第一章 集合与常用逻辑用语章末检测-2024年高考数学高频考点（新高考通用）解析版

第一章集合与常用逻辑用语章末检测

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如

需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写

在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I卷

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求.

1.设集合S={xdN[0<x<6},T={4,5,6},则SCT=

A.{1,2,3,4,5,6}B.{1,2,3}

C.{4,5}D.{4,5,6）

【答案】C

【详解】试题分析：因为S={xeN[0<x<6}={l,2,3,4,5}

所以,5门7={1,2,3,4,5小{4,5,6}={4,5},故选（3.

考点：集合的运算.

2.设xeR,则是";<2、<2”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】首先分别解绝对值和指数不等式，从而得到（。，1）¥（-1，1）,即可得到答案.

111

【详解】由|x—得。〈%V1,由5<2><2得—1VXV1,

因为（。，1）M（T1），所以“IX-；|<；”是“g<年<2"的充分不必要条件，

故选：A

【点睛】本题主要考查充分不必要条件的判断，同时考查指数不等式和绝对值不等式的解

法，属于简单题.

3.已知集合4={-1,0,1},B=[y\y^x+l\,x^A],则AB=（）

A.{-1,0}B.{0,1}C.{-1,1}D.{-1,0,1）

【答案】B

【分析】根据集合A,可求出集合B中的具体元素，即可得AcB.

【详解】解：A={-L0,l},，5={0,1,2},

A8-{0,1}

故选B

【点睛】本题考查集合的交集运算，是基础题.

4.下列命题中正确的是（）

A.命题“*eR,使得x?+x+l<0"的否定是"VxeR都有f+x+l>。”

B.命题“VxeR,Y+x+lwO”的否定是“VxeR,d+x+l=O”

C.而>1是a>l,匕>1的必要条件

D.4-6=0的充要条件是：=1

b

【答案】C

【分析】根据含有一个量词的命题的否定判断A、B,根据充分条件、必要条件的定义判断

C、D；

【详解】解：对于A：命题“HXER,使得了2+工+1<0”的否定是“VxcR都有炉+%+120”,

故A错误；

对于B：命题“V%cR,V+x+iwo”的否定是“X2+X+1=09\故B错误；

对于C由a>l,b>l,则必〉1,故ab〉l是a>l,b〉l的必要条件，

由〃推不出a>l,b>l,如1=10,b=3,显然满足。8>1,故不是a>l,b>l

的充分条件，故C正确；

对于D：由匕=0推不出f=1,如。=6=0,显然满足匕=0,但是:没意义，故D错

误；

故选：C

5.若p:、。目1,5],十一"一4>0是真命题，则实数。的取值范围是（）

91

A.a>—B.-----C.。>5D.

2516

【答案】C

【分析】利用参变量分离法可得出。>士+工，当xe[l,5]时，求出士+工的取值范围，即

XXXX

可得出实数a的取值范围.

【详解】对任意的％且1，5],ax1——4>0,则。>一■—,

XX

114]「9一

因为无目1,5],则工4―41,则不+一£—,5,：,a>5.

故选：C.

6.已知£心给出下列条件：①/>人②1<1③—则使得心匕成立

cib

的充分而不必要条件是

A.①B.②C.③D.①②③

【答案】C

【分析】由题意逐一考查所给的三个条件是否是a>6成立的充分而不必要条件即可.

【详解】由①/>/,得：\a\>\b\,不一定有成立，不符；

对于②，当时，有!</，但。"不成立，所以不符；

对于③，由a，〉/?/,知c#0,所以，有。>。成立，

当成立时，不一定有改2>历2,因为。可以为0,符合题意；

本题选择C选项.

【点睛】本题主要考查不等式的性质及其应用，充分条件和必要条件的判定等知识，意在

考查学生的转化能力和计算求解能力.

