解三角形与平面向量结合问题-2022-2023学年高一数学同步教学题型讲义（人教A版2019必修第二册）

解三角形与平面向量结合问题-【同步题型讲义】2022-2023学年高一数学同

步教学题型讲义（人教A版2019必修第二册）

一、单选题（共16分）

1.在BC中，已知8=30。，b=1,则亚•冠的最小值为（）

A.-lB.-ɪC.-ɪD.-ɪ

43N

【答案】D

【解析】

【分析】

先求得三角形A8C外接圆的半径，结合数量积的定义以及二次函数的性质求得前­元的坡小值.

【详解】

设三角形4BC外接圆半径为r,则=-ɪ;=2=2r=r=l,

所以△48。的外接圆半径为1,4为钝角时，荏•前取到负值；

如图，E为AB的中点，而在近上的投影向量为而；

由荏AC=∖AB∖∙∣^C∣-COSA可知当前在荏上的投影长最长时，

即CD与圆。相切时，丽•前可取到最小值：

ABAC=-∣Jβ∣∣^D∣=-2∖AE∖-（1-|碍）=2∣研-2∖AE∖,

当扉I=泄,2∣AE∣2-2∣4F∣=-ɪ,所以而•衣的最小值为

2.在A48C中，∆ABC=y,AC边的中点为£>,且BD=L则BA∙BC的最大值为（）

A.2B.3C.2√3D.4

【答案】D

【解析】

【分析】

由已知可求I瓦5+前|=|2前I=2,两边平方，利用平面向量数量积的运算，基本不等式可求BABC的最大值.

【详解】

解：如图，在AHBC中，4C边的中点为。

B

由BD=L可得：I瓦5+近∣=∣2前I=2

BA2+BC2+2BA∙BC=4,

.∙.∣sl∣2+∣βc∣2+2∖BA∖∖BC∖cos∆ABC=4,可得：∣B!∣2+∣BC∣2=4+|sl||S?|,

∙.∙[BA∖2+∣fiC∣2≥2∖BA∖-∖BC∖,

.∙.4+∣B^∣∙∣FC∣>2∣S4∣∙∣BC∣,可得：|瓦5∣∙∣前|≤4,（当且仅当|瓦5|=|就|=2时等号成立）

则B4∙BC的坡大值为4.

故选：D.

3.在AABC中，NAC8为钝角，AC=BC=I,CO=xCA+yCB,且x+y=1.若函数ToW）=I石5-τn3∣（,"GR）的最小值为当，则

I而I的最小值为（）

A.1B.2C.-D.-

422

【答案】C

【解析】

【分析】

由题意可得I而I的最小值为AB边上的高，由函数/（机）=|包一机而I的最小值为手，即点A到BC边的距离为弓，可求出NACB=

120°,即可求出I而I的最小值.

【详解】

法一：由而=X85+亢夙且x+y=l,可知A,O,B三点共线，

所以I而I的最小值为AB边上的高，又AC=BC=1,即。为AB的中点，

且函数的）=1刀一”，函的最小值为当，即点A到BC边的距离为当

又AC=I,所以NACB=I20。，在△4BC中，|而Imin=I前忖tl30°=：,

从而可得而I的最小值为今

故选：C.

法二：由而=xG5+）∙而，且x+y=l,可知A,O,B三点共线，

所以IMI的最小值为AB边上的高.

设己5,方的夹角为仇所以

∖CA—mCB12=CA2+m2CB2-2mCA∙CB=1+m2-2mcosθ=（m-CoSe）Z+Sin

依题，可得Sin2。="sin。=£因为。是钝角，所以。=尊

在AABCΦ,∣C0∣min=网Sin30。=ɪ,

从而可得I而I的最小值为今

故选：C.

4.在平面四边形ABeD中，∆BAD=30°,/.ABC=75°,ZjWC=IO5。，AB=2,4。=√1若点E为线段CD上的动点，则荏・亚

的最小值为（）

D

C

B+在

∙-∣T4

【答案】B

【解析】

【分析】

取4B中点为F,结合极化恒等式以及余弦定理，即可求得结果.

