2023年中考数学练习-二次函数与面积综合

2023年中考数学高频考点突破一二次函数与面积综合

1.如图，直线y=-2x+3与X轴交于点C,与y轴交于点8,抛物线y=0x2+x+c经过8、

C两点.

(1)求抛物线的解析式;

(2)如图，点E是直线BC上方抛物线上的一动点，当ABEC面积最大时，请求出点

E的坐标和ABEC面积的最大值？

(3)在(2)的结论下，过点E作y轴的平行线交直线BC于点例，连接AM,点。是

抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点尸，使得以尸、Q、A、M为顶点的四边

形是平行四边形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由.

2.如图，抛物线y=∕+χ-2与X轴交于A、B两点，与y轴交于点C.

(1)求点A,点B和点C的坐标；

(2)在抛物线的对称轴上有一动点P,求PB+PC的值最小时的点P的坐标；

(3)若点M是直线AC下方抛物线上一动点，求四边形ABCM面积的最大值.

3.如图，抛物线y=(x+l)2+%与X轴交于A、B两点，与y轴交于点C(0,-3).

(1)求抛物线的对称轴及A的值：

(2)抛物线的对称轴上存在一点P,使得P4+PC的值最小，求此时点P的坐标；

(3)点M是抛物线上一动点，且在第三象限.

①当M点运动到何处时，的面积最大？求出AAMB的最大面积及此时点M的坐

标；

②过点M作PMLX轴交线段AC于点P,求出线段PM长度的最大值.

4.如图，在平面直角坐标系中，抛物线与X轴交于A(-1,0),B(3,0)两点，与y

轴交于点C,且。8=OC.

(1)求抛物线的解析式；

(2)已知点。(0,-1),点P为线段BC上一动点，延长DP交抛物线于点“，连结

BH.

①当四边形B面积为红，求点H的坐标;

2

5.如图，抛物线y=∕-2χ-3与X轴交于A,B两点（A在点B的左侧），与y轴交于点

C.

（1）直接写出点的坐标：A,B,C.

（2）若点M是抛物线对称轴上一点，求AM+CM的最小值；

（3）若P是抛物线上的一个动点，是否存在点P,使aABP的面积为10?若存在，请

直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由.

6.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=αr2+bx+c（αW0）的图象与y轴交于点C（0,

-3）,与X轴交于A、B两点，点A在原点的左侧，点B的坐标为（3,0）,抛物线的

对称轴为直线X=L

（1）求抛物线的解析式；

（2）点P从A点出发，在线段AB上以每秒1个单位长度的速度向8点运动，同时点

。从8点出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动，当其中一个点到

达终点时，另一个点也停止运动，设aPBQ的面积为s,点尸运动时间为/,试求S与f

的函数关系，并求S的最大值；

（3）在点P运动过程中，是否存在某一时刻f,使APBQ为直角三角形？若存在，求

出f的值；若不存在，请说明理由.

备用图

7.如图所示：已知抛物线y=ax2(α≠0)与一次函数y=kx+b的图象相交于两点A(-},

-1),B(2,-4),点P是抛物线上不与A,8重合的一个动点，点。是y轴上的一

个动点.

(1)求4,k,6的值.

(2)直接写出关于X的不等式or2VH-2的解集；

(3)当点P在直线AB上方时，请求出aPAB面积的最大值并求出此时点尸的坐标；

(4)是否存在以P,Q,A,B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出P,

。的坐标；若不存在，请说明理由.

8.已知二次函数y=-2/+foχ+c的图象经过A(2,O),B(0,-6)两点.

2

(1)求这个二次函数的解析式；

(2)设该二次函数图象的对称轴与X轴交于点C,连接BA,BC,求AABC的面积；

(3)已知该函数图象的对称轴上存在一点P,使得AABP的周长最小，请求出点尸的

坐标.

9.定义：在线段MN上存在点P、。将线段MN分为相等的三部分，则称P、Q为线段

MN的三等分点.

己知一次函数)，=-x+3的图象与x、y轴分别交于点M、N,且A、C为线段MN的三等

分点(点A在点C的左边).

