函数的概念与性质（讲）-2023年高考数学一轮复习讲练测（全国通用）（解析版）

第1讲二次函数与一元二次方程、不等

式

日考纲考情

本讲为重要知识点，题型主要围绕函数的思想以及函数的性质考察，配合导数的几何意义对

学生的逻辑思维能力要求很高。主要学习用集合语言和对应关系刻画函数概念。通过函数的

不同表示方法加深对函数概念的认识。学习用精确的符号语言刻画函数性质的方法，并通过

事函数的学习函数研究函数的基本内容、过程和方法。

合考点梳理

考点一函数的概念及其表示

1.函数的定义

设A,B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,

在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，称f：A-B为从集合A到集合B的一个函数y

=f(x),xGA

2.函数的有关概念

(1)函数的定义域、值域：在函数y=f(x),xWA中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做眼

数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合｛f(x)IxCA｝叫做函数的值

域.显然，值域是集合B的子集.

(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系.

(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断

两函数相等的依据.

(4)函数的表示法：解析法、图象法、列表法.

3.分段函数

若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通

常叫做分段函数.

(1)确定函数的定义域常从解析式本身有意义，或从实际出发.

(2)如果函数y=f(x)用表格给出，则表格中x的集合即为定义域.

(3)如果函数y=f(x)用图象给出，则图象在x轴上的投影所覆盖的x的集合即为定义域.

值域是一个数集，由函数的定义域和对应关系共同确定.

(1)分段函数虽由几个部分构成，但它表示同一个函数.

(2)分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集.

(3)各段函数的定义域不可以相交.

4.常用结论

(1)若f(x)为整式，则函数的定义域为R；

(2)若f(x)为分式，则要求分母不为0；

(3)若f(x)为对数式，则要求真数大于0；

(4)若f(x)为根指数是偶数的根式，则要求被开方式非负；

(5)若f(x)描述实际问题，则要求使实际问题有意义.

如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，求定义域常常等价于解不等式(组).

考点二函数的基本性质

1.函数的单调性

(1)单调函数的定义

增函数减函数

一般地，设函数f(x)的定义域为/,如果对于定义域/内某个区间〃上的任意

两个自变量的值X”X!

当汨＜及时，都有

定义

当汨〈生时，都有『(%)”(电),那么就说函数f(x)在区间。/'(小)＞「(入2)，那么

上是增函数就说函数f(x)在

区间〃上是减函数

用网

N里A的伊)

图象描述

自左向右看图象

自左向右看图象是上升的

是下降的

(2)单调区间的定义

如果函数y=f(x)在区间〃上是增函数或减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间上具有

(严格的)单调性，区间〃叫做尸f(x)的单调区间.

2.函数的最值

前提设函数f(x)的定义域为I,如果存在实数“满足

对于任意都有对于任意x£/,都有f(x)，肱

条件

存在照£I,使得〃照)=M存在照£I,使得AAO)=M

结论”为最大值"为最小值

3.函数的奇偶性

奇偶性定义图象特点

如果对于函数Ax)的定义域内任意一个X,都有A-x)=f(x),

偶函数关于y轴对称

那么函数/Xx)是偶函数

如果对于函数f(x)的定义域内任意一个X,都有F(-X)=一

奇函数关于原点对称

f(x),那么函数/1(X)是奇函数

4.函数的周期性

(1)周期函数：对于函数y=f(x),如果存在一个非零常数7,使得当x取定义域内的任何值

时，都有/■(x+7)=F(x),那么就称函数尸/Xx)为周期函数，称7为这个函数的周期.

(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正

数就叫做f(x)的最小正周期.

注意：

(1)如果一个奇函数F(x)在原点处有定义，即/X0)有意义，那么一定有/"(())=().

(2)如果函数/Xx)是偶函数,那么f(x)=f(|x|).

(3)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反

的单调性.

(4)函数周期性常用结论

对Mx)定义域内任一自变量的值上

①若f(x+a)=—F(x),则7=2a(a〉0).

②若F(x+a)=、，则7=2a(a>0).

f(Jx)

③若F(x+a)=—贝ij7=2a(a>0).

f(.x)

5.对称性的三个常用结论

①若函数尸F(*+a)是偶函数，则函数尸f(x)的图象关于直线x=a对称.