【详解】

根据题意，连接E4EB,取4B中点为F,作图如下:

AEBE=EA-EB=-=EF2-FB2=EF2-1,

在三角形ADF中，由余弦定理可得：DF2=4-2√3cos30°=1,即。F=1,

则/FD4=∆FAD=30°,故NFDE=75°,

显然当且仅当FEJ.OC时，I前I取得最小值，

故网min=Sin75。XDF=渔捍，萨-1的最小值为（第ɪj-1=心+当

即荏•丽的最小值为一［+f.

24

故选：B.

二、解答题（共24分）

在△4BC中，角4、B、C的对边分别是a、b.c,且满足（2a-c）瓦？•前=C方•日?.

5.求角B的大小：

6.若b=√3,求AABC的面积S的取值范围.

【答案】5.8=:

6（。第

【解析】

【分析】

（1）利用平面向量数量积的定义以及正弦定理化简得出CoSB的值，结合角B的取值范围可求得角B的值；

（2）利用正弦定理结合三角恒等变换化简可得出S=弟in（24-口+£求出角4的取值范围，结合正弦型函数的基本性质可

2\6/4

求得S的取值范围.

【5题详解】

由(2α-C)瓦？•近=cCB•g5可得(2α—C)CaCoSB=c∙abcosC,

故(2α-C)CoSB=bcosC,由正弦定理得(2SirL4—SinC)CoSB=SinBcosCf

即2sin∕CoSB=SinCcosB÷CosCsinB=Sin(B+C)=Sini4,

力、8∈(0,π),则SinA>0,所以cos8=%故8=1

【6题详解】

由正弦定理可得=2，则α=2sinA,c=2sinC,

SmASinCSmB

S=ɪacs∖nB=IQC=√3sin½sinC=λ∕3si∏Λsin(A+W)

L/1√3\3√39

=√3sin∕l-s∖nA+—cos4=-SinAcosH+—sinz∕l

\22)22

=-sin2∕4——cos2A+-=-sin(2/1—-ɔ+—,

4442\6/4

0<71<y,则一.V24—所以sin(2∙-9∈(-3l],

故S=如Q一>畀(0,用

在AABC中，角A,B,C的对边分别是α,b,c,满足(c-2α)cosB+灰OSC=0.

7.求NB的值；

8.已知。在边AC上，HAD=3DC,BD=3,求AABC面积的最大值.

【答案】7.W；

8.4√3.

【解析】

【分析】

<I)利用正弦定理可得sin4=2sin4cosB,从而可求B=ɪ.

(2)利用向量可得前=；瓦5+：阮，平方后结合基本不等式可得αc≤16,从而可求面积的最大值.

44

【7题详解】

∙∙∙(c-2α)cosF+bcosC=0,由三角形正弦定理可得

(sinC-2si∏i4)cosB+SinBCoSC=0

即(SinCCoS8+SinFcosC)—2s∖nAcosB=0,Sin(B+C)—2sinAcosB=0,

∙∙∙A+B+C=71,

：,Sin(8+C)-2si∏i4cosF=sin(τr—A)—2s∖nAcosB=SinA—2s∖nAcosB=0,

故SirLZl=2sin4cosB,

•••4是4ABC的内角，

••・sin>4≠0,CosB=ɪ,而B为三角形内角，

∙∙∙B=-.

3

【8题详解】

因为而=3比，所以前一瓦？=3(方-丽)，

所以而=±瓦5+之前，

44

所以9=白以z+白近前•前，故9=白/+502+怖皿

16168161616

由基本不等式可得9≥JQC+3QC=2QC,故αc≤16,

81616

当且仅当α=W，c=4√5时等号成立，

故面积的最大值为:X16Xy=4√3

在△4BC中，V∑sin4—cos4=1.

9.求COSi4；

10.。在边BC上，BD=2DC,∖AD∖=2,求△/BC面积的最大值.

【答案】9.ɪ:

10.经

4

【解析】

【分析】

(1)将已知条件两边平方得到siM4=2√∑sin4cos4,结合三角形内角性质求得tan4=2√Σ>0,进而可求cos4

(2)由而号而+1幅根据已知模长及向量数量积的运算律可得;而2+g而•正+：正2=4,结合基本不等式求得bc≤

7,进而求面积最大值，注意等号(最大值)成立条件.

