2022-2023学年高一数学 人教A版2019必修第一册 同步讲义 第18讲 对数及对数式运算5大常考题型总结 （解析版）

第18讲对数及对数式运算5大常考题型总结

【考点分析】

考点一：对数式的运算

①对数的定义：一般地,如果/=Nm>O且”1），那么数X叫做以。为底N的对数，记作X=log.N,

读作以“为底N的对数，其中“叫做对数的底数，N叫做真数.

②常见对数的写法：

1.一般对数：以。（。>0且αwl）为底，记为log；：,读作以。为底N的对数；

2.常用对数：以10为底,记为IgL

3.自然对数：以e为底，记为InN;

③对数的性质：

L特殊对数：log：=0；log：=1：其中a>0且ακl

2.对数恒等式：“陶=N（其中”>0且α≠l,N>0）

3.对数换底公式：log,/=粤”Iog7_lg7ln7

如:logs7=:=

log,。Iog25Ig5In7

倒数原理：bga=∙^-，C1

如：10§2=--

33

log/Iog2

约分法则：log,,，Iogftc=log,,c

④对数的运算法则：

-，M,一I一

l.logα(Λ∕7V)=logrtM+logflN-2.log,,—=log,,M-log,,∕V;

3.logb"=—logb(m,n∈Λ)；4.产*=6和Iogab=b.

"mαa

【题型目录】

题型一：对数的定义

题型二：指数对数的互化

题型三：对数的运算求值

题型四：换底公式的应用

题型五：对数式的应用题

【典型例题】

题型一：对数的定义

【例1】（2021•全国高一课前预习）在匕=Iog（3“T）（3-2a）中，实数”的取值范围为.

【答案】与永俘1）

3a-l>0

【解析】由题意，要使式子b=log（3〃T）（3-勿）有意义，则满足力-l≠l,

3-2a>0

解得*<：或：<“<|,即实数”的取值范围为WHl）.故答案为：］，|卜弓，3

【题型专练】

1.（2022江苏省江阴市第一中学高一期中）使式子log.τ>（3-x）有意义的X的取值范围是（）

1Ir2

A.X>3B.X<3C.—<X<3D.—<x<3Flx≠-

333

【答案】D

【分析】对数函数中，底数大于0且不等于1,真数大于0,列出不等式，求出X的取值范围.

3x-l>0

12

【详解】由题意得：3x-l≠l,解得：-<Λ<3SΛ≠-.

3-x>0''

故选：D

2.(2022全国.高一课时练习)若1。即+*)(1-左)有意义，则实数Z的取值范围是.

【答案】(TO)U(OJ)

【分析】结合对数性质建立不等关系，即可求解.

'l+⅛>0

【详解】若Iog(M)(Jk)有意义，则满足∙1+Zxl,解得h(TO)30,1).

l-⅛>0

故答案为：(TO)U(OJ)

题型二：指数对数的互化

【例1】(2022全国高一专题练习)将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式.

⑵F；

(1)53=125；⑶ɪθgʒɪ=-ɜ

(2)log/=-2；(3)ri=-

【答案】(I)Iog125=3；

541627

Alog125=3.(2)：4-2=-I,.∙.1Ogj=-2.

【解析】(1)V53=125,5

1616

⑶Vlo≡3⅛=-3

27

【题型专练】

1.(2022全国高一课前预习)把下列指数式化为对数式，对数式化为指数式.

⑴2^3=∣;

O

【答案】(I)log4=-3;(2)logIfe=α:(3)ɪθ`ɜɪɪ.

O7I

【解析】(1)由2-3二可得唯2卜-3；

OO

(2)由人得=J

(3)由1g」一=-3可得10_3=_!一

10∞IOOO

2.(2022全国高一课时练习)指数式和对数式互相转化：

(1)e4=a=____________.(2)31=——=>

(3)log,ɪ=-4=>____________.(4)log,8=3=>____________

16

【答案】Ina=4ɪogɪ=-ɜ2“=323=8

【解析】α'=Nob=log"N(α>0,α≠l,N>0).故答案为：lnα=4,1°g⅛=^32Y"=8.

题型三：对数的运算求值

【例1】(2022•浙江•高考真题)已知2"=5,1。&3=6,则4"3=()

255

A.25B.5C.—D.-

93

【答案】C

【分加】根据指数式与对数式的互化，鼎的运算性质以及对数的运算性质即可解出.

14"(2"c225

【详解】因为2〃=5,。=1。以3="。43,即2鼬=3,所以4f=a=%⅛=F=w∙

34(2的)39

故选：C.