②若对于R上的任意x都有f(2a—x)=f(x)或/X—x)=f(2a+x),则y=f(x)的图象关于

直线x=a对称.

③若函数y=f(x+b)是奇函数，则函数y=f(x)的图象关于点(6,0)中心对称.

隹］题型剖析

高频考点一函数的概念及其表示

例1、下列命题中，正确的有()

A.函数y=\/x+l-Jx-l与函数y=Jx，—1表示同一函数

B.已知函数/(2x+l)=4x-6,若/(a)=1(),则。=9

C.若函数/卜5-1)=刀-3、片，则/(力=%2-%—2(乂..一1)

D.若函数/(x)的定义域为［0,2］,则函数f(2x)的定义域为［0,4］

【答案】BC

【解析】

I----1----八fx+l..O

解：/(%)=Jx+1•Jx-l的定义域是{xI4}={x|x..l},

x-L.O

g(x)=\lf-1的定义域是{%|d-l鹿)}={x|x1,或不，一1},

两函数的定义域不同，故不是同一函数，A错误；

2xH~1—CLx—4

函数/(2x+l)=4x-6,若/(々)=10,则彳=>《，故8正确；

4x—6=10［。=9

若函数=则〃=故

C正确；

若函数了(%)的定义域为［0,2］,则函数］(2x)中,01独X2noM1,即函数的

定义域为［0,1］，故力错误.

【变式训练】

1、若函数y=&2+2x+a+ln(x+2)的定义域为［1,小),则。=()

A.一3B.3C.1D.-1

【答案】A

【解析】

x2+2x+a>03x2+2x+a>0

由，，得《

x+2>0x>-2

由题意可知上式的解集为［1,用)，

所以x=l为方程/+2*+4=0的一个根,

所以l+2+a=0,得a=-3,

故选：A

高频考点二函数的基本性质

例2：已知函数/(X)是奇函数，且在(0,+8)上是减函数，且在区间［a,b］(a<6<0)上的

值域为［-3,4］,则在区间［一"一团上()

A.有最大值4B.有最小值TC.有最大值-3D.有最小值-3

【答案】B

【解析】

解：•函数”X)是奇函数，在(0,+oo)上是减函数，

/(X)在(-00,())上也是减函数，

,在区间勿3<6<0)上的值域为［—3,4］,

二最大值为/(a)=4,最小值为了("=一3,

.-./(X)在区间［-b,-a］上也是减函数，且最大值为f(-b)=-f(b)=3,

最小值为/(-a)=—f(a)=-4,

故选：B.

【变式训练】

1.设函数/(x)=f''々°,则满足/(x+D<f(2x)的x的取值范围是()

l,x>0

A.(-oo,-1]B.(0,+oo)

C.(-1,0)D.(-oo,0)

【答案】D

【解析】

解：函数/(幻=12'1°,的图象如图:

l,x>0

满足〃x+D</(2x),

可得：2x<0<x+l或2x<x+L,0,

解得_rwy,0).

故选：D.

高频考点三中心对称性质：几个复杂的奇函数

例3、对于定义在。上的函数“X),点A(n〃)是/(x)图像的一个对称中心的充要条件是:

对任意xe。都有“X)+-x)=2〃，判断函数/(x)=V+21+3x+4的对称中心.

【答案】H'W

【分析】根据点是/(x)图像的一个对称中心的充要条件，列出式子，即可得出结

果.

解：因为/(X)=V+2X2+3X+4,由于

/(x)+/(一§x2—x)=/+2x2+3x+4+(一§x2—x)+21一§x2—x)+

31|、2-尤)+4=弟2=翳.即成=-：，"=齐所以卜|,同是/村=八2/+3*+4的

一个对称中心.

故答案为：卜费.