(1)直接写出点A、C的坐标：

(2)①二次函数的图象恰好经过点0、A、C,试求此二次函数的解析式；

②过点A、C分别作AB、CZ)垂直X轴于8、。两点，在此抛物线。、C之间取一点P

(点P不与0、C重合)作轴于点尸，PF交OC于点、E,是否存在点尸使得AP

=BE?若存在，求出点P的坐标？若不存在，试说明理由；

(3)在(2)的条件下，将4OAB沿AC方向移动到AOZH(点A'在线段AC上，且不

与C重合)，AOZH与AOCO重叠部分的面积为S,试求当S=3时点A，的坐标.

8

10.如图1,抛物线y=αΛ∣√7χ+3(α≠0)与X轴交于A(-1,0)、8(3,0)两点，与y

轴交于点C,顶点为点M.

(1)求这条抛物线的解析式及直线8M的解析式;

(2)P为线段上一动点(点P不与点8、M重合)，过点户向X轴引垂线，垂足为

。，设OQ的长为L四边形PQAC的面积为S.求S与f之间的函数关系式及自变量f

的取值范围；

(3)在线段上是否存在点M使4NMC为等腰三角形？若存在，请直接写出点N

的坐标；若不存在，请说明理由.

11.如图，抛物线)，=-2r2+∕zr+c过A(2,0)、C(0,4)两点.

(1)分别求该抛物线和直线AC的解析式:

(2)横坐标为根的点P是直线AC上方的抛物线上一动点，AAPC的面积为S.

①求S与，〃的函数关系式；

②S是否有最大值？若存在，求出最大值，若不存在，请说明理由.

(3)点M是直线AC上一动点，ME垂直X轴于E,在)，轴(原点除外)上是否存在点

F,使为等腰直角三角形？若存在，直接写出对应的点凡用的坐标；若不存在,

说明理由.

12.如图1,在平面直角坐标系中，抛物线y=-上/+3χ+4与X轴交于A,8两点(点A

42

在点B左侧)，与y轴交于点C.

(1)求抛物线的对称轴及AABC的周长;

(2)点力是线段4C的中点，过点。作BC的平行线，分别与X轴、抛物线交于点E、

F,点P为直线BC上方抛物线上的一动点，连接尸。交线段BC于点G,当四边形

PGE尸面积最大时，点。从点P出发沿适当的路径运动到X轴上的点M处，再沿射线

。厂方向运动遥个单位到点N处，最后回到直线BC上的点H处停止，当点Q的运动

路径最短时，求点Q的最短运动路径长及点H的坐标；

(3)如图2,将AAOC绕点。顺时针旋转至^A∣OC∣的位置，点4、C的对应点分别

为点4、Ci,且点Al落在线段AC上，再将AAiOC沿)，轴平移得4A2θιC2,其中直

线O∣C2与X轴交于点K,点T是抛物线对称轴上的动点，连接KT、0∖T,zʌθiKT能否

成为以OK为直角边的等腰直角三角形？若能，请直接写出所有符合条件的点T的坐

标；若不能，请说明理由.

13.抛物线y=0r2+bχ-经过点A(-1,0)和8(2,0),直线y=遂x+机经过点

5

A和抛物线的另一个交点为C

(1)求抛物线的解析式.

(2)动点P、。从点A出发，分别沿线段AC和射线Ao运动，运动的速度分别是每秒

4个单位长度和3个单位长度.连接PQ,设运动时间为f秒，AAPQ的面积为s,求S

与f的函数关系式.(不写f的取值范围)

(3)在(2)的条件下，线段尸Q交抛物线于点。，点E在线段A尸上，且AE=A。，

连接E。，过点。作E交X轴于点凡当。产=√SθE时，求点尸的坐标.

14.如图，二次函数yι=∕+⅛r+c与一次函数>2=x+α交于点A(-1,O),B(d,5).

(1)求二次函数yι的解析式；

(2)当yι<y2时，则X的取值范围是；

(3)已知点尸是在X轴下方的二次函数yι图象的点，求aOAP的面积S的最大值.

