初中七年级数学 集合与不等式 集合

努力的你，未来可期!

第一篇集合与不等式

专题1.01集合

【考纲要求】

1.通过实例了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系；针对具体问题能在自然语言、图形语言的基础上,

用符号语言刻画集合；

2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；在具体情境中了解全集与空集的含义；

3.理解两个集合的并集与交集的含义，能求两个简单集合的并集与交集；理解在给定集合中一个子集的补集

的含义，能求给定子集的补集；能使用韦恩(Venn)图表达集合间的基本关系及集合的基本运算，体会图形对

理解抽象概念的作用.

【知识梳理】

1.元素与集合

(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性.

(2)元素与集合的关系是属于或不属于，表示符号分别为G和区

(3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法.

2.集合间的基本关系

(1)子集：若对任意xdA,都有x£B,则AUB或BNA.

(2)真子集：若AUB,且集合B中至少有一个元素不属于集合A,则AB或BA.

(3)相等：若AUB,且BUA,则厶=8.

(4)空集的性质：是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.

3.集合的基本运算

集合的并集集合的交集集合的补集

若全集为U,则集合

符号表示AUBAOB

A的补集为CUA

(©

图形表示

AUB

集合表示{xlxGA,或xWB}{xlxeA,且xWB}{xlxGU,且xCA}

4.集合的运算性质

(1)ADA=A,AD0=0,APlB=BriA.

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(2)AUA=A,AU0=A,AUB=BUA.

(3)An(CuA)=，AU(CuA)=U,Cu(CuA)=A.

【微点提醒】

1.若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n-I个.

2.子集的传递性：ACB,BUC=AUC.

3.ACB<=>AnB=A«AUB=B«=>CbA2CuB.

4.CL,(AnB)=(CLIA)U(JB),“AUB)=(CuA)n(CuB).

【疑难辨析】

i.判断下列结论正误(在括号内打或“X”)

(I){xly=x2+l}={yly=x2+l}={(x,y)ly=X2+l}.()

(2)若{x2,1}={0,1},则x=0,1.()

(3)对于任意两个集合A,B,关系(AnB)U(AUB)恒成立.()

(4)含有n个元素的集合有2n个真子集.()

【答案】(l)x(2)x(3)4(4)x

【解析】

(1)错误.{xly=x2+l}=R,{yly=x2+l}=[l,+oo),{(x,y)ly=x2+1}是抛物线y=x2+1上的点集.

(2)错误.当x=l时，不满足集合中元素的互异性.

(3)正确.

(4)错误.含有n个元素的集合有2n-l个真子集.

【教材衍化】

2.泌修干2厶5改编)若集合P={xeN|xRT砲},a=26，则()

A.aGPB.{a}GP

C.{a}cpD.agP

【答案】D

【解析】

因为a=2，i不是自然数，而集合P是不大于回历的自然数构成的集合，所以WP,只有D正确.

3.(必修明叫改编)已知集合乂={0,1,2,3,4},N={1,3,5},则集合MUN的子集的个数为.

【答案】64

【解析】由已知得MUN={0,1,2,3,4,5},所以MUN的子集有26=64(个).

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【真题体验】

4.①(2019.全国I卷)已知集合〃={引一4<x<2},N={》卜2-》一6<()},则MN=()

A.{x|-4<x<3)B.{%|-4<%<-2)

C.{x|-2<x<2)D.{x|2<x<3)

【答案】c

【解析】

M={x|-4<x<2},N={x|x2-x-6<o}={x|-2<x<3},AB={.v|-2<x<2),

②(2018•全国I卷)已知集合A={xlx2-x—2>0},则CRA=()0

A.{x[—l<x<2}B.{x|—l<x<2}

C.{xlx<-1}U{xlx>2}D.{x|x<-1}U{x|x>2)

【答案】B

【解析】

法一A={xlx2-x—2>0}={xl(x—2)(x4-1)>0}={xlx<—1或x>2},所以CRA={XI—1WXW2}.

法二因为A={xlx2—x-2>0},所以CRA={XIX2-X—2S0}={XI-1$XW2}.

5.(2019・荷泽模拟)若A={xlx=4k+hkGZ),B={xlx=2k-1,k^Z},则集合A与B的关系是AB.

【答案】£

【解析】因为集合8=*反=21;—1,keZ),A={xlx=4k+1,keZ},所以B表示奇数集，A表示除以

4余1的整数集，所以AqB.

6.(2017•全国HI卷改编)己知集合A={(x,y)lx2+y2=l},B={(x,y)lx,yGR,Ky=x},则ACB中元素的

个数为.

