2024年1月“七省联考”考前猜想卷数学试题2（含答案）

2024年1月“七省联考”押题预测卷02

数学

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

注意事项：

1.本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考

证号填写在答题卡上。

2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用

橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。

3.回答第n卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的.

1.集合A={Wnx21},B={x\l<x<3}则.8=（）

A.0B.|x|e<%<3}C.|x|e<x<3|D,>11

2.已知复数z-（l-2i）在复平面内对应点的坐标为（3,1）,则z=（）

1/.

A.-+—1B.-+iC.--iD.--i

555555

3.。犬一千,展开式中一

项的系数为（）

A.-240B.-20C.20D.240

）的部分图象大致为（）

4.函数小

2+cosx

O

yk尸八

r4

r）-ov—J

5.中国国家馆，以城市发展中的中华智慧为主题，表现出了“东方之冠，鼎盛中华，天下粮仓,

富庶百姓”的中国文化精神与气质.如图，现有一个与中国国家馆结构类似的正四棱台

ABCD—ABiCR,上下底面的中心分别为。和0,若AB=244=4,=60°,则正四

棱台ABCD-A/iGA的体积为（）

.2072口2872「20A/6n2876

3333

6.公元9世纪，阿拉伯计算家哈巴什首先提出正割和余割概念，1551年奥地利数学家、天文学

家雷蒂库斯在《三角学准则》中首次用直角三角形的边长之比定义正割和余割，在某直角三角形

中，一个锐角的斜边与其邻边的比，叫做该锐角的正割，用sec（角）表示；锐角的斜边与其对

边的比，叫做该锐角的余割，用esc（角）表示，则、回CSC20°—sec20°=（）

A.V3B.273c.4D.8

7.已知奇函数在R上可导，其导函数为f（x）,且“1-力-〃l+x）+x=0恒成立，则

广（2023）=（）

8.如图，已知双曲线C:二-当=l（a,6〉0）的左、右焦点分别为耳，工，过耳的直线与。分别

ab

在第一、二象限交于AB两点，AAB与内切圆半径为,，若忸耳卜r=a,则。的离心率为

（）

「V30

U.----.半

4

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要

求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.2023年10月3日第19届杭州亚运会跳水女子10米跳台迎来决赛，中国“梦之队”包揽了该

项目的冠亚军.已知某次跳水比赛中运动员五轮的成绩互不相等，记为为。=1,2,3,4,5）,平均数

为1若随机删去其任一轮的成绩，得到一组新数据，记为％[=1,2,3,4）,平均数为亍，下面

说法正确的是（）

A.新数据的极差可能等于原数据的极差

B.新色据g勺中位数可能等于原数据的中位数

C.若最=亍，则新数据的方差一定大于原数据方差

D.若最=亍，则新数据的第40百分位数一定大于原数据的第40百分位数

10.已知函数〃x）=45皿8+。）｝>0,0>0,解<9］的部分图象如图所示.则（）

/pV

A.fM的图象关于［-正>。）中心对称

5兀

B./⑴在区间y,2n上单调递增

C.函数“X）的图象向右平移二个单位长度可以得到函数g（x）=2sin2x的图象

6

iTT

D.将函数/（%）的图象所有点的横坐标缩小为原来的得到函数/z（x）=2sin（4x+—）的图象

/6

11.已知尸是圆。：必+丁=1上一点，Q是圆。：（x—3）2+（y+4）2=4上一点，贝IJ（）

A.的最小值为2

B.圆。与圆。有4条公切线

C.当|IPIQ|取得最小值时，尸点的坐标为（14,-*3

D.当|PQ|=1+在'时，点。到直线尸。的距离小于2

12.已知正四面体尸-ABC的棱长为2,下列说法正确的是（）

A.正四面体P-ABC的外接球表面积为6兀

B.正四面体尸-A3C内任意一点到四个面的距离之和为定值

C.正四面体尸-ABC的相邻两个面所成二面角的正弦值为工

3

D.正四面体Q-MNG在正四面体尸-A3C的内部，且可以任意转动，则正四面体Q-MNG的

体积最大值为谑

81

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知等差数列｛4｝前3项和S3=12,q-l,%-1,%+3成等比数列，则数列｛%,｝的公差

d—.

