2024年新高考数学一轮复习知识梳理与题型归纳第32讲复数教师版

第32讲复数思维导图知识梳理1．复数的有关概念(1)复数的概念：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．若b＝0，则a＋bi为实数；若b≠0，则a＋bi为虚数；若a＝0且b≠0，则a＋bi为纯虚数．(2)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．(3)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．(4)复数的模：向量eq\o(OZ,\s\up7(→))的模r叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝eq\r(a2＋b2).2．复数的几何意义(1)复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R)．(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量eq\o(OZ,\s\up7(→)).3．复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；④除法：eq\f(z1,z2)＝eq\f(a＋bi,c＋di)＝eq\f(a＋bic－di,c＋dic－di)＝eq\f(ac＋bd,c2＋d2)＋eq\f(bc－ad,c2＋d2)i(c＋di≠0)．(2)复数加法的运算定律设z1，z2，z3∈C，则复数加法满足以下运算律：①交换律：z1＋z2＝z2＋z1；②结合律：(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．题型归纳题型1复数的有关概念【例1-1】复数的虚部是A． B． C． D．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：，复数的虚部是．故选：．【例1-2】已知复数满足，且为纯虚数，则A． B． C． D．【分析】由已知可得，，求得，则答案可求．【解答】解：由，且满足，得，①又为纯虚数，，代入①，得．．故选：．【例1-3】已知复数，则的共轭复数等于A．0 B． C． D．【分析】直接根据共轭复数的定义求解即可．【解答】解：因为复数，则的共轭复数；故选：．【跟踪训练1-1】若的实部为，的虚部为，则A．6 B．8 C．7 D．4【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由题意求得与的值，则答案可求．【解答】解：，，，，则．故选：．【跟踪训练1-2】已知复数是纯虚数，则实数A． B． C．0 D．1【分析】把复数化为的形式，再由实部为0且虚部不为0列式求得值．【解答】解：是纯虚数，，解得．故选：．【跟踪训练1-3】已知复数为虚数单位），则的虚部为A． B． C． D．【分析】利用虚部的定义即可得出．【解答】解：由复数为虚数单位），则的虚部为．故选：．【跟踪训练1-4】若复数是纯虚数，其中是实数，则．【分析】由复数是纯虚数，列出方程组，求解可得的值，然后代入求出，进而求得答案．【解答】解：因为复数是纯虚数，其中是实数，所以：且；故；故；所以：；故答案为：．【名师指导】解决复数概念问题的方法及注意事项(1)求一个复数的实部与虚部，只需将已知的复数化为代数形式z＝a＋bi(a，b∈R)，则该复数的实部为a，虚部为b.(2)求一个复数的共轭复数，只需将此复数整理成标准的代数形式，实部不变，虚部变为相反数，即得原复数的共轭复数．复数z1＝a＋bi与z2＝c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．题型2复数的几何意义【例2-1】已知复数满足为虚数单位），则复数在复平面内对应的点所在的象限为A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，求出的坐标得答案．【解答】解：由，得，，在复平面内对应的点的坐标为，，所在的象限为第四象限．故选：．【例2-2】在复平面内，是坐标原点，向量对应的复数是，若点关于实轴的对称点为点，则向量对应的复数的模为．【分析】由已知求得的坐标，得到的坐标，进一步求出向量对应的复数，再由复数模的计算公式求解．【解答】解：向量对应的复数是，，又点关于实轴的对称点为点，．向量对应的复数为，该复数的模为．故答案为：．【跟踪训练2-1】若复数，则复数在复平面内对应的点位于A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【分析】根据复数的几何意义先求出对应点的坐标，然后进行判断即可．【解答】解：复数在复平面内对应的点的坐标为，位于第四象限，故选：．【跟踪训练2-2】复数，则的共轭复数在复平面内所对应的点位于A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【分析】由已知求得，进一步得到的坐标得答案．【解答】解：，，则在复平面内所对应的点的坐标为，位于第一象限．故选：．【跟踪训练2-3】复数满足，则在复平面表示的点所在的象限为A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：由，得；复数在复平面内对应的点的坐标为，，所在的象限为第一象限．故选：．【跟踪训练2-4】已知复数，则在复平面内对应的点位于A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，求出在复平面内对应点的坐标得答案．【解答】解：；在复平面内对应的点的坐标为，，在复平面内对应的点的坐标为，，位于第四象限．故选：．【跟踪训练2-5】已知复数是虚数单位），则复数在复平面内对应的点位于A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，则答案可求．【解答】解：，，复数在复平面内对应的点的坐标为，位于第四象限．故选：．【跟踪训练2-6】已知复数，则的共轭复数在复平面内对应的点位于第象限．【分析】利用虚数单位的运算性质变形，再由共轭复数的概念求得，则答案可求．【解答】解：，，则复数在复平面内对应的点的坐标为，位于第一象限．故答案为：一．【名师指导】1．准确理解复数的几何意义(1)复数z、复平面上的点Z及向量eq\o(OZ,\s\up7(→))相互联系，即z＝a＋bi(a，b∈R)⇔Z(a，b)⇔eq\o(OZ,\s\up7(→)).(2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．2．与复数的几何意义相关问题的一般步骤(1)进行简单的复数运算，将复数化为标准的代数形式；(2)把复数问题转化为复平面内的点之间的关系，依据是复数a＋bi(a，b∈R)与复平面上的点(a，b)一一对应．题型3复数的运算【例3-1】若，则A．0 B．1 C． D．2【分析】由复数的乘方和加减运算，化简，再由复数的模的定义，计算可得所求值．【解答】解：若，则，则，故选：．【例3-2】若，则A． B． C． D．【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，然后利用共轭复数的概念得答案．【解答】解：由，得，．故选：．【例3-3】A． B．4 C． D．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：．故选：．【跟踪训练3-1】A．1 B． C． D．【分析】运用复数的除法运算法则，化简可得所求值．【解答】解：，故选：．【跟踪训练3-2】A． B． C． D．【分析】根据复数的乘法公式计算．【解答】解：，故选：．【跟踪训练3-3】已知复数，则A．2 B．5 C．10 D．18【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由求解．【解答】解：由，得．故选：．【跟踪训练3-4】已知，则A． B． C． D．【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：，．故选：．【名师