专题1.6立体几何的最值、范围问题（强化训练）

题型一数量积的最值范围范围题型二面积、体积的最值范围问题题型三夹角的最值范围问题题型四距离的最值范围问题题型一数量积的最值范围范围=5，AD=AB=4，M，N，P分别是棱C1D1，BC，CC1上的点，31-------的最小值为()255--------------取值范围是()3多选）已知MN是正方体内切球的一条直径，点P在正方体表面上运动，正方体的棱长是2，则.的取值可为()34．《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.在如图所示的鳖臑A一BCD中，ABL平面BCD，ZBDC=90O，BD=2AB=2CD=2，E是BC的中点，H是ΔABD内的动点（含边界且EHⅡ平面ACD，则.的取值范围是()5多选）如图，已知正方体ABCD一A1B1C1D1的棱长为2，E,F分别是棱BC,CC1的中点，P是侧面BCC1B1内（含边界）的动点，则下列说法正确的是()A．若直线A1P与平面AEF平行，则三棱锥P一AEF的体B．若直线A1P与平面AEF平行，则直线A1B1上存在唯一的点Q，使得DQ与A1P始终垂直=，则EP的最小值为16．一个长方体的棱长分别为1,1,，MN是该长方体外接球的一条直径，点P是长方体表面上的一个动点，则.的取值范围是.（1）当点P运动到C1D1中点时，AP.AC的值为；（2）当点P运动时，AP.AC的最大值为.8．已知球O是棱长为1的正四面体的内切球，AB为球O的一条直径，点P为正四面体表面上的一个动点，则.的取值范围为.题型二面积、体积的最值范围问题9．如图，已知四棱锥P一ABCD中，正三角形PAB的边长为2，ADL平面PCD,BC//AD，且BC=2AD，则四棱锥PABCD的体积的最大值为()为8π,则三棱锥S一ABC体积的最大值为()A2BCDA2BCD11．已知底面为矩形的直四棱柱高为4，体积为16，各顶点都在一个球面上，则这个球的体积的最小值是99212．已知一个圆锥的侧面展开图是半径为4，圆心角为的扇形，将该圆锥加工打磨成一个球状零件，则该零件表面积的最大值为.13．如图，在四棱锥P一ABCD中，底面ABCD是平行四边形，DBLAB，AB体PBCD的外接球的球心为O，M为球O表面上的一个动点，当ZMAO取最大值时，四面体MABD体积的最大值为.14．一个圆锥母线与底面所成的角为30。，体积为8π,过圆锥顶点的平面截圆锥，则所得截面面积的最大值为.15．如图，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，E为B1C1的中点，M为AB上靠近A的三等分点，N为A1B1上靠近B1的三等分点.(1)证明：平面A1MC//平面BEN.(2)若CM平面ABB1A1，BEAB1，CC1与平面ABB1A1的距离为x，A1C=8，AB1=12，三棱锥A1-ACM的体积为y，试写出y关于x的函数关系式.(3)在（2）的条件下，当x为多少时，三棱锥A1-ACM的体积取得最大值？并求出最大值.是上的动点.(1)求圆柱的侧面积S；(2)求四棱锥P-ABCD的体积V的最大值.题型三夹角的最值范围问题17多选）如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1=1，点P满足=λ+μ,其中λ=[0,1]，B．当μ=1时，三棱锥P-A1BC的体积为定值C．当λ+μ=1时，直线BB1和AP所成的角的取值为,D．当λ=1时，直线BP与平面ACC1A1所成角的正弦值范围是,18多选）如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，G为面对角线A1D上的一个动点（包含端点则下列选项中正确的有()A．三棱锥B1-GBC1的体积为定值B．线段A1D上存在点G，使A1CL平面GBC1C．当点G与点A1重合时，二面角G-BC1-B1的余弦值为63D．设直线BG与平面BCC1B1所成角为θ,则tanθ的最大值为√2---A．PQ的最小值是---C．