14.已知向量Z，B满足73_/=2，且a=（T,l），则向量B在向量Z上的投影向量为.

15.正三棱台A4G—ABC中，44=1,A8=A4=2,点E,尸分别为棱8耳，4G的中点,

若过点A,E,/作截面，则截面与上底面44cl的交线长为.

16.已知函数/(x)=x(ei-2a)-Inx的最小值为0,则a的值为.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.已知正项数列｛4｝的前〃项和为S”，且满足2£=%+1,〃eN*.

(1)求数列｛4｝的通项公式；

2

(2)若数列也｝满足么=&+-------,求数列｛%｝的前〃和(.

18.记口ABC的内角4B,。的对边分别为a,b,c,已知匕必■='辿

cosAcosB

(1)求A+25的值；

(2)若/+2/NX/??,求2的最大值.

19.如图，底面ABCD是边长为2的菱形，NBAD=60°,DE1平面ABCD,CFIIDE,

DE=2CF,既与平面/四所成的角为45°.

(1)求证：平面平面屐'；

(2)求二面角8-砂T的余弦值.

20.“村应T后，贵州“村超”又火出圈!所谓“村超”，其实是目前火爆全网的贵州乡村体育

赛事一一榕江(三宝侗寨)和美乡村足球超级联赛，被大家简称为“村超”.“村超”的民族风、

乡土味、欢乐感，让每个人尽情享受着足球带来的快乐.

某校为了丰富学生课余生活，组建了足球社团.足球社团为了解学生喜欢足球是否与性别有关，随

机抽取了男、女同学各50名进行调查，部分数据如表所示：

喜欢足球不喜欢足球合计

男生20

女生15

合计100

2

2_n(ad-bc)

'”(a+b)(c+d)(a+c)(〃+d)

a0.10.050.010.0050.001

%2.7063.8416.6357.87910.828

(1)根据所给数据完成上表，依据&=0.005的独立性检验，能否有99.5%的把握认为该中学学

生喜欢足球与性别有关？

(2)社团指导老师从喜欢足球的学生中抽取了2名男生和1名女生示范定点射门.据统计，这两

名男生进球的概率均为这名女生进球的概率为每人射门一次，假设各人进球相互独立，

求3人进球总次数X的分布列和数学期望.

21.已知函数=/0),g(x)=-x2.

(1)求的单调区间；

(2)当x>0时，“X)与g(x)有公切线，求实数。的取值范围.

22.已知椭圆7：(_+/=1，其上焦点尸与抛物线任好=分的焦点重合.

（1）若过点尸的直线交椭圆7于点/、B,同时交抛物线4于点aD（如图1所示，点C在椭圆

与抛物线第一象限交点上方），试证明：线段/C大于M长度的大小；

（2）若过点户的直线交椭圆7于点4B,过点户与直线加垂直的直线皮交抛物线"于点£、G

（如图2所示），试求四边形/板面积的最小值.

2024年1月“七省联考”押题预测卷02

数学

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

注意事项:

1.本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准

考证号填写在答题卡上。

2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。

3.回答第n卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的.

1.集合A={2nx训，8={x|l<x<3},则()

A.0B.{x[e<x<3}C.{x|e<x<3|D.{小>1}

【答案】C

【解析】由InxNlnxNe,即A={x|xNe}nAcB={x14x<3}.

故选：C

2.已知复数z-(l-2i)在复平面内对应点的坐标为(3,1),则z=()

17.

D.---------1

55

【答案】A

【解析】由已知复数z-（l-2i）在复平面内对应点的坐标为（3,1）,

则z-(l-2i)=3+i,

3+i(3+i)(l+2i)l+7i

所以z=

l-2i(l-2i)(l+2i)555

故选：A.

