高一上学期第一次月考十四大题型归纳（基础篇）（解析版）

高一上学期第一次月考十四大题型归纳（基础篇）【人教A版（2019）】题型1判断是否为同一集合题型1判断是否为同一集合1．（2023秋·高一单元测试）下列各组对象不能构成集合的是（）A．参加卡塔尔世界杯比赛的全体球员B．小于2的正整数C．数学必修第一册课本上的难题D．所有有理数【解题思路】根据集合的概念，逐项判定，即可求解.【解答过程】对于A中，参加的全体球员，是确定的，没有重复的，所以能构成集合；对于B中，小于2的正整数，是确定的，没有重复的，所以能构成集合；对于C中，多难的题才算是难题，有一定的不确定性，不符合集合中元素的确定性，故不能构成集合；对于D中，所有有理数，所研究的有理数，是确定的，没有重复的，所以能构成集合，故选C.故选：C.2．（2023·全国·高一专题练习）下列说法中，正确的个数是（

）①2的近似值的全体构成一个集合②自然数集N中最小的元素是0③在整数集Z中，若a∈Z，则④一个集合中不可以有两个相同的元素A．1 B．2 C．3 D．4【解题思路】根据集合的定义、自然数集、整数集的定义判断.【解答过程】①2的近似值的全体没有确定性，不能构成集合，错误；②自然数集N中最小的元素是0，正确；③在整数集Z中，若a∈Z，则④一个集合中不可以有两个相同的元素，根据集合的定义知正确，故选：C．3．（2022·上海·高一专题练习）下列研究对象能否构成一个集合？如果能，采用适当的方式表示它．（1）小于5的自然数；（2）某班所有个子高的同学；（3）不等式2x【解题思路】（1）根据集合元素的确定性、互异性进行判断即可，并表示出相应的集合；（2）根据集合元素的确定性进行判断即可；（3）根据集合元素的确定性、互异性进行判断即可，并表示出相应的集合.【解答过程】（1）小于5的自然数为0、1、2、3、4，元素确定，所以能构成集合，且集合为0,1,2,3,4；（2）个子高的标准不确定，所以集合元素无法确定，所以不能构成集合；（3）由2x+1>7得x>3所以用描述法表示为xx4．（2023·全国·高一专题练习）判断下列各组对象能否构成集合．若能构成集合，指出是有限集还是无限集；若不能构成集合，试说明理由．(1)北京各区县的名称；(2)尾数是5的自然数；(3)我们班身高大于1.7m的同学．【解题思路】根据集合的基本概念即得.【解答过程】（1）因为北京各区县的名称是确定的，故北京各区县的名称能构成集合；因为北京各区县是有限的，故该集合为有限集；（2）因为尾数是5的自然数是确定的，故尾数是5的自然数能构成集合；因为尾数是5的自然数是无限的，故该集合为无限集；（3）因为我们班身高大于1.7m的同学是确定的，故我们班身高大于1.7m的同学能构成集合；因为我们班身高大于1.7m的同学是有限的，故该集合为有限集.题型题型2判断元素与集合的关系1．（2023秋·山东临沂·高一校考开学考试）已知集合A=xx2A．-1∈A B．1∈A C．0∉【解题思路】解方程可求得集合A，再根据元素和集合的关系即可求解.【解答过程】由x2=x得x=1或x=0，则集合A=0,1，所以-故选：B.2．（2023秋·高一课时练习）给出下列关系：①13∈R；②5∈Q；③-3∉ZA．1 B．2C．3 D．4【解题思路】利用集合与元素间的关系逐个分析即可.【解答过程】13是实数，①5是无理数，不是有理数，②错误；-3是整数，③-7是无理数，不是自然数，④正确的个数为2个，故选：B.3．（2023秋·高一课时练习）已知集合M=x|x=【解题思路】根据集合的表示方法，以及元素与集合的关系，即可求解.【解答过程】由题意，可得3=0+0×2，2-因为M=x|不存在a,b∈Z，使得4．（2023·全国·高一假期作业）集合A={x∣x=(1)x=0(2)x=(3)x1【解题思路】（1）x=0可以表示成x（2）x=12（3）x1,x2可以表示成x=【解答过程】（1）x=2m+n所以x=0，有x（2）x=2m+n所以x=12（3）若x1∈A,x∴x=x1+x题型题型3判断两个集合是否相等1．