7.下列判断正确的是（）

A.设x是实数，则“犬>1”是“国>1”的充分而不必要条件

B.〃：“天（）eR,2与<0''则有力:不存在不€r，2'。>0

C.命题“若x2=1,则尤=1”的否命题为:“若x2=1则xw1”

D.”Vxe（0,+co）,「]>log[X”为真命题

【答案】A

【分析】对于A中，根据不等式的性质和充分不必要条件判定，可得A正确；对于B中，

根据特称命题的否定为全称命题，即可判定；对于C中，否命题的定义，即可判定；对于

D中，根据指数函数与对数函数的性质，即可判定，得到答案.

【详解】对于A中，当x>l时，国>1一定成立,但当国>1时，x>l或x<-l,故x>l是国>1

成立的充分不必要条件，所以A正确；

对于B中，根据特称命题的否定为全称命题，可得命题%°eR,2*Y0”的否定为

rp:"VxeR2x>0"，所以不正确；

对于C中，命题“若丁=1,贝！|x=l”的否命题应为:“若贝！JxHl”，所以不正确；

对于D中，根据指数函数与对数函数的性质可知，函数y=（；『与y=l°g；x在第一象限有

一个交点，所以“Vxe（O,y）d>log：尤”为假命题命题，故选A.

【点睛】本题主要考查了命题的真假判定问题，其中解答中涉及到充分不必要条件的判定,

全称命题与特称命题的关系，以及指数与对数函数的图象与性质的应用等知识的综合考查,

着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.

8.用C（A）表示非空集合A中的元素个数，定义4*2=:黑货广]!，若人={1,2,3},

2={xI（2/+依）（尤2+依+2）}=0,且A*3=3,则实数。的取值范围是

A.卜|^2A/2,+oojB.2A/^）（2A/^,+CO）

C.卜20,2夜]D.（-272,272）

【答案】B

【解析】要使A*3=3,则C（8）..3,分类讨论利用判别式来确定集合B中方程根的情况，

进而可得实数。的取值范围.

【详解】解：要使4*3=3,则C（B）..3,

,,,fa2-4x2x0>0„ftz2-4x2x0=0„fa2-4x2x0>0

所以2或2或2，

[a2-4xlx2=0[a2-4xlx2>0[a2-4xlx2>0

解得他,-2*\/2或ci..2A/2-，

又当a=±2应时，C（B）=2,不合题意，

综上，实数。的取值范围是（—00,—2忘）（2忘,+8）,

故选：B.

【点睛】本题考查集合新定义，考查学生理解能力和计算能力，是中档题.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符

合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.下列命题是真命题的是（）

A.VxeR,|x|>XB.3.xeR,|x|<-X

C.VxeR,X2-3^-5>0D.HreR,^2-3x-5>0

【答案】ABD

【分析】利用绝对值的性质可判断A选项的正误；取x=0,可判断B选项的正误；取x=0,

可判断C选项的正误；取x=5,可判断D选项的正误.

【详解】对于A：当xNO时，N=x；当尤<0时，|x|=-x>0>x；

综上所述：WxeR,W。，故A正确;

对于B：当x=0时，满足,故B正确；

对于C：当x=0时，尤2-3无一5=-5<0,故C错误；

对于D：当x=5时,尤2-3尤一5=5>0,故D正确；

故选：ABD.

10.定义集合运算：A0B={z\z=(x+y)x(x-y),xeAyeB),设A={0,g},

B={1,3},贝I()

A.当x=-s/2,y=>/2时，z=1

B.x可取两个值，y可取两个值，z=(x+y)x(x-y)有4个式子

C.A83中有4个元素

D.的真子集有7个

【答案】BD

【分析】根据集合的定义可求出从而可判断各项的正误.

【详解】A0B={Z|z=^-y\x^A,y^B\={l,^2},

故A83中有3个元素，其真子集的个数为23-1=7,故C错误，D正确.

当x=近,y=&时，z=0,故A错误.