【答案】2

【解析】

集合A表示圆心在原点的单位圆上所有点的集合，集合B表示直线y=x上所有点的集合，易知直线y=x

和圆x2+y2=l相交，且有2个交点，故ADB中有2个元素.

【考点聚焦】

考点一集合的基本概念

【例1】⑴(2019•湖北四地七校联考)若集合M={x||x|W",N={yly=x2,|x|<l),则()

A.M=NB.MCN

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C.MCIN=0D.NGM

(2)若xdA,则普A,就称A是“伙伴关系”集合，集合M={f0,2,3)的所有非空子集中具有“伙伴

关系''的集合的个数是()

A.lB.3C.7D.31

【答案】(1)D(2)B

【解析】⑴易知M={xl-lWx01},N={yly=x2,|x|<l}={y|0<y<l),；.NUM.

⑵具有伙伴关系的元素组是一1，2,所以具有伙伴关系的集合有3个：{—1},e，2卜{—1,21,

【规律方法】

1.研究集合问题时，首先要明确构成集合的元素是什么，即弄清该集合是数集、点集，还是其他集合；然后

再看集合的构成元素满足的限制条件是什么，从而准确把握集合的含义.

2.利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时，要注意检验集合中的元素是否满足互异

性.

【训练1】(1)(2018•全国II卷)已知集合厶={优,y)lx2+y2<3,x《Z,yGZ},则A中元素的个数为()

A.9B.8C.5D.4

(2)设集合A={xl(x-a)2<l},且2CA,3CA,则实数a的取值范围为.

【答案】(DA(2)(1,2]

【解析】(1)由题意知A={(-1,0)>(0,0),(1,0),(0,—1),(0.1),(—1,—1)»(—1>1),(1>一

1),(1,1)}，故集合A中共有9个元素.

(2—a)2<1,l<a<3»

fig®.

(2)由题意得(3-a)2>1,]aW2或a%.

所以l<a<2.

考点二集合间的基本关系

【例|2](1)已知集合A={xly=，Tx2,x£R},B={xlx=m2,m£A},则()

A.AgBB.BQA

C.AWBD.B=A

(2)(2019杭州调研)已知集合A={xlx2—5x—1名0},集合B={xlm+lvx<2m-1},若BUA,则实数m的取

值范围为.

【答案】(1)B(2)(-oo,4]

【解析】(1)易知A={xl-lWxS},

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所以B={xlx=m2,mEA}={x|O<x<l}.

因此BQA.

(2)A={xlx2—5x—14<0}={x|—2<x<7}.

当B=0时，有m+l>2m—1,则m<2.

当B声。时，若BGA,如图.

m+1>—2,

则{2m—lW7,

.m+l<2m—1,

解得2<m<4.

综上，m的取值范围为(-8,4J.

【规律方法】

1.若B£A,应分B=0和B,0两种情况讨论.

2.已知两个集合间的关系求参数时，关键是将两个集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系，进而转化

为参数满足的关系.解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn图，化抽象为直观进行求解.

【训练2】(1)(2019•青岛质检)设集合M={xlx2-x>0},N={x91},贝ij()

A.MQNB.N£M

C.M=ND.MUN=R

(2)若将本例(2)的集合A改为A={xlx2—5x—14>0}.其它条件不变，则m的取值范围是.

【答案】(1)C(2)(-oo,2]U[6,+oo)

【解析】⑴集合M={xlx2—x>0}={xlx>l或x<0},N=[x:<l]={xlx>l或x<0},所以M=N.

(2)A—{xlx2—5x—14>0}={xlx<—2或x>7).

当B=0时,有m+G2m—1,则mW2.

当时，若BUA,

[m+l<2m_1,[m+l<2m—1,

则，或

lm+1>712m—1<—2.

解之得m>6.

综上可知，实数m的取值范围是(一8,2]U[6,+oo).

考点三集合的运算

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角度1集合的基本运算

【例3—1]⑴已知集合A={xlx<2},B={xl3-2x>0},则()

A.AClB={xx<||B.ACB=0

C.AUB=Jxx<-1D.AUB=R

(2)(2018•天津卷)设全集为R,集合A={xl0<x<2},B={x|x>l},则ACI(CRB)=()

A.{x|0<x<l}B.{xl0<x<l}

C.{x|l<x<2{D.{xl0<x<2}

【答案】(1)A(2)B

【解析】

⑴因为B={xl3—2x>0}={xx<|1,A={xlx<2},所以ACB=]xx<|j-,AUB={xlx<2}.

⑵因为B={x|xNl},所以CRB={XIXV1},因为A={XI0<X<2},所以An(CRB)={xlOvx<l}.