（2023·全国·高一专题练习）已知集合M=1,0，则与集合M相等的集合为（A．x,yxC．xx=-【解题思路】求出每个选项的集合，即可比较得出.【解答过程】对A，x,yx对B，x,y|y=x-1+对C，xx=-对D，x-1<x<2,故选：D.2．（2023春·湖南岳阳·高一统考期中）设Q所示有理数集，集合X=xx=a+b2,a,b∈Q,x≠0A．①② B．②③ C．①②④ D．①②③【解题思路】根据集合相等的含义，逐一分析①②③④，即可得答案【解答过程】对于①：集合2xx∈解得p=2a,q=2b对于②：集合x2x∈X，则a对于③：集合1xx∈X，1对于④：-1-2∈X，但方程-1-2=故选：D.3．（2023春·高一统考阶段练习）判断下列集合A、B是否表示同一集合，若不是，请说明理由.(1)A=2,4,6，(2)A=2,3，(3)A=x|(4)A=y|【解题思路】根据同一集合的概念，逐项判断即可.【解答过程】（1）A=2,4,6，（2）2,3，3,2表示不同的点，故A=（3）A=x|（4）不是同一集合，A是数集，B是点集.4．（2023·全国·高一专题练习）设A=x,x2,xy【解题思路】根据集合中的元素对应相等，结合互异性即可分情况求解.【解答过程】由于B={1,x,y}若集合A中x2=1，则x=-1，此时A=-1,1,-y若集合A中xy=1，则x2=y，此时综上可知x=-1,题型题型4集合间关系的判断1．（2023春·湖南岳阳·高一统考期中）如果集合S={x|A．S⊂≠T B．T⊆S C【解题思路】先将两集合元素表示形式统一，再比较确定包含关系.【解答过程】由S={令t=k-1，则由于N⊂≠Z故选：A.2．（2023秋·高一课时练习）若集合A=x|x=2k+1,A．C⊂≠AC．A=B⊂【解题思路】将集合A,B【解答过程】已知A=x|x=2显然k,k+1所以C⊂故选：A．3．（2023·全国·高一课堂例题）指出下列各组集合之间的关系：(1)A=x-(2)A=xx(3)A=xx【解题思路】（1）利用数轴即可判断集合关系；（2）利用集合所表示的含义即可判断；（3）求出集合A,B【解答过程】（1）在数轴上表示出集合A，B，如图所示，由图可知B⊂（2）∵集合A是偶数集，集合B是4的倍数集，∴B⊂（3）A=xx2-x=0当n为偶数时，x=1+-1n2=14．（2023秋·高一课时练习）指出下列各组集合之间的关系：①A=-1,1②A=xx是等边三角形}，B③M=xx【解题思路】①利用集合的元素类型可判断集合A、B的包含关系；②利用集合包含关系的定义可判断集合A、B的包含关系；③利用列举法可判断集合M、N的包含关系.【解答过程】①集合A中的元素是数，集合B中的元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系；②等边三角形一定是等腰三角形，但等腰三角形不一定是等边三角形，故A⊂③由列举法知M=1,3,5,7,9,⋯，N=题型题型5集合的运算1．（2023春·内蒙古呼伦贝尔·高二校考期末）已知集合A=x-4<xA．0,1,2 B．-1,0,1,2 C．x-4<【解题思路】根据集合的交集的运算求出答案即可．【解答过程】解：∵A=x∴A故选：D．2．（2023秋·黑龙江·高三校考阶段练习）已知集合U=-2,-1,0,1,2，A=xA．∅ B．-2,-1 C．-2,-1,0 D【解题思路】根据集合补集的定义进行求解即可.【解答过程】因为A=所以∁UA=故选：B.3．（2023·全国·高三专题练习）已知集合A={x|3≤【解题思路】根据集合交集、并集和补集的概念与运算，准确运算，即可求解.【解答过程】由集合A={可得A∩B={由补集的概念与运算，可得∁CA={4．（2023秋·河南信阳·高一校考阶段练习）已知集合S=x1<x≤7(1)A∩B，(2)∁S【解题思路】（1）利用交集、并集的定义可求得集合A∩B、（2）求出集合∁SA、∁S【解答过程】（1）解：因为A=x2≤则A∩B=（2）解：因为全集S=x1<x≤7则∁SA=x1<x<2因此，∁SA∩题型题型6判断命题的真假1．（2023秋·陕西宝鸡·高二校联考期末）下列命题是真命题的是（