【例2】(2022陕西.长安一中高一期中)设函数/(力=<；：］°：［2-力”<1,则〃-2)"(log?6)=

()

A.3B.6C.9D.12

【答案】C

【分加】根据给定分段函数直接计算即可得解

【详解】函数"X)="%20-x),x<l,则/(-2)=l+logM=3,f(log26)=2*6÷2=3,

2V^',Λ≥1

所以，(-2)』(1呜6)=9.

故选：C

【例3】(2022全国高一专题练习)计算：(1)Iog625.log,3-Iog96=.

(2)(Iog25+Iog40.2)(log,2+Iog250.5)=.

⑶Iog2ɪ-lɑgɜɪ-lθg5ɪ=•

ZjOy

(4)(log23+Iog49+Iog827+L+log,,,3")-Iog9痂=.

(5)log6(√2+√3+√2-√3)=----------------

［^］.i-12Iɪ

2

［解析］(D原式=Iog65∙log,3ɪogʒɔ6=2Iog65∙log53×^log36=Iog65Iog53Iog36

--ɪ-g--5--I-g--3---I-g--6-=ɪ.

ɪg6Ig5Ig3

2l

(2)原式=Iog25+Iog2+°g5=Iog2√5∙Jθg5

1,rI,Cl

=21O≡25×21O≡52=4

32

(3)原式=log25-∙log,2~∙log53~=-2Iog25×(-3)Iog32×(-2)Iog53

=-12Iog25Iog32Iog53=-12

23,,

(4)JMiζ=(log23+log2,3+log2,3+L+log,,,3)∙log3;

ʒ55

=(IOg,3+log,3+log,3+L+log,3)log,2"=nlog3×-log2=-

22〃22

2

(5)Q21og6(√2+√3+√2-√3)=log6(√2+√3+√2-√3)=Iog66=1

所以原式g

故答案为：1,—<—12>—>y

42N

【例4】(2022•全国•高一课时练习)已知IOg”(x∣J⅛…x∞∣)=5,贝∣JIog“x；+bg,,工；+…+bg(,工盆=

【答案】10

【分析】由同底数对数加法公式以及log“N'RogiiN,可得答案.

2

【详解】因为logα(XIX2∙∙∙⅛I)=5,所以logπxl+Ioga考+…+IogaXJ021

2

=log”(x［考....⅛)=log”(xlJ⅛∙∙∙⅛l)=10.

故答案为：10.

【例5】(2022•陕西•西安市雁塔区第二中学高二期末(文))计算：I.l°+em2-θ.5"+lg25+21g2=

【答案］1

【彳析】根据指数的运算以及对数的运算性质即可求出.

【详解】原式=1+2—4+2(lg5+lg2)=-1+2=1.

故答案为：L

21

【例6】(2021.江苏省沐阳高级中学高一期中)已知x>0,y>0,且Ig2*+lg8'=lg2,则一+一的

Xy

最小值为•

【答案】5+2√6

【分析】由Ig2*+lg8'=lg2可得x+3y=l,则；=+化简后利用基本不等式可求得

答案

【详解】因为Ig2*+lg8>'=lg2,所以lg(2,∙8")叩g2f=ig2,

所以x+3y=l,

因为x>0,y>0,

所以2+L=(2+'］(x+3y)

=2+叟+±+3

≥5+2j^--=5+2√6,

当且仅当"=二，即X="-2,y=土渔时取等号，,

Xy3

21

所以一+一的最小值为5+2#，

故答案为：5+2√6

【题型专练】

1.(2020全国卷I)设alog34=2,则4^a=()

【答案】B

【详解】因“陶4=电4"=2,所以4"=32=9,故仃=%=:

2.(2022・陕西•宝鸡市渭滨区教研室高二期末(文))若/(x)=：“川"，则"0)+/(16)=

log2x(x>1)

［答案］5

【彳析】根据给定的分段函数，直接代值计算作答.

【详解】因函数f(x)=E0")八，所以〃0)+/(16)=3°+1脸16=1+4=5.

log∕(x>1)

故答案为：5

3.(2022长沙市明德中学高一开学考试)计算：Ig石+2*3+iog24+M2+inl=

【答案】-ɪ

【解析】原式=fg5+3-4+誓+0=g(lg5+lg2)-l=-g.故答案为：

4.(2022•江苏•高一)计算(lg2p+lg21g5+lg5-3TOSa=

【答案】ɪ

【分析】利用对数运算及指数式与对数式互化计算作答

【详解】(lg2)2+lg21g5+lg5-3-2=]g2(ig2+lg5)+lg5-(3^2)T=lg2+lg5-g=；.