X可取两个值，y可取两个值，z=(x+y)x(x-y)共有4个算式，

分别为：

(72+1)(72-1),(^+1)(V3-1),(若+应)(有-应),(应+应)(应-应),

故B正确.

故选：BD.

【点睛】本题考查新定义背景下集合的计算、集合子集个数的计算，注意不同的算式可以

有相同的计算结果，另外，注意集合中元素的互异性对于集合表示的影响，本题属于基础

题.

11.下列命题正确的是()

A.“关于X的不等式如2+X+7〃>0在R上恒成立”的一个必要不充分条件是m>\

B.设则“工.2且。2”是“％2+y2..4，，的必要不充分条件

C.是<1”的充分不必要条件

D.命题“入40』/+@0”是假命题的实数。的取值范围为{同。>0}

【答案】ACD

【分析】利用一元二次不等式的恒成立问题结合必要不充分条件的定义判断A；由"2且

y..2时，/+//判断B；解不等式工<1结合充分不必要条件的定义判断C；由命题

a

“V%w[0,l],%+a>0”是真命题，再由〃>(一%)耐=0判断D.

fm>01

【详解】对于A,当机=0时，显然不成立；当机H0时，有A।彳2八，解得机>£，

[△=1-4"<02

故A正确；

对于B,当乂.2且，.2时,x2+y2..4,则“"2且y..2”是“/+片⑷，的充分条件,故B错

误；

对于C,由,<1可得。>1或a<0,即是“工<1”的充分不必要条件，故C正确；

aa

对于D,命题“*e[0,l],x+w,0”是假命题，则命题”心目0,1],工+4>0”是真命题，即a>-x

在工目0』上恒成立，即。>(f)1mx=0,故D正确；

故选：ACD

12.已知集合M={x|x=疗-"之一,〃€％卜,则()

A.22eMB.24eM

C.Vx=2^—1,eZ,xeA/D.Vx,yGGM

【答案】BCD

【分析】由x=(m+")(%"),则可得到x为奇数或4的倍数，从而可以判断A,B；根据

2k-l=k2-(k-l^,即可判断C；讨论M中元素的情况，进而可判断D.

[详解]^x=m2-n2=(/M+n)(m-n),

则加+〃，〃同为奇数或同为偶数，所以x为奇数或4的倍数，故A错误；B正确；

因为2左一1=左2_(左一ip,且左一1,左©Z,所以x=2左一leAf,

故Vx=2左-1,左成立，故C正确；

又2左+1=(左+1)2—42,所以Vx=2左+1,左,

由则羽>为奇数或4的倍数，

当x,y中至少有一个为4的倍数时，则孙为4的倍数，所以个eM,

当x,y都为奇数时,则可令x=2左+l,y=2&+1,勺,左2eZ,

所以孙=(2勺+1乂2&+1)=2(2发自+K+自)+1湛，左2eZ,所以移wM,

故eM,孙eA7,故D正确.

故选：BCD.

【点睛】关键点睛：涉及苏-74m,7”2）数的特性的探讨，利用奇数偶数的性质进行分类

讨论是解题的关键.

第n卷

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分

13.“一元二次方程*2+次+0=0有两个相等的实数根”是22=a”的条件.

【答案】充分不必要

w0

【分析】根据二次方程根的个数能得到二,然后用充分条件和必要条件的定义进行求

[b=ac

解即可

【详解】因为一元二次方程OX?+2bx+c=0有两个相等的实数根，

所以::/八，即’故能推出"=*’充分性成立,

[（26）-4ac=0[b=ac

[a^O

因为从=这不能推出，，，必要性不成立.故答案为：充分不必要

[b=ac

14.已知集合4=卜|m2_2X+I=O,XCR｝有且仅有两个子集，则实数加=

【答案】0或1

【分析】由集合A有且仅有两个子集可得集合A只有1个元素，再对俄分类讨论即可得出

答案.