）A．若两个三角形的面积相等，则这两个三角形全等B．若平行四边形的对角线相等，则这个四边形是矩形C．存在一个实数x，使得xD．所有可以被5整除的整数，末尾数字都是0【解题思路】根据题意，对各选项逐一判断，即可得到结果.【解答过程】若两个三角形的面积相等，由三角形的面积公式可得这两个三角形底与高的乘积相等，所以两个三角形不一定全等，故A错误；由矩形的定义可知，若平行四边形的对角线相等，则则这个四边形是矩形，故B正确；因为对于任意实数，x≥0，故C所有可以被5整除的整数，末尾数字都是0或者5，故D错误；故选：B.2．（2023·江苏·高一专题练习）下列命题：①矩形既是平行四边形又是圆的内接四边形;②菱形是圆的内接四边形且是圆的外切四边形;③方程x2-④周长相等的两个三角形全等或面积相等的两个三角形全等;⑤集合A∩B是集合A的子集，且是其中真命题的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【解题思路】根据矩形以及菱形的性质即可判断①②，根据一元二次方程的判别式即可判断③，根据三角形全等的判断即可判断④，根据集合的关系即可判断⑤.【解答过程】对于①，矩形是平行四边形，同时矩形有外接圆，故正确;对于②，菱形不一定有外接圆，故错误，对于③，方程x2-3对于④，周长或者面积相等的三角形不一定全等，故错误，对于⑤，A∩B⊆故选：C．3．（2021·高一课时练习）判断下列命题的真假：（1）若a=b，则（2）若a2=b（3）全等三角形的面积相等（4）面积相等的三角形全等.【解题思路】依次判断即得.【解答过程】（1）当a=b时，显然有a（2）当a=1，b=-1时，a2=b2（3）由全等三角形的定义可知，当两个三角形全等时，这两个三角形的面积一定相等，命题为真.（4）如图，直角三角形ABC与三角形A1BC4．（2023·江苏·高一专题练习）把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假．(1)偶数不能被2整除；(2)当a-12(3)两个相似三角形是全等三角形．【解题思路】逐项判断即可得解.【解答过程】（1）若一个数是偶数，则它不能被2整除，根据偶数的定义可知，偶数能被2整除，为假命题；（2）若a-12要想满足a-12+b（3）若两个三角形是相似三角形，则这两个三角形是全等三角形，两个三角形相似，则形状相同，但大小不一定相等，故不一定全等，为假命题.题型题型7充分条件、必要条件及充要条件的判定1．（2023·全国·高一专题练习）已知a,b∈R，则“a>b”是A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【解题思路】通过反例可说明充分性和必要性均不成立，由此可得结论.【解答过程】当a=0，b=-2时，满足a>当a=-2，b=0时，满足a2∴a>b∴“a>b”是“a2故选：D.2．（2023秋·四川眉山·高三校考开学考试）已知p：0<x<2，那么p的一个充分不必要条件是（A．1<x<3 BC．0<x<1 D【解题思路】利用集合的关系，结合充分条件、必要条件的定义及判定，即可求解.【解答过程】对于A中，由1<x<3，则0<x<2不一定成立，反之：若0<x<2，则1<x对于B中，由-1<x<1，则0<x<2不一定成立，反之：若0<x<2，则-对于C中，由0<x<1，则0<x<2成立，反之：若0<x<2，则0<x对于D中，由0<x<3，则0<x<2不一定成立，反之：若0<x<2，则0<x<3故选：C.3．