山东省烟台招远市2023届高三年级下册5月全国新高考Ⅰ卷模拟数学 含解析

2023年全国新高考I卷模拟试题

数学试卷

注意事项：

1.本试题满分150分，考试时间为120分钟.

2.答卷前，务必将姓名和准考证号填涂在答题纸上.

3.使用答题纸时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰；超出答题

区书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符

合题目要求.

1,已知全集"=卜”》＜6},集合4={1,2,3},5={2,4,5},则期4)C5=()

A.{0}B.{4,5}C.{2,4,5}D.{0,2,4,5)

【答案】B

【解析】

【分析】求出4/再求(AJA)CB即可.

【详解】由题知［={0,1,2,34,5},0A={O,4,5},

则虱48={4,5}.

故选：B.

2.已知复数z满足Z2+2Z+2=0,则ZA=()

A.1B.72C.6D.2

【答案】D

【解析】

【分析】设2=。+〃,。力61^,代入Z2+2Z+2=0,利用复数相等求解.

【详解】解：设z=a+》i,a/eR,则z?十？。",

所以z?+2z+2=<:/一〃+2a+2+(2h+2ah^i^O,

。2—〃+2。+2=0a=-1ci=-1

则《，解得《或W

2b+2ab=0b=\b=—\

所以z-z=a2+》2=2,

故选：D.

3.已知底面半径为3的圆锥SO,其轴截面为正三角形，若它的一个内接圆柱的底面半径为1,则此圆柱

的侧面积为()

A.岛B.267rC.4岛D.8岛_

【答案】C

【解析】

【分析】作出圆锥的轴截面&48,求出圆锥的高，利用三角形相似求出圆柱的高，再根据侧面积公式计算

可得.

【详解】如图作出圆锥的轴截面S48,依题意。8=。4=3,OD=OC=\,SB=6,

所以SQ=y]SB2-OB2=3G，

BDDP

易知上3£)/s_BOS，则―――――，所以DF=2\/3，

BOSO

即圆锥的内接圆柱的底面半径厂=1,高力=2，

所以圆柱的侧面积S=2兀泌=2xlx兀=4后.

故选：C

4.已知质点尸在以坐标原点。为圆心的单位圆上沿逆时针方向作匀速圆周运动，其起点为射线

〉=x(x20)与单位圆的交点，其角速度大小为展rad/s,设20s后射线OP恰为角。的终边，则

cos26=()

A.--B.1C.一更D,也

2222

【答案】D

【解析】

【分析】根据点P的角速度，求得20s后转过的角度，再加上工得到。求解.

4

TT7F57r

【详解】解：因为点P的角速度大小为工rad/s,则20s后转过的角为：—x20=—,

12123

〜…八兀兀

所以。=一5+/尸/c。-%=一57r十—7T=——23,

33412

则cos28=cos-----=cos4兀——=cos—=—

6[662

故选：D

5.已知耳居分别是椭圆C:=+与=l(a>A>0)的左、右焦点，M是C上一点且"鸟与x轴垂直，直

ab-

线M片与。的另一个交点为N,若MR=3F】N,则C的离心率为()

\.显1「V3272

B.-

332亍

【答案】A

【解析】

【分析】先求出M的坐标，根据M4=36N得出N的坐标，根据N在椭圆上列方程求解即可.

【详解】

不妨设M在第一象限，由题意，M的横坐标为C,

N2,即小学

令，解得y=Z

a[a>

设N(x,y),又耳(一c,0),耳N=(x+c,y),

5c

-2c=3(x+c)x=-----

由可得：23

\b解得

-----=3yb2

、ay=-----

“3a

25c2b2i25c22-c2

又N(x,y)在椭圆上，即-------1------=1=1a

9a29a2--------9a2------9a2

整理得生=§,解得e=3.

993

故选：A

6.已知满足sin(2a+/?)=cosP，tana=2,贝ijtan4的值为()

212

A-1B.---C.-D.一

3333

【答案】A

【解析】

【分析】利用两角和与差的正余弦公式和三角函数商数关系化筒得tan(o+/?)=l,再利用两角和与差的

正切公式即可得到答案.

