河南省洛阳市2022年高一《数学》上学期期中试卷与参考答案

河南省洛阳市2022年高一《数学》上学期期中试卷与参考答案一、选择题本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A＝{0，2，4，5，6}，B＝{x∈N*|x2﹣4x﹣5＜0}，则集合A∩B＝（）A．{2，4} B．{0，2，4} C．{2，4，5} D．{0，2，4，5}答案：A．2．设A，B是两个集合，则“A⊆B”是“A∪B＝B”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件答案：C．3．命题“p：∃x∈R，使得x2﹣2x+2≤0”的否定是（）A．∀x∈R，使得x2﹣2x+2≤0 B．∀x∈R，使得x2﹣2x+2＜0 C．∀x∈R，使得x2﹣2x+2≥0 D．∀x∈R，使得x2﹣2x+2＞0答案：D．4．下列函数在定义域上既是奇函数又是减函数的是（）A．f（x）＝ B．f（x）＝（）x C．f（x）＝x D．f（x）＝答案：D．5．下列不等式中成立的是（）A．若a＞b＞0，则ac2＞bc2 B．若a＞b＞0，则a2＞b2 C．若a＜b＜0，则a2＜ab＜b2 D．若a＜b＜0，则＜答案：B．6．函数f（x）＝+的定义域为（）A．[1，2）∪（2，3] B．（2，+∞） C．（﹣∞，﹣2）∪（﹣2，1） D．[1，3]答案：A．7．学习了函数的概念后，对于构成函数的要素：定义域、对应关系和值域，甲、乙、丙三个同学得出了各自的判断：甲；存在函数f（x），g（x），它们的定义域相同，值域相同，但对应关系不同；乙：存在函数f（x），g（x），它们的定义域相同，对应关系相同，但值域不同；丙：存在函数f（x），g（x），它们的对应关系相同，值域相同，但定义域不同．上述三个判断中，正确的个数是（）A．3 B．2 C．1 D．0答案：B．8．函数f（x）＝x﹣的图象大致为（）A． B． C． D．答案：C．9．若＜（）n＜（）m＜1，则（）A．mn＜mm＜nm B．mm＜nm＜mn C．mm＜mn＜nm D．mn＜nm＜mm答案：A．10．已知关于x的不等式﹣x2+3ax﹣2a2≥0（a＞0）的解集为[m，n]，则m+n+的最小值是（）A．4 B．2 C．2 D．2答案：D．11．已知函数f（x）＝若f（x）在R上单调递增，则实数a的取值范围为（）A．[﹣，﹣] B．[﹣2，﹣] C．（﹣∞，﹣2] D．[﹣，﹣2]答案：D．12．已知函数f（x）（x∈R）满足：f（x+2）是偶函数，若函数y＝|x2﹣4x﹣5|与函数y＝f（x）图象的交点为（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn），则横坐标之和x1+x2+…+xn＝（）A．4n B．2n C．n D．2答案：B．二.填空题本题共4个小题，每小题5分，共2O分，13．函数y＝ax+2（a＞0且a≠1）图象一定过点（0，3）．答案为：（0，3）．14．已知函数f（x）＝，则f（f（﹣3））＝5．答案为：5．15．若正数a，b满足ab＝a+b+3，则ab的取值范围是[9，+∞）．答案为：[9，+∞）16．对于函数f（x）＝．给出了下列结论：①f（x）的图象关于y轴对称；②对∀x1，x2∈（﹣1，1），x1≠x2，有＜0；③f（x）的值域为R；④方程f（x）﹣x3＝0有3个实根．其中正确的结论有②③④．（填序号）故答案为：②③④．三、解答题本大题共6个小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（1）计算（﹣2）0+（×）6+（）；（2）若x+x＝，求的值．答案：（1）原式＝1+32×23+＝1+72+2＝75．（2）∵x+x＝，∴＝x+2+x﹣1＝5，∴x+x﹣1＝3，∴（x+x﹣1）2＝x2+x﹣2+2＝9，∴x2+x﹣2＝7，∴＝＝．18．已知函数f（x）＝（a2﹣a﹣1）xa（a是常数）为幂函数，且f（x）在（0，+∞）上单调递增．（1）求f（x）的表达式；（2）判断函数g（x）＝在（2，+∞）上的单调性，并用定义证明．答案：（1）∵函数f（x）＝（a2﹣a﹣1）xa（a是常数）为幂函数，且f（x）在（0，+∞）上单调递增，∴a2﹣a﹣1＝1且a＞0，求得a＝2，故f（x）＝x2．