C.20D.240

【答案】D

【解析】(2/—工]展开式通项为4+1=G(2X3)6_1_J_]=(-l)r26-rC；x18-4r

由18—4r=10,可得r=2,贝U(―26<C；=240,

则展开式中一项的系数为240.

故选：D

【解析】根据题意,对于函数/（x）=

2+cosx

有函数

即函数/（X）为奇函数，图象关于原点对称，故排除A、B；

当x>0时，cosxe[-1,1],则恒有=+ej>0,排除口；

2+cosx

故选：C.

5.中国国家馆，以城市发展中的中华智慧为主题，表现出了“东方之冠，鼎盛中华，天下粮仓,

富庶百姓”的中国文化精神与气质.如图，现有一个与中国国家馆结构类似的正四棱台

ABCD-\BXCXD},上下底面的中心分别为。和。，若AB=2A4=4,ZA.AB=60°,则正四

棱台ABCD-A^.CD.的体积为（）

2876

3

【答案】B

【解析】因为ABC。—481GA是正四棱台，AB=2A]Bl=4,Z^AB=60°,

侧面以及对角面为等腰梯形，故44=上匕丝D=2，AO=\AC=^AB=2亚,

1cosZ4AB22

BI------------------

4。1=%AB[=亚,所以00]=JA4；_(A0_AQJ2=亚,

所以该四棱台的体积为丫=!。。・(548°+548°。+、瓦工MZT)="2(16+4+8)=生也，

31\r\D\^LJ/1|Dj<..|LJy丫/iZJC-Lx1JjC-jZ-q/3''3

故选：B.

6.公元9世纪，阿拉伯计算家哈巴什首先提出正割和余割概念，1551年奥地利数学家、天文学

家雷蒂库斯在《三角学准则》中首次用直角三角形的边长之比定义正割和余割，在某直角三角形

中，一个锐角的斜边与其邻边的比，叫做该锐角的正割，用sec(角)表示；锐角的斜边与其对边

的比，叫做该锐角的余割，用esc(角)表示，贝ij逝esc20°—sec20°=()

A.V3B.273C.4D.8

【答案】C

【解析】依题意，20。角可视为某直角三角形的内角，由锐角三角函数定义及已知得

esc20°=——-——,sec20°=——-——

sin20°cos20°

66cos20°-sin20°2sin(60°—20°)

所以eesc20°-sec20°1

sin20°cos20°sin20°cos20°

—sin400

2

故选:C

7.已知奇函数/(%)在R上可导,其导函数为尸⑴，且“1-力-〃l+x)+x=0恒成立，则

广(2023)=()

【答案】B

【解析】设g(x)=/(x)-则g(x)为R上可导的奇函数，g(0)=0,

由题意得了(1—x)—a(1—X)=/(1+x)—a(l+X),

得g(l—x)=g(l+x),所以g(x+2)=g(l+x+l)=g(—x)=—g(x),

g(x+4)=g(x+2+2)=-g(x+2)=g(x),

又g(l-x)=g(l+x),即-g(l-x)=-g(l+x),

所以g(-l+x)=g(-l-x),等式两边对尤求导，

得g'(—l+x)=—g'(—1—x),令x=0,g'(—1)=—g'(—1),所以g")=0.

由g(x+4)=g(x),两边对x求导，g'(x+4)=g'(x),所以g'(x)的周期为4,

所以8'(2023)=8'(一1)=0,因为g(x)=/(x)—gx,所以g'(x)=,

所以广(2023)=g<2023)+g=g.