角度2抽象集合的运算

【例3一2】设U为全集，A,B是其两个子集，贝上存在集合C,使得AUC,BUCuC”是“厶口8=0”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】由图可知，若“存在集合C,使得AUC,BUCuC”,则一定有“ACB=0"；反过来，若"AnB=0”,

则一定能找到集合C,使ACC且BUJC.

角度3集合的新定义问题

【例3—3】若集合A具有以下性质：

(i)0GA,IGA；

(ii)若x£A,yGA,贝iJx—yGA,且x翔时，1GA.

则称集合A是“好集”.给出下列说法：①集合B={—1,0,1}是“好集”；②有理数集Q是“好集”；③设集合

A是“好集”，若xWA,yeA,则x+yGA.

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其中，正确说法的个数是（）

A.OB.lC.2D.3

【答案】C

【解析】①集合B不是“好集”，假设集合B是“好集”，因为一1GB,1GB,所以-1-1=-2GB,这与

—2任B矛盾；②有理数集Q是“好集”，因为OdQ,16Q,对任意的xGQ,ydQ,有x—yGQ,且x#）时,

;SQ,所以有理数集Q是“好集”：③因为集合A是“好集”，所以0WA,若xdA,yEA,则0—y6A,即

一yGA,所以x—（一y）WA,即x+yGA.

【规律方法】

1.进行集合运算时，首先看集合能否化简，能化简的先化简，再研究其关系并进行运算.

2.注意数形结合思想的应用.

（1）离散型数集或抽象集合间的运算，常借助Venn图求解.

（2）连续型数集的运算，常借助数轴求解，运用数轴时要特别注意端点是实心还是空心.

（3）集合的新定义问题：耐心阅读，分析含义，准确提取信息是解决这类问题的前提，剥去新定义、新法则、

新运算的外表，利用所学的集合性质等知识将陌生的集合转化为我们熟悉的集合，是解决这类问题的突破

口.

【训练3】（1）（2019・延安模拟）若全集U={-2,-1,0,1,2},A={-2,2},B={xlx2—1=0},则图中

阴影部分所表示的集合为（）

A.{-1,0,1}0}

C.{-1,1}D.{0}

(2)已知集合A={xlx2—xWO},B={xla—l<x<a},若AClB只有一个元素，则a=()

A.OB.lC.2D.l或2

【答案】(1)D(2)C

【解析】

(1)B={XIX2-1=0}={-1,1),阴影部分所表示的集合为Cu(AUB).AUB={-2,—1,1,2},全集U={-

2,-1,0,1,2],所以CU(AUB)={0}.

(2)易知A=[0,1],因为AC1B只有一个元素，所以a—1=1,解得a=2.

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【反思感悟】

1.集合屮的元素的三个特征，特别是无序性和互异性在解题时经常用到.解题后要进行检验，要重视符号语

言与文字语言之间的相互转化.

2.对连续数集间的运算，借助数轴的直观性，进行合理转化；对已知连续数集间的关系，求其中参数的取值

范围时，要注意单独考察等号能否取到.

3.对离散的数集间的运算，或抽象集合间的运算，可借助Venn图.这是数形结合思想的又一体现.

【易错防范】

1.集合问题解题中要认清集合中元素的属性（是数集、点集还是其他类型集合），要对集合进行化简.

2.空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，时刻关注对空集的讨论，防止漏解.

3.解题时注意区分两大关系：一是元素与集合的从属关系；二是集合与集合的包含关系.

4.Venn图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法，其中运用数轴图示法时要特别注意

端点是实心还是空心.

【分层训练】

【基础巩固题组】（建议用时：30分钟）

一、选择题

1.（2018•全国III卷）已知集合厶=以反一1对},B={0,1,2},则ACB=（）

A.{0}B.{1}C.{1,2}D.{0,1,2}

【答案】C

【解析】由题意知,A={x|x>l},则ACB={1,2}.

2.（2019.滨州模拟）设集合A={1,2,3},B={4,5},M={xlx=a+b,aGA,b《B},则M中元素的个数

为（）

A.3B.4C.5D.6

【答案】B

【解析】因为A={1,2,3},B={4,5},

又乂={*氏=2+1>,aGA,bGB）,

，M={5,6,1,8）,即M中有4个元素.

3.（2019・日照质检）已知全集U={0,1,2,3,4},若厶={0,2,3},B={2,3,4},!illJ（CL.A）n（CuB）=（）

A.0B.{1}C.{0,2}D.{1,4}

【答案】B

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【解析】因为全集U={O,1,2,3,4},A={0,2,3},B={2,3,4),所以4},CL)B={0,

1).因此(CuA)n(CuB)={i}.