（2023·全国·高一课堂例题）若p是r的充分不必要条件，r是q的必要条件，r又是s的充要条件，q是s的必要条件，则s是p的什么条件？【解题思路】根据充分条件与必要条件的概念，直接判断即可求解.【解答过程】因为p是r的充分条件，所以由p能推出r；又r是s的充要条件，所以由r能推出s；因此由p能推出s，即s是p的必要条件；因为p是r的不必要条件，所以r不能推出p；又r是s的充要条件，所以由s能推出r；因此s不能推出p，所以s是p的必要不充分条件.4．（2023·全国·高一专题练习）指出下列各组命题中，p是q的什么条件（充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分又不必要条件）．(1)p:数a能被6整除，q:数a能被(2)p:x>1(3)p:△ABC有两个角相等，(4)a,b∈R，【解题思路】根据充分条件、必要条件、充要条件的定义，逐项判定即可得解.【解答过程】（1）因为“数a能被6整除”能推出“数a能被3整除”，所以p⇒但“数a能被3整除”推不出“数a能被6整除”，如a=9，所以q所以p是q的充分不必要条件.（2）因为x>1能推出x2>1但当x2>1时，如x=-2，推不出x所以P是q的充分不必要条件.（3）因为“△ABC有两个角相等”推不出“△ABC是正三角形”，因此但“△ABC是正三角形”能推出“△ABC有两个角相等”，即所以p是q的必要不充分条件.（4）因为ab=0时，ab所以“ab=ab”不能推出“ab>0”而当ab>0时，有ab=ab所以p是q的必要不充分条件.题型题型8全称量词命题与存在量词命题的真假1．（2023秋·四川眉山·高三校考开学考试）下列命题中，是真命题且是全称命题的是（

）A．对任意实数a，b，都有aB．梯形的对角线不相等C．∃D．所有的集合都有子集【解题思路】根据全称量词定义可知A，B，D为全称量词命题，进而根据不等式性质可判断A选项，根据梯形的性质可判断B选项，根据子集的定义可判断D选项.【解答过程】根据全称命题的定义可知，全称命题有A，B，D三项，C为特称命题，对于A，有a2+b对于B，梯形的对角线不一定相等，故B为假命题；对于D，根据子集的定义可知，D为真命题.故选：D.2．（2023·全国·高一专题练习）以下四个命题既是存在量词命题又是真命题的是（

）A．锐角三角形的内角是锐角或钝角 B．至少有一个实数x，使xC．两个无理数的和必是无理数 D．存在一个负数x，使1【解题思路】判断ACD为假命题，B是存在量词命题又是真命题，得到答案.【解答过程】对选项A：锐角三角形中的内角都是锐角，所以A为假命题；对选项B：是存在量词命题，当x=0时，x2=0对选项C：3+-3对选项D：对于任何一个负数x，都有1x<0，所以D故选：B.3．（2023秋·高一课时练习）判断下列命题的真假.(1)∀x∈R(2)∃x∈Z(3)至少有一组正整数a，b，c满足a2【解题思路】根据全称命题以及存在量词命题的真假的判断，一一判断各小题，即可得结论.【解答过程】（1）当x=-1时，x2+2x+1=0（2）由于3x+4=5成立时，x=13所以存在量词命题“∃x∈Z，使3（3）由于取a=1,b所以存在量词命题“至少有一组正整数a，b，c满足a2+b4．（2023秋·全国·高一随堂练习）判断下列命题哪些是全称量词命题，哪些是存在量词命题，并判断其真假性.(1)对所有的正实数t，t为正且t<(2)存在实数x，使得x2(3)存在实数对(x,y(4)角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.【解题思路】（1）根据全称量词的定义可得命题为全称量词命题，取t=1（2）根据全存在量词的定义可得命题为存在量词命题，根据判别式可得命题为真命题；（3）根据全存在量词的定义可得命题为存在量词命题，取实数对(2,0)，可得命题为真命题；（4）根据全称量词的定义可得命题为全称量词命题，根据角平分线的性质可得命题为真命题.