15.如图，抛物线y=-χ2+foχ+c交X轴于A、8两点，交y轴于点C.直线BC的解析式为

y—-x+5.

(1)求抛物线的解析式；

(2)点尸为抛物线第一象限函数图象上一点，设P点的横坐标为",的面积为

S,求S与机的函数关系式；

(3)在(2)的条件下，连接AP,抛物线上是否存在这样的点P,使得线段PA被BC

平分？如果不存在，请说明理由；如果存在，求点P的坐标.

16.如图，已知二次函数y=∕+bx+c过点A(1,O),C(0,-3)

(1)求此二次函数的解析式；

(2)求448C的面积；

(3)在抛物线上存在一点P,使AABP的面积为10,请求出点P的坐标.

17.如图，已知点E在X轴上，OE交X轴于A,B两点(点A在点B的左侧)，交y轴于

、

点C,08=304=3,抛物线y=α√+⅛γ+c的图象过AB、C三点，顶点为M.

(1)写出A、8两点的坐标A,B；

(2)求二次函数的关系式；

(3)点尸为线段上的一个动点，过点P作X轴的垂线PQ垂足为。，若0。=胆，

四边形ACPQ的面积为S,求S关于机的函数关系式，和四边形ACPQ的面积的最大值.

18.如图，抛物线y=0r2+fev+C与X轴交于A(-1,0)、8(3,0)两点，与y轴交于点

C(0,-3).

(1)求出该抛物线的函数关系式;

(2)设抛物线y=αx2+⅛r+c的顶点为M：

①求四边形ABMC的面积；

②点。为抛物线在第四象限内图象上一个动点，是否存在点。，使得四边形ABDC的

面积最大？若存在，请求出点。的坐标；若不存在，请说明理由；

(3)在抛物线y=0x2+Zzx+c上求点Q,使48CQ是以BC为直角边的直角三角

19.如图1,抛物线y=α√+bx+c的图象与X轴交于A(-3,0)、B(1,0)两点，与y

轴交于点C,且OC=O4.

(I)求抛物线解析式;

(2)过直线AC上方的抛物线上一点M作y轴的平行线，与直线4C交于点M已知M

点的横坐标为加，试用含机的式子表示MN的长及aACM的面积S,并求当MV的长最

大时S的值；

(3)如图2,D(0,-2),连接8£>,将aOBO绕平面内的某点(记为P)逆时针旋

转180°得到4O'B'D',0、B、。的对应点分别为0'、8'、.若点B'、D

两点恰好落在抛物线上，求旋转中心点尸的坐标.

20.如图，二次函数的图象经过点A(-1,0),B(3,0),C(0,-3),直线y=2x

-2与X轴、y轴交于点C,E.

(1)求该二次函数的解析式.

(2)判断aABE是否为直角三角形，说明理由.

(3)点M为该二次函数图象上一动点.

①若点M在图象上的8,C两点之间，求的面积的最大和最小值.

②若NMED=NEDB,求点M的坐标.

(备用图)

参考答案与试题解析

1.【解答】解：(1)∙.∙直线y=-2x+3与X轴交于点C,与y轴交于点8,

，点B的坐标是(0,3),点C的坐标是(3,0),

2

T抛物线y=αr2+x+c经过8、C两点，

’93

・Tar+c=0

•・彳42，

c=3

解得［a=?

Ic=3

抛物线的解析式为：y=-2X2+X+3.

(2)如图1,过点E作了轴的平行线EF交直线BC于点M,EF交X轴于点F,

Y点E是直线BC上方抛物线上的一动点，

二设点E的坐标是(x,-2X2+X+3),

则点M的坐标是(x,-2x+3),

EM=-2X2+X+3-(-2x+3)=-2x2+3x,

SABEC=S^BEM+SΛMEC

=JLEM∙OC

2

=工X(-2√+3x)×A

22

=一旦(X-旦)2+ZL,

2432

.∙.当X=g时，即点E的坐标是(3,.21)时，zλBEC的面积最大，最大面积是2二

44832

（3）在抛物线上存在点P,使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形.