当x=y时，PB与PQ所成角可能为D．当x+y=1时，AB与平面PAQ所成角正弦值的最大值为620多选）在棱长为1的正方体ABCD一A1B1C1D1中，点E为BC的中点，点P，Q分别为线段BD1，AD上A．ACLDPB．平面DEP可能经过顶点C1C．PQ的最小值为D．ZAPC的最大值为21．如图（1）所示，在ΔABC中，AB=4，BC=(1)求点D到面PEC的距离；(2)求四棱锥P一BCED外接球的体积；(3)点Q为一动点，满足=λ(0<λ<1)，当直线BQ与平面PEC所成角最大时，试确定点Q的位置.22．如图，在三棱台ABC-A1B1C1中侧面B为等腰三角形，AB=AC=5,O为BC的中点.(1)证明：平面ABCL平面AOM；(2)记二面角A-BC-B1的大小为θ.①当θ=时，求直线BB1与平面AA1C1C所成角的正弦值.②当θE,时，求直线BB1与平面AA1C1C所成角的正弦的最大值.23．如图，在三棱锥A-BCD中，ZBCD=90。,AB=AC=AD,BD的中点为G.(1)证明：直线AGL平面BCD；(2)若BD=2,BC=1，当直线AB与平面ACD所成的角最大时，求三棱锥A-BCD的体积.24．已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面AA1B1B为正方形，AB=BC，E，F分别为AC和CC1的中点，D为棱A1B1上的动点.BFLA1B1.(1)证明：BFLDE；(2)求平面BB1C1C与平面DEF所成的二面角正弦值的最小值及此时点D的位置.题型四距离的最值范围问题25．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2，动点P在体对角APC距离的最大值为()26．如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，则线段AD1上的动点P到直线A1C1的距离的最小值为27多选）在长方体ABCD一A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2，动则下列结论正确的有()A．顶点B到平面APC的最大距离为222B．存在点P，使得BD1L平面APCC．AP+PC的最小值D．当P为BD1中点时，ZAPC为钝角28多选）已知正方体ABCD一A1B1C1D1，的棱长为2，E为AA1的中点，平面a过B，C1，E三点，则()A．CD与平面a平行B．平面A1B1CD与平面a垂直C．平面a截正方体所得截面面积为92D．正方体的顶点到平面a的距离最大值29多选）长方体ABCD一EFGH中，AB=2，BC=BF=1，P是线段FG上一动点，则P到平面ACH的距离不可能是() 230．如图，在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在线段D1E上，点Р到直线CC1的距离的最小值为.31．如图，AB是底面圆O的直径,点C是圆O上异于A、B的点，PO垂直于圆O所在的平面，且题型一数量积的最值范围范围题型二面积、体积的最值范围问题题型三夹角的最值范围问题题型四距离的最值范围问题题型一数量积的最值范围范围=5，AD=AB=4，M，N，P分别是棱C1D1，BC，CC1上的点，31-------的最小值为()25525【答案】A【分析】建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出平面MPN的法向量=(4,3,2)，设出Q(s,t,0)，根据24s24t2【详解】以D作坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，设平面MPN的法向量为=(x,y,z)，24s24t-------=s=s221024t441,44125-------441.QD1取得最小值，最小值为25.-------中，底面边长AB=1，AA1-------取值范围是()【答案】B---【分析】取AC1中点O，将所求数量积转化为2一2，根据PO的取值范围可求得结果.