x-2√3∣2

(2)宜线。AOB的方程分别为y=&/,)，=小，设A(Λ1,M),B(X2,%),根据直线与圆相切可得&&

是方程(m2-2伙2-2机/次+〃2-2=0的两个根，结合韦达定理与椭圆的方程可得⅛Λ=-g,进而求

得∣0A∣2+10却2关于勺人的表达式，代入左&=一；求解即可

⑴山题意，点M(%y)与定点F(①0)的距离IMM=J(X-百Y+V,点”到直线/：“26的距离

J=∣x-2√3∣,所以粤=J（X-咚,即2卜一班）2+2丫2=卜一2道I,化简得∖+?=ι,

故曲线C的方程为4+卫=1；

63

（2）由题意可得,直线OAoB的方程分别为y=fclx,y=3,设Aa,乂）,8（々,必）.

由直线。4与圆（X-町）~+（y-"）=2相切可得I/了=J2.

z≡≥（〃广—2）%「—2mnk[+"—2=0,同理（加一—2）居—2mnk,÷n~—2=0,

所以附4是方程（病-2*一2〃”汰+〃2-2=0的两个根，所以加-2≠0,

c.c-κ...rΓ-2..2ιnn

所以K%=rτ7,kl+k2=-1-

~m--2"Z-2

22

因为P（〃M）是曲线C上的一动点,所以+—=1=>m2-2=-2(〃2-2),

63v7

/-2

则有桃2=

m2—22

y=Kχ

626

联立方程怛+Mτ=>χ2,所以玉二

2k

[^6^+T-l+2⅛l

所以IOAi°=(MFM)^=瞿#=3+ɪʌ?'同理附2=3+ɪɪɪ

=6+3X∕2+2?+2芍

所以

(1+2后).(1+2右)

因为"z=-g,所以（l+26）∙（l+2片）=1+26+2回+4将代=2+2将+2居，

所以I*+].F=6+3=9.

5.（2022.重庆南开中学模拟预测）已知点网立0）,动点M（XM到直线/：x=2&的距离为d，且

d=42∖MF∖,记M的轨迹为曲线C.

（1）求C的方程；

（2）过〃作圆。|：/+〉2=；的两条切线MQ（其中P、。为切点），直线M尸、MQ分别交C的

另一点为A、B.从下面①和②两个结论中任选其一进行证明.

①附∙∣PM∣为定值；

®\MA\=\MB\.

22

【答案】（1）土+二=1，（2）条件选择见解析，证明见解析

42

【分析】（1）根据已知条件可得出关于X、〉'的等式，化筒后可得出曲线C的方程；

（2）设材（XO,九）、A（Xl,yj、B{x2,y2）,分工；=§、W≠]两种情况讨论，在第一种情况下，直

接验证。MLGH:在第二种情况下，设直线M4的方程为y=H+m,由直线与圆相切结合韦达定理可

得出QW_LQA.

选①，分析出RJMoPSRLAOP,利用三.角形相似可求得IPAHPM的值；

选②，分析可知IOAl=IoBI,结合勾股定理可证得结论成立.

（1）解：由题意知∣20-x∣=√Lj（x-0y+y2,两边平方整即得/+2yz=4,

所以，曲线C的方程为《+£=1.

42

(2)证明：设力他,儿)、4(石,凹)、S(Λ2,y2),

当片=g时，)，；=9则不妨设点M(竽,苧)，则点A(手,-苧)或A卜苧,孥

此时OM∙OA=0,则。M∙LQ4;

4

当片≠5时，设直线M4:y="+机，

由直线MA与圆。：W+yl2*=:相切可得/",=—7=,

即3ΛH2=4(1+A:2),

3y∣∖+k2√3

，2：；：：4可得(2公+1)丁+4hnr+2∕√-4=0,

联立

Δ=lβk2m2-4(2k2+1)(2∕M2-4)=8(4公+2-m2)=-(4k2+l)>0,

4km2OT2-4

由韦达定理可得/+ɪl=-XX

2公+112一2如+1

2

则OM-OA=x0xl+%y∣=x0x0+(Ax0+∕w)(fccl+∕tt)=(l+⅛)x0x1+km(x0+x∣)+〃/

(l+⅛2)(2m2-4)-4k2m2+m2(l+2k2)3zn2-4(l+⅛2)

l+2k2—l+2jt2

所以，QM_LGW,同理可得OMj_O8.

选①，由QM_LO4及OP_LAΛ∕可得RLMoPSRt_AOP,

则需=瑞，所以JPMHM=Iaf=%

选②，出。MLOA及。MLOB可得：A、0、8三点共线，贝IJloAI=IoB|,

又IAMr=IoA「+口叫2=QW+QMf=IM，因此，∣M4∣=∣M5∣.

【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：

(I)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；

(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.

6.(2022•全国•高三专题练习)已知椭圆的C的方程：，+!=1.

63

(1)设P为椭圆C异于椭圆左右顶点A、&上任一点，直线PA的斜率为尢，直线尸&的斜率为

试证明KK为定值.

(2)求椭圆中所有斜率为1的平行弦的中点轨迹方程.

⑶设椭圆上一点A(2,l),且点M,N在C上，且40，4V,ADJ_MN,。为垂足.证明：存在定点

Q，使得1。。1为定值.

【答案】⑴-；,(2)x+2y=0(-2≤x≤2),⑶存在点QC使得QQl为定值.

【分析】(1)设∕5(6x°,几)，则城=3-午，再根据斜率公式代入即可计算匕"的值；

(2)设弦的两个端点分别为Pa,,),。(天,必)，利用点差法可得χ+2y=0,联立直线和椭圆，即

可得X的范围

(3)设出点M,N的坐标，在斜率存在时设方程为y=H+”,联立直线方程与椭圆方程，根据已

知条件，己得到，〃水的关系，进而得直线MN恒过定点，在直线斜率不存在时要单独验证，然后结

合直角三角形的性质即可确定满足题意的点。的位置.

⑴设P(x°,%),A(-而。)，&(而。)，因为P为椭圆C上一点,所以午+*1,所以%2=3-竽,

3xo

所以K=U⅛的=黄店'所以ɔ—

%%_3√2

,

JQj+∖∕6XQ_ʌ/ðXQ-6XQ-6

故或网为定值-；.

(2)设弦的两个端点分别为Pa,X),Q(Λ2,%),PQ的中点为M(X,)，).则三+£=1,①

63

4+4=1,②，①减②得：Xi+-一火=0,旦+厂为(y+%)=0.

636363(%-刈

又为+x2=2x,yl+y2=2¾∙^~—=1,.∙.x+2y=0.

X「艾2