【数学】组合 组合数课件-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

第六章

计数原理6.2排列与组合（2）6.2排列与组合

|组合与组合数知识点必备知识清单破6.2.3组合

6.2.4组合数1.组合一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素作为一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.2.组合数(1)组合数的概念:从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数,叫做从n个不

同元素中取出m个元素的组合数,用符号

表示.组合数还可以用符号

nm

表示.(2)组合数公式:

=

=

=

(n,m∈N*,且m≤n).规定:

=1.知识拓展组合数的性质:

=

;

=

+

.知识辨析1.“从甲、乙、丙3名同学中选出2名去两个乡镇参加社会调查,有多少种不同的选法”是组

合问题吗?2.只要两个组合的元素完全相同,不管元素的顺序如何,这两个组合都是相同的组合吗?3.组合和组合数是同一个概念吗?4.若

=

,则m=p吗?一语破的1.不是.选出的2名同学要被分到不同的两个乡镇,与顺序有关,故不是组合问题,是排列问题.2.是.组合中元素的选取与排序无关.3.不是.组合是指从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素作为一组,它不是一个数,而是具体的

一件事.组合数是指从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数,它是一个

数.4.不一定.若

=

,则m=p或m+p=n.1.组合数的运算关键能力定点破1|组合数的运算与性质定点形式主要适用范围乘积式

=

含具体数字(特别是m是数字)的组合数求值阶乘式

=

含字母的组合数的化简、证明2.组合数性质的应用(1)

=

:当m>

时,计算

转化为计算

会更简单.(2)

=

+

:顺用可将一个组合数拆成两个,逆用可将两个组合数合并为一个,变形应用可为某些项相互抵消提供方便,在解题时要注意灵活运用.典例(1)式子

(n∈N*)可表示为

(

)A.

B.

C.101

D.101

(2)计算

+

+

+…+

+

+

的值为

(

)A.

B.

C.

-1

D.

-1(3)证明:

=

.DC解析

(1)分式的分母是100!,分子是101个连续正整数的乘积,最大的为n+100,最小的为n,故

=101·

=101

.(2)

+

+

+…+

+

+

=

+

+

+

+…+

+

+

-

=

+

+

+…+

+

+

-1=…=

+

-1=

-1.(3)证明:

=

·

=

=

.方法总结

与组合数有关的化简、求值或证明问题,涉及具体数字的可以直接用乘积式计

算,涉及字母的多选用阶乘式计算,计算时还应注意利用组合数的性质简化运算.另外要注意

中m,n的范围,求解后要验证所得结果是否符合题意.分组问题和分配问题是有区别的,前者组与组之间只要元素个数相同,就是不可区分的,

而后者即使两组元素个数相同,但因分配的对象不同,仍然是可区分的.1.分组问题的求解策略2|分组与分配问题定点常见形式处理方法非均匀不编号分组将n个不同元素分成m(m≤n)组,每组元素数

目均不相等,依次记为m1,m2,…,mm,不考虑各

组间的顺序,不管是否分尽,其分法种数N=

·

·

·…·

均匀不编号分组将n个不同元素分成不编号的m(m≤n)组,假

定其中r组元素个数相等,不管是否分尽,其分

法种数为

(其中N为非均匀不编号分组中的分法种数).若再有k组均匀分组,则应再除

以

非均匀编号分组将n个不同元素分成m(m≤n)组,各组元素数

目均不相等,且考虑各组间的顺序,其分法种

数为N·

(其中N为非均匀不编号分组中的分法种数)均匀编号分组将n个不同元素分成m(m≤n)组,其中r组元素

个数相等且考虑各组间的顺序,其分法种数

为

·

(其中N为非均匀不编号分组中的分法种数)2.相同元素分配问题的处理策略(1)隔板法:如果将放有小球的盒子紧挨着成一行放置,那么可看作排成一行的小球的空隙中

插入了若干隔板,相邻两块隔板形成一个“盒”.每一种插入隔板的方法对应着小球放入盒

子的一种方法,此方法称为隔板法.隔板法专门解决相同元素的分配问题.(2)将n个相同的元素分给m个不同的对象(n≥m),有

种方法.可理解为(n-1)个空中插入(m-1)块板.典例1把10个相同的小球全部放入编号分别为1,2,3的三个盒子中,要求每个盒子中的小球数

不小于盒子的编号数,则不同的放法共有

种.解析在编号为2,3的两个盒子中分别放入1,2个小球,这样还剩10-3=7个小球,则问题变为求把7个相同的小球全部放入编号分别为1,2,3的三个盒子中,每个盒子至少放入1