①如图2,AM//PQ,AM=PQ.

由（2）,可得点〃的横坐标是3,

4

：点M在直线y=-2x+3上，

.∙.点M的坐标是（旦，2）,

42

又抛物线y=-2x1+x+3的对称轴是直线X=A,

4

二・设点尸的坐标是（x,-2X2+Λ+3）,

Y点A的坐标是（-1,0）,

IO

Λxp-XA=XQ-XM,X-（-1）=-=---

44

解得X=-1,

2

此时P（-3,-3）；

2

②如图3,由（2）知，可得点M的横坐标是与，

4

：点M在直线y=-2Λ+3上，

.∙.点M的坐标是（旦，3）,

42

又Y抛物线y=-2∕+χ+3的对称轴是直线X=工，

4

二设点P的坐标是（X,-2√+χ+3）,点。的横坐标是上,

4

・；点A的坐标是（-1,0）,

ɪQ

∙'∙XO-XA=XP-XM,BfJ--（-1）=X--

44

解得X=2,

此时尸(2,-3)；

③如图4,由(2)知，可得点M的横坐标是3,

4

：点M在直线y=-2x+3上，

.∙.点M的坐标是(旦，2),

42

又抛物线y=-2√+x+3的对称轴是直线X=2，

4

...设点P的坐标是(x,-2√+x+3),点。的横坐标是』，

4

Y点A的坐标是(-1,0),

O1

∙∙XP-XA=XM-XQf即X-(-1)

44

解得尤=-1,

2

此时P(-1,2)；

2

综上所述，在抛物线上存在点P,使得以RQ、A、M为顶点的四边形是平行四边形,

图4

2.【解答】解：(1)由y=0,得/+x-2=0解得X=-2,X=1,

.∙.A(-2,0),B(1,0),

由x=0,得y=-2,

：.C(0,-2).

(2)连接AC与对称轴的交点即为点P.

设直线AC为y=履+6,则-2k+b=0,h=-2：得％=-1,y=-x-2.

对称轴为X=-―,当X=-工时，γ=-(-A)-2=-―,

2222

：.P(-A,-旦).

22

(3)过点M作MNLC轴与点M

设点M(X,/+χ-2),则AO=2,ON=-X,OB=∖,OC=2,MN=-(⅛-2)

=-X2-x+2,

2

S四边影AeCM=SΔΛOM+SAOCM+SABOC=LX2><(-X-x+2)+A×2×(-x)+-×1×

222

2

--x2-2x+3

--(x+l)2+4.

V-KO,

，当X=-1时，S四边形ABCM的最大值为4.

3.【解答】解：(1)∙.∙抛物线y=G+1)2+上与无轴交于48两点，与)，轴交于点C

(0,-3),

-3=(0+1)2+k,

解得：k=-4,

.∙.抛物线的解析式为：y=(x+l)2-4,

故对称轴为：直线X=-1；

(2)存在.

如图，连接AC,交对称轴于点P,此时PA+PC的值最小，

当y=0,贝!]O=(x+l)2-4,

解得：xι=l,Xi--3,

由题意可得：XANPSI∖AOC,

则迎=理，

AOCO

故2=现，

33

解得：PN=2,

则点P的坐标为：(7,-2)；

(3)点M是抛物线上的一动点，且在第三象限，

故-3<χV0;

①如图，设点M的坐标为：[x,(Λ+1)2-4],

∙.∙AB=4,

.∙.S∆AMB=A×4×∣(JC+1)2-4∣=2∣(X+1)2-4∣,

2

点M在第三象限，

.∙.SAAMB=8-2(x+l)2,

当X=-1时，即点M的坐标为(-1,-4)时，Z∖AMB的面积最大，最大值为8；

②设点〃的坐标为：[x,(x+l)2-4],

设直线AC的解析式为：y^ax+d,

将(-3,0),(01-3)代入得：

[-3a+d=0,

1d=-3

解得：卜=-1.

ld=-3

故直线AC：y=-χ-3,

设点尸的坐标为：G,r-3),

222

故PA/=-X-3-(x+l)÷4=-X-3x=-(x+—)+-f

24

当X=-3时，PM最大，最大值为9.