【解答过程】（1）为全称量词命题，且为假命题，如取t=1，则t<（2）为存在量词命题，且为真命题，因为判别式Δ=（3）为存在量词命题，且为真命题，如取实数对(2,0)，则3x-（4）为全称量词命题，且为真命题，根据角平分线的性质可判断.题型题型9命题的否定1．（2023·全国·高一专题练习）命题“∀x∈R，x2A．∃x∈R，x2-C．∃x∈R，x2-【解题思路】由全称命题的否定可以直接得出结果.【解答过程】由全称命题的否定可知：原命题的否定为∃x故选：A.2．（2023秋·辽宁·高三校联考开学考试）已知命题¬p：∃a∈R，A．p：∃a∉R，aπ-πaC．p：∃a∈R，aπ-πa【解题思路】根据全称量词命题的否定是存在量词命题判断即可.【解答过程】根据全称量词命题的否定是存在量词命题，所以¬p：∃a∈R，aπ-π故选：D.3．（2023秋·高一课时练习）写出下列各命题的否定.(1)p：对任意的正数x，x>(2)q：三角形有且仅有一个外接圆；(3)r：存在一个三角形，它的内角和大于180°；(4)s：有些质数是奇数.【解题思路】依据命题否定的定义，即可得出各命题的否定.【解答过程】（1）¬p：存在正数x0，使（2）¬q：存在一个三角形有两个或两个以上的外接圆或没有外接圆（3）¬r：所有三角形的内角和小于或等于（4）¬s：所有的质数都不是奇数4．（2023·全国·高一课堂例题）写出下列命题的否定，并判断其真假．(1)∀x∈R(2)∃a∈R(3)每一个素数都是奇数；(4)某些平行四边形是菱形；(5)可以被5整除的数，末位上是0．【解题思路】根据存在量词命题与全称量词命题的否定逐一写出结果.【解答过程】（1）命题的否定：∃x∈R（2）命题的否定：∀a∈R（3）命题的否定：存在一个素数不是奇数，是真命题，比如2是素数但不是奇数．（4）命题的否定：每一个平行四边形都不是菱形，是假命题．（5）命题的否定：存在一个被5整除的数，末位上不是0，是真命题．题型题型10利用不等式的性质判断正误1．（2023秋·高一课时练习）已知a>b,c>A．ad>bc B．C．a-c>b-【解题思路】利用不等式的性质判断.【解答过程】a，b，c，d的符号未确定，排除A、B两项；同向不等式相减，结果未必是同向不等式，排除C项；由同向不等式的可加性，D选项正确.故选：D.2．（2023秋·安徽滁州·高一校考期末）如果a，b，A．若a>b，则1a<1C．若a>b,ab≠0，则1【解题思路】举例说明ABD是错误的，用作差法证明C是正确的．【解答过程】取a=1，b=-1，则取c=0，则ac2由于a>b，所以1ab2取a=2，b=-1，c=0，故选：C．3．（2023·高一课时练习）对于实数a,b,(1)若a>b,则(2)若ac2>b(3)若a<b<0,【解题思路】找到命题的反例即可推得假命题；利用不等式的性质即可证明真命题【解答过程】解:(1)由于c的符号未知,当c=0时,ac=(2)∵a∴c≠0,∴c∴a∴a>(3)∵a<b∵a=-a∴a>b4．（2022·全国·高一专题练习）下列结论是否成立？若成立，试说明理由；若不成立，试举出反例．(1)如果c-a>(2)若ab>c，b>0(3)若ac>bc，则(4)若a>b，c>【解题思路】由不等式的性质判断（1）（2）成立，取特殊值判断（3）（4）不成立.【解答过程】(1)∵c∴-a∴a故成立.(2)∵ab>c∴ab即a>(3)取a=1,b=2,c=-1时，满足(4)取a=1,b=0,c=3,d=-1，满足题型题型11由基本不等式比较大小1．（2023·全国·高一专题练习）已知a、b为正实数，A=a+A．G≤H≤C．G≤A≤【解题思路】利用基本不等式计算出H≤【解答过程】因为a、b为正实数，所以A=a+2H=1a+综上：H≤故选：B.2．（2023·全国·高一专题练习）一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金．