个小球的不同放法的种数,由隔板法可知共有

=15种放法.15典例2按下列要求分配6本不同的书,各有多少种不同的分配方法?(1)甲、乙、丙三人中,一人得1本,一人得2本,一人得3本;(2)分成三份,一份4本,另外两份每份1本.解析

(1)先从6本书中选择1本,有

种方法,再从剩余5本书中选择2本,有

种方法,还剩3本书全选,有

种方法,所以共有

种不同的方法,再在此基础上进行分配,所以共有

=360种不同的分配方法.(2)从6本书中选择4本的方法有

种,从剩余2本书中选择1本的方法有

种,因为在最后2本书的选择中发生了重复,所以不同的分配方法共有

=15(种).1.正确区分“排列”与“组合”元素是否有序是区分排列与组合的重要标志,无序的问题用组合的知识解答,有序的问题用

排列的知识解答.要按元素(或位置)的性质进行分类,按事情发生的过程进行分步.2.排列与组合的综合问题的解题思路(1)先特殊后一般;(2)先组合后排列.3|排列与组合的综合应用定点典例如图,一个正方形花圃被分成5份.

(1)若给这5个部分种植花,要求相邻两部分种植不同颜色的花,现有红、黄、蓝、绿4种颜色

的花,问有多少种不同的种植方法?(2)若在这5个部分中放入7个不同的盆栽,要求每个部分都有盆栽,问有多少种不同的放法?解析

(1)先对A部分种植,有4种不同的种植方法,再对B部分种植,有3种不同的种植方法,然

后对C部分种植,分两类:①若C部分与B部分种植的花的颜色相同,则D部分有2种不同的种植方法,E部分有2种不同的

种植方法,共有4×3×1×2×2=48种不同的种植方法;②若C部分与B部分种植的花的颜色不同,则C部分有2种不同的种植方法,D部分有1种种植方

法,E部分有2种不同的种植方法,共有4×3×2×1×2=48种不同的种植方法.综上,共有48+48=96种不同的种植方法.(2)将7个盆栽分成5组,有两种分法:①分成2、2、1、1、1,有

种分法;②分成3、1、1、1、1,有

种分法.将分好的5组全排列,对应5个部分,则一共有

·

=16800种放法.素养解读排列、组合问题的背景丰富、无特定的模式和规律可循,解题时需认真审题,把握问题

的本质特征,化归为排列、组合的常规模型,从而找到解决对策,提高解题效率,培养逻辑推理

的素养.学科素养情境破通过解决排列与组合问题发展逻辑推理的素养素养例题(多选)某校安排甲、乙、丙、丁、戊5名老师到A,B,C,D四个社区参与志愿活动,下列说

法正确的是

(

)A.每人都只安排到一个社区的不同方法种数为625B.每人都只安排到一个社区,每个社区至少有一人,则不同的安排方法种数为480C.如果D社区不安排,其余三个社区至少安排一人,则这5名老师全部被安排的不同方法种数

为150D.每人都只安排到一个社区,每个社区至少有一人,其中甲、乙不去A社区,其余三名老师四

个社区均可安排,则不同的安排方法种数为126典例呈现CD解题思路对于A,要完成的一件事是“每名老师选一个社区”,因为每名老师有4种选法,所

以不同的安排方法种数为45=1024,故A错误.对于B,将5名老师分成2,1,1,1的四组,再将分好的四组安排到4个社区,所以不同的安排方法种

数为

·

=240,故B错误.对于C,将5名老师分成2,2,1或3,1,1的三组,再将分好的三组安排到A,B,C三个社区,所以不同

的安排方法种数为

+

·

=150,故C正确.对于D,当丙、丁、戊中的一人去A社区时,将其余的4人分成2,1,1的三组,再将其安排到B,C,D

三个社区,则不同的安排方法种数为

·

·

=1