24

4.【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y=0x2+W+c,

'：OB=OC,B(3,0),

ΛOB=OC=3,C(0,-3),

将A,B,C点坐标代入函数解析式，

a-b+c=0

得“9a+3b+c=0>

c=-3

a=l

解得<b=-2，

c=-3

・・・抛物线的解析式为j=x2-2%-3；

(2)如图，连接O”，

VD(0,-1),

・・・OD=L

设”坐标是(〃?，m2-2m-3),

则S四边形ODHB=SAODH+SAOBH

=-OD9tn+-OB*∖∕n2-2m-3|

22

∖

—-yɪm+y3(/-m2+c2m+o3)11

解得：机=工或m=2,

3

：.H(ɪ,包•)或(2,-3),

39

・・・当四边形面积为旦，点H的坐标为(工,丝）或（2,-3）；

239

②如图，作HE_LoB于E点，交BC于F,

设BC的解析式为y=fct+f,

将B(3,0),C(0,-3)代入函数解析式,

得，3k+t=0,

It=-3

解得，k=l,

11=-3

.∙.BC的解析式为y=χ-3,

设H(九，⅛2-2∕ι-3),F(4,h-3),

贝IJHF=h-3-(A2-2Λ-3)=-h2+3h,

∖'HF∕∕CD,

：.APCDsAPHF,

...K=型=ZK=ZJ⅛1=--)2+9

PDCD2228

y

5.【解答】解：(1)在y=∕-2x-3中，令X=O得y=-3,令y=0得x=3或-1,

：.C(0,-3),A(-1,O),B(3,0),

故答案为：(-1,0),(3,0),(0,-3)；

(2：点A,B关于抛物线对称轴/对称，

连接BC交抛物线对称轴于M点，此时AM+CM最小，最小为BC的长，

VB(3,0),C(0,-3),

22

J.AM+CM的最小值为√3+3=3√5;

(3)存在,

；ZwWP的面积为10,AB=3-(-1)=4,

,△AB尸的边AB上的高的长为丝工1=5,

4

二点P的坐标为5或-5,

当点P的纵坐标为5时，5=X2-2X-3,解得X=-2或=4,

.∙.点P的坐标为(-2,5)或(4,5),

当点P的纵坐标为-5时，-5=∕-2χ-3,整理得：X2-2x+2=0,

：A=(-2)2-4×lX2=-4<0,

.∙∙方程/-2x+2=0没有实数根，

综上所述，点P的坐标为(-2,5)或(4,-5).

6.【解答】解：(1)：抛物线y=0x2+陵+c的对称轴为直线X=

.∙.1；

2a

又：抛物线y=a?+bx+c经过点2(3,0)、C(0,-3),

H=I

・2a

-9a+3b+c=0,

c="3

'a=l

解得，<b=-2，

c=-3

抛物线的解析式为y=x2-Zr-3.

(2)如图1,作Q£>_LX轴于点。，则N8OQ=90°,

抛物线的对称轴为直线x=l,

二点A与点B(3,0)关于直线X=I对称，

(-1,0),

ΛAB=3-(-1)=4,

VZBOC=90o,OB=OC=3,

223

.∙.BC=√3+3=V2-NoBC=NOCB=45°,

o

.∖AB<BCfZDQB=ZDBQ=45,

/.QD=BD,

∙/Qb1+BD1=BQ2,

Λ2βD2=Bβ2,

：・QD=BD=叵BQ,

2

由题意得，AP=BQ=t9

：.QD=BD=冬，

2

V5Δ∕>B(2=1BP∙QD=1×(4-力×2i∕∑r=JZΣ∕+√2Λ

2224

.K与，的函数关系式为S=j∕∑r2+√2/(0<z<4),

4

：s=2+Mf=jZΣ(r-2)2+√2-

44

当，=2时's最大=>J"2.