---【详解】取AC1中点O，22，：当P为侧面ABB1A1中点时，min=；PO的最大值为体对角线的一半1，，：2-2e-,0，即.的取值范围为-,0.【点睛】关键点点睛：本题考查立体几何中的向量数量积问题的求解，解题关键是通过转化法将问题转化为向量模长最值的求解问题，进而通过确定向量模长的最值来确定数量积的取值范围.3多选）已知MN是正方体内切球的一条直径，点P在正方体表面上运动，正方体的棱长是2，则.的取值可为()3【答案】BC---【分析】根据给定条件，令正方体内切球的球心为O，利用空间向量数量积将.化为PO的函数，即---可求出其范围作答.【详解】令正方体内切球的球心为O，MN为球O的直径，则OM=ON=1，=-，---而点P在正方体表面上移动，则当P为正方体顶点时，POmax=，------当P为内切球与正方体表面相切的切点时，POmin=1，于是得2-1e[0,2]，---所以.的取值范围为[0,2]，选项B、C满足，A、D不满足.故选：BC4．《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.在如图所示的鳖臑A-BCD中，ABL平面BCD，ZBDC=90。，BD=2AB=2CD=2，E是BC的中点，H是ΔABD内的动点（含边界且EHⅡ平面ACD，则.的取值范围是()【答案】B【分析】设F，G分别为AB，BD的中点，连接FG，EF，EG，则FG//AD，EF//AC，根据面面平行的判定定理可得平面EFG//平面ACD，由线面垂直的判定定理可得CDL平面ABD，进而有EGLFG，cosZEFG=，结合空间向量的数量积运算即可求解.【详解】设F，G分别为AB，BD的中点，连接FG，EF，EG.易得FG//AD，EF//AC，因为FG,EFÌ平面EFG，AD,AC仁平面ACD，FGnEF=F，ADnAC=A，所以平面EFG//平面ACD.因为EH//平面ACD，所以H为线段FG上的点.由ABL平面BCD，CD仁平面BCD，得ABLCD，FG.EF因为EG//CD，所以EGL平面ABD，EGLFG，cosZEFG=FG.EF2---2---------2---------.=2EF2EF.FHcosZEFG=2EF---2---------2---------.---「1------「11---「1------「115多选）如图，已知正方体ABCD一A1B1C1D1的棱长为2，E,F分别是棱BC,CC1的中点，P是侧面BCC1B1内（含边界）的动点，则下列说法正确的是()A．若直线A1P与平面AEF平行，则三棱锥P一AEF的体积为B．若直线A1P与平面AEF平行，则直线A1B1上存在唯一的点Q，使得DQ与A1P始终垂直=，则EP的最小值为√51【答案】ABC【分析】取棱BB1,B1C1的中点N,M，连接A1M,A1N，进而证明平面A1MN//平面AEF得P的轨迹即为线段MN，再讨论AB选项即可得判断；当A1P=时，点P的轨迹为以B1为圆心，1为半径的圆在平面BCC1B1内的圆弧，再分别讨论CD选项即可.【详解】解：取棱BB1,B1C1的中点N,M，连接A1M,A1N,ME,BC1，因为棱BB1,B1C1的中点N,M，E,F分别是棱BC,CC1的中点，所以MN//BC1//EF，ME//BB1,ME=BB1，所以，四边形A1MEA为平行四边形，所以A1M//AE，因为A1M,MN仁平面AEF，AE,EF仁平面AEF，所以A1M//平面AEF，NM//平面AEF，因为A1MnMN=M,A1M,MN仁平面A1MN，所以平面A1MN//平面AEF，所以，直线A1P与平面AEF平行，P的轨迹即为线段MN，故对于A选项，故A正确；，对于B选项，要使得DQ与A1P始终垂直，则DQL面A1MN，故如图建立空间直角坐标系，则--------------------------------------------------所以，直线A1B1上存在唯一的点Q（A1B1中点使得DQ与A1P始终垂直，故B正确；所以点P的轨迹为以B1为圆心，1为半径的圆在平面BCC1B1内的圆弧，对于D选项，------------所以，.