三角函数的函数值与角度计算

三角函数的函数值与角度计算三角函数基本概念三角函数图像与性质三角函数诱导公式及应用三角函数与解三角形三角函数在实际问题中的应用三角函数综合练习题选讲目录CONTENTS01三角函数基本概念123在直角三角形中，正弦值等于对边长度除以斜边长度，即sin(θ)=对边/斜边。正弦（sine）在直角三角形中，余弦值等于邻边长度除以斜边长度，即cos(θ)=邻边/斜边。余弦（cosine）在直角三角形中，正切值等于对边长度除以邻边长度，即tan(θ)=对边/邻边。正切（tangent）正弦、余弦、正切定义角度制与弧度制转换角度制转弧度制将角度乘以π再除以180，即θ(弧度)=θ(角度)×π/180。弧度制转角度制将弧度乘以180再除以π，即θ(角度)=θ(弧度)×180/π。特殊角度三角函数值45°（或π/4弧度）sin(45°)=√2/2,cos(45°)=√2/2,tan(45°)=1。30°（或π/6弧度）sin(30°)=1/2,cos(30°)=√3/2,tan(30°)=√3/3。0°（或0弧度）sin(0°)=0,cos(0°)=1,tan(0°)=0。60°（或π/3弧度）sin(60°)=√3/2,cos(60°)=1/2,tan(60°)=√3。90°（或π/2弧度）sin(90°)=1,cos(90°)=0,tan(90°)不存在。02三角函数图像与性质正弦函数的图像是一个周期性的波动曲线，也称为正弦波。在平面直角坐标系中，正弦函数的图像关于原点对称，且在一个周期内（如[0,2π]）呈现出一个完整的波形。图像正弦函数具有周期性、奇偶性、有界性等性质。其周期为2π，即sin(x+2π)=sinx；正弦函数是奇函数，即sin(-x)=-sinx；其值域为[-1,1]，即正弦函数的取值范围在-1到1之间。性质正弦函数图像及性质余弦函数的图像也是一个周期性的波动曲线，与正弦函数图像相似，但相位相差π/2。余弦函数的图像关于y轴对称。图像余弦函数同样具有周期性、奇偶性、有界性等性质。其周期为2π，即cos(x+2π)=cosx；余弦函数是偶函数，即cos(-x)=cosx；其值域为[-1,1]，即余弦函数的取值范围在-1到1之间。性质余弦函数图像及性质图像正切函数的图像是一个无限延伸的曲线，它在每一个开区间(kπ-π/2,kπ+π/2)（k为整数）内都是单调增加的。正切函数的图像关于原点对称。性质正切函数具有周期性、奇偶性、无界性等性质。其周期为π，即tan(x+π)=tanx；正切函数是奇函数，即tan(-x)=-tanx；正切函数的值域为全体实数，即它在整个定义域内取值范围为(-∞,+∞)。正切函数图像及性质03三角函数诱导公式及应用诱导公式推导过程通过三角函数的和差公式，可以将一些复杂的角度拆分为简单的角度之和或之差，从而简化计算过程。利用三角函数的和差公式三角函数具有周期性，可以通过加减周期的整数倍来得到新的角度，从而利用已知的三角函数值来求解未知的角度。利用三角函数的周期性正弦函数和余弦函数具有奇偶性，即sin(-x)=-sin(x)，cos(-x)=cos(x)。利用这一性质，可以将一些角度转化为锐角或钝角来求解。利用三角函数的奇偶性求任意角的三角函数值通过诱导公式，可以将任意角转化为0到360度之间的一个基本角，然后利用基本角的三角函数值来求解。判断三角函数的符号根据角度所在的象限，可以确定三角函数的符号。例如，在第一象限中，正弦函数和余弦函数均为正；在第二象限中，正弦函数为正，余弦函数为负等。证明三角恒等式利用诱导公式和已知的三角恒等式，可以证明一些复杂的三角恒等式。010203利用诱导公式求值例题1求sin(135°)的值。解析根据三角函数的符号规律，在第二象限中，正弦函数为正。因此，sin(α)>0。