故选：B

22

8.如图，已知双曲线C:[-J=l（a4>0）的左、右焦点分别为耳，F2,过片的直线与。分别

ab

r,若忸凰=r=a,则C的离心率为（

V30nV85

U.----

~T~5

内切圆在8月,AT"AB上的切点分别为U,V,W,

则忸

u|=\BW\,\AV\=\AW\,\F2U\=W,

由忸周=。及双曲线的定义可知，

\BF2\=3a,\AF2\=x-a,\F2U\=\F^V\=^（\BF2\+\AF2\-\AB\）=a=r,

故四边形/u《v是正方形，

得于是忸司,+忆闾2=|A/2,

故炉=9/+（%-。）2,所以x=5a,

3

于是cos/FJBK=cos（7t-ZABF2）=--,在口耳8耳中，

由余弦定理可得闺工「=忸耳『+忸工『一2忸耳卜忸闾.=£/,

从而4c2=竺“2,所以e=g=Yil.

5a5

故选：D.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要

求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.2023年10月3日第19届杭州亚运会跳水女子10米跳台迎来决赛，中国“梦之队”包揽了该项

目的冠亚军.已知某次跳水比赛中运动员五轮的成绩互不相等，记为.。=1,2,3,4,5),平均数为最

若随机删去其任一轮的成绩，得到一组新数据，记为％(，=1,2,3,4),平均数为亍，下面说法正

确的是()

A.新数据的极差可能等于原数据的极差

B.新婺据目中位数可能等于原数据的中位数

C.若凄=亍，则新数据的方差一定大于原数据方差

D.若嚏=亍，则新数据的第40百分位数一定大于原数据的第40百分位数

【答案】ABC

【解析】对于A中，若随机删去任一轮的成绩，恰好不是最高成绩和最低成绩，此时新数据的极

差可能等于原数据的极差，所以A正确；

对于B中，不妨假设%1<x2<x3<x4<x5,

当：(马+%4)=%3时，若随机删去的成绩是演，此时新数据的中位数等于原数据的中位数，所以

B正确；

对于C中，若最=亍，即删去的数据恰为平均数，根据方差的计算公式，分子不变，分母变小，

所以方差会变&多以C正确；

对于D中，若最=亍，即删去的数据恰为平均数，在按从小到大的顺序排列的5个数据中，

因为5x40%=2,此时原数据的40%分位数为第二数和第三个数的平均数；

删去一个数据后的4个数据，从小到大的顺序排列，可得4x40%=1.6,

此时新数据的40%分位数为第二个数，

显然新数据的40%分位数小于原数据的40%分位数，所以D错误.

故选：ABC.

10.已知函数/(x)=Asin(0x+°)[A>O,0>O，M<m)的部分图象如图所示.则()

C.函数/(%)的图象向右平移四个单位长度可以得到函数g(x)=2sin2x的图象

6

iTT

D.将函数/(x)的图象所有点的横坐标缩小为原来的得到函数〃(%)=25皿4%+:)的图象

一6

【答案】ABD

T57rIT127r

【解析】由图象可知A.丁声厂/石，解得T=i=2'

又/（胃=2，所以2sin'+°]=2即四+0=4+2kjt,keZ,结合附〈巴，可知左=0,夕=工,

3226

所以函数“X)的表达式为/(x)=2sin2x+-|,

对于A,由于小小25«表力=。,即/(㈤的图象关于-当,0中心对称，故A正确;

c兀7兀25兀7兀9兀

对于B,当兀时,t—2%H---G由复合函数单调性可知“冷在

6~2~6~

区间彳,2兀上单调递增，故B正确;

对于C,函数/(X)的图象向右平移百个单位长度可以得到函数

6

g(x)=2sin2、一力+£=2sin12x—胃，故C错误；

1TT

对于D,将函数/(x)的图象所有点的横坐标缩小为原来的;，得到函数/z(x)=2sin(4x+—)的图

/6

象，故D正确.

故选：ABD.