【9题详解】

由题设(V∑sin4—COSA)2=2sin2A—2√2sin4cosi4+cos2A=1,

所以SiMA=2∖∕∑sin4cos∕l,又sin4>0,故tanA=2鱼>0,

所以0<4vJ故CoS4=±

23

【10题详解】

,>-----*,ɔ♦1>O♦♦1>ɔ•

=AB+BD=4B+4BC=4B+4(4C-4B)=〃B+4AC,

33、733

所以标2=(lʌg+三而)2=lʌgz+lʌg.前+±元2=*

v337999

则上C?+—be+-h2=4≥2/ɪe2∙-b2+ʌbe=—be,故be≤—,

9279ʌj9927274

所以△ABC面积S=ZbCSia4≤"且X也=也,当且仅当C=2b=辿时等号成立,

224342

故4ABC面积的最大值为平.

4

三、单选题(共20分)

IL△48C的内角4B,C的对边分别为α,b,c,CB-CA=b^c∖则A=()

A.-BAC.≡DW

4323

【答案】B

【解析】

【分析】

根据数量积的定义可得αbcosC=若2根据正弦定理边角互化即可求解.

【详解】

因为CB∙CA=所以abcosC="2-。,即2b=c+2αcosC,

由正弦定理可得2sinB=sinC+2sin4cosC,且2sinB=2sin(4+C)=2sinΛcosC+2cos4sinC,

所以Sinc=2cos4sinC,且Sine≠0.则CoS4=∣,√1∈(0,π),所以4=]

故选:B

12.如图，在MBC中，Z-BAC=γAD≈2DB,P为CD上一点，且满足而=应桁+T祠，若画∣=2,|画=3,则MPl的值为

()

c√∏D.a

V4

【答案】B

【解析】

【分析】

设加=2万，根据平面向量线性运算及平面向量基本定理求出入m的值，依题意可得△?!DC为等边三角形，求出CP,再由余弦

定理求出4P即可；

【详解】

解：设前=北6

则屈=前+方=m+4法=前+，(|荏-前)=∣∕l而+(I-Q前=T而+m近,

因为廊|=3,所以4。=例8=2,又国∣=2,ZBzlC=P所以△/!DC为等边三角形，

所以NACD=BCP=^-CD=∖,

342

由余弦定理4p2=4C2+cD2-24C∙CDcosN4CD=22+(Iy-2x2XmXT=号，

所以4P=李；

故选：B

13.在△/!BC中，内角A,B,C的对边分别为α,b,c,若α=2b=2,且G5∙方=-5则C=()

A.2B.2√2C.√5D.√6

【答案】D

【解析】

【分析】

根据向量的数量积以及余弦定理即可求解.

【详解】

由C/∙CB=一工，得αbcosC=又Q=2b=2,故CoSC=

224

由余弦定理，得c2=α2+h2-2abcosC=4÷1-2×2×1×(―：)=6,故C=V6.

故选:D.

14.在△力BC中，角4B,C的对边分别为α,b,c,若荏JJ=瓦?•近=1,则C的值为()

A.1B.√2C.2D.4

【答案】B

【解析】

【分析】

由向量数量积运算法则及正弦定理得SinQI-B)=0,求出4=B,a=b,再利用余弦定理求出c=√∑

【详解】

由题意得：c∙bcosA=c∙acosB=l,

因为CH0,所以bcosA=αcos8,

由正弦定理得：SinBcosA=SinAcosB,

即sin8cos4-sinAcos8=sin(A-8)=0,

因为4B∈(0,π),

所以A—8∈(-τr,Tr),

故A-B=O,即4=B,

则Q=b,

由余弦定理及得：cb

c∙bcosA=l∙∙"+2：bc-Q=1,

即^∙=1,解得：c=y∕2.

故选：B

15.已知44BC满足I荏Ism1^=BACA,贝IJBC的形状为()

A.直角三角形B.等边三角形C.等腰三角形D.等腰直角三角形

【答案】C

【解析】

【分析】

利用向量数量积将原式化简，再利用正弦定理和三角恒等变换判断出A4BC的形状为等腰三角形.