一位顾客到店里购买10g黄金，售货员先将5g的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5g附：依据力矩平衡原理，天平平衡时有m1L1=m2L2，其中A．等于10g B．小于10g C．大于10【解题思路】设天平左臂长x1，右臂长x2，且x1≠x2，根据已知条件求出a1、【解答过程】设天平左臂长x1，右臂长x2，且设天平右盘有a1克黄金，天平左盘有a2克黄金，所以所以a1=5x1故选：C．3．（2022秋·河南·高二校联考阶段练习）已知对于正数a、b，存在一些特殊的形式，如：a2+b2a+【解题思路】利用基本不等式可得出a2+b2a+【解答过程】解：a2因为a、b均为正数，由基本不等式可得a2则2a2+b2由上可知a2+b2≥所以，a2综上所述，a2+b24．（2023·江苏·高一假期作业）某种产品的两种原料相继提价，产品生产者决定根据这两种原料提价的百分比，对产品分两次提价，现在有三种提价方案：方案甲：第一次提价p%，第二次提价q方案乙：第一次提价q%，第二次提价p方案丙：第一次提价p+q2其中p>【解题思路】不妨设提价前的价格为1，分别计算三种方案两次提价后的价格，利用均值不等式比较即可.【解答过程】不妨设提价前的价格为1，则方案甲：两次提价后的价格为：(1+p方案乙：两次提价后的价格为：(1+q方案丙：(1+p由于p>q>0，由均值不等式p+故(p+q2)因此方案丙提价最多，方案甲、乙少，且提价一样.题型题型12利用基本不等式求最值1．（2023秋·新疆伊犁·高三校考阶段练习）已知x>3，则y=xA．4 B．5 C．6 D．7【解题思路】根据x的取值范围，利用基本不等式即可求出y=x【解答过程】已知x>3，则x所以y=当且仅当x-3=1此时最小值为5.故选：B.2．（2023秋·广东中山·高三校考阶段练习）设正实数x,y满足x+2A．yx+3y的最小值为4 BC．x+2y的最大值为2 D．【解题思路】根据基本不等式以及“1”的妙用判断各选项.【解答过程】对于A，yx+3y=对于B，xy=12⋅x⋅2对于C，(x则x+2y≤6，当且仅当x对于D，x2+4y2=(故选：C.3．（2023秋·山东临沂·高一校考开学考试）求下列代数式的最值(1)已知x>1，求f(2)已知x>0,y>0，且满足8【解题思路】（1）x+（2）x+2y=8【解答过程】（1）因为x>1,则x所以x+4x当且仅当x-1=4x-1所以x+4（2）因为x>0,所以x+2y=当且仅当8x+1y=1,x所以当x=12,y=3时4．（2023秋·全国·高一专题练习）已知正实数a,b满足(1)求a+2(2)求ab的最小值．【解题思路】运用基本不等式求解.【解答过程】（1）因为2a+ba+2当且仅当a=（2）因为a,b为正实数，所以又2a+b=ab当且仅当a=2,综上，a+2b的最小值为9，ab题型题型13一元二次不等式的解法1．（2023·全国·高一专题练习）不等式-x2+3A．{B．{C．{D．{【解题思路】根据一元二次不等式的解法，即可求解.【解答过程】由-x2+3x+10>0，得x所以不等式的解集为x-故选：A.2．（2023·全国·高一专题练习）不等式ax2-A．{x|2C．{x|x【解题思路】首先不等式转化为x-1ax-【解答过程】原不等式可以转化为：x-当a<0时，可知(x-2a)(所以不等式的解集为：x2故选：A.3．（2023秋·贵州黔东南·高一校考阶段练习）用适当的方法求解下列一元二次方程.(1)x2(2)2x(3)x2(4)x2【解题思路】（1）因式分解得出解集即可；（2）根据判别式为负得出解集为空；（3）因式分解得出解集即可；（4）因式分解得出解集即可；【解答过程】（1）由x2-2x+1=0，即x（2）由2x2+4（3）由x2-4x-12=0，即x-（4）由x2-6x-91=0，即x-4．（202