11.已知尸是圆C:f+y2=i上一点，Q是圆。：(%—3)2+(y+4)2=4上一点，贝I()

A.|PQ|的最小值为2

B.圆。与圆。有4条公切线

C.当|PQ|取得最小值时，尸点的坐标为1)

D.当|PQ|=1+在'时，点。到直线尸。的距离小于2

【答案】AB

【解析】C的圆心C(0,0),半径［=1,圆。的圆心。(3,-4),半径弓=2,则|CD|=5,圆。与

圆。外离，

因此|P0的最小值为|CD|-1-2=2,圆。与圆。有4条公切线，AB正确；

43

直线8的方程为y=—代入好+丁=1,得了=土丁当|PQ|取得最小值时，

尸为线段8与圆。的交点，因此尸点的坐标为C错误；

过点。作圆。的切线，切点为"，则|CM|=752—2?=后,

当尸为线段VC的延长线与圆。的交点，且点Q与M重合时，|PQ|=1+J万,

此时点。到直线P。的距离等于2,D错误.

12.已知正四面体尸-A3C的棱长为2,下列说法正确的是（）

A.正四面体尸-ABC的外接球表面积为6兀

B.正四面体尸-ABC内任意一点到四个面的距离之和为定值

C.正四面体尸-A3C的相邻两个面所成二面角的正弦值为:

D.正四面体Q-MNG在正四面体尸-ABC的内部，且可以任意转动，则正四面体Q-MNG的

体积最大值为逆

81

【答案】ABD

【解析】A.棱长为2的正四面体尸-ABC的外接球与棱长为0的正方体的外接球半径相同，

设为R,贝！J：27?=,所以S=4兀A?=6兀，所以人对.

B.设正四面体尸-A3。内任意一点到四个面的距离分别为4，d2,4,&，

设正四面体尸-ABC的高为"，由等体积法可得：-S^+d.+d.+d.^-Sd,

所以di+dz+ds+U=d为定值，所以B对.

C.设3c中点为D,连接P。，AD,则

则NPZM为所求二面角的平面角，AP=2,PD=AD=6,

所以COS/PZM=3+：—4=}所以正弦值为j—[]=半，所以c错.

c

D.要使正四面体Q-MNG在四面体尸-ABC的内部，且可以任意转动,

则正四面体。-MNG的外接球在四面体P-ABC内切球内部，

当正四面体Q-MNG的外接球恰好为四面体P-ABC内切球时，

正四面体Q-MNG的体积最大值，

由于正四面体的外接球与内切球半径之比为:，

所以正四面体Q-MNG的外接球半径为包x工=逅，

236

(桓\r2

设正四面体Q-MNG的边长为小则内=26,所以。=§，

故体积汉1,所以D对.

1281

故选：ABD

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知等差数列｛4｝前3项和S3=12,4-1,«2-1,%+3成等比数列，则数列｛%,｝的公差

d=.

【答案】-6或2

【解析】由S3=12,可知q+%+%=3%=12,即%=4,

又4-1,%-1,%+3成等比数列，

所以(%—I]=("i—1).(“3+3)=(%—d—1),(%+d+3),

即9=(3_d)-(7+d),解得d=2或d=—6,

故答案为：-6或2

14.已知向量石满足%4_/=2,且£=(-1/)，则向量B在向量Z上的投影向量为.

【答案】(-2,2)

【解析】由1(—1,1),得问=3,

^a-b—a=2'所以。石=4，

所以向量B在向量Z上的投影向量为R'曰=(-2,2),

故答案为：(-2,2)

15.正三棱台A4C—ABC中，44=1，AB=A&=2,点E,产分别为棱84，人。]的中点,

若过点A,E,/作截面，则截面与上底面44cl的交线长为.

【答案】叵

10

【解析】连接A尸并延长交eq的延长线于点M,连接ME交BG于点N,连接EV,如图,

则线段EV即为截面AE/与上底面ABC的交线,

因为户为4G的中点，底£_MC_2J,

AC~MC~2~4

所以=』CC]=2,

33

过点£作BC的平行线交CG于点H,

2

因为吟却。+耳G)=|,器=震3_2

在一二

3

23

所以=

在△C/N中，

FN=JcF+CN-2C[F-GNcosg="+2.2xL，L也

42525210

故答案为：也

10

16.已知函数/(x)=x(ei-2力-Inx的最小值为0,则。的值为.