【详解】解：•.•集合A=｛尤|加-2x+l=0,xeR｝有且仅有两个子集，

•••集合A只有1个元素，

・♦・方程祖/_2%+1=0只有1个实数根，

当机=0时，方程化为-2%+1=0,得％=符合题意；

当相。0时，由根的判别式有A=4-4m=0,得m=1,

故答案为：0或L

【点睛】本题主要考查方程集合的子集个数，考查方程解的个数，属于基础题.

15.已知条件21＜》＜左+1,。：=22,p是q的充分条件，则实数上的取值范围是

X+1

【答案】H-2]

【分析】先根据分式不等式求出4,设条件P对应的集合为A,条件4对应的集合为B,由

p是q的充分条件，可得Au8,进而可得出答案.

【详解】由二、2,得注4。，解得一5Vx＜—1,

X+lX+1

设24={犬上一1<%〈人+1},5=1x|—5<x<—1},

因为p是q的充分条件，所以

(k-l>-5

所以《71-「解得-44左4一2,

所以实数k的取值范围是[-4,-2].

故答案为：[T—2].

16.已知集合A=[/+1/+2]D，+5/+10],。eA,如果存在正数丸，使得对任意都

满足4eA,则实数r=.

a

【答案】一4或0

【分析】根据集合元素属性特征，通过解方程分类讨论求解即可.

【详解】当/>-1时,当“中+1J+2]时，贝与牛+5J+10],

当a£,+5/+10]时，则一£[/+1,/+2],

夕)

即当a=/+l时，一W/+10；当〃=/+10时，一之/+1；所以X=(♦+10)。+1),

当a=%+2时,—21+5；当〃=」+5时,—Wt+2,所以4=(/+5)(力+2),

aa

因此有4=。+10)(，+1)=(，+5)”+2)=>/=0；

当.+2<0<%+5时，当〃£[/+1,r+2]时，贝1]—G+1,/+2],

当〃£,+5/+10]时，则一£[/+5/+10],

即当〃=1+1时，-WJ+2；当a=£+10时,—>t+l*所以4=。+2乂/+1),

当〃=/+5时，—</+10；当L+10时，—W/+5,所以X=(/+5)«+10),

因此有4=(+2)«+l)=(+5)«+10)=>方=T,

当,+10<0时，同理可得无解，

综上所述：实数t的值为-4或0,

故答案为：-4或0

【点睛】关键点睛：根据区间取特殊值分类讨论进行求解是解题的关键.

四、解答题：本小题共6小题，共70分，其中第17题10分，18~22题12分。解答应写出

文字说明、证明过程或演算步骤.

17.已知集合A={H-2<x<5},B={Hm+1<%<2机一1}.

7

(1)当根=]时，求Ac3和AuB；

(2)若AB=B,求实数次的取值范围.

【答案】(1)AC5={X|[WX<5},A^JB={X\-2<X<6}

(2)m<3

7

【分析】(1)当时求出集合8,再与A进行交集和并集运算即可求解；

(2)由题意可得3qA,讨论3=0和3X0,根据包含关系列不等式组即可求解.

(1)当根■时，A={x|-2〈xW5},B=jx|-|<x<6|,

所以Ac8=]x|[〈xW5},AuB={x|-2<x<6}

(2)

若AB=B,则

当B=0时，m+l>2m-l,可得m<2,此时符合题意，

m+1<2m-1

当3W0时，若B=A则”+1之一2,解得：24切〈3,

2m-1<5

综上所述：实数加的取值范围为：m<3.

18.已知集合4=32<%<4}

⑴求AcB；

(2)若集合C={H"x<o+l},在①AuC=A；②xeC是xeA的充分条件，这两个条件中

任选一个作为条件，求实数。的取值范围.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

【答案】⑴AC3={X[3WX<4}

(2)[2,3]

【分析】(1)根据分母不为零且偶次方根的被开方数非负得到不等式组，即可求出集合3,

再根据交集的定义计算可得；

(2)根据所选条件得到C=A,即可得到不等式组，从而求出参数的取值范围.