【详解】因为sin(2a+/?)=cos/7,所以sin(a+a+尸)=cos(a+尸-a),

即sinacos(a+4)+cosasin(a+4)=cos(a+/?)cosa+sinasin(a+0),

显然cosawO,两边同除cosa得：

tanacos(a+13)+sin(a+/?)=cos(a+B)+tanasin(a+尸)，

2cos(a+0+sin(a+0=cos(a+4)+2sin(a+4),

即cos(a+4)=sin(a+4),易知cos(a+A)wO,

/、八/八\tan(a+⑶-tana1-21

则tan(a+6)=1,tan/?=tan(a+/?—a)=---——-------=------=一一

')l+tan(a+/?)tanc^1+1x23

故选：A.

7.已知函数/(%)=；/+加+》的两个极值点分别为办，若过点(%,/&))和(％,/(%))的直线/在

X轴上的截距为g,则实数。的值为()

A.2B.-2C.!或一2D.一』或2

22

【答案】B

【解析】

【分析】由题意/(x)有两个不同的零点，则A>0求参数。范围，再根据《；代入/(%)、

X?=--1

/(M)确定已知点所在直线，进而求截距并列方程求参数值.

【详解】由题意/'(%)=%2+2℃+1有两个不同零点，则△=4/_4〉0,

所以即々＞1或。＜一1,

2

%)+2ax]+1=0

由＜即《

%；+2ax2+1=0

而f(X[)=]入:+cix^+%=-Xj(―—1)+cix^+%=§+3%

a..•、222、a

=—(-2ox,-1)4--Xj=-(lZ1-6F)x)--J,

同理有〃X2)=g(l—")◎一]，

所以a，/a))、(马,/(/))均在y•上，

21QQ1c

令y=_(l_42)x__=0,则X=-^-=-,得2a2+3Q_2=(2a_l)(a+2)=0,

332(1—/r)3

综上，ciy——2,4=5(舍)

故选：B

8.教育部为发展贫困地区教育，在全国部分大学培养教育专业公费师范生，毕业后分配到相应的地区任

教.现将5名男大学生，4名女大学生平均分配到甲、乙、丙3所学校去任教，则()

A.甲学校没有女大学生的概率为二

21

25

B.甲学校至少有两名女大学生的概率为一

42

C.每所学校都有男大学生的概率为

7

D.乙学校分配2名女大学生，1名男大学生且丙学校有女大学生的概率为:

【答案】C

【解析】

【分析】计算出将5名男大学生，4名女大学生平均分配到甲、乙、丙3所学校去任教共有的分法种数，

再结合每个选项里的具体要求求出符合其要求的分法种数，根据古典概型的概率公式，即可求得相应概

率，可判断A,B,C,利用对立事件计算可判断D.

【详解】将5名男大学生，4名女大学生平均分配到甲、乙、丙3所学校去任教，

共有FTA；=1680中分法:

对于A,甲学校没有女大学生，从5名男大学生选3人分到甲学校,

C3c3

再将剩余的6人平均分到乙、丙学校，共有C；•」Ti•A；=200种分法，

故甲学校没有女大学生的概率为四=W,A错误；

168042

对于B,甲学校至少有两名女大学生的情况包括恰有两女大学生和恰有三女大学生，

z~i3z~n3

共有C：C卜卡•A；+C：•//•A；=680种分法，

A?A1

故甲学校至少有两名女大学生的概率为姆=11,B错误；

168042

对于C,每所学校都有男大学生，则男生的分配情况为将男生分为3组：人数为1,1,3或2,2,1,

当男生人数为1,1,3时，将4名女生平均分为2组，分到男生人数为1人的两组，再分到3所学校，

此时共有C；C：A；=360种分法；

当男生人数为2,2,1时，将4名女生按人数1,1,2分为3组，

人数1」的2组分到男生人数为2,2的两组，2名女生的一组分到男生1人的那一组，再分到3所学校，

C2c2

此时共有一fCA；A；=1080种分法；

A?

故每所学校都有男大学生的分法有360+1080=1440种，

14406

则每所学校都有男大学生的概率为一-=C正确；

16807

对于D,乙学校分配2名女大学生，1名男大学生共有CjC；C：C；=600种分法，

乙学校分配2名女大学生，1名男大学生且丙学校没有女大学生的分法有C：C；C；=120种，

故乙学校分配2名女大学生，1名男大学生且丙学校有女大学生的概率为幽二@=2,D错误，

16807

故选：C

二、选择题：本题共4小题，每小起5分，共20分.在每小船给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.下列说法正确的有()

A.一组数据19,24,25,32,28,36,45,43,45,57的中位数为34

B.(1-2x)8展开式中无4项的系数为1120

C相关系数r=-0.89,表明两个变量相关性较弱

D.若J~N（60,4）,则P（0264）=P（J<56）

【答案】ABD

【解析】

【分析】一组数据从小到大重新排列由中位数定义可判断A；利用（1-2x）8展开式的通项可判断B；根

据相关系数定义及意义可判断C；根据正态分布的对称性可判断D.

