数学-2024届山东省枣庄市高三上学期1月期末考试试题和答案

第1页/共5页2023—2024学年第一学期高三质量检测高三数学2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.x2.若z是方程x2+x+1=0的一个虚数根，则z2-z=()3.已知‘ABC的两个顶点A,B的坐标分别是(-1,0),(1,0)，且AC,BC所在直线的斜率之积等于A.当m<0时，顶点C的轨迹是焦点在x轴上的椭圆，并除去(-1,0),(1,0)两点B.当m<0时，顶点C的轨迹是焦点在y轴上的椭圆，并除去(-1,0),(1,0)两点C.当m>0时，顶点C的轨迹是焦点在x轴上的双曲线，并除去(-1,0),(1,0)两点D.当m>0时，顶点C的轨迹是焦点在y轴上的双曲线，并除去(-1,0),(1,0)两点2:x2+y2-4x-4y-1=0，则两圆的公切线条数为()A.1B.2C.3D.45.已知f(x)=2cos2x+sin2x,xe(0,2π)，则f(x)的零点之和为()第2页/共5页A.πB.πC.πD.10π6.翼云机场将于2025年通航，初期将开通向北至沈阳、哈尔滨；向南至昆明、深圳；向西至兰州、银川的六航班.则不同的体验方案有()A56种B.72种C.96种D.144种.7.已知正四棱台的上下底面边长分别为1和3，高为2.用一个平行于底面的截面截棱台，若截得的两部分几何体体积相等，则截面与上底面的距离为()AB.C.D.8.斜率为-的直线l分别与x轴，y轴交于M,N两点，且与椭圆+=1(a>b>0)，在第一象限交于A,B两点，且MA=NB，则该椭圆的离心率为()A.B.C.D.9.一组数据x1,x2,x3,,x10满足xi-xi-1=2(2<i<10)，若去掉x1,x10后组成一组新数据.则新数据与原数据相比()A.极差变小B.平均数变大C.方差变小D.第25百分位数变小B.D.在上的投影向量为2m11.如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1=AB=4,D是棱CC1上任一点，则()第3页/共5页B.三棱锥A1-ABD的体积为D.三棱锥A1-ABD外接球的表面积最小值为12.已知定义在R上的连续函数f(x)为奇函数，当x>时，f,(x)>f(x)，则()>f(-ln1.1)13.曲线y=在点(1,y0)处的切线方程为.15.已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O,AB为底面直径，经APB=120。，点C为底面圆周上的一个动点，当ΔPAC的面积取得最大值时，sin经AOC=.16.O为坐标原点，F为抛物线C:x2=8y的焦点，过C上的动点M（不为原点）作C的切线l，作ON」l于点N，直线MF与ON交于点A，点B(,0)，则AB的取值范围是.2an+12an.（1）求an；第4页/共5页n18.如图，直四棱柱ABCD一A1B1C1D1的底面为平行四边形，M,N分别为AB,DD1的中点.（1）证明：DM平面A1BN；5（2）若底面ABCD为矩形，AB=2AD=4，异面直线DM与A1N所成角的余弦值为5面A1BN的距离.19.现有甲，乙两个训练场地可供某滑雪运动员选择使用.已知该运动员选择甲，乙场地的规律是：第一次随机选择一个场地进行训练.若前一次选择甲场地，那么下次选择甲场地的概率为；若前一次选择乙场地，那么下次选择甲场地的概率为.（1）设该运动员前两次训练选择甲场地次数为X，求E(X)；（2）若该运动员第二次训练选了甲场地，试分析该运动员第一次去哪个场地的可能性更大，并说明理由.20.在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若2a+bcosA一c=btanBsinA.（1）求B；（2）若ABC为锐角三角形，求的取值范围.21.已知函数f(x)=x2一ax+alnx,aER.（1）若f(x)是增函数，求a的取值范围；（2）若f(x)有两个极值点x1,x2，且f(x1)+f(x2)<λ(x1+x2)恒成立，求实数λ的取值范围.22.已知双曲线C的渐近线方程为x土y=0，过右焦点F(2,0)且斜率为k的直线l与C相交于A,B两点.（1）求C的方程；第5页/共5页（2）①若B点关于x轴的对称点为E，求证直线AE恒过定点M，并求出点M的坐标；②若k>3，求ΔAEF面积的最大值.第1页/共26页2023—2024学年第一学期高三质量检测高三数学2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.x【答案】B【解析】【分析】分别求解两个集合，再根据补集和并集的定义，即可求解.xx>-1}，RB故选：B2.