[详解】(1)•.•了=«^+」fx-3>0

7[%-5w0・二工23且工。5,

x-5

：.B=y/x—3H---=--{-%-|兀23且％。5},

卜卜=x-5

又4=卜|2<尤<4},

/.AnB=1x|3<x<41；

(2)若选①AuC=A,则CqA,

V。={%|4<%<々+1}且〃+1>4,,Cw0,

\a>2

・•・〈…，：.2<a<3

Lz+1<49

工实数，的取值范围为[2,3]；

若选②x£C是xeA的充分条件,则

■:C=v%va+l}且〃+1>。,・・・Cw0,

a>2

一，：.2<a<3,

kz+l<4

・•・实数〃的取值范围为[2,3].

19.已知集合4={%|—2<%<5},B=|x|m+l<x<2m-l},且5/0.

(1)若命题p：“VX£5,xeA”是真命题，求相的取值范围;

(2)若命题/“玄£A,是真命题，求相的取值范围.

【答案】⑴[2,3]

(2)[2,4]

【分析】(1)根据命题p为真命题，得到8a48力0,从而得到不等式组，求出m的取值

范围；

(2)根据命题q为真命题，得到AC3关0,从而得到不等式组，求出m的取值范围.

【详解】(1)命题p："VxwB,xeA”是真命题，故8=48/0,

m+1<2m-1

所以“+12-2,解得24〃?43,

2m-1<5

故m的取值范围是[2,3].

(2)由于命题q为真命题，则Ac5w0,

因为8/0,所以m+142m一1,所以用22,

当机22时，一定有相+123,

要想满足Ac5/0,则要满足根+145,解得加W4,

故Ac5w0时，2W机44,

故m的取值范围为[2,4].

20.已知/(x)=ax2+(2〃+3)%+1—。.

(1)求证：4=0是关于X的方程/(x)=0有解的一个充分条件；

⑵当4>0时，求关于X的方程/(X)=0有一个正根和一个负根的充要条件.

【答案】⑴证明见解析

⑵4>1

【分析】(1)将。=0代入函数，求解/(x)=0即可.

fA>0

(2)由一元二次方程有一正一负根，即八列式求解可得a的范围，再检验必要性即

I%%<0

可.

【详解】⑴证明：当。=0时，〃x)=3x+l,

则/(x)=0,即：3x+l=0,解得：x=

所以。=0是关于x的方程/(x)=0有解的一个充分条件.

(2)当。>0时，因为方程/'(x)=0有一个正根和一个负根，

a>0。〉0?

2

所以｛A>0^<(2a+3)-4a(l-G)>0,解得：a>\.

—2<0-1---a<0八?门

、a

1—n

反_之，当々>1时，A=(2〃+3)2—4Q(1—Q)>0,且再/=---<0,

a

所以/'(x)=0有一个正根和一个负根，满足条件.

所以，当。>0时，关于x的方程/'(x)=0有一个正根和一个负根的充要条件为。>1.

21.命题P：任意xeR,f>0成立；命题4：存在xeR,x2+4)wc+1<0

(1)若命题q为假命题，求实数加的取值范围；

(2)若命题〃和4有且只有一个为真命题，求实数机的取值范围.

【答案】(1)-9睦;

(2)一工工用<0或相«—3或m〉£

2，

【分析】(1)由q真,由判别式求得m的取值范围，进而得到q假的条件；

(2)求得p真的条件，由。和夕有且只有一个为真命题，得到P真q假，或。假4真，然后

分别求的m的取值范围，再取并集即得.

【详解】⑴由q真:A=16m2-4>0,得或冽>、,

2乙

所以q假：_：4加工：；

(2)p真：/=4根2+12根<0推出一3<相<0,

由〃和4有且只有一个为真命题，

・•.〃真4假，或〃假4真，

-3<m<0fm<-3或加>0

£

.22[\2,2

2