的最大值为2，故D错误.故选：ABC6．一个长方体的棱长分别为1,1,，MN是该长方体外接球的一条直径，点P是长方体表面上的一个动点，则.的取值范围是. (1)2()2(1)29 (1)2()2(1)29x2+y2+z2看作长方体表面上点到,,距离的平方，通过分析几何体的性质可得距离的最值，进而求得.的取值范围.【详解】解：因为MN是长方体外接球的一条直径，以AB,AD,AA1方向为x,y,z轴建立空间直角坐标系如图所示，，1x,y,1z)2x+y2y2z(1)2()2(1)29(1)2()2(1)29而x2+y2+z2可看作长方体表面上点到,,距离的平方，由长方体的对称性可知，此点为长方体各个面的面对角线中点时，距离最短，(1)2()2(1)2()27(1)2()2(1)2()27故x-2+y-2+z-2-in(1)2()2(1)291719(1)2()2(1)291719当x=0,y=0,z=0时取等号，此时点P在ABCD平面内，即所求的范围是[-2,0].故答案为：[-2,0]7．已知P是棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1内（含正方体表面）一动点.（1）当点P运动到C1D1中点时，AP.AC的值为；（2）当点P运动时，AP.AC的最大值为.【分析】空1：以D为坐标原点建立空间直角坐标系，写出相关点坐标，得到,，计算即可.空2：利用向量点乘的几何意义，转化为投影最值问题，即可得到答案.【详解】空1：以D为坐标原点，DA,DC,DD1所在直线为x,y,z轴建立如图所示空间直角坐标系，∵P为C1D1------------------|AP------------------|AP||AC|---------|AP|cos<AP,AC>是向量在---------所以当P在C1位置时，投影最大，AP.AC的最大值为:22故答案为28．已知球O是棱长为1的正四面体的内切球，AB为球O的一条直径，点P为正四面体表面上的一个动点，则.的取值范围为.【分析】利用等体积法求出内切球的半径，以及正四面体中内切球球心到顶点的距离，从而可得【详解】如图所示，在边长为1的正四面体CDEF中，设四面体内切球球心为O，内切球半径为r，取EF中点为G，CDF+V0一CEFDEF， 根S△DEF因为点P为正四面体表面上的一个动点，2---2---------------21---2---------------212题型二面积、体积的最值范围问题9．如图，已知四棱锥P一ABCD中，正三角形PAB的边长为2，ADL平面PCD,BC//AD，且BC=2AD，则四棱锥PABCD的体积的最大值为()【答案】B【分析】连接AC可得VP一ABCD=3VP一ACD，设AD=a，取PC的中点E，可得DE2，利用基本不等式可得答案.【详解】连接AC，因为ADL平面PCD,BC//AD，且BC=2AD，可得PD=4AD2=4a2，CD=AB2BC取PC的中点E，连接DE，可得DELPC，44a2PBPB2BC2444a2,所以VP__ACD=VA_PCD=S‘PCDAD=XPCXDEXAD=a<=， 当且仅当1_a2=a2即a=等号成立，此时四棱锥P_ 2【点睛】关键点点睛：本题的解题关键点是求出VP__ACD=VA_PCD=S‘PCDAD=XPCXDEXAD，考查了显示的空间想象能力、运算能力.为8π,则三棱锥S_ABC体积的最大值为()A2BCDA2BCD【答案】D【分析】依题意可得AB即为三棱锥S_ABC外接球的直径，设AB的中点为O，则O即为球心，设AC=b，BC=a，即可得到a2+b2=8，利用基本不等式求出‘ABC面积最大值，再由SA=SB=SC可得此时SOL平面ABC，即可求出锥体的体积最大值.