2023-2024学年河南省新乡市原阳第一高级中学高一（下）月考数学试卷（3月份）（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年河南省新乡市原阳第一高级中学高一（下）月考数学试卷（3月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则A.(−2,6) B.(−2.在▱ABCD中，G为△ABC的重心，满足A.43 B.53 C.0 3.下列说法正确的是(

)A.若|a|=|b|，则a与b的长度相等且方向相同或相反

B.若|a|=|b|，且a与b的方向相同，则a4.已知|a|=1,|b|=2A.−1 B.−12 C.05.已知a=(1,m)与b=(nA.152 B.163 C.−106.已知非零向量a,b满足|a+2A.π6 B.π4 C.π37.已知平面向量a=(−1,2)，b=A.−2 B.−1 C.(−8.折扇又名“纸扇”是一种用竹木或象牙做扇骨、韧纸或者绫绢做扇面的能折叠的扇子.某折扇如图1所示，其平面图为如图2所示的扇形AOB，其半径为3，∠AOB=150°，点E，F分别在AB，CDA.[−6,152] B.[二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.给出下列四个命题，其中正确的是(

)A.非零向量a，b满足|a|=|b|=|a−b|，则a与a−b的夹角是120°

B.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，A=60°，a=6，若满足条件的△ABC有两个，则b的取值范围为10.设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a,b,c,3(acoA.△ABC的内角B=π3

B.△ABC一定是等边三角形

C.11.在三角形ABC中，令CB=a，AC=b，若a+bA.e1，e2的夹角为π3 B.a=2e1+e23，b12.图形之间没有空隙，也不重复，这种铺法数学上叫做密铺，密铺的图形公共顶点处的角的度数合起来正好是360°，正三角形，正方形，正六边形都可以密铺.如图所示，是一个可密铺的正六边形ABCDEFA.AD⋅AB=|AB|2 B.A三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.已知向量a，b的夹角为60°，|a|=2，|b14.如果平面向量a=(1,−2)b=15.已知tanαtan(α+16.已知平面向量α,β(α≠0,α≠β)满足|β|四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题10分)

已知向量a=(−3,2)，b=(2,1)，c=(3,−1)，18.(本小题12分)

已知向量a=(3sinx,cosx),b=(c19.(本小题12分)

在△ABC中，点P为△ABC所在平面内一点．

(1)若点P在边BC上，且BP=13PC，用AB，AC表示AP；

(220.(本小题12分)

在△ABC中，B=π3，点D在边AB上，BD=1，且DA=DC．

(1)若△21.(本小题12分)

如图，在△ABC中，CA=3，CB=4，∠ACB=60°，CH为AB边上的高．

(1)求CH的长；

22.(本小题12分)▵ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c(1)求(2)若▵ABC为锐角三角形，且c答案和解析1.【答案】A

【解析】解：画出图形如图，

AP⋅AB=|AP||AB|cos<AP,AB>，它的几何意义是AB的长度与AP在AB向量的投影的乘积，显然，P在C处时，取得最大值，|AC|cos∠CAB=|A2.【答案】A