若z是方程x2+x+1=0的一个虚数根，则z2-z=()【答案】A【解析】【分析】求出方程的虚数根，再代入计算即得.第2页/共26页 +i或z=i，2故选：A3.已知‘ABC的两个顶点A,B的坐标分别是(一1,0),(1,0)，且AC,BC所在直线的斜率之积等于A.当m<0时，顶点C的轨迹是焦点在B.当m<0时，顶点C的轨迹是焦点在y轴上的椭圆D.当m>0时，顶点C的轨迹是焦点在y轴上的双曲线，【答案】C【解析】【分析】由题意得x2m>0即可判断.【分析】由题意得x2m>0即可判断.【详解】由题意不妨设C(x,y)，则.=m，即当m=1时，顶点C的轨迹是以原点为圆心的单位圆，并除去(1,0),(1,0)两点，故AB错误；当m>0时，顶点C的轨迹是焦点在x轴上的双曲线，并除去(一1,0),(1,0)两点，故C正确，D错误.故选：C.2:x2+y24x4y1=0，则两圆的公切线条数为()A.1B.2C.3D.4【答案】D【解析】【分析】由两圆的位置关系即可确定公切线的条数.第3页/共26页:x2+y24x4y1=0即(x2)2+(y2)2=9是以(2,2)为圆心3为半径的圆；所以两圆的公切线条数为4.故选：D.5.已知f(x)=2cos2x+sin2x,xe(0,2π)，则f(x)的零点之和为()A.πB.πC.πD.10π【答案】C【解析】π7π ππ +2kπ,keZ，结合xe(0,2π)，即可得出答案.【详解】由f(x)=2cos2x+sin2x=0，故选：C.6.翼云机场将于2025年通航，初期将开通向北至沈阳、哈尔滨；向南至昆明、深圳；向西至兰州、银川的六航班.则不同的体验方案有()A.56种B.72种C.96种D.144种【答案】C【解析】第4页/共26页【分析】通过分别分析甲，乙和丙的方案，即可得出总共的不同的体验方案数量.【详解】由题意，共6个城市，3个方向，甲不去沈阳、哈尔滨，有C种方案，乙和丙乘坐同一方向的航班，有CA种方案，剩余3人有A种方案，故选：C.7.已知正四棱台的上下底面边长分别为1和3，高为2.用一个平行于底面的截面截棱台，若截得的两部分几何体体积相等，则截面与上底面的距离为()3A.2【答案】D【解析】B. C.2 D.1【分析】延长正四棱台的棱交于一点P，由三角形相似，求出PO，再由棱台的体积公式求出截面截得棱台的上部分几何体的体积V，设截面与上底面的距离为x，正方形A,B,C,D,的边长为a，由三33如图所示，截面A,B,C,D,平行于底面即可求出x.设上底面ABCD的面积为S1，下底面A1B1C1D1的面积为S2，截面A,B,C,D,的面积为S，正四棱台ABCDA1B1C1D1的体积为V，平行于底面的截面截棱台，截得的上部分几何体体积为V1，则V上底面ABCD的中心为O，下底面A1B1C1D1的中心为O1，连结PO1，设截面与上底面的距离为x，正方形A,B,C,D,的边长为a，S12第5页/共26页S.S.S1由‘PAB∽‘PA1B1得，=1=，2由①②得，a故选：D.1，所以截面与上底面的距离为8.斜率为的直线l分别与x轴，y轴交于M,N两点，且与椭圆+=1(a>b>0)，在第一象限交于A,B两点，且MA=NB，则该椭圆的离心率为()A.B.C.D.【答案】A【解析】OE2，再根据b2=a2c2求解即得.【详解】设A(x1,y1)，B(x2,y2)，线段AB的中点为E，第6页/共26页y2+y1y2+y1x+xy2一y1xb2a2y2一y121x21OEy2+y1 2OE.kABb22a(m)(m)所以 m kOE22（2)22（2)2故选：A,x10后组成一组新数据.则新数据与原数据相比()A.极差变小B.平均数变大C.方差变小D.第25百分位数变小【答案】AC【解析】【分析】根据极差，平均数，方差与百分位数的定义计算出去掉x1,x10前后的相关数据，比较后得到答案.故x23第7页/共26页去掉x1,x10后的平均数为 23x+x+ 238 8+9，平均数不变，B错误；8方差变小，C正确；00=2.5，从小到大排列，选第3个数作为第25百分位数，即x3，00=2，故从小到大排列，选择第3个数作为第25百分位数，即x4，4，第25百分位数变大，D错误.故选：ACB.D.在上的投影向量为2m【答案】BCD【解析】【分析】根据向量的坐标运算计算验证各选项是否正确.(-2)」，故B正确； BCD11.如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1=AB=4,D是棱CC1上任一点，则()第8页/共26页A.正三棱柱ABC-A1B1C1的表面积为488B.三棱锥A1ABD的体积为C.‘A1BD周长的最小值为84D.