B2第3章-B2第3章习题课2

习题第3章机动目录上页下页返回结束

第三章三重积分的计算习题第3章机动目录上页下页返回二、三重积分的计算1.利用直角坐标计算三重积分方法1.投影法(“先一后二”)方法2.截面法(“先二后一”)方法3.三次积分法先假设连续函数并将它看作某物体通过计算该物体的质量引出下列各计算最后,推广到一般可积函数的积分计算.的密度函数,方法:机动目录上页下页返回结束二、三重积分的计算1.利用直角坐标计算三重积分方法1.如图所示,在柱面坐标系中体积元素为因此适用范围:1)积分域表面用柱面坐标表示时方程简单;2)被积函数用柱面坐标表示时变量互相分离.机动目录上页下页返回结束如图所示,在柱面坐标系中体积元素为因此适用范围:1)积3.利用球坐标计算三重积分直角坐标与球面坐标的关系机动目录上页下页返回结束体积元素为3.利用球坐标计算三重积分直角坐标与球面坐标的关系机动例1.把积分化为三次积分,其中

由曲面解:

积分域为原式及平面所围成的闭区域.机动目录上页下页返回结束例1.把积分化为三次积分,其中由曲面解:积分域为原式例2.(A)机动目录上页下页返回结束则正确的是(B)(C)(D)

答：选(C)例2.(A)机动目录上页下页返其中是由所围成的.解：机动目录上页下页返回结束例3.计算积分其中是由所围成的.解：机动目录上页下页机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束例4.设f(u)连续其中解机动目录上页下页返回结束例4.设f(u)连续其中解机动目录上页机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束其中是两个球(R>0)的公共部分.解法1:

由于被积函数缺x,y,用“先二后一”法机动目录上页下页返回结束例5.计算积分其中是两个球(R>0)的公共部分.解法1:由机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束解法2:

用球面坐标变换机动目录上页下页返回结束解法2:用球面坐标变换机动目录上页下页机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束例5.计算三重积分解:用“先二后一”机动目录上页下页返回结束与所围成的闭区域例5.计算三重积分解:用“先二后一”机动解:

在球坐标系下利用洛必达法其中机动目录上页下页返回结束例6.解:在球坐标系下利用洛必达法其中机动目录上页解:

在球坐标系下计算机动目录上页下页返回结束例7解:在球坐标系下计算机动目录上页下页机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束其中是由oxy平面上曲线所围成的闭区域.解：旋转曲面绕x

轴旋转而成的曲面与平面机动目录上页下页返回结束例8计算三重积分用柱面坐标变换边界曲面投影区域其中是由oxy平面上曲线所围成的闭区域.解：旋转曲面机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束例9.求曲面所围立体的体积.解:

由曲面方程可知,立体位于oxy面上部,利用对称性,所求立体体积为0yz面对称,并与0xy面相切,故在球面坐标系下所围立体且关于0xz

机动目录上页下页返回结束例9.求曲面所围立体的体积.解:由曲面方程可知,立体位于所围成.其中由分析：若用“先二后一”,则有计算较繁!采用“先一后二”较好.机动目录上页下页返回结束例10.

计算所围成.其中由分析：若用“先二后一”,则有计算较繁机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束其中解:利用对称性机动目录上页下页返回结束例11.计算其中解:利用对称性机动目录上页下页返机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束例12.设函数f(x)连续且恒大于零,其中(1)讨论F(t)在区间(0,+∞)内的单调性;(2)证明t>0时,(03考研)机动目录上页下页返回结束例12.设函数f(x)连续且恒大于零,其中(1)讨解:

(1)

因为

两边对

t

求导,得机动目录上页下页返回结束解:(1)因为两边对t求导,得机动目录(2)

证明