(3)存在，作QoLX轴于点。，

由(2)得，NDQB=NDBQ=45°,QD=BD=

2

如图2,NPQB=90°,则NPQO=∕BQD=45°,

VQD=QD,NPDQ=∕BDQ=90°,

,△PDQ94BDQ(ASA),

：.PD=BD=^-t,

2

.∖PB=2PD=y∕2t,

：.t+近t=4,

解得t=4√2-4：

如图3NBPQ=90°，

则PQ"轴，

，点P与点。重合，

.*.4-

2

解得，r=8-4V2>

综上所述，f的值为4√2-4或8-4√2∙

图2

7.【解答】解：⑴把A(-l,-1),代入尸苏中，可得：”=-1,

把A(-1,-1),8(2,-4)代入y=fcv+b中，可得：［"+b=［解得［k=-l

I2k÷b=-4Ib=-2

.∙.α=-1,k=-1,b=-2；

(2)观察函数图象可知，关于X的不等式α√<fcv-2的解集是x<-1或x>2；

(3)过点A作y轴的平行线，过点B作X轴的平行线，两者交于点C,

设点P的横坐标为〃?，则点P的纵坐标为-

过点尸作尸。J-AC于。，作PEi.8C于E.则。(-1,-MZ2),E(m,-4),

.∖PD=m+l,PE=-m2+4.

:・SAAPB=SAAPC+SABPC-SdABC,

=,ɪ×AC∙PD+ɪ×BC∙PE--l×βC∙AC.

222

=JLX3X(∕M+1)-λ×3×3,

22

---nr+—m+3.

22

3_

万

尹m=-1

2×(V)2

而-IVfn<2,

.∙.当机=工时，SyPB的最大值为2工，此时点P的坐标为（L-1）；

2824

（4）存在三组符合条件的点.

当以P,Q,A,B为顶点的四边形是平行四边形时,

"：AP=BQ,AQ=BP,AC-I,-1),B(2,-4),

可得坐标如下:

①P'的横坐标为-3,代入二次函数表达式，

解得：P'(-3,-9),Q'(0,-12)；

②P"的横坐标为3,代入二次函数表达式，

解得：P"(3,-9),Q"(0,-6)；

③尸的横坐标为1,代入二次函数表达式，

解得：P(1,-1),Q(0,-4).

故：P、。的坐标分别为(-3,-9)、(0,-12)或(3,-9)、(0,-6)或(1,

-1)、(0,-4).

8.【解答】解：(1)把A(2,0)、B(0,-6)代入二次函数解析式，可得

f-2+2b+c=0

∖c=-6,

解得［b=4,

Ic=-6

这个二次函数的解析式是y=-AX2+4X-6；

2

(2);对称轴X=--⅛-=--------"j—=4,

2a2×

♦C点的坐标是(4,0),

.∙.AC=2,OB=6,

ʌS∕∖ABC=-AC9OB=A×2×6=6;

22

(3)如图所示，设二次函数y=-∙A∙∕+4χ-6的图象与X轴的另一个交点为连接

2

HB,交对称轴于点P,

由对称得：A,（6,0）,

因为AB为定值，要使AABP的周长最小，所以只要尸A+PB最小，

由于点A与点4关于对称轴x=2对称，根据两点之间，线段最短，可得PA+PB的最小

值为48,

因而A∖B与对称轴X=2的交点P就是所求的点，

设直线A1B的解析式为y=kx+m,

根据题意可得（6k⅛ι=0,

lm=-6

解得Ik=1,

Im=-6

所以直线A'B的解析式为y=x-6,

当x=4时，y=4-6=-2,

.∙.点P的坐标为（4,-2）.