【变式训练】

1、设函数"x)=ln(T71i7),若a,b满足不等式/(/-2a)+/(26-/)40,则当

时，2a—h

的最大值为

A.1B.10C.5D.8

【答案】B

【详解】

因为〃*)+/(-犬)=皿(\/?石'一q+111(正'71+q=0,所以函数/。)为奇函数,又因为

x>0时“尤卜可^^一+诃4^+力为单调减函数，且/(0)=0所以/(X)为R上减

函数，因此

/(/_24+/侬-/)400f(a2-2a)<-f(2b-b2)^f(a2-2a)<f[-2b+b2)

、、、、a>b—a<b

oa2-2a>-2b+b-^(a-1)2>(b-l)2o{八，、或{.一八,因为1Wa44,所以可

a-\-b-2>0a+Lb-2<0

行域为一个三角形ABC及其内部，其中A(l,l),8(4,4),C(4,-2),因此直线z=2a-b过点C时取

最大值10,选B.

【基本规律】

(a+b2

1、若/(*)满足/(“+小/(1)="则/(")关于I2J中心对称

2、特殊的奇函数：(考试难点)：

mnAin+1U

①、对数与反比例复合：y=loga,y=loga,如：loga—,log,归J,loga^-

m+nxm-nxl+x1+kxx+1

②、指数与反比例复合：y==三,y=-^【,y=L=，丫=上工

a-1a+11+a*\-ax

③、对数与无理式复合：y=loga(J(kx>+1±kx),如：y=loga(J(x»+l+式

3.形如y="l对称中心为(0,4)

u,x+12

高频考点四轴对称

例4：已知函数"x)=2ekT-；a(2x-2+22T)-a2有唯一零点，则负实数〃=(

)

1,1„,

A.一2B.——C.-1D.——或一1

22

【答案】A

【解析】函数ITI/、有有唯一零点,设％-l=f,

22

/(x)=2/T_；a(2"2+2-V)-6/

则函数..|、有唯一零点，则“1/、3er-a

〃X)=2那一(优z+2-1-/2/-((2，+21="

(2'+2')=a2,

设1,I、,11P(r)为偶函

g(f)=2别一段。3z+21，g(T)=2BT—：a(z2T+2)=g(f),

数，

•••函数f(f)有唯一零点，，y=g⑺与y=q2有唯一的交点，

•••此交点的横坐标为0,-2-a=a2,解得a=_2或a=l(舍去)，故选A.

【变式训练】

1.已知函数/(x)=(d-4x)(ei-/r)+%+1在区间卜i,5］的值域为［%M］,则

m+M=()

A.2B.4C.6D.8

【答案】C

【详解】解:y=(x2-4)(ex-e-x)+x在［-3,3］上为奇函数，图象关于原点对称,

/(x)=(炉一4x)(ex~2-e2"')+x+l=(x-2)?-4］(ex~2-e2T)+x-2+3是将上述函

数图象向右平移2个单位，并向上平移3个单位得到，所以/(力图象关丁。3)对称，则

m+M=6,故选C.

【基本规律】

1.函数人可对于定义域内任意实数X满足/("+司=/("一力，则函数/(刈关于直线

_a+b

“一丁对称，特别地当〃力=/(力-X)时，函数/(X)关于直线x=a对称；

2.如果函数y=/(x)满足/(«+x)=/(a—x),则函数y=/(x)的图象关于直线x=a

对称.

a+b

3.y=/(a—x)与y=(x一份关于直线一［对称。

高频考点五中心对称和轴对称构造出周期性

例5：已知函数f(x)为定义域为R的偶函数，且满足fG+x)=f(|—x),当x€［—1,0］

时，f(x)=-元若函数F(x)=/(%)+岗在区间［-9,10］上的所有零点之和为

【答案】5.

【详解】•.•足fC+x)=/(|-0，，/(x)=f(2-x),又因函数/(x)为偶函数，.•./(>)=

/(-x)=/(2+x),即/0)=/(2+乃，，1=2,令F(x)=0,/(x)=等，，即求f(x)与

2x—1

V-交点横坐标之和.V=/三=；+尸7，

J2x-l2x-l22X-1

作出图象：

由图象可知有10个交点，并且关于G，3中心对称，.•.其和为弓=5故答案为：5

【变式训练】

1.定义在R上的奇函数“X)满足"2-x)=/(x),且在［0,1)上单调递减，若方程〃x)=T

在［0,1)上有实数根，则方程〃x)