【详解】设三棱锥S_ABC外接球的半径为R，则4πR2=8π,解得R=，‘ABC为直角三角形，则‘ABC外接圆的直径即为直角三角形的斜边AB，即‘ABC外接圆的半径r=，所以‘ABC为外接球中的大圆，AB即为三棱锥S_ABC外接球的直径，设AB的中点为O，则O即为球心，2即(S‘ABC)max22则‘SCO≌‘SAO且‘SAO≌‘SBO，所以ZSOB=ZSOA，则SOLAB且SOLCO，ABnCO=O，AB,CO仁平面ABC，所以SOL平面ABC，所以SO=AB=，即三棱锥SABC体积的最大值为.11．已知底面为矩形的直四棱柱高为4，体积为16，各顶点都在一个球面上，则这个球的体积的最小值是992【答案】A【分析】设底面矩形的长为a(a>0)、宽为b(b>0)，外接球的半径为R，依题意可得ab=4，且22222R=a+b+4，利用重要不等式求出R2222又长方体的体对角线即为外接球的直径，所以(2R)2=a2+b2+42，即4R2=a2+b2+164πR33所以R之，即外接球的半径最小值为√6，4πR33212．已知一个圆锥的侧面展开图是半径为4，圆心角为π的扇形，将该圆锥加工打磨成一个球状零件，则该2零件表面积的最大值为.【答案】【分析】运用扇形的弧长公式可求得圆锥半径，结合等面积法可求得三角形的内切圆半径，进而求得圆锥内切球的表面积.【详解】由题意知，该圆锥的母线长为l=4，设圆锥底面圆半径为R，高为h，如图所示，圆锥PO内切球的半径等于‘PAB内切圆的半径，设‘PAB的内切圆圆心为O1，半径为r，由S‘PAB=S‘PAO+S‘PBO+S‘ABO得，x2x=x4r+x4r+x2r，解得r=.所以该球状零件表面积的最大值为4πr2=.故答案为：.13．如图，在四棱锥P一ABCD中，底面ABCD是平行四边形，DBLAB，AB体PBCD的外接球的球心为O，M为球O表面上的一个动点，当ZMAO取最大值时，四面体MABD体积的最大值为.【答案】4/【分析】根据题意，由条件可得ZMAO取最大值时ZAMO=90O，由余弦定理即可得到AO，然后过M作MHLAO，即可得到MH，从而得到结果.【详解】依题可得，四面体P一BCD的外接球的球心O为BC中点，外接球半径r=，要使ZMAO取到最大值，则∴sinZMAO=∴AM=AOAO2一r2过M作MHLAO，垂足为H，所以点M在以H为圆心MH为半径的圆上，∴四面体M一ABD体积的最大值为.SΔABD.MH=..2.2.=.故答案为：.14．一个圆锥母线与底面所成的角为30。，体积为8π,过圆锥顶点的平面截圆锥，则所得截面面积的最大值为.【答案】8【分析】设圆锥的顶点为S，底面圆心为O，过圆锥顶点S的平面截圆锥所得截面为SAB，根据ZSAO=30。，圆锥体积为8π,求出OA=2，再用OE表示截面面积，根据二次函数知识可求出结果.【详解】设圆锥的顶点为S，底面圆心为O，过圆锥顶点S的平面截圆锥所得截面为SAB，E为AB的中点，则OELAB，ZSAO=30。，SO=OA，31 1 3,2，2422所以当OE2=4，OE=2时，SΔSAB取得最大值为8.故答案为：8.15．如图，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，E为B1C1的中点，M为AB上靠近A的三等分点，N为A1B1上靠近B1的三等分点.(1)证明：平面A1MC//平面BEN.(2)若CML平面ABB1A1，BELAB1，CC1与平面ABB1A1的距离为x，A1C=8，AB1=12，三的体积为y，试写出y关于x的函数关系式.(3)在（2）的条件下，当x为多少时，三棱锥A1一ACM的体积取得最大值？并求出最大值.【答案】(1)证明见详解2(2)y=1x64x2,xe(0,8)2【分析】（1）根据线面、面面平行的判定定理分析证明；（2）根据题意可知AB1L平面A1MC，进而可得AB1LA1M，结合锥体的体积公式运算求解；（3）整理得y=-(x2-32)2+1024,xe(0,8)，结合二次函数分析求解.