9.【解答】解：（1）A、C为线段MN的三等分点，则点A、C的坐标分别为：1,2,

故点A、C的坐标分别为：（1,2）、（2,1）；

(2)①设函数的表达式为：y=ax2+bx,将点A、C的坐标代入上式得:2=a+b

l=4a+2b

=4

a2

解得：，

b4

故抛物线的表达式为：y=-⅛+Xr;

22

②存在，理由:

设点P(m,--m2+—m)，

22

直线OC的表达式为：y=工x,则点E(l,A),BE=L

222

222

AP^BE,则(w-1)+(-^+Σm-2)=A,

224

化简得：7，"2-15,*+7=0,

解得：m=15±√29(舍去负值)，

14

故点P的坐标为：(.1529”,I，，+")；

1498

(3)设直线A'0'交OC于点H,交X轴于点G,直线A'B'交OC于点R,交X轴

于点K,过点”作"E,A'B,于点£,

设点A向下平移〃?个单位向右平移机个单位得到A'(1+机，2-m),

设直线O'A'的表达式为：y=2x+b,将点M的坐标代入上式并解得：

直线0'A1的表达式为：y=2x-3机…①，

故点G(里1,0),则GK=∖+m-ɜɪɑ=1-Li,

222

直线OC的表达式为：)，=1》…②，

2

联立①©并解得：x^2m,故点H(2〃?，m),则HE=I+〃?-2，〃=1-m，

点、R(∖+m,上也)，则A'R=2-m-ɪ(.m+∖)=三③1,

222

S=S^A'GK-SM∙HR^^×GK×A'K-LHEXA'R=JL(I-Ln)(2-M-A

22222

(1-m)(ɜzɜɪl)=S,

28

解得：〃?=」，

2

故点4的坐标为：(旦，3).

22

10.【解答】解：(1)：抛物线y="∕+fex+3(α≠0)与X轴交于A(-1,0)、B(3,0)

两点，

・ʃa-b+3=0

19a+3b+3=0

解得：F=-I,

lb=2

二次函数的解析式为)，=-x⅛+3,

Vy=-JC2+2X+3=-(X-I)2+4,

：.M(1,4)

设直线BM的解析式为y=kx+n,

则有

ʃ4=k+n

I0=3k+n

解得：(k=-2,

In=6

.∙.直线BM的解析式为y=-2x+6;

(2)LX轴，OQ=t,

二点P的坐标为(f,-2r+6),

S松彩

raa®ACPQ—SΔAOC+SPQOC—(PQyo)-OQ-

=y×l×3+y×(-2t+6+3)f

为线段BM上一动点（点尸不与点8、M重合），

的取值范围是l<r<3.

(3)线段2M上存在点N(工，.ɪθ),(2,2),(1+1R,4--⅜⅞)使4

5555

NMC为等腰三角形；

CM=V(l-0)2+(4-3)2=√21CN="+(-2x+3)2,MN=

√(χ-l)2+(-2x+2)2,

①当时，22

CM=NC√2=√X+(-2X+3)>

解得Xl=工，X2=l（舍去），

5

此时N(工，.ɪθ),

55

22,

②当CM=MN时，&=√(x-l)+(-2χ+2)

解得Xl=\=1］叵(舍去)，

此时N（

③当CN=MN时，2222

√X+(-2X+3)=√(X-1)+(-2X+2)'

解得x=2,此时N(2,2).

11.【解答】解：（1）设直线AC的解析式为y=fcv+b,

VA(2,0)、C(0,4),

...[2k+b=0,

Ib=4

解得：(k=-2,

lb=4

直线AC的解析式为)=-2x+4；

又：抛物线y=-2x2+bx+c过A(2,0)、C(0,4)两点,

...[-8+2b+c=0,

Ic=4

解得：[b=2,

1c=4

二抛物线的解析式为y=-2√+2x+4;

(2)①设尸的坐标为(〃?，-2∕n2+2wι+4),

如图1,过点P作/V/〃y轴交AC于点“，则”（加，-2∕n+4）,

SAAPC=S4PHC+S∕∖PHA,

1IQ2

2m+4m

•∙SΔAPC⅛H∙OA=y(-2m+4m)×2=^-

(2)V0<∕n<2,S=-2m2+4m=-2(∕n-1)2+2,

.∙.∕n=l时，^APC的面积为S有最大值，最大值为2.

(3)存在.