【详解】对于A,一组数据从小到大重新排列可得19,24,25,28,32,36,43,45,45,57,

所以中位数为名上变=34,故A正确；

2

对于B,设（>2x）8展开式的通项为=q（—2x）'=C；（—2）'£,令r=4,可得

（1-2x）8展开式中/项的系数为C；（—2）4=1120,故B正确；

对于C,相关系数取值一般在一1~1之间，绝对值越接近1说明变量之间的线性关系越强，绝对值越接近

0说明变量间线性关系越弱，相关系数厂的绝对值一般在0.8以上，认为两个变量有强的相关性，0.3到

0.8之间，可以认为有弱的相关性，0.3以下，认为没有相关性，所以相关系数r=-0.89表明两个变量相

关性较强，故C错误；

对于D,若0~N（60,4）,则〃=6（）,则P（JN64）=P（JW56）,故D正确.

故选：ABD.

10.己知a>0力>0且4。+8=2,则（）

A.ah的最大值为/B.2后+妍的最大值为2

C.42+:CL的最小值为6D.4a+2"的最小值为4

ab

【答案】BC

【解析】

【分析】利用基本不等式可判断AB；先将一+q化为一+------,再妙用“1”可判断C；取特值可判断

aba2b4

D.

【详解】对于A,因2=4a+人N2J荻=4j法，所以当且仅当a=’功=1时，等号成

44

立，故A错误；

对于B,因为4a+b»4«^，所以8a+2824j^+4a+/?=（2G+血门，

即（26+插>44,2&+班42,当且仅当”=L,b=l时，等号成立，故B正确;

4

二十，八/口1h,2a211

对于C,由4。+6=2得。—,所以一+：=—+—；7，

24aha2h4

因为二（2+（）（4。+匕）=；（¥+"+?）4（：+2"）=当，

a2b2a2b22ab224

。八。11Cyig

所以—I■7=—I—----2------=6,当且仅当。=/?=—时，等号成立，故C正确；

aba2b4445

对于D,令a=］力=§,则平+2。=4；+2g=2x4；<4,所以4"+2“的最小值不是4,D错误.

故选：BC.

11.已知点M为直线/：x—y+8=0与y轴交点，p为圆0：/+,2=45上的一动点，点

A（-l,0）,B（3,0）,则（）

A.取得最小值时，5^=675B.MP与圆O相切时，=

C.当6P_LMP时，APBM=0D.sinNAPB的最大值为好

4

【答案】ABD

【解析】

【分析】A：|PM|取得最小值时p位于OM即V轴上，根据三角形面积公式可得.

B：直接在直角三角形"M利用勾股定理可得.

C：运用向量坐标表示和对于坐标运算可得.

D：根据正弦定理»=2R,将求sinNA/为的最大值转化为求外接圆半径最小，

sinNAPB

此时，外接圆与圆。相内切，根据内切半径差等于圆心距可得外接圆半径，进而可得.

【详解】因/：x-y+8=0,令％=0,得y=8,

故M（0,8）,

O:x2+y2=45,圆心（0,0）,半径r=庄=3后

选项A：

如图，根据圆的性质当p位于y轴上时，取得最小值，

此时S&ABP=；XX］。月=；X4X3指=66,故A正确;

当"P与圆。相切时,

\PM\=ylOM2-r2=,82-45=晒，

故B正确；

选项C：

设P（X|，X）,

则8P=（w-3,y）,旃=（西2-8）,

当时，3PMP=0,

故王(玉一3)+y(y/8)=0,

又x；+y：=45,

得3%+8%=45,

AP=(%+l,yJ，BM=(-3,8),

AP-BM=-3(M+1)+8_yt=_3Xj+8y—3

若AP-BM=0，则-3玉+8弘一3=0,

又3玉+8%=45得，X]=7,、=3,

此时x；+y：=72+32关45,

这与点P在圆上矛盾，故C错误；

选项D：

由题意可得。在A6中垂线上，可设其坐标为。,力，

则R=|QA|=A/4+X2)\QO\=Jl+f,

由正弦定理知一股一=2R,所以四=sinNAP3，

sinNAPB2R

当A最小，即外接圆与圆。相内切时，sinNAPB的最大值,

此时圆心距等于两圆半径之差，则

\Jl+x~=J45_,4+X)>

两边同时平方可得R="+x28

瑟'

Sin==T>故D正确.

y/5

故选：ABD.