【详解】（1）由题意可得：A1N=BM，A1N//BM，则A1NBM为平行四边形，可得A1M//BN，且A1M仁平面A1MC，BN仁平面A1MC，所以BN//平面A1MC，取A1N的中点F，连接C1F,MF，因为E,N分别为B1C1,B1F的中点，则EN//C1F，又因为A1F=AM，A1F//AM，则AA1FM为平行四边形，可得AA1//FM，AA1=FM，且AA1//CC1，AA1=CC1，则CC1//FM，CC1=FM，可得CC1FM为平行四边形，则CM//C1F，故CM//EN，且CM仁平面A1MC，EN仁平面A1MC，所以EN//平面A1MC，BNIEN=N，BN,EN仁平面BEN，所以平面A1MC//平面BEN.（2）因为CML平面ABB1A1，A1M仁平面ABB1A1，则CMLA1M，且CC1//平面ABB1A1，则CM=x，可得A1M=A1C2-CM2=64-x2,xe(0,8)，且CM//EN，则ENL平面ABB1A1，AB1仁平面ABB1A1，可得ENLAB1，且BELAB1，ENIBE=E,EN,BE仁平面BEN，所以AB1L平面BEN，又因为平面A1MC//平面BEN，则AB1L平面A1MC，A1M所以三棱锥A1-ACMxxx3xxx3x6464-x2 22464x=64xx=2y取到最大值ymax=、当x2C是上的动点.(1)求圆柱的侧面积S；(2)求四棱锥P一ABCD的体积V的最大值.【答案】(1)2π(2)94【分析】（1）利用余弦定理求出BD，再利用正弦定理求出圆柱底面半径为r，进而求出结果；（2）利用余弦定理结合基本不等式求出BC.CD<7，再利用体积公式求出结果.由余弦定理，得BD2=AB2+AD2-2AB.ADcosZBAD=7，由余弦定理，得BD2=BC2+CD2-2BC.CDcosZBCD2222所以四棱锥P-ABCD的体积，V故四棱锥P-ABCD的体积VP-ABCD的最大值为.题型三夹角的最值范围问题17多选）如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1=1，点P满足=λ+μ,其中λ=[0,1]，B．当μ=1时，三棱锥P-A1BC的体积为定值C．当λ+μ=1时，直线BB1和AP所成的角的取值为,1|D．当λ=1时，直线BP与平面ACC1A1所成角的正弦值范围是,【答案】ABD------【分析】对于选项A，建立空间直角坐标系，通过计算得到BP.AB1=0，从而得到AB1LBP，进而判断出选项A正确；对于选项B，利用条件确点P的位置，再利用等体法即可判断选项的正误；对于选项C，利用空间直角坐标系，将线线角转化成两向量所成角来求解，------------------1cos------1=，再利用t的取值范围即可求出结果，从而判断出选项的正误；对于选项D，根据条件，确定点P的运动轨迹，取AC中点M点，从而得到ZBPM为BP与平面ACC1A1所成的角，进而可求出sinZBPM的最大值和最小值.【详解】选项A，当λ=1且μ=时，P为CC1的中点，取BC中点O，B1C1中点O1，连AO,OO1，因为三棱柱ABC-A1B1C1为正三棱柱，所以AOLBC，建立如图1所示的空间直角坐标系，则B(0,,0)，A(,0,0)，P(0,-,)，B1(0,,1)，所以AB1LBP，所以选项A正确.选项B，当μ=1时，P为B1C1的上的动点，因为VP-ABC=VA-PBC，又易知SΔPBC=x1x1=A1到平面BCC1B1的距离为332所以VP-A1BC=VA1-PBC=xx=，所以选项B正确. 22-+2212-+2212------1cos------1------------------------1t122e(0]所以cos,e[0,]，所以直线B1B与AP所成角的范围为,，所以选项C不正确.选项D，当λ=1时，则P为CC1的上的动点，如图2，取AC中点M点，BMlAC，又三棱柱ABC-A1B1C1为正三棱柱，所以BMl平面ACC1A1，则ZBPM为BP与平面ACC1A1所成的角，在RtΔBMP中，BM=为定值，又sinZBPM=,BMBC所以BP与平面ACC1A1所成的最大角为ZBCM，此时sinZBCMBMBC 2 最小角为ZBC1M，此时sinZBC1M==46．所以选项D正确.故选：ABD.