【解析】解：设AB与CD相交于点O，则O为AC，BD的中点，

因为G为△ABC的重心，

所以BG=23BO=23×12BD=13BD=13(A3.【答案】B

【解析】解：对于A，当|a|=|b|时，a与b的长度相等，它们的方向不一定相同或相反，选项A错误；

对于B，当|a|=|b|，且a与b的方向相同时，a=b，选项B正确；

对于C，平面上所有单位向量，如果起点相同，那么其终点在同一个圆上，所以选项C错误；

对于D，当a/​/b时，若4.【答案】A

【解析】解：∵|a|=1,|b|=2,|2a−b|=4，

∴(2a5.【答案】B

【解析】解：因为b⊥c，

所以2n−12=0，解得n=6，

又因为a/​/b，

所以6m=−4，解得m=−23，

6.【答案】C

【解析】解：因为|a+2b|=7|a|=7|b|，

所以|a+2b|27.【答案】D

【解析】解：平面向量a=(−1,2)，b=(2,0)，

所以a8.【答案】D

【解析】解：设∠AOE=θ，则0°≤θ≤150°，

因为AF=AO+OF=AO+13OE，

所以AF⋅O9.【答案】BC【解析】解：对于A，非零向量a，b满足|a|=|b|=|a−b|，

令OA=a，OB=b，

则OC=a+b，BA=a−b，

∵|a|=|b|=|a−b|，

∴四边形OACB为菱形，且△AOB为等边三角形，

∴∠OAB=60°，

∴a与a−b的夹角是60°，故A错误，

对于B，由正弦定理，若满足条件的△ABC有两个，

则bsinA<a<b，即bsinA<6<b，记得6<b<22，

则b的取值范围为10.【答案】AB【解析】解：由题设3(sinAcosC+sinCcosA)=3sin(A+C)=2sin2B，又A+B+C=π，

所以3sinB=2sin2B,sinB>0，故sinB=32，

则11.【答案】AB【解析】解：对于A，设e1，e2的夹角为α，则cosα=e1⋅e2|e1|⋅|e2|=12，所以α=π3，故A正确；

对于B，由a+b=e1，a−2b=e2，得a=2e1+e23，b=e1−e23，故B正确；

对于C，令a=λb，则212.【答案】AB【解析】解：连接AE，AC，AD，BF，BD，CE，CE与AD交于点H，如图所示，

对于A：设正六边形ABCDEF的边长为a，

则|AD|=2a，∠DAB=π3，

所以AD⋅AB=|AD||AB|cos∠DAB=2a2cosπ3=a2=|AB|2，A正确；

对于B：由图易得|AE|=|AC|，直线AD平分角∠EAC，且△ACE为正三角形，根据平行四边形法则有AC+AE=213.【答案】2【解析】【分析】

本题考查向量的数量积，向量的模的应用，属于基础题．

利用向量的数量积公式，向量的模公式即可求出|a【解答】

解：∵向量a，b的夹角为60°，|a|=2，|b|=1，

14.【答案】(−【解析】解：a=(1,−2)b=(−6,3)，

则a+b=(−5,1)15.【答案】2【解析】解：已知tanαtan(α+π4)=−23，整理得3tan2α−5tanα−2=0，

解得tanα=2或−13，

16.【答案】(0【解析】解：令用AB=α、AC=β，如下图所示：

则由BC=β−α，

又∵α与β−α的夹角为120°，

∴∠ABC=60°

又由AC=|β|=1

由正弦定理|α|sinC=|β17.【答案】解：(1)∵a=(−3,2)，b=(2,1)，c=(3,−1)，

∴a【解析】(1)利用求模公式表示出|a+tb|，根据二次函数的性质可得其最小值及相应的t值；

(18.【答案】解：(1)已知向量a=(3sinx,cosx),b=(cosx,cosx)，

则f(x)=a⋅b=3sinxcosx+cos2x=32sin2x+12cos2x+12=sin(【解析】(1)根据数量积的坐标表示并结合二倍角公式和两角和的正弦公式化简求得f(x)的表达式，根据x的范围，结合正弦函数的单调性，即可求得答案；

(2)根据x19.【答案】解：(1)如图：

过点P作PD//CA交AB于点D，PE//BA交AC于点E，

则四边形ADPE为平行四边形，

所以AP=AD+AE，由BP=13PC，

所以ADAB=CPCB=34，即AD=34AB，

同理AEAC=BPBC=14，即AE=14AC，

所以AP=34AB+14AC；

(2)证明：①如图：

延长AP交BC于点F，

因为点P是△ABC的重心，

所以点F为BC的中点，且AP=2P【解析】(1)作辅助线利用向量的平行四边形法则及向量的线性运算即可求解；

(2)①利用重心的概念及向量的线性运算即可证明；②通过向量分解得到sinA：sinB20.【答案】解：(1)因为S△BCD=3，即12BC⋅BD⋅sinB=3，

又因为B=π3，BD=1，所以BC=4．

在△BDC中，由余弦定理得，CD2=BC2+BD2−2BC⋅BD⋅cosB，

即CD2=16+1−2×4【解析】本题主要考查了正弦定理，和差角公式及三角形的面积公式在求解三角形中的应用，属于中档题．

(1)由已知结合三角形的面积公式及余弦定理可求；

21.【答案】解：(1)根据题意得，cos∠ACB=AC2+BC2−AB22AC×BC，

即12=32+42−AB22×3×4，解得AB=13，

因为CH为AB边上的高，

所以S△ABC=12×AC×BC×sin∠ACB=12×AB×CH，

解得CH=63913；

(2)①，由(【解析】(1)先求出AB的长，再利用等面积法求解即可；

(2)①根据