12.在正四棱柱ABCO-AAGR中，AA,=2A8=2,点P满足CP=4CD+MCG,

则（）

A.当4=1,〃=：时，直线CP与"所成角为60。

B.当2=1时，|AP|+|PG|的最小值为布+1

C.若々P与平面CARG所成角为45。，则P点的轨迹长为1

D.当〃=1时，平面截此正四棱柱所得截面的最大面积为逐

【答案】ACD

【解析】

【分析】对于A,当4=1,〃=3时可知点「为。。的中点，从而可以判断△ACP为等边三角形，即可

判断：对于B,当4=1时可得点。在。。上，此时把正四棱柱ABC。—A4GA的后面和右面展开，

从而可判断；对于c,连接弓尸，可得NB/G即为qp与平面CDQG所成角，从而可得点P的轨迹是

以q为圆心，以I为半径的:个圆，即可判断；对于D'过点p作加〃。交CG于点。，可得四边形

APQB为平面4P6截此正四棱柱所得截面，建立空间直角坐标系，利用向量法求得点P到直线48的

距离，结合函数的单调性即可判断.

对于A,当4=1,〃=g时，点P为。。的中点,

所以AP=+DP?=6，CP=yJCD2+DP2=42AC=y/CD2+AD2=41>所以△ACP为等

边三角形，所以直线CP与AP所成角为60°，A对；

对于B,当4=1时，点P在。2上，此时把正四棱柱ABC。-4ACA的后面和右面展开，如图：

|A"+|Pq|的最小值为|AG|=7^C2+C,C2=2及，B错；

对于C,因为点尸满足CP=/IC£>+〃CG,所以点尸在平面CDRG内，

，平面CDD,C,,连接G2，则NgPC,即为gP与平面CDDg所成角，

若&P与平面8RG所成角为:，则tan/耳。G=券=1，所以£尸=用。1=1,

4。厂

即点尸的轨迹是以C1为圆心，以1为半径的1个圆，所以P点的轨迹长为三，c正确;

42

对于D,当〃=1时，点「在弓。上，且=

过点P作PQHCD、交C。于点Q,则PQHA.B,所以|PQ|=A\CD.\

所以四边形4PQB为平面4PB截此正四棱柱所得截面，

建立如图所示的空间直角坐标系A-孙z,则根据题意可得:

4(0,0,2),8(1,0,0),P(l—4,1,2),

2

所以4户=(1一;M,0)，A月=(1,0,-2)，\P-\B=l-2,|^p|=A/(1-2)+1,|^B|=45,

•••点P到直线A产的距离为

dH+i—(曷)书-疔+1

1I"J

所以四边形APQB的面积

S=t(|4M+|PQ|)-d=哼(l+>l)Jt(l_/l『+]=^Jt(l_/l)2(l+/l)2+(+/l)2

4s,,、)43cQ

令/(4)=g(l—兄)(1+4)+(1+兄)=g/V+22+w(。<4<1)，

所以当0W4W1时，r(2)>0,/(丸)单调递增，

所以当4=1时/(丸)取得最大值，此时截面面积最大为6，D正确.

故选：ACD

【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据4〃的本题取值得到点P的位置，进而结合选项转化相应问

题，然后利用相关知识解答即得.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

2023

13.已知定义在R上的偶函数/(x),满足/(x+2)=-/"),若Z/(左)=—1,则/⑼的值为

k=X

【答案】1

【解析】

【分析】根据y（x+2）=—"X）得”X）的周期为4,且〃1）+/（2）+〃3）+/（4）=0,再由

2023

Z/（%）=-i可得答案.

k=l

【详解】因为/（%+2）=—/（力，所以f（x+4）=—/（x+2）=〃x）,所以/（X）的周期为4,

所以〃2）=-〃0）,/（3）=-/（1）,/（4）=-/（2）=/（0）,

即/⑴+〃2）+/（3）+〃4）=〃1）—〃0）-〃1）+〃0）=0,

2023

若£/（女）=一1,则/⑴+7（2）+/⑶+/（4）++/（2023）=-1,

k=\

即505x[/⑴+〃2）+〃3）+/（4）]+川）+/（2）+〃3）=—1,

可得/（1）+/（2）+/（3）=/（1）—f（0）—/（1）=-1,所以/（0）=1.