三棱锥A1ABD外接球的表面积最小值为【答案】ABD【解析】【分析】对于A,直接求表面积即可；对于B,利用VA1ABDVDA1AB求解即可；对于C，根据侧面展开图即可求得最小值；对于D，当点D位于CC1的中点时，外接球表面积最小，求解即可.【详解】对于A,正三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1AB4，所以正三棱柱的表面积为S342242sin488，故A正确；对于B，过点C作CEAB,交AB于E,则E为AB的中点，依题可知平面A1ABB1平面ABC,且平面A1ABB1平面ABCAB,又CE平面ABC，则CE平面A1ABB1，则CE为点C到平面A1ABB1的距离，正三角形ABC中，可求得CE2,第9页/共26页又因为D是棱CC1上任一点,且CC1//平面A1ABB1，所以点D到平面A1ABB1的距离等于点C到平面A1ABB1的距离，设点D到平面A1ABB1的距离为h，则h=2，‘A1AB故B正确；对于C，由侧面展开图所示，‘A1BD周长2222所以其最小值为4+4，故C错误；对于D,依题知，三棱锥A1-ABD外接球与四棱锥D-A1ABB1重合，半径设为R,球心设为O,G为AB的中点，则DG=2,且CC1//平面A1ABB1,第10页/共26页所以当CC1与球外切时，球的半径最小，此时，点D位于CC1的中点，如图所示:OG2+GB2=OB2,2-R22,解得R=，表面积为4πR2=,故D正确，故选:ABD.12.已知定义在R上的连续函数f(x)为奇函数，当x>时，f,(x)>f(x)，则()0eR,f(x0)<1D.f(e0.1)>f(-ln1.1)【答案】ABD【解析】称轴，即可求出f(1)；B项，构造函数g(x)=，通过求导得出当x>时g(x)的单调性，即可得出结论；C项，求出f(x)的单调性，即可得出结论；D项，利用导数证得e0.1与的差大于与-ln1.1的差，结合f(x)的对称性与单调性即可得出结论.第11页/共26页f所以函数f(x)关于x=对称，所以f(1)=f(0)=e，故A正确；因为当x>时f,(x)>f(x)，所以f(2)>e2，B正确；所以f,(x)>f(x)>0，函数f(x)单调递增，所以当x<时，函数f(x)单调递减，则f(x)在x=取得最小值为1，所以不存在x0eR,f(x0)<1，C错误；D项，由函数f(x)关于x=对称，所以e0.10.1->1.1-=0.6，第12页/共26页因为函数f(x)关于x=对称，当x>时，函数f(x)单调递增，，D正确；故选：ABD.【点睛】关键点睛：本题解决的关键是由导数为奇函数，得到原函数为偶函数，从而得解.2x1eex在点(1,y0)处的切线方程为.【答案】exy=0【解析】【分析】通过求导得出在点(1,y0)的切线斜率，即可求出在点(1,y0)处的切线方程.【详解】由题意，在y=e1中，y,=2xe2xe2x1，1e21，【解析】【分析】根据等差数列的性质和基本量的计算求值.所以 2 3222222第13页/共26页15.已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O,AB为底面直径，经APB=120。，点C为底面圆周上的一个动点，当ΔPAC的面积取得最大值时，sin经AOC=.【答案】2##2【解析】【分析】设PA=2，表示ΔPAC面积，易知经APC=90O，借助余弦定理计算即可.【详解】设PA=2，则ΔPAC的面积S=PA.PCsin经APC=2sin经APC所以AC=2， 2故答案为：.16.O为坐标原点，F为抛物线C:x23=8y的焦点，过C上的动点M（不为原点）作C的切线l，作ON」l于点N，直线MF与ON交于点A，点B(,0)，则AB的取值范围是.【解析】第14页/共26页(m2)y-m28=k(x-m)，联立抛物线方程，由根的判别式为0xA=得到4k=m，从而得到直线ON和直线FMxA=2 +的轨迹方程为x2+(y-2)2=4，且xe[-2,0)不(0,2]，数形结合得到AB的最值，得到取值范围.设切线方程为y-=k(x-m)，联立C:x2=8y得，则直线ON的斜率为-k=-m,直线ON的方程为y=4-x，m直线FM的方程为y-2=--02x，即y=-x+2，联立y=-x与y=-x+2得-x+2=-x， 2mm2 2mm2 8 +将m=-4xAyA代入xA=2m2 + 8mAx=A2 +-xA +2yA-2xA第15页/共26页2xAyA22整理可得2yA+2=2，即xAxAyA22点A的轨迹为以Q(0,2)为圆心，半径为2的圆（去掉(0,0),(0,4)两个点连接QB，则QB+2为AB的最大值，QB-2为AB的最小值， 且由对称性可得，(0,0),(0,4)两点与B的距离等于T,E到B的距离相等，综上，AB的取值范围为[1,5].