【数学】余弦定理、正弦定理应用举例练习-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

6.4.3.3余弦定理正弦定理应用举例练习题一、选择题1．中国古代四大名楼鹳雀楼，位于山西省运城市永济市蒲州镇，因唐代诗人王之涣的诗作《登鹳雀楼》而流芳后世.如图，某同学为测量鹳雀楼的高度，在鹳雀楼的正东方向找到一座建筑物，高约为，在地面上点C处（B，C，N三点共线）测得建筑物顶部A、鹳雀楼顶部M的仰角分别为和，在A处测得楼顶部M的仰角为，则鹳雀楼的高度约为()A. B. C. D.2．为捍卫国家南海主权,我海军在南海海域进行例行巡逻.某天,一艘巡逻舰从海岛出发,沿南偏东的方向航行40海里后到达海岛B,然后再从海岛B出发,沿北偏东的方向航行了海里到达海岛C,若巡逻舰从海岛A出发沿直线到达海岛C,则航行的方向和路程(单位:海里)分别为()A.北偏东, B.北偏东,C.北偏东, D.北偏东,3．如图,有一古塔,在A点测得塔底位于北偏东方向上的点D处,塔顶C的仰角为,在A的正东方向且距D点60m的B点测得塔底位于北偏西方向上(A,B,D在同一水平面),则塔的高度CD约为()(参考数据:)A.38m B.44m C.40m D.48m4．“忽登最高塔,眼界穷大千．卞峰照城郭,震泽浮云天．”这是苏东坡笔下的湖城三绝之一“塔里塔”飞英塔．某学生为测量其高度,在远处选取了与该建筑物的底端B在同一水平面内的两个测量基点C与D,现测得,,米,在点C处测得飞英塔顶端A的仰角,则飞英塔的高度约是()（参考数据：,,）A.45米 B.50米 C.55米 D.60米5．八一广场是南昌市的心脏地带,八一南昌起义纪念塔是八一广场的标志性建筑,塔座正面镌刻“八一南昌起义简介”碑文,东,西,南三门各有一副反映武装起义的人物浮雕,塔身正面为“八一起义纪念塔”铜胎鎏金大字,塔顶由一支直立的巨型“汉阳造”步枪和一面八一军旗组成．现某兴趣小组准备在八一广场上对八一南昌起义纪念塔的高度进行测量,并绘制出测量方案示意图,A为纪念塔最顶端,B为纪念塔的基座(B在A的正下方),在广场内（与B在同一水平面内）选取C,D两点,测得CD的长为m．已知兴趣小组利用测角仪可测得的角有,,,,,则根据下列各组中的测量数据,不能计算出纪念塔高度的是()A.m,,, B.m,,,C.m,,, D.m,,,6．如图1,《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题:今有竹高一丈,末折抵地,去本三尺,问折者高几何?意思是:有一根竹子,原高一丈(1丈=10尺),现被风折断,尖端落在地上,竹尖与竹根的距离三尺,问折断处离地面的高为尺().A. B. C. D.7．黄金三角形是一个顶角为36°的等腰三角形,其底边与腰长之比是黄金分割比.例如,国旗上的正五角星就是由5个黄金三角形和一个正五边形组成.如图所示：在黄金三角形ABC中,,根据这个信息,可求得的值为()A. B. C. D.8．学校兴趣小组为了测量市民活动中心广场一圆柱状建筑物的高度,在地面上选取相距120米的两点M,N,若在M,N处分别测得圆柱状建筑物的最大仰角为和,则该圆柱状建筑物的高度约为()A.60 B. C.30 D.9．小明同学为了估算位于哈尔滨的索菲亚教堂的高度,在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物AB,高为m,在它们之间的地面上的点M（B,M,D三点共线）处测得楼顶A,教堂顶C的仰角分别是15°和60°,在楼顶A处测得塔顶C的仰角为30°,则小明估算索菲亚教堂的高度为()A.20m B.30m C. D.10．如图，大运塔是扬州首座以钢结构为主体建设的直塔，为扬州中国大运河博物馆的主体建筑之一.小强同学学以致用，欲测量大运塔AB的高度.他选取与塔底B在同一水平面内的两个观测点C，D，测得，，在C，D两观测点处测得大运塔顶部A的仰角分别为，，则大运塔AB的高为()A. B. C. D.11．如图，某建筑物的高度，一架无人机Q上的仪器观测到建筑物顶部C的仰角为，地面某处A的俯角为，且，则此无人机距离地面的高度PQ为()A. B. C. D.12．某艺术爱好者对《蒙娜丽莎》的同比例影像作品进行了测绘.将画中女子的嘴唇近似看作一个圆弧，在嘴角A，C处作圆弧的切线，两条切线交于B点，测得如下数据：，，.根据测量得到的结果推算女子嘴唇视作的圆弧对应的圆心角的范围为()A. B. C. D.13．如图，某人开车在水平公路AB上自东向西行驶，在A处测得山顶P处的仰角，该小车在公路上匀速行驶6分钟后，到达B处，此时测得仰角.已知小车的速度是，且，则下列结论正确的是()①此山的高；②；③；④小车从A到B的行驶过程中观测P点的最大仰角的正切值为.A.①③ B.②③ C.②④ D.①②④二、填空题14．某次海上联合作战演习中，红方一艘侦查艇发现在北偏东方向，相距的水面上，有蓝方一艘小艇正以每小时的速度沿南偏东方向前进，若红方侦查艇以每小时的速度沿北偏东方向拦截蓝方的小艇，若要在最短的时间内拦截住，则角的余弦值为____________.15．某景区为拓展旅游业务,拟建一个观景台P(如图所示),其中AB,AC为两条公路,,M,N为公路上的两个景点,测得,,为了获得最佳观景效果,要求P对的视角.现需要从观景台P到M,N建造两条观光路线PM,PN,且要求观光路线最长.若建造观光路线的宽为5米,每平方造价为100元,则该景区预算需投入___万元可完成改造.16．明孝陵位于江苏省南京市玄武区紫金山南麓独龙阜玩珠峰下,东毗中山陵,南临梅花山,位于钟山风景名胜区内,其占地面积达170余万平方米,是中国规模最大的帝王陵寝之一.明孝陵景区共有8个门,1号门位于植物园路,4号门在1号门的南偏东的492m处,8号门在4号门的东偏北方向,且1号门在8号门的西偏南方向,则1号门到8号门的距离约为______m.(结果精确到整数部分,参考数据:取,,,)17．某同学为了测量学校天文台CD的高度，选择附近学校宿舍楼三楼一阳台A，A到地面的距离AB为，在它们之间的地面上的点M（B，M，D三点共线）处测得阳台A，天文台顶C的仰角分别是和，在阳台A处测得天文台顶C的仰角为.假设AB，CD和点M在同一铅垂面内，则该同学可测得学校天文台CD的高度为__________m.三、解答题18．某日，中国海军护航编队太原舰在A处收到某商船在航行中发出的求救信号后，立即测出该商船在方位角（是从某点的指北方向线起，依顺时针方向到目标方向线之间的水平夹角）为、距离A处为的C处，并测得该商船正沿方位角为的方向，以的速度航行，太原舰立即以的速度前去营救.（1）太原舰最少需要多少小时才能靠近商船？（2）在营救时间最少的前提下，太原舰航行的方位角约是多少？（角度精确到，参考数据：，，.）19．如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西方向的B处，且与岛屿A相距，渔船乙以的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东的方向追赶渔船乙，刚好