故答案为：1.

14.设抛物线6':?2=2。:（5>0）的焦点为尸，点。（〃,0）,过点尸的直线交C于M,N两点，直线MD垂

直x轴，则|NF|=.

3

【答案】-

2

【解析】

【分析】根据抛物线定义求出〃=2,再设直线MN的方程为x-l=my,得到韦达定理式，求出N点横

坐标，再利用抛物线定义即可求出|N尸|的长.

【详解】由题意得因为直线垂直于x轴,准线方程为尤=/,

所以M点的横坐标为"，设M（4y）,N（9,%），

根据抛物线的定义知|叱|=玉+g〃=3,解得p=2,

则C：V=4x,则尸（1,0）,可设直线MN的方程为=

联立抛物线方程有《2"可得丁-4»少-4=0,

y=4x

2

A=16/??+16>0,yjy2=-4,则(y%)?=16xIx2=16,

1IQ

则32%=16,解得％2=5,则|N丹=々+勺5+1=不

3

故答案为：一.

2

15.若曲线、=依一(&<0)与曲线y=e'有两条公切线，则％的值为.

【答案】」

e

【解析】

【分析】利用导数的几何意义，分别写出两曲线的切线方程，让两切线方程的系数相等，得到方程组，

消去一个变量后，问题转化为方程的根的个数问题，构造函数，利用导数研究其性质，作出图象，数形

结合求解即可.

k

【详解】令/(1)=丘7(左<0),g(x)=e*,则/'(x)=—g'(x)=e*,

k2k

设Ag,"%)),则曲线y=f(x)在A处切线为y-/(xJ=/'(xJ(x-%)0y=-FX+—,

X]x]

设B(w，g(%)),则曲线y=g(x)在B处切线为

y—g(W)=g'(/)(AX2)oy=e-x+(l-/)e-,

k

-7=ex'：

由题意V,，消去.得=

竺=(12户

.X1

由题意，方程-4%=。一xYe、有两个不同的实数根,

令(p(x)=(l-x)2ex,则(pf(x)=(x2一l)e'=(%-l)(x+l)eA,

当xv—1时，d(x)>0,*(x)单调递增;

当一1<X<1时，"(x)<()，9(x)单调递减;

当x>l时，。'(幻>0,。(幻单调递增，

4

故当x=—1时，e(x)取极大值8(—1)=—；当x=l时，9(X)取极小值。⑴=0,

e

又当xH1时。(外>0,根据以上信息作出<p(x)的大致图象，

41

由图可知当-4%=一,即％=——时，直线y=T々与0(x)的图象有两个交点，从而方程

ee

TZ=(l—x)2e”有两个不同的实数根，

所以，曲线y=笈T(A<0)与曲线y=e'有两条公切线时，化的值为-1.

e

故答案为：-1.

e

16.如图，某数阵满足：每一行从左到右成等差数列，每一列从上到下成公比相同的等比数列，数阵中各

项均为正数，4.2=3,。2,3=1°，。3.4=04、%1，则%,"=；在数列｛4.1｝中的任意W.I与4+1.1

两项之间,都插入左9GN*)个相同的数(一1)"|k,组成数列｛&｝,记数列｛%｝的前〃项和为7；,则(°=

a\,2"1,3…a\,n…

“2」。2,2"2,3…a2,n",

••・••«••••••

aa

«„,1„,24,3…n.n…

【答案】①.(2〃—1)2'T②.2036

【解析】

【分析】设第一行公差为"，各列的公比为夕且4*0,结合已知条件求得d=q=2,即可写出“通项

公式，再根据题意确定｛%｝前70项的组成，应用分组求和、等比数列前〃项和公式求和即可.