【点睛】方法点睛：求轨迹方程常用的方法：直接法，相关点法，交轨法，定义法，求解过程中要注意一些轨迹问题中包含隐含条件，也就是曲线上的点的坐标的取值范围，有时还要补充特殊点的坐标.2an+12an.（1）求an；n2=n（2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用构造等比数列的方法求出通项公式作答.（2）由（1）及已知，利用裂项相消法求和即得.第16页/共26页【小问1详解】n2=n.【小问2详解】故5<18.如图，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面为平行四边形，M,N分别为AB,DD1的中点.（1）证明：DM平面A1BN；5（2）若底面ABCD为矩形，AB=2AD=4，异面直线DM与A1N所成角的余弦值为5面A1BN的距离.【答案】（1）证明见解析【解析】第17页/共26页【分析】（1）通过证明DM平行于面A1BN内的一条直线，即可证明DM平面A1BN；（2）建立空间直角坐标系，设出AA1的长并表达出各点坐标，利用异面直线DM与A1N所成角的余弦值,N，求出平面A1BN的一个法向量，即可得出B1到平面A1BN的距离.【小问1详解】连接AB1，交A1B于点E，连接NE,ME，则E为A1B的中点，因为M为AB的中点，所以MEAA1，且ME=AA1，因为N为DD1的中点，所以DNAA1,DN=AA1，所以MEDN，且ME=DN，所以四边形EMDN为平行四边形，所以ENDM，又因为DM平面A1BN,EN平面A1BN，所以DM平面A1BN.【小问2详解】由题意（1）及几何知识得，AB,AD,AA1两两垂直，以A为坐标原点，分别以AB,AD,AA1所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系.第18页/共26页---------4 ---------4 210 cosθ=cosDM,A1N-------- 5----------------设异面直线DM与A1N所成角为θ,则DMANDMAN--------DMAN.1--------------------设平面A1BN的一个法向量为=(x,y,z)，B1到平面A1BN的距离为d.即B1到平面A1BN的距离为.19.现有甲，乙两个训练场地可供某滑雪运动员选择使用.已知该运动员选择甲，乙场地的规律是：第一次随机选择一个场地进行训练.若前一次选择甲场地，那么下次选择甲场地的概率为；若前一次选择乙场地，那么下次选择甲场地的概率为1第19页/共26页（1）设该运动员前两次训练选择甲场地次数为X，求E(X)；（2）若该运动员第二次训练选了甲场地，试分析该运动员第一次去哪个场地的可能性更大，并说明理由. （2）该运动员第一次选择甲场地的可能性更大，理由见解析【解析】【分析】（1）由题意可知，X=0,1,2，根据随机变量的意义，结合条件概率，求解随机变量对应的概率，再求期望；【小问1详解】.5AA2=.5APA2A2PPA2)【小问2详解】第一次选择甲场地的概率更大.理由如下：A1A2)AP)=根+根=所以P(A125 根=23,45第20页/共26页PAPAPAPA25因为>，所以该运动员第一次选择甲场地的可能性更大.20.在‘ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若2a+bcosA一c=btanBsinA.（1）求B；（2）若‘ABC为锐角三角形，求sinA+sinB的取值范围sinC.(+1)(+1)【解析】【分析】（1）利用边化角及三角恒等变换公式整理计算即可;（2）通过角的转化，借助三角恒等变换公式，得到sinC2tan2，利用C的范围，即可求出结果.【小问1详解】因为2a+bcosAc=btanBsinA，整理得所以2acosBc.cosB=bcosC，【小问2详解】 π 所以Ce,，第21页/共26页所以1+2所以1+2sinCsinC2sinC2 2 =.+22sincos2 =.+tan2， sinCsinC2sinC2 2+=.221+，233222(+1)(+1)21.已知函数f(x)=x2一ax+alnx（1）若f(x)是增函数，求a的取值范围；（2）若f(x)有两个极值点x1,x2，且f(x1)+f(x2)<λ(x1+x2)恒成立，求实数λ的取值范围.第22页/共26页【解析】（2）由f(x)有两个极值点为x1,x2，可得方程2x2-ax+a=0在(0,+伪)上有两个不同的根，则2-8a>0，求出a的取值范围，将题意转化为λ>恒成立，设h(a)=2ln-a-2(a>8)，对h(a)求导，求出h(a)的最大值即可求出答案.【小问1详解】