故答案为：y

6.(2022・陕西.交大附中模拟预测(理))设函数〃x)=<2,则/(Y)+∕(log25)=

)

A.5B.6C.7D.8

【答案】D

【分析】根据给定的分段函数，判断自变量取值区间，再代入计算作答.

S22<5<23,则2<log25<3,而/(X)=｛劈£；+4),X<2.

【详解】

所以/(T)+/(bg25)=log2(4+4)+2*=3+5=8.

故选：D

7.(2022江苏高二课时练习)若α>(),Z?>0,lgα+lg8=lg(α+2Λ),则2α+8的最小值为()

A.9B.8C.7D.6

【答案】A

【详解】因lgα+lg匕=lg(α+20),所以lg"=lg(α+28),所以"=α+2Z?,所以巴丁-=1,

ah

即_______

1ɪ2.//212a2b∣2a2b

-+—=1.明rr以2α+0=(2α+b)∣—+-=4+——+——+1>2J--------+5=9

bab)ba∖ba

8.(2022全国高一课时练习)if®:2l0824+3'os≈1-Ig3∙log,2-Ig5=_______.

【答案】4

【解析】原式=4+3°-lg3∙譬-Ig5=4+l-lg2-lg5=4.

故答案为：4.______________

2

9.(2022全国高一课时练习)计算：2(lg√2)^+ɪg∙lg5+^(lg√2)-lg2+l=.

［答案］］_________________

【解析】原式=lgJ5(21g夜+Ig5)+j(lg0『—21g&+l

2

=lg√2(lg2+lg5)+^(lg√2-l)

-lg√2+∣lg√2-l∣

=lg√2+l-lg√2

=1，

故答案为：1.

题型四：换底公式的应用

【例1】(2022♦全国•高一课时练习)已知夕=3,3=2,则logs1。-"=()

A.1B.2C.5D.4

【答案】A

【分析】先求得〃，6,然后结合对数运算求得正确答案.

【详解】＜5"=3,3*=2,Λα=Iog53,b=Iog32,

Iog5lθ-ab=Iog510-Iog53×log32=log,10-Iog53X⅛∣=Iog510-Iog52=Iog55=1.

logs3

故选：A

【例2】(2022全国高一课时练习)设2"=5%=m,且1+，=2,则机=()

ab

A.√10B.10C.20D.100

【答案】A

【解析】由2"=5'=m,可得α=l0g2∕n,b=Iog5m,

由换底公式得L=Iog,,,2,ɪ=Iogm5,

ab

所以=l°g",2+log,”5=log,„10=2,

ab

又因为加＞0,可得"?=J访.

故选：A.

【例3】(2022•全国•高一课时练习)已知α=lg2,⅛=lg3,∣4!∣log365=()

,la+2bC1-«-2-24Cl-a

A.---------B.--------C.--------D.---------

1—a2a+ba+bIa+2b

【答案】D

【分析】利用对数的运算法则及性质进行运算可得答案.

【详解】因为α=lg2,b=lg3,所以

,＜ɪg5l-lg2l-a

log,,5=------=—-------------r=---------

36Ig362(lg2+lg3)2a+2b-

故选：D.

【例4】(2022.天津.高考真题)化简(21og43+log83χiog32+log92)的值为()

A.1B.2C.4D.6

【答案】B

【分析】根据对数的性质可求代数式的值.

【详解】原式=(2Xglog?3+glog,3)(log32+；Iog32)

43

=-lθg23×^l°g32=2,

故选：B

【例5】(2021.江苏.高一专题练习)若实数。、b、C满足25"=403'=2015，'=2019,则下列式子正

确的是

【答案】A

【分析】由指数式化对数式，然后利用换底公式得出I=IogzoQ,?=Iogw403,Llog,°"2015,

2abc

122

利用对数的运算性质和2015=5x403可得出一+7=一成立.

abc

2

【详解】由己知，得5?”=403"=205=2019,得2a=Iog52019,⅛=Iog4032019,c=Iog2015019,

所以（=logz5,

——bg°019403,—=Iog2015,

bc2019

而5x403=2015,则log20195+1。82019403=log20192015,

所以舅1即泊=2

故选A.

【题型专练】

1.（2022湖南•长沙麓山国际实验学校高一开学考试）已知。>0,bg*=α,IgA=C,5/=10,则

下列等式一定成立的是（）

A.d-acB.a=cdC.c=abD.d=a+c

【答案】B

【分析】根据对数运算法则，以及指对互化，即可判断选项.