【点睛】关键点晴：本题的关键在于利用平面向量基本定理和向量的几何运算确定各个选项中点P的位置，再利用向量法或几何法来处理.18多选）如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，G为面对角线A1D上的一个动点（包含端点则下列选项中正确的有()B．线段A1D上存在点G，使A1CL平面GBC1的余弦值为63D．设直线BG与平面BCC1B1所成角为θ,则tanθ的最大值为√2【答案】ABD【分析】对于A选项，利用等体积法判断；对于B、C、D三个选项可以建立空间直角坐标系，利用空间向量求解.易得平面ADD1A1//平面BCC1B1，DCL平面BCC1B1，所以G到平面BCC1B1的距离为定值DC，又SΔBBC为定值，所以三棱锥B1一GBC1体积为定值，故A正确.对于B，如图所示，以D为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，所以所以 所以对于C，当点G与点A1重合时，此时G(1,0,1)，-------- 设=(0,1,0)L平面BB1C1，设二面角G-BC1-B1所成角为Q，m.pp3设直线BG与平面BCC1---BG.---BG.p.p1 2λ2-2λ+2122λ-2+2因为y=sinx,y=tanx在0,上单调递增，所以当sinθ取得最大值时，tanθ取得最大值，当λ=时，(sinθ)max=1332 所以(tanθ)max=，所以D正确故选：ABD.---A．PQ的最小值是---B．当x=1时，三棱锥P-ADQ的体积为定值C．当x=y时，PB与PQ所成角可能为333D．当x+y=1时，AB与平面PAQ所成角正弦值的最大值为【答案】ABD6【分析】根据向量关系可得Q为正方形ABCD内的点(包括边界)，设ACnBD=O，根据正棱锥的性质结合------条件可得PQ>PO判断A，根据棱锥的体积公式结合条件可判断B，根据线面角的求法结合条件可判断C，------利用坐标法表示出线面角，然后利用导数求最值可判断D.所以Q为正方形ABCD内的点(包括边界)，在正四棱锥P-ABCD中，AB=，PA=，设ACnBD=O，连接PO，则POl平面ABCD，OA=OB=1,PO------对A，由题可知PQ>PO=，当Q,O重合时取等号，故A正确；---------------------对B，当x=1时，AQ=AB+yAD，即BQ=yAD--------------- t2 t2 所以3t2+2因为AD//BC，所以三角形ADQ的面积为定值，而三棱锥P一ADQ的高PO为定值，故三棱锥P一ADQ的体积为定值，故B正确；由题可知POLOB,OBLOA,PO一OA=O,PO,OA仁平面PAC，故OBL平面PAC，所以PO为PB在平面PAC内的射影，ZBPQ>ZBPO，而在RtΔPOB中，tanZBPO==>，所以ZBPO>，ZBPQ>，故PB与PQ所成角不可能为，故C错误；所以所以，设AB与平面PAQ所成角为Q，令---AB.---AB22f,t=2 3t2ft=ft=3t2所以当所以当所以f(t)max=f-==，sina<=，故D正确.故选：ABD.【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据向量关系结合条件得到点Q的位置，然后结合条件利用立体几何知识解决即得.20多选）在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E为BC的中点，点P，Q分别为线段BD1，AD上A．ACLDPC．PQ的最小值为B．平面DEP可能经过顶点C1D．ZAPC的最大值为【答案】ACD【分析】根据题意，建立空间直角坐标系，利用坐标表示向量，用向量表示空间中的垂直关系，求点到平面的距离，以及空间角的计算，即可结合选项逐一求解.【详解】建立空间直角坐标系，如图所示：设=λ=(-λ,-λ,λ)，则P(1-λ,1-λ,λ)，λE[0,1]；正确；即〈x+y=0，令y=λ,则x=-2λ,z=1-λ,所以=(-2λ,λ,1-λ)，|l(1-λ)x+(1-λ)y+λz=0所以点C1到平面DEP的距离不能为0，即平面DEP不过点C1，B错误；以PQ的最小值为，C正确；因为=(λ,λ1,λ)，=(λ1,λ,λ)，2.