【答案】1##0.5

【解析】由r(x)=(x+l)e，T-工一2”，且xe(0,+oo),

X

令g(x)=7'(x),则g，(x)=(x+2)ei+±>0,即g(x)在(0,+⑹上递增，

X

所以广(X)在(0,+8)上递增，又X-0+，/'(x)^-co,Xf+8,f(x)f+co,

所以，lx。e(0,+oo)使尸(5)=(%+1)6'。--■--2a=0,且xe(0,x())时，/1(x)<0,

%£(%,+8)时，f\x)>0,所以〃龙)在(0,%)上递减，在(%,+8)上递增，

所以/(X)min=/(%)=%(e%T-2a)-In/=0

x-1

(x0+l)e°--=2a

由<X。,得其e*T+ln/=1,

%o(e"i_2〃)=In/

令函数%(x)=x2ex~l+Inx,t(x)=(x2+2x)ex-1+—>0,

x

所以心)在(0,+8)上是增函数,注意到01)=1,所以％=1,

所以2Q=1=>〃=L

2

故答案为：!

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.已知正项数列｛%｝的前〃项和为S〃，且满足26=q+1,neN*.

(1)求数列｛g｝的通项公式；

2

(2)若数列低｝满足a=4+-------,求数列圾｝的前〃和人

aa

n-n+\

On

2

【答案】⑴册=2n—l,几wN*(2)Tn=n+——

2n+l

【解析】(1)由2£=%+1得S“=；(a“+1)2,贝Ijq=；(q+1)2,解得％=1,

当北2时，S"T=；(ax+l)2,所以a“=S“—Si=；d+1)2—

整理得(4-%"(%+*)=2(4+%),

因为｛%｝是正项数列，所以a“+an_i>0,所以a,—a”T=2,

所以｛4｝是首项为1，公差为2的等差数列，

所以。〃=1+2(n—l)=2n—l,nGN*•

⑵由(1)可得，cin—2n—1,

722=2n-i^^—1

所以a=4+----二2〃-1+

一,%(2n-l)(2n+l)2n-l2〃+l

H(1+2M-1)+111111、

所以北=3+3-5+，，，+2n-l-2n+l

21

12n

=n2+1-=n9+-----

2M+12〃+l

18.记口ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知匕至4=以必

cosAcosB

(1)求A+25的值；

(2)若/+2八2/,求2的最大值.

【答案】(1)】⑵2

2

【解析】(1)

一,1—sinAsin5

,__，/一_9

cosAcosB

所以cos3-sinAcosB=sinBcosA,

所以cosB=sin(A+B)=sinC,

sinf-|--Bj=sinC,

717r71

因为0＜。＜兀，一一＜——B＜—,

222

TTTT

所以——B=C(舍)，或——B=n-C,

22

IT

所以A+2B=JI—C+3=—.

2

'/+2c2、

(2)要使不等式6+2/2彳/恒成立，只需要—即可,

IbJmin

TT7T

由(1)可知。,A=——2B,

22

〃2+'

...由正弦定理得里吉sin2A+2sin2C

b-sin2B

sin2-23)+2sin2[-j

cos225+2cos2B

sin2Bsin2fi

=(Tsi”叫2(15=4s,n2B+3

sin2BsiiTB

「、1-sinAsinB

因为r------=-----,

cosAcosB

所以A,8都为锐角，

77

又因为A+2B=",

2

7T

所以0＜B＜一.

4

所以OvsiYBv^时,

2

由对勾函数的性质知，4sin2B+^--6在（0,与上单调递减，

sin2BI2）

13

134x—+--6=2

当sir?5=一时，4sin2B+--——6取得最小值为21一，

2sinB-

013

由sii?Bw—,得4sin~0B+—-——6>2BP2<2.

2sin2B

所以为的最大值为2.

19.如图，底面ABC。是边长为2的菱形，ZBAD=60°,平面A8CO,CF//DE,

DE=2CF,BE与平面ABCO所成的角为45°.