【详解】晦『』g』，两式相除得雷

=-,Iog5IO=-,又5'∕=lO,.∙.log5lO=d,所以

,a.

d=-=cd=a

c

故选：B.

2.（2022湖北黄石♦高一期中）已知4>b>l,若log∕+k‰〃=∣∙,"'=b",贝∣Ja+2Z>=

【答案】8

【分析】利用指数函数、对数函数的性质、运算法则直接求解.

【详解】解：山IOg,*+log∕,α=∣,且log,,"log,。=1

所以log,,⅛,log,,α是方程χ2-∣x+l=0的两根，

解得log”。=2或logftɑɪɪ,

又a>b>l,所以IogAa=2,即〃=/??,Xah=ba

lha

从而b=b=>a=2bf且〃=/，则。=2,α=4.

所以4+3=8.

故答案为：8.

3.（2021•上海高一专题练习）已知log."=，%,用含机的式子表示Sg32l8=

根+2

【答案】

Sm

Iog18_Iog2+Iog9_Iog2+2_∕w+2..小人“m+2

【解析】Eg3218=3333

5.故答案为：-r-

ɪθgɜ32Iog325Iog325mjm

若2"=3"=机，且'+:=2,则机=

4.（2022.陕西・交大附中模拟预测（理））

aD

【答案】√6

【分析】由2"=3"=∕M,可得α=l0g2机，b=l0g3∕n,m>Q,从而利用换底公式及对数的运算性质

即可求解.

【详解】解：因为2"=3"=m,所以α=log2^,b=Iogm机＞0,又∙l+'=2,

ab

所以1+；=—+—=Iogm2+log,,,3=log,,,（2×3）=2,

abIog2mIog3m

所以病=6,所以∕n=Jδ',

故答案为：R-

5.（2022•全国•高一单元测试）Iog23×Iog34X-×log,,+1（n+2）,为整数的〃叫作“贺数”,

则在区间（1,50）内所有“贺数”的个数是.

【答案】4

【分析】利用换底公式计算可得IogQxlogjdx…xlog,用5+2）=蜒2（〃+2）,即可判断.

【详解】解：S¾log23×log34×∙∙∙×logπ+l(rt+2)

lg("+2)_lg("+2)

=log(n+2)

⅛×≡×-×lg("+l)Ig22

Xlog24=2,log28=3,Iog216=4,Iog232=5,Iog364=6,

所以当〃+2=4,8,16,32时，log2（〃+2）为整数,

所以在区间（1,50）内“贺数”的个数是4.

故答案为：4

6.若“/均为不等于1的正数，且满足=/，月0=80,则.

【答案】3

【详解】因腔=夜，所以加=Iog“7L因（gj=/,所以"=ι°g/=T°g2〃，所以±+卜

1—logɔb212log,b,,,,a

-------7T+―芋——T--------=log2a~lo≡2b=lo≡2T-因为α=8Z?,所以

21ogtt√22log022b

Iog2γ=Iog28=3

b

题型五：对数式的应用题

【例1】在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足

5F

m1-mi=-1g—,其中星等为"4的星的亮度为纥（A=I,2）.已知太阳的星等是-26.7,天狼星的

2E2

星等是

-1.45,则太阳与天狼星的亮度的比值为（）

A.IO101B.10.1C.IglOJD.I（TKM

【答案】A

【详解】设太阳的星等为叫=-26.7,对应的亮度为g,天狼星的星等为加2=-L45,对应的亮

度为当，

5ESESEEE

则由网一肛=彳但合得-1.45+26.7=彳炮管，ip⅛lg-L=25.25,所以IgU=Io」，所以U=Iom

2E922E2E,E）

【例2】（2020•全国Hl）LOgiStiC模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域.有学者根据公

布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数/⑺。的单位:天）的Logistic模型：/⑺=―ɪ-,

ɪ+e-

其

中K为最大确诊病例数.当/（f*）=0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则1*约为（InI9。3）（）

