新人教A版《空间向量及其运算》同步测试题

新课标高二数学同步测试—〔2－1第三章3.1〕说明：本试卷分第一卷和第二卷两局部，第一卷74分，第二卷76分，共150分；答题时间120分钟．一、选择题：在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内〔每题5分，共50分〕．图1．在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，假设=，=，=.那么以下向量中与相等的向量是〔〕图 A． B． C． D．2．在以下条件中，使M与A、B、C一定共面的是 〔〕 A． B． C． D．3．平行六面体中，AB=4，AD=3，，，，那么等于 〔〕 A．85 B． C． D．504．与向量平行的一个向量的坐标是 〔〕 A．〔，1，1〕 B．〔－1，－3，2〕 C．〔－，，－1〕 D．〔，－3，－2〕5．A〔－1，－2，6〕，B〔1，2，－6〕O为坐标原点，那么向量的夹角是〔〕 A．0 B． C． D．6．空间四边形ABCD中，，点M在OA上，且OM=2MA，N为BC中点，那么= 〔〕 A． B． C． D．7．设A、B、C、D是空间不共面的四点，且满足，那么BCD是 〔〕 A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．不确定8．空间四边形OABC中，OB=OC，AOB=AOC=600，那么cos= 〔 〕 A． B． C． D．09．A〔1，1，1〕、B〔2，2，2〕、C〔3，2，4〕，那么ABC的面积为 〔〕 A． B． C． D．10．，那么的最小值为 〔〕 A． B． C． D．二、填空题：请把答案填在题中横线上〔每题6分，共24分〕．11．假设，，那么为邻边的平行四边形的面积为．12．空间四边形OABC，其对角线为OB、AC，M、N分别是对边OA、BC的中点，点G在线段MN上，且，现用基组表示向量，有=x，那么x、y、z的值分别为．13．点A(1，2，11)、B(4，2，3)，C(6，1，4)，那么ABC的形状是．14．向量，，假设成1200的角，那么k=．三、15．〔12分〕如图，正方体的棱长为a，M为的中点，点N在'上，且，试求MN的长．16．〔12分〕如图在空间直角坐标系中BC=2，原点O是BC的中点，点A的坐标是〔，0〕，点D在平面yOz上，且∠BDC=90°，∠DCB=30°图〔1〕求向量的坐标；图〔2〕设向量和的夹角为θ，求cosθ的值17．〔12分〕假设四面体对应棱的中点间的距离都相等，证明这个四面体的对棱两两垂直．18．〔12分〕四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是一个平行四边形，={2，－1，－4}，={4，2，0}，={－1，2，－1}.〔1〕求证：PA⊥底面ABCD；〔2〕求四棱锥P—ABCD的体积；〔3〕对于向量={x1，y1，z1}，={x2，y2，z2}，={x3，y3，z3}，定义一种运算：〔×〕·=x1y2z3+x2y3z1+x3y1z2－x1y3z2－x2y1z3－x3y2z1，试计算〔×〕·的绝对值的值；说明其与四棱锥P—ABCD体积的关系，并由此猜测向量这一运算〔×〕·的绝对值的几何意义.．19．〔14分〕如下图，直三棱柱ABC—A1B1C1中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA1=2，M、N分别是A1B1、A1〔1〕求的长；〔2〕求cos<>的值〔3〕求证：A1B⊥C1M.20．