【详解】设第一行公差为d，各列公比为夕且4#。，且4.2=3,

z

则%=(3+d)q=10,%=(3-d)q>4=3+2J,a34=(3+2d')q,

所以(3+2(14=(3+2d)(3-d)q2,则2d?-d-6=(2d+3)(d-2)=0,

由各项均为正数，故d=2,则。2,3=5夕=10,即q=2,

综上，a]n=a[2+2(n-2)=2n-1,故=%"q"T=(2“_1>2"T,

由上，｛%｝前〃项为%,i，1，%」9—2,—2,，3,3,3,44.1，…，"*+ij，且4,i—1，

故在出+u之前共有人+k(]+k)=项，

22

8+弘川+弘

4=10则勺兰=65<70,后=11则^^=77>70,

22

综上,{%}前70项为q」,1,心」，-2,-2,生.1，3,3,3,a41,,,11,11,11,11,

1-2"

T=--------+1+2x(-2)+3x3+4x(-4)+...+10x(-10)4-4x11

n1—2

=2"-1+1-4+9-16+25-36+49-64+81-100+44=2036.

故答案为：(2«-1)-2,-1,2036

【点睛】关键点点睛：利用I等差、等比数列通项公式求行列间的公差、公比，确定行列通项公式为关键.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.在ABC中，AB=4,。为A3中点，C0=J7.

(1)若BC=3,求的面积；

(2)若N」BAC=2NACD,求AC的长.

【答案】⑴36

⑵-

2

【解析】

【分析】(1)在△BCD中，先利用余弦定理求出角8,再根据三角形的面积公式即可得解；

(2)在ACD中，先利用正弦定理及二倍角的正弦公式求出/AC。及/84C,再利用正弦定理求解即

可.

【小问1详解】

在△38中，BD=2,BC=3,CD=#i，

由余弦定理可知8s人%*4+9-7_1

2x3x22

因为0<3<兀，所以sinB=^^，

2

所以SA8c=gABx3CxsinB=30；

【小问2详解】

在，AC。中，设NAC£>=e,N3AC=2。,

则由正弦定理一空=强，

sm26sin。

即一也一=—,得cose=也,•.・。€（0,兀），所以sind=g,

2sin6,cossin（944

sin2。=2sin9cos。=----,cos26-2cos2^-1=——>

88

所以NADC=jt-e—28,

er-.q...„.I_3币\/l139

所以sinZ.ADC=sin（6+2。）=-----x-^―——x—=一，

'7848416

18.已知数列{a”},q=l,/2«„+1-（n+l）a„=1.

（1）求数列｛%｝的通项公式;

（2）若数列｛"｝满足d=sin+cos（m,）,求数列也｝的前2〃项和J

【答案】（I）«„=2/1-1

（2）-2n

【解析】

【分析】（1）先把题干条件等价变成--——.然后用累加法进行求解;

n+1nnn+l

（2）结合特殊的三角函数值，利用分组求和进行求解.

【小问1详解】

/、an+\a“111

由％L（〃+1）%=1得，商一丁=；^=丁於，

-…।0a凡aa111111

所以〃22时，--7-----1------------FH---lt-------tl-}--=--------1---------F•H------------

2132nn-11223n-\n

故一^=1—>又％=1,则当〃=1时，4=1成立,

n1n

所以，an=

【小问2详解】

(/(2〃+l))+cos(7t(2〃-l))=cosmt-cos2〃兀,

由（1）知，bn=sin

所以，£“=4+.+,,•+）〃

=cos7i+cos27rH----Fcos（2〃-1）兀+cos2/讥-（cos2兀+cos4兀++cos（4〃一2）兀+cos4〃兀）,

因为cos（2〃-1）兀+cos2/m=-cos2/讥+cos2rnt=0,cos2im=1

于是[cos兀+cos2兀]+•••+[cos（2〃-1）兀+cos2/m]=0,

cos2兀+cos4兀++cos（4n-2）兀+cos4ml=2n

所以，丁2n=♦

故数歹U也｝的前2〃项和为一2〃.

19.现有甲、乙两个袋子，每个袋子中均装有大小、形状、质地完全相同的2个黑球和1个红球，若每次分

别从两个袋子中随机摸出1个球互相交换后放袋子中，重复进行〃（〃eN*）次此操作.记第〃次操作后，甲

袋子中红球的个数为X“.

（1）求X的分布列和数学期望;

（2）求第〃次操作后，甲袋子中恰有1个红球的概率《.

【答案】（1）分布列见解析，E（Xj=l

【解析】

【分析】(1)由题意可知，X1的所有可能取值为0、1、2,计算出随机变量X1在不同取值下的概率，可

得出随机变量X1的分布列，进而可求得E(Xj的值：

(2)由已知条件推导得出P(X“+|=1)=|-1P(X“=1),可得出数列｛P(X“=1)—1｝为等比数列，

确定该数列的首项和公比，可求得P(X“=1)的表达式，即介的表达式.