（2）∵函数g（x）＝＝x+，∴g′（x）＝1﹣，显然，在（2，+∞）上，g′（x）＝1﹣＞0故函数g（x）为增函数．证明：设x2＞x1＞2，则g（x2）﹣g（x1）＝（x2﹣x1）+（﹣）＝（x2﹣x1）（1﹣），由题意，x2﹣x1＞0，0＜＜1，1﹣＞0，∴（x2﹣x1）（1﹣）＞0，即g（x2）＞g（x1），故g（x）＝在（2，+∞）上的单调递增．19．已知集合A＝{x|x2﹣3x+2≤0}．集合B＝{y|y＝（）x，x＞k}，（1）当k＝﹣1时，求A∪B；（2）若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，求k的取值范围．答案：（1）当k＝﹣1时，B＝{y|y＝（）x，x＞k}＝{y|0＜y＜2}，∵A＝{x|x2﹣3x+2≤0}＝{x|1≤x≤2}，∴A∪B＝{x|0＜x≤2}．（2）B＝{y|y＝（）x，x＞k}＝{y|0＜y＜}，∵x∈A是x∈B的充分不必要条件，∴A⊊B，∴＞2，∴k＜﹣1，∴k的取值范围为（﹣∞，﹣1）．20．已知函数y＝f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≤0时，f（x）＝x2+2x．（1）求函数f（x）的解析式；（2）在坐标系中画出函数f（x）的图象；（3）若函数f（x）在区间[﹣1，m﹣3]上单调递增，求实数m的取值范围．答案：（1）函数y＝f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≤0时，f（x）＝x2+2x，可得x＞0，﹣x＜0，f（x）＝﹣f（﹣x）＝﹣（x2﹣2x）＝2x﹣x2．所以f（x）＝；（2）由分段函数的图象画法，可得f（x）的图象：（3）由f（x）的图象可得f（x）的增区间为[﹣1，1]，若函数f（x）在区间[﹣1，m﹣3]上单调递增，可得﹣1＜m﹣3≤1，解得2＜m≤4，则实数m的取值范围是（2，4]．21．随着科技的发展，移动互联已进入全新的5G时代．远程实时遥控已成为现实．某无人机生产厂家计划在2022年将新术应用到生产中去，经过市场调研分析，生产某种型号的无人机全年需投入固定成本300万元．每生产x千台无人机，需投入成本G（x）万元，且G（x）＝由市场调研知，每台无人机售价为0.6万元，且全年内生产的无人机当年能全部售完．（1）求出2022年的利润W（x）（万元）关于年产量x（千台）的函数关系式（利润＝销售额﹣成本）；（2）2022年产量为多少时，该厂家所获利润最大？最大利润为多少？答案：（1）当0＜x＜50时，W（x）＝600x﹣（5x2+200x）﹣300＝﹣5x2+400x﹣300，当x≥50时，W（x）＝600x﹣（602x+﹣9000）﹣300＝﹣2x﹣+8700，∴W（x）＝，（2）当0＜x＜50时，W（x）＝﹣5（x﹣40）2+7700，当x＝40时，W（x）＝7700，当x≥50时，W（x）＝﹣2x﹣+8700＝﹣2（x+）+8700≤﹣4+8700＝8300，当且仅当，x＝，即x＝100时，等号成立，W（x）max＝8300，∵8300＞7700，所以2022年产量为100千台时，厂家所获利润最大，最大利润为8300万元．22．已知函数g（x）是指数函数，且该函数的图象过点（﹣1，），设f（x）＝是定义在R上的奇函数．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若集合{x|f（x）＝a}≠∅，求实数a的取值范围；（3）若对任意的x∈[0，+∞），不等式f（g2（x）+2kg（x））+f（﹣2g2（x）﹣4）＞0恒成立，求实数k的取值范围．（其中g²（x）＝g（x）•g（x））．答案：（1）设g（x）＝ax（a＞0且a≠1），因为函数g（x）的图象过点（﹣1，），则，解得a＝2，所以g（x）＝2x，则，因为f（x）为奇函数，且定义域为R，则f（0）＝0，即解得m＝1，所以f（x）＝，经检验，f（x）为奇函数，故f（x）＝；（2）因为集合{x|f（x）＝a}≠∅，所以关于x的方程f（x）＝a有解，令t＝2x＞0，则f（x）＝a等价于，解得，所以＞0解得﹣1＜a＜1，故实数a的取值范围为（﹣1，1）；（3）因为g（x）＝2x，则不等式f（g2（x）+2kg（x））+f（﹣2g2（x）﹣4）＞0，即f（22x+2k•2x）+f（﹣