A.60B.63C.66D.69

【答案】C

【详解】由题意知he二LT3）=0∙95K,所以/E=O.95,即l+e,（F=焉=答=需

3

所以产（Fq,所以Ine"（F=kι）,即-0∙23（f*-53）=-3,所以/—53=Al^l3,所以

∕*≈66

【例3】（2021•全国甲卷文）青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量.通常

用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L

=5+IgV.已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9,则其视力的小数记录法的数据约为

（1VlO≈1.259）（）

A.1.5B.1.2C.0.8D.0.6

【答案】C

即V=IO如=-!-=-^=≈-!—≈0.8

【详解】由题意知5+lgV=4.9,所以IgV=-0.1

10⅛痂∣∙259

【例4】（2022•全国•模拟预测）地震震级是根据地震仪记录的地震波振幅来测定的，一般采用里氏

震级标准.里氏震级（M）是用距震中IOO千米处的标准地震仪所记录的地震波的最大振幅的对数值

来表示的.里氏震级的计算公式为M=IgA-Ig4,其中A是被测地震的最大振幅，&是“标准地震”

的振幅（使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差）.根据该公式可知，2021

年7月28日发生在美国阿拉斯加半岛以南91公里处的8.2级地震的最大振幅约是2021年8月4日

发生在日本本州近岸5.3级地震的最大振幅的（）倍（精确到1）.（参考数据：10°4°2∙512,

10fl5≈3.162,IO28≈631）

A.794B.631C.316D.251

【答案】A

【分析】将阿拉斯加半岛的震幅A和日本本州近岸5.3级地震的震幅为表示成指数形式，作商即

可.

AA

【详解】由题意M=IgA-Ig4=Ig7，即丁=10",则A=4∙10%

A）A）

当M=8.2时，地震的最大振幅A=4IO82,

当M=5.3时,地震的最大振幅4=A√U）53,

4_4-1082

所以=1029=1004×l005×102≈2.512×3.162×l00≈794,

X-4-io53

即仆7944；

故选：A.

【例5】（2022•辽宁•抚顺市第二中学三模）一热水放在常温环境下经过f分钟后的温度T将合公式:

（"_1）,其中7是环境温度，”为热水的初始温度，人称为半衰期.一杯85℃的热水,

放置在25℃的房间中，如果热水降温到55℃,需要10分钟，则一杯100℃的热水放置在25C的房

间中，欲降温到55℃,大约需要多少分钟?（）（Ig2≈0.3010,lg3≈0.4771）

A.11.3B.13.2C.15.6D.17.1

［答案］B

【彳析】依题意求出半衰期人，再把力的值代入利用换底公式计算，即可求出结果.

1IO1101

【详解】解：根据题意，55-25=W）工（85-25）,即（!"=匕解得〃=10，

222

*g|_21g2-l

/22x0.3010-1

所以G=IogI£=≈1.322

IU2ɔ-0.3010

所以G13.2；

故选：B

【题型专练】

1.（2022•吉林一中高二阶段练习（理））深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以

神经网络为出发点的.在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为L=4。看，其中心表示每一轮

优化时使用的学习率，4表示初始学习率，。表示衰减系数，G表示训练迭代轮数，Go表示衰减速

度.已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0∙5,衰减速度为18,且当训练迭代轮数为18

时，学习率衰减为0.4,则学习率衰减到0」以下（不含0.1）所需的训练迭代轮数至少为（参考数

据：lg2≈0.3010）（）

A.128B.130C.132D.134

【答案】B

【分析】由已知可得O=］4,再由0.5x（14y—8<0.1,结合指对数关系及对数函数的性质求解即可.

∣Q4

【详解】由题设，0.50市=0.4,则。=］，

所以O5x（-）^<01,即G>⑻Ogj=18g=-（ITg2）B1297

「*~5Ig5-2lg2l-31g2

所以所需的训练迭代轮数至少为130次.

故选：B

2.（2022•内蒙古包头.二模（理））在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星

5E

的星等与亮度满足吗一叫=］lg苴，其中星等为外的星的亮度为々«=1,2）.已知星A的星等是

-3.5,星B的星等是-1.5,则星A与星3的亮度的比值为（）

4455

a∙105b∙105c∙lθɪd-10J

［答案］A

【A析】根据题意，运用代入法，结合对数与指数的互化公式进行求解即可.

【详解】因为吗-町=当g善，星A的星等是-3.5,星B的星等是-1.5,

所以—1.5—（—3.5）==5IgE^nlgEf=4：=>E才=10-3

2E2E25E2

故选：A

3.（2022福建省安溪第一中学高一月考）某种类型的细胞按如下规律分裂：每经过1小时，有约占

总数4的细胞分裂一次，分裂细胞由1个细胞分裂成2个细胞，现有100个细胞按上述规律分裂，

要使细胞总数超过IoH）个，需至少经过（）（参考数据：lg2=0.3010,lg3=0.4771）

A.44小时B.45小时C.46