(1)求证：平面3E尸_L平面BDE；

(2)求二面角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析；(2)国

4

【解析】(1)：DE1平面ABC。，ACu平面ABCD

DE1AC.

又；底面ABCD是菱形，/.AC1BD.

'：BDcDE=D，AC1平面BDE,

设AC,80交于O,取8E的中点G,连尸G,OG,

OG//CF,OG=CF,四边形OCFG是平行四边形

FGHAC,ACJ_平面8DE

FG_L平面BDE,

又因尸Gu平面BEF,

二平面BEF,平面BDE.

(2)以O为坐标原点，OA,OB,OG所在直线分别为x、y、z轴建立如图空间直角坐标系

二•BE与平面ABC。所成的角为45°,NBA。=60°

DE=BD=AB=2,OA=43

0(0,—1,0),8(0,1,0),C(-V3,0,0),£(0,-1,2),F(-V3,0,l).

BE=(0,-2,2),BF=(-V3,-1,1)

—2y+2z=0

设平面3EF的法向量为力=(x,y,z),4r,n=(0,1,1)

-A/3x—y+z=0

DC=(-73,1,0).反=(0,0,2)

设平面CDEF的法向量沅=(x,%z)

「&+>=°n…百,0)

z=0

设二面角B-EF-D的大小为6.

cos0=|cos<n,m>|=■

20.“村A4”后，贵州“村超”又火出圈!所谓“村超”，其实是目前火爆全网的贵州乡村体育

赛事一一榕江(三宝侗寨)和美乡村足球超级联赛，被大家简称为“村超”.“村超”的民族风、

乡土味、欢乐感，让每个人尽情享受着足球带来的快乐.

某校为了丰富学生课余生活，组建了足球社团.足球社团为了解学生喜欢足球是否与性别有关，随

机抽取了男、女同学各50名进行调查，部分数据如表所示：

喜欢足球不喜欢足球合计

男生20

女生15

合计100

2

2_〃(ad—be)"

'”(a+Z?)(c+d)(a+c乂人+d)

a0.10.050.010.0050.001

%2.7063.8416.6357.87910.828

(1)根据所给数据完成上表，依据&=0.005的独立性检验，能否有99.5%的把握认为该中学学

生喜欢足球与性别有关？

(2)社团指导老师从喜欢足球的学生中抽取了2名男生和1名女生示范定点射门.据统计，这两

名男生进球的概率均为:，这名女生进球的概率为每人射门一次，假设各人进球相互独立，

求3人进球总次数X的分布列和数学期望.

【答案】(1)有99.5%的把握认为该中学学生喜欢足球与性别有关

(2)分布列见解析，E(X)=?

【解析】⑴

依题意，2x2列联表如下:

喜欢足球不喜欢足球合计

男生302050

女生153550

合计4555100

零假设5。：该中学学生喜欢足球与性别无关,

/2的观测值为12=100x（30x35-15x20）2=100

'50x50x45x5511

9.091>7.879=%0005,根据小概率值a=0.005的独立性检验，推断“°不成立,

所以有99.5%的把握认为该中学学生喜欢足球与性别有关.

(2)依题意，X的所有可能取值为0」,2,3,

尸（x=0）=1|：一卜4小=1)=彳"卜

l3）218

2

P（X=2）=C'x|=：P(X=3)=1；J__2

X2-9

所以X的分布列为

X0123

1542

p

181899

X-L+1XA+2X1+3X2=11.

1818996

21.已知函数/(x)=axe”(aw0),g(x)=-x2.

(1)求的单调区间；

(2)当x>0时，与g(x)有公切线，求实数。的取值范围.

【答案】⑴答案见解析；⑵-川

【解析】(1)由函数/(x)=are%aw0),可得/=。(1+1处,

当。〉0时，可得xe(—%-1)时，/(x)<0,/(x)单调递减，

xw(—l,+8)时，/-(x)>0,/(x)单调递增；

当a<0时，可得xe(—8,—1)时，f'(x)>0,/(x)单调递增，

xe(-l,+oo)时，