理由如下：如图2,：点M在直线y=-2x+4上，

.∙.设点M的坐标为(”,-24+4),

@ZfMF=90°时，♦.•△加£/■是等腰直角三角形，

.∙.∣α∣=∣-2a+4∖,

即a=-2。+4或a=-（-2。+4）,

解得a=9或。=4,

3

.∙.点F坐标为（0,1）时，点M的坐坐标为（里，.1）,

333

点尸坐标为（0,-4）时，点M的坐标为（4,-4）；

②∕MFE=90°时，..FMEF是等腰直角三角形,

.∙.⑷=JLI-2α+4∣,

2

即a—-ɪ（-24+4）,

2

解得a=∖,

-2α+4=2X1=2,

此时，点尸坐标为（0,1）,点M的坐标为（1,2）,

或a=-（-2a+4）

此时无解，

综上所述，点尸坐标为（0,1）时，点M的坐标为（2，2）,

333

点F坐标为（0,-4）时，点M的坐标为（4,-4）；

点F坐标为（0,1）,点M的坐标为（1,2）.

3_

12.【解答】解：（1）抛物线的对称轴X=--------^-=3,在抛物线y=-Ax2+2

2X（一）42

x+4中，令X=0,得y=4,：.C（0,4）,

令y=0,得-"l∙x2+3χ+4=0,解得Xl=-2,X2=8,.'.A（-2,0）,B（8,0）,

42

AB=S-（-2）=10,

,Ac=VOA2OC2=V22+42=2Vs>BC=7QB2OC2=V82+42=4ʌ/ʒ，

.∙./XABC的周长=AB+AC+BC=10+2√5+4√5=10+6√5.

（2）设BC解析式为y=fcc+6,将B（8,0）,C（0,4）分别代入得［'k+b=O,解得

Ib=4

b=4

二直线BC的解析式为y=J-χ+4,

：。为AC中点，：.D(-1,2),

‘CD=^AC=ɪVOA2-K)C2=-ɪV22+42=遥

YtanNACO=Z=工,IanZCBO=ɔɑ=A=1

42OB82

.∙.tan/ACO=tan/CBO

：.ZAC0=ZCB0,∙.∙∕CBO+NBCO=90°

ΛZACO+ZBCO=90o,即N8C4=90°

'CDF∕∕BC,设。F解析式为丫=总乂如，将。(7,2)代入得4X(-l)+n=2-

解得：n—ɪ

2

直线。尸解析式为y=-^x∙k∣,令y=0,则x=3,.∙.E(3,0)

x=4-V26

y1X2=4+∖∕26

√26;ΛF(4÷√26,

解方程组《得√26-l,'+1

74丫2=-二—

√26+l),

2^

2

设P(m-ATTI+-3.M7+4)，过。作。W_Lx轴于点W,过产作FR_Lx轴于点R,过P

42

作「LX轴交BC于点L,PT_LBC于T交。F于S,过G作GZ_L。尸于Z,则L(M

-nz+4),PL=-^-π^∙+2m,

24

'：DF//BC,

VPLlxft,PTLBC

二NPLT=ZBCO,NPTL=ZBOC=90°

ABCOSAPLT

.PT-OBPQPTS

PLBC4m2÷2m姐

4

・PT_√524v5

FlnMτn'

•：DF〃BC,GZLDF,PTLBC

：.GZ=TS=CD=娓

：・PS=PT+TS=

,S四边形PGM=S尸-S∕∖DEG=ɪ×5'V'5÷V131J(∙4m2辱m+后=-

22105

5+^质(…)2^65+13√26.

84

，当"7=4时，S四边形PGEF的最大值=胆且生反苣，此时，P(4,6),

4

作P关于无轴对称点尸'(4,-6),过P'作P'K_LBC于K交X轴于M,过M作

MN//DF,且MN=Jm,点N在M右侧，过N作NHLBC于H,连接尸M,

此时，点。的最短运动路径长=PM+MN+N4=P'K+MN,

易求得直线PK解析式为：y=2χ-14,令y=O,得x=7,；.M(7,0),,PM=

J(4-7)2+(6-0)2=3√^,NH=MK=

D

.∙.点。的最短运动路径长=3代+近■+«=空叵，

55

y=2χ-14

联立方程组I