【小问1详解】

由题知，的所有可能取值为0、1、2,

/八、122D/v22115D/vQ212

PD(Xv.=0)=-x-=-,尸(X1=1)=—x-+-x-=—，P(X.=2)=-x-=-,

v1,339'733339',339

所以，X1的分布列为

X012

252

P

999

252

所以，的数学期望E(Xj=0xg+lxj+2x3=l.

【小问2详解】

由题知，

P-=（lx汐（X“=0）+仔、:+!》因=1）+信x1p（X,=2）

又P（X.=0）+P（X“=l）+P（X“=2）=l,

所以，尸（X,,+I=l）=弓［1—P（X"=1）-P（X“=2）］+，P（X"=1）+,P（X,=2）,

3J

21

整理得，P（X„=1）=---P（X,,=1）,

+13y

31「3-

所以，P（X“M=I）-『-3P（X,,=I）-三，

JVJ

又因为P(X1=l)_g=_城，所以，数列1p(X“=l)3]?1

是首项为-石，公比为-§的等比数列，

所以，p(x.=l)—白弓,

所以，P(x.=l)g(jj+|,即k|x[g"3

5

20.如图，在」WC中，ZABC=90°,BC=2,ZACB=60°,E为中点，过点E作垂直AC于

D,将VA0E沿EO翻折，使得面4把上面88£,点M是棱AC上一点，且3M//面ADE.

A4

51--------XCB匕-----------

、qAM.一

(1)求----的值；

MC

(2)求二面角M—BE-C的余弦值.

3

【答案】(1)-

2

29

【解析】

【分析】(1)作BQ垂直CO于点Q，连接QM,然后证明面BQM//面A0E,利用面面垂直性质定理，

结合已知可得；

(2)以。为原点，以。£,OC,ZM所在直线分别为％)，，z轴建立空间直角坐标系，利用法向量求解可得.

【小问1详解】

因为面4)£_1面8。。后，面AOE湎BCDE=DE

由题意可知，AD±DE,CDLDE,所以NA£)C=9()。，

过点8作BQ垂直CD于点。，连接QM,

A

因为BQ//DE,BQ<z面ADE,DEu面ADE,

所以BQ//面ADE,

又因为3Af//面BM=B,BQ,8Mu面ADE，

所以，面BQM//面AT史，

又因为面8QM面4DC=QM,面ADE面ADC=A。,

所以，AD//QM.

因为BC=2,NACB=60。，所以，CQ=1,

在折叠前的图形中，AC=—^=4,所以AQ=3,

cos60

3

易知。为AQ的中点，所以

DQ3AM_3

所以，者=5'所以'

~MC~2

【小问2详解】

由（1）知，以。为原点，以DE,DC,D4所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,

W，o,o,cfo,|,oj,33

则。（0,0,0）,EB别,前0,|《

(2"25

7

易知面8COE的一个法向量加=(0,0,1),

EB=a，3,o],MB/6,O,一31,

L22JI5)

设面的法向量为”=（x,y,z）,

区+为=0

所以,22,令x=g\则y=—i,z=5,故〃=便,-1,5b

百x--z=0

5

5>/29

所以cos〈〃z,n)=।:।

\fn\\n\29

所以，二面角M—BE—C的余弦值为上叵.

29

21.已知双曲线C：U=l（a>0力>0）的焦距为4,点（跖1）在C上.

（1）求双曲线C的方程；

（2）设双曲线的左、右焦点分别为耳，工，斜率为左小。0）且不过及的直线/与C交于点若k为

直线，BF1斜率的等差中项，求F2到直线/的距离d的取值范围.

【答案】（1）—~y2=\

3-

（2）de（l,币）

【解析】

【分析】（1）将（J81）代入双曲线方程，结合己知可解；

（2）设直线/的方程为》=h+机，联立双曲线方程消元，韦达定理结合左为直线斜率的等差中

项列方程，再由点到直线距离公式即可求解.

【小问1详解】

因为点（灰」）在C上，所以5-'=1①，

由题意知，2c—4,c—2,

所以〃+》2=4②,

由①②解得/=3,从=1,

2

故双曲线C的方程为二一y2=1.

3

【小问2详解】

设直线/的方程为旷=丘+加，

kx+m

联立得《X22］，消>可得，（1-3左2）f-6切a一3（加2+1）=0,

--V

I3-