4.设集合A={xl—l〈xW2},B={xlx<0},则下列结论正确的是()

A.(CRA)nB={xlx<-l}

B.AnB={x|-l<x<0}

C.AU(CRB)-{X|X>0}

D.AUB={xlx<0}

【答案】B

【解析】易求CRA={x|xS—1或x>2},CRB={X|X刈,

/.(CRA)nB={x|x<-l),A项不正确.

AnB={xl-l<x<0},B项正确，检验C、D错误.

5.已知集合A={XGNIX2-2X-8《)},B={X|2X>8},则集合ACB的子集的个数为()

A.lB.2C.3D.4

【答案】D

【解析】因为A={X《NIX2-2X-8W0}={0,1,2,3,4},B={x|x>3},所以AC1B={3,4},所以集合

AQB的子集个数为4.

6.已知集合乂二支卜二五771},N={xly=log2(2—x)},贝！ICR(MnN)=()

A.[l,2)1)U[2,+oo)

C.[0,1]D.(-8,0)U[2,+OO)

【答案】B

【解析】由题意可得M={x|x*}，N={xlx<2},.•.MnN={x|lWx<2},尸{xlxcl或XN2}.

7.设集合厶={尊，y)lx+y=l},B={(x,y)lx-y=3},则满足MU(ACB)的集合M的个数是()

A.OB.lC.2D.3

【答案】C

x+y=l,[x=2»

【解析】由■得

x—y=3,ly=­l>

...ACIB={(2,-1)}.

由MU(AClB),知乂=0或乂={(2,-1)|.

8.(一题多解)已知集合A={xly=lg(x—X2)},B={xlx2-cx<0,c>0},若AUB,则实数c的取值范围为()

A.(0,1]B.[l,+oo)

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C.(o,1)D.(l,+oo)

【答案】B

【解析】

法一由题意知，A={xly=lg(x—X2)}={xlx-X2>0}={xl0vx<l},B={xlx2—cx〈O,c>O}={xlO<x<c}.由AUB,

画出数轴，如图所示，得*1.

法二A={xly=lg(x—X2)={xlx—X2>O}={xlO<x<I},结合选项,取c=l,得B={xlOvx<l},则AUB成立,

可排除C、D；取c=2,得8=30。<2},则AUB成立,排除A.

二、填空题

9.设集合$=炽心-2)仪一3巨0},T={xlx>0},则(CRS)CT=.

【答案】{xl2vxv3}

【解析】易知S={x|x<2或x>3},

二CRS={XI2<X<3},

因此&S)nT={xl2<x<3}.

10.(2017・江苏卷)已知集合厶={1,2},B={a,az+3},若ACB={1},则实数a的值为.

【答案】1

【解析】由ADB={1}知，1GB,又02+3与，则a=l.

11.(2019•济南质检)已知集合厶={1,3,4,7},B={xlx=2k+I,kGA},则集合AUB中元素的个数为

【答案】6

【解析】VA={1,3,4,7},B={xlx=2k+1,k€A),

，B={3,7,9,15},.,.AUB={1,3,4,7,9,15},

集合AUB中元素的个数为6.

12.集合A={xlx<0},B={xly=lg[x(x+1)]},若A-B={xlxGA,且x任B},则A-B=.

【答案】{xl—l<x<0}

【解析】由题意知,B={xly=lg[x(x+l)]}={xlx(x+l)>O}={xlx<—l或x>0},则A—B={x|—IWXVO).

【能力提升题组】(建议用时：10分钟)

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13.(2018・河南百校联盟联考)若集合厶=3丫=2(3*—*2)},B=1y丫=1+不7xCA1，则AD(CRB)等于

()

A.(0,2]B.(2,3)C.(3,5)D.(—2,-1)

【答案】A

【解析】由3x—x2>0,得0<x<3,则A=(0,3),

，B=(yy=l+^7pXGA]=(2,5),

则C°B=(-8,2]U[5,+OO),故An(CpB)=(O,2].

14.已知集合A={xly=、4—X2},B={x|a<x<a+1},若AUB=A,则实数a的取值范围为()

A.(—oo,-3]U[2,+oo)B.[—1,2]

C.[-2,1]D.[2,+oo)

【答案】C

.2f

【解析】集合A={xly=y4—X2}={x|-2WxW2},因AUB=A,则BUA,又B#0,所以有,十旧所

以一2%W1.

15.已知集合A={(x,y)lx2=4y},B={(x,y)ly=x},则ACB的真子集个数是

【答案】3

X2=4y,[x=0,x=4,

【解析】