【详解】

∣ΛB∣2sin^=≡∙CΛ=∣βΛ∣∙∣C4∣∙cosΛ,则廊∣=2∣函∙cos4,

由正弦定理可得SinC=2sinB∙cos4

则sin[π-(4+B)]=2sinB∙cos4,即Sin(A+B)=2sinB∙cos4,

即SinG4-8)=0,所以∕4=Z8,/UBC的形状为等腰三角形，

故选：C.

四、解答题(共24分)

在△4BC中，内角4,B,C的对边分别是α,b,c,bsinC=√3(α-bcosC).

16.求角B的大小；

17.若点。满足a而=cDC,S.∖BD∖=2√3,求△48C面积的最小值.

【答案】16.Bγ

17.4√3

【解析】

【分析】

(1)由正弦定理把边化为角，再结合三角恒等变换即可求解；

(2)由题意得色=黑，进而利用三角面积可转化黑=受丝=产MSinZ阪=与从而有SinNDBC=Sin"BD,再由面积公

C∖AD∖∖AD∖StkABD-ABBDsxnLABDAB

式与基本不等式求解即可

【16题详解】

因为方SinC=√3(a—bcosC),所以SinBsinC=√3(sin√4—SinFcosC).

因为sin4=sin(B+C)=SinBeOSC+COSBSinC,

所以SinBSinC=√3(sinBcosC+CosBsinC-SinBCoSC)=√3cosβsinC.

因为SinC≠0,

所以tanB=√3.

又因为0<B<π,

所以B=I

【17题详解】

因为a而=cDC,

所以点。在线段AC上，且&=黑.

C∖AD∖

因为匹1=SABCD=竺OSiMDBC_££,

yj∖AD∖一SAASD―^ABBD∙sin∆ABD-ABf

所以Sin4OBC=SinZ-ABD,

即BD为乙4BC的角平分线.

由(1)得B—p

所以ZJlBO=∆CBD=

6

由SAABC=SAABD+SXBCD,啰QCSin^=∣a∙BDsin^+ɪe∙Bz)Sinɔ

即QC=2(Q+c)≥4√S？,得QC≥16,当且仅当Q=C时，等号成立，

SXABC=IaCSing≥ɪX16sin≡=4√3.

故44BC面积的最小值为46.

已知在aABC中，角A,B,C的对边分别为mb,ct.

①√5Q—√5CCOSB+bsinC=0：@^：+,'坐—=θ.③2cos2+cos2C-1=0.

a+bSInA+sιnC2

请在以上三个条件中任选一个补充在横线处，并解答：

18.求角C的值；

19.若C=2√5,CD=^γ^-ii∖CD∖=√2,求科.丽的值.

【答案】18.1

19.-1

【解析】

【分析】

(I)若选①，由正弦定理及正弦的两角和可得，若选②，由正弦定理及余弦定理可得，若选③，由余弦的二倍角公式可得:

(2)由平面向量的数量积及余弦定理可求解.

【18题详解】

若选①，由已知有V5sin4-V5sinCcos8+SinBsinC=0,又因为,在ZXABC中,有SilVl=Sin(B+C)=SinBCoSC+cosBSinC,

所以有V5(sinBcosC+cosBsinC)—√3sinCcosB+SinBsinC=0,

化简得百SinBeOSC+SinBsinC=0>由于0<B<τr,所以SinB≠0,

所以有√5cosC+SinC=O,于是有tanC=-√5,因0<C<”，所以得C=g.

若选②，由彳+τ碧7=0，

a+hsιn∕l+SInC

a2+b2-c21

得啜+2=0=α2+b2-c2=—ab=>cosC=-,

a+ba+c2ab2

因O<C<ττ,所以C=g.

若选③，由2cos2"菖+cos2C—1=0,

有COS(4+B)+cos2C=0=>2cos2C—cosC-1=0,

从而有(COSC-I)(2COSC+1)=0,解得CoSC=-I或COSC=I(舍)(因为0<C<τr),

所以C=学

【19题详解】

由而="罗，可得点。为48的中点，且有2方=G5+而，

所以有石/+CB2+2CACB=4CD2=8,

若C=2√3,则4D=BD=√3,

又(ADC+Z