解析利用诱导公式，可以将135°转化为45°+90°，然后根据正弦函数的性质sin(90°-x)=cos(x)，得到sin(135°)=cos(45°)=√2/2。例题3证明cos(π/2+x)=-sin(x)。例题2判断sin(α)的符号，其中α为第二象限角。解析利用诱导公式和余弦函数的性质cos(π/2+x)=cos[π/2-(-x)]=sin(-x)=-sin(x)，从而证明了cos(π/2+x)=-sin(x)。典型例题解析04三角函数与解三角形任意三角形边角关系任意三角形的内角和为180°任意三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边任意三角形的外角和为360°任意三角形的三个内角中，最大角对应最长边，最小角对应最短边正弦定理及其应用在任意三角形中，各边与其对应角的正弦值的比相等，即a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R（R为三角形外接圆半径）正弦定理已知三角形的两边和其中一边的对角，可以求出三角形的其他边和角；已知三角形的两角和夹角的对边，可以求出三角形的其他边和角。应用余弦定理在任意三角形中，任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即a²=b²+c²-2bc×cosA要点一要点二应用已知三角形的三边，可以求出三角形的三个角；已知三角形的两边和夹角，可以求出三角形的第三边。余弦定理及其应用05三角函数在实际问题中的应用03判断三角形的形状通过计算三角形的三个内角，可以判断三角形的形状，如等边三角形、等腰三角形、直角三角形等。01计算角度利用三角函数可以计算三角形中的角度，例如已知三角形的两边长，可以利用正弦定理或余弦定理求解角度。02计算边长在已知三角形的一个角度和相邻的两边长时，可以利用三角函数计算三角形的另一边长。在几何问题中的应用力的合成与分解在物理学中，三角函数常用于力的合成与分解，例如在斜面上的物体受力分析时，需要将重力分解为沿斜面向下的分力和垂直于斜面的分力。振动与波动在振动与波动问题中，三角函数可以描述简谐振动和简谐波的位移、速度和加速度随时间的变化规律。光学在光学中，三角函数可以用于计算光的折射、反射和衍射等问题中的角度和距离。在物理问题中的应用机械设计在机械设计中，三角函数可以用于计算齿轮的模数、齿数和压力角等参数，以及机构运动学中的速度和加速度等问题。电气工程在电气工程中，三角函数可以用于计算交流电的电压、电流和功率等参数，以及电路中的阻抗和相位等问题。测量与定位在工程测量中，三角函数常用于计算两点之间的距离、高度差和角度等参数，例如在建筑工程中测量建筑物的高度和角度。在工程问题中的应用06三角函数综合练习题选讲选择题选讲题目：若sinα=1/2，且α为第二象限角，则α=___．A.30°C.-30°B.150°选择题选讲答案：B题目：已知tanα=-√3，则α的可能取值为_______．选择题选讲选择题选讲010203B.2π/3C.-π/3A.π/3D.-2π/3答案：D选择题选讲题目已知sinα+cosα=1/5，且0<α<π，则tanα=_______．答案-4/3题目函数y=sin(2x+π/3)的单调递增区间是_______．答案[kπ-5π/12,kπ+π/12]，k∈Z填空题选讲VS已知sin(π+α)=-1/2，求cos(2π-α)的值．解析由sin(π+α)=-sinα=-1/2得sinα=1/2。因为sin^2α+cos^2α=1，所以cosα=±√(1-sin^2α)=±√3/2。因此，cos(2π-α)=cos(-α)=cosα=±√3/2。题目解答题选讲已知tan(π/4+α)=3，求sin(2α-π/4)的值．由tan(π/4+α)=(1+tanα)/(1-tanα)=3得tanα=1/2。利用二倍角公式，sin2α