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三角函数的奇偶性与周期性三角函数基本概念奇偶性定义及性质周期性定义及性质奇偶性与周期性关系探讨三角函数图像变换规律总结回顾与拓展延伸目录CONTENTS01三角函数基本概念余弦(cosine)在直角三角形中,余弦值等于邻边长度除以斜边长度,即cos(θ)=邻边/斜边。正切(tangent)在直角三角形中,正切值等于对边长度除以邻边长度,即tan(θ)=对边/邻边。正弦(sine)在直角三角形中,正弦值等于对边长度除以斜边长度,即sin(θ)=对边/斜边。正弦、余弦、正切定义以度(°)为单位来度量角的大小,一个圆周被等分为360度。以弧长与半径之比来度量角的大小,一个圆周对应的弧度数为2π。角度与弧度制度弧度制角度制特殊角度三角函数值45°(或π/4弧度)sin(45°)=√2/2,cos(45°)=√2/2,tan(45°)=1。30°(或π/6弧度)sin(30°)=1/2,cos(30°)=√3/2,tan(30°)=√3/3。0°(或0弧度)sin(0)=0,cos(0)=1,tan(0)=0。60°(或π/3弧度)sin(60°)=√3/2,cos(60°)=1/2,tan(60°)=√3。90°(或π/2弧度)sin(90°)=1,cos(90°)=0,tan(90°)不存在。02奇偶性定义及性质奇函数与偶函数定义奇函数对于所有$x$,都有$f(-x)=-f(x)$,则称$f(x)$为奇函数。偶函数对于所有$x$,都有$f(-x)=f(x)$,则称$f(x)$为偶函数。通过观察函数表达式或图像来判断其奇偶性。观察法通过计算$f(-x)$并与$f(x)$进行比较来判断其奇偶性。代数法通过绘制函数图像并观察其对称性来判断其奇偶性。图像法奇偶性判断方法奇偶性在图像上表现奇函数的图像关于原点对称。02偶函数的图像关于y轴对称。03同时具有奇偶性的函数(即既是奇函数又是偶函数)的图像既关于原点对称又关于y轴对称,这样的函数只有常数函数$f(x)=0$(定义域关于原点对称)。0103周期性定义及性质周期函数的定义对于函数$f(x)$,如果存在一个正数$p$,使得对于任意$x$都有$f(x+p)=f(x)$,则称$f(x)$为周期函数,$p$为$f(x)$的周期。最小正周期周期函数的所有周期中存在一个最小的正数,称为该函数的最小正周期。周期函数定义正弦函数和余弦函数的周期$sinx$和$cosx$的周期为$2pi$。正切函数和余切函数的周期$tanx$和$cotx$的周期为$pi$。正割函数和余割函数的周期$secx$和$cscx$的周期为$2pi$。三角函数周期计算周期性在图像上的表现是函数图像在水平方向上重复出现,且相邻两个周期内的函数图像完全相同。对于正弦函数和余弦函数,一个周期内的图像是一个完整的波形;对于正切函数和余切函数,一个周期内的图像是一个间断的波形。通过观察函数图像可以直观地判断函数的周期性以及周期的大小。周期在图像上表现04奇偶性与周期性关系探讨奇函数性质正弦函数是奇函数,具有奇函数的性质,即f(-x)=-f(x)。因此,正弦函数的图像关于原点对称,且周期为2π。偶函数性质余弦函数是偶函数,具有偶函数的性质,即f(-x)=f(x)。因此,余弦函数的图像关于y轴对称,且周期为2π。奇偶性对周期性的影响由于正弦函数和余弦函数的奇偶性不同,它们的周期性也不同。正弦函数在周期内先增后减,而余弦函数在周期内先减后增。010203奇偶性对周期性影响周期性对奇偶性影响三角函数具有周期性,即经过一个周期后,函数的值重复出现。对于正弦函数和余弦函数,周期T=2π。周期性定义由于三角函数具有周期性,因此它们的图像在周期内重复出现。这使得我们可以利用周期性来判断三角函数的奇偶性。例如,如果一个三角函数在一个周期内关于原点对称,则它是奇函数;如果它在一个周期内关于y轴对称,则它是偶函数。周期性对奇偶性的影响通过观察三角函数的图像或利用三角函数的性质,我们可以判断一个三角函数是奇函数还是偶函数,以及它的周期是多少。例如,通过观察图像或利用性质,我们可以判断正弦函数是奇函数且周期为2π,余弦函数是偶函数且周期为2π。判断三角函数的奇偶性和周期性在实际问题中,我们可以利用三角函数的奇偶性和周期性来简化问题或找到问题的解决方案。例如,在求解三角函数的定积分时,我们可以利用三角函数的周期性和对称性来简化计算过程。利用奇偶性和周期性解决问题综合应用举例05三角函数图像变换规律VS函数图像在x轴方向上的平移,遵循左加右减的原则。即函数y=f(x)向左平移a个单位,得到新的函数y=f(x+a);向右平移a个单位,得到新的函数y=f(x-a)。上加下减函数图像在y轴方向上的平移,遵循上加下减的原则。即函数y=f(x)向上平移b个单位,得到新的函数y=f(x)+b;向下平移b个单位,得到新的函数y=f(x)-b。左加右减平移变换规律函数图像在x轴方向上的伸缩,通过改变x的系数实现。即函数y=f(x)的图像在x轴方向上伸长为原来的a倍(a>1),得到新的函数y=f(x/a);缩短为原来的a倍(0<a<1),得到新的函数y=f(ax)。函数图像在y轴方向上的伸缩,通过改变y的系数实现。即函数y=f(x)的图像在y轴方向上伸长为原来的b倍(b>1),得到新的函数y=bf(x);缩短为原来的b倍(0<b<1),得到新的函数y=b/f(x)。横轴伸缩纵轴伸缩伸缩变换规律关于x轴对称若函数y=f(x)的图像关于x轴对称,则对于任意点(x,y)在图像上,点(x,-y)也在图像上。即满足f(-x)=-f(x),这样的函数称为奇函数。关于y轴对称若函数y=f(x)的图像关于y轴对称,则对于任意点(x,y)在图像上,点(-x,y)也在图像上。即满足f(-x)=f(x),这样的函数称为偶函数。关于原点对称若函数y=f(x)的图像关于原点对称,则对于任意点(x,y)在图像上,点(-x,-y)也在图像上。即满足f(-x)=-f(x),且图像过原点,这样的函数也是奇函数。对称变换规律06总结回顾与拓展延伸奇函数正弦函数(y=sinx),余切函数(y=cotx),正割函数(y=secx)。这些函数满足(f(-x)=-f(x))。偶函数余弦函数(y=cosx),正切函数(y=tanx),余割函数(y=cscx)。这些函数满足(f(-x)=f(x))。关键知识点总结正弦函数、余弦函数周期(T=2pi)。正切函数、余切函数周期(T=pi)。周期性质(f(x+T)=f(x))。关键知识点总结误认为所有三角函数都是奇函数或偶函数。实际上,只有部分三角函数具有奇偶性。误区一误区二误区三忽视三角函数的周期性,导致在解题时未能正确应用周期性质。在计算过程中混淆不同三角函数的周期,例如将正弦函数的周期误认为是(pi)。常见误区提示要点三复合三角函数的奇偶性与周期性对于形如(y=Asin(omegax+varphi))或(y=Acos(omegax+varphi))的复合三角函数,其奇偶性和周期性取决于参数(omega)和(varphi)的取值。要点一要点二

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