〔14分〕如图，平行六面体ABCD—A1B1C1D1的底面ABCD是菱形且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=60°〔1〕证明：C1C⊥BD；〔2〕假定CD=2，CC1=，记面C1BD为α，面CBD为β，求二面角α—BD—β的平面角的余弦值；〔3〕当的值为多少时，能使A1C⊥平面C1BD？请给出证明.参考答案一、1．A；解析：=+〔－〕=－++．评述：用向量的方法处理立体几何问题，使复杂的线面空间关系代数化，此题考查的是根本的向量相等，与向量的加法.考查学生的空间想象能力.2．A；解析：空间的四点P、A、B、C共面只需满足且既可．只有选项A．3．B；解析：只需将，运用向量的内即运算即可，．4．C；解析：向量的共线和平行使一样的，可利用空间向量共线定理写成数乘的形式．即．5．C；解析：，计算结果为－1．6．B；解析：显然．7．B；解析：过点A的棱两两垂直，通过设棱长应用余弦定理可得三角形为锐角三角形．8．D；解析：建立一组基向量，再来处理的值．9．D；解析：应用向量的运算，显然，从而得．10．C；二、11．；解析：，得，可得结果．12．；解析：13．直角三角形；解析：利用两点间距离公式得：．14．；解析：，得．三、15．解：以D为原点，建立如图空间直角坐标系．因为正方体棱长为a，所以B〔a，a，0〕，A'〔a，0，a〕，〔0，a，a〕，〔0，0，a〕．由于M为的中点，取中点O'，所以M〔，，〕，O'〔，，a〕．因为，所以N为的四等分，从而N为的中点，故N〔，，a〕．根据空间两点距离公式，可得．16．解：〔1〕过D作DE⊥BC，垂足为E，在Rt△BDC中,由∠BDC=90°,∠DCB=30°，BC=2，得BD=1，CD=，∴DE=CD·sin30°=.OE=OB－BE=OB－BD·cos60°=1－.∴D点坐标为〔0，－〕，即向量OD[TX→]的坐标为{0，－}.〔2〕依题意：，所以.设向量和的夹角为θ，那么cosθ=.17．证：如图设，那么分别为，，，，，，由条件EH=GH=MN得：展开得∴，∵≠，≠，∴⊥〔〕即SA⊥BC．同理可证SB⊥AC，SC⊥AB．18．〔1〕证明：∵=－2－2+4=0，∴AP⊥AB.又∵=－4+4+0=0，∴AP⊥AD.∵AB、AD是底面ABCD上的两条相交直线，∴AP⊥底面ABCD.〔2〕解：设与的夹角为θ，那么cosθ=V=||·||·sinθ·||=〔3〕解：|〔×〕·|=|－4－32－4－8|=48它是四棱锥P—ABCD体积的3倍.猜测：|〔×〕·|在几何上可表示以AB、AD、AP为棱的平行六面体的体积〔或以AB、AD、AP为棱的直四棱柱的体积〕.评述：此题考查了空间向量的坐标表示、空间向量的数量积、空间向量垂直的充要条件、空间向量的夹角公式和直线与平面垂直的判定定理、棱锥的体积公式等.主要考查考生的运算能力，综合运用所学知识解决问题的能力及空间想象能力.图19．如图，建立空间直角坐标系O—xyz.图〔1〕依题意得B〔0，1，0〕、N〔1，0，1〕∴||=.〔2〕依题意得A1〔1，0，2〕、B〔0，1，0〕、C〔0，0，0〕、B1〔0，1，2〕∴={－1，－1，2}，={0，1，2，}，·=3，||=，||=∴cos<，>=.〔3〕证明：依题意，得C1〔0，0，2〕、M〔，2〕，={－1，1，2}，={，0}.∴·=－+0=0，∴⊥，∴A1B⊥C1M.评述：此题主要考查空间向量的概念及运算的根本知识.考查空间两向量垂直的充要条件.20．〔1〕证明：设=，=，=，那么||=||，∵=－，∴·=〔－〕·=·－·=||·||cos60°－||·||cos60°=0，∴C1C⊥BD.〔2〕解：连AC、BD，设AC∩BD=O，连OC1，那么∠C1OC为二面角α—BD—β的平面角.∵〔+〕，〔+〕－∴·〔+〕·［〔+〕－］=〔2+2·+2〕－·－·=〔4+2·2·2cos60°+4〕－·2·cos60°－·2·cos60°=.那么||=，||=，∴