(λ1)2+λ2+λ2 3λ2=3λ22λ+113λ2设f(λ)=3λ2一2λ+1=3(λ)2+，λE[0，1]，λE[，]，所以(λ)2E[0，]，所以3(λ)2E[0，]，故选：ACD.21．如图（1）所示，在ΔABC中，AB=4，BC=2，ZB=60O，折起，使得二面角A一DE一B大小为60O，得到如图（2）所示的空间几何体（折叠后点A记作点P）(1)求点D到面PEC的距离；(2)求四棱锥P一BCED外接球的体积；(3)点Q为一动点，满足=λ(0<λ<1)，当直线BQ与平面PEC所成角最大时，试确定点Q的位置.【答案】(1)(2)20π3【分析】（1）由已知可证得平面PDBL平面BCDE，取BD中点O，连接PO,OC，则有OB,OC,OP两两垂直，所以以{,,}为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系O一xyz，然后利用空间向量求解，（2）连接BE，则四边形BCED的外接圆圆心在BE的中点O1，△PBD外接圆的圆心为PO的三等分点O2，过点圆心O1，O2分别作两面垂线，则垂线交点即为球心M，连接BM，求出其长度可得外接球的半径，从而可求出外接球的体积，（3）由=λ(0<λ<1)，表示出点Q的坐标，然后利用空间向量表示出直线BQ与平面PEC所成角的正弦值，求出其最大值可得答案.因为DE垂直平分AB，所以DELPD,DELBD，所以ZPDB为平面PDE与平面BCED的二面角的平面角，所以ZPDB=，PD=BD，所以ΔPDB为等边三角形，取BD中点O，连接PO,OC，所以POLBD,OCLBD，所以DEL平面PDB，因为DE仁平面BCDE，所以平面PDBL平面BCDE，因为POLBD,OCLBD所以POLOC，以{,,}为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系O一xyz，设平面PEC的一个法向量为=(x,y,z)，则1所以点D到面PEC的距离d=33-x+333113 3 3,则四边形BCED的外接圆圆心在BE的中点O1，△PBD为正三角形，则△PBD外接圆的圆心为PO的三等分点O2，过点圆心O1，O2分别作两面垂线，则垂线交点即为球心M，如图所示，连接BM，则BM即球的半径.22所以由勾股定理得MB===，|(x1|l1l1Q(x1,y1,z1)，由P=λP(0<λ<1)得(x1,y1,z1-3)=λ(=-λ=2λ,得Q(-λ,2λ,3-3λ)，，=3-3λ所以B=(-λ-,2λ,3-3λ)，设直线BQ与平面PEC所成角为θ(θE0,|则sinθ=则473 732274λ2-3λ+374(λ-)2+ 所以当λ=时，sinθ取得最大值，此时直线BQ与平面PEC所成角最大，---3---即当PQ=8PE时，直线BQ与平面PEC所成角最大.棱台ABC-A1B1C1中侧面BC为等腰三角形，AB=AC=5,O为BC的中点.(1)证明：平面ABCL平面AOM；(2)记二面角A-BC-B1的大小为θ.①当θ=时，求直线BB1与平面AA1C1C所成角的正弦值.②当θ=,时，求直线BB1与平面AA1C1C所成角的正弦的最大值.【答案】(1)证明见解析； (2)①，②最大值为【分析】（1）由三棱台ABC-A1B1C1性质及其边长即可证明BCL平面AOM，利用面面垂直的判定定理即可证明平面ABCL平面AOM；（2）①由题意可知人AOM即为二面角A-BC-B1的平面角，人AOM=θ,以O为坐标原点建立空间直角坐-2,2cosθ,2sinθ)，平面AA1C1C的一个法向量为=-3,4,,把θ=代入可得直线BB1与平面AA1C1C所成角的正弦值为；②当θ=,时，sina=32525+3sθ2利用θ的范围即可求得直线BB1与平面AA1C1C所成角的正弦的最大值为3又因为侧面BCC1B1为等腰梯形，M为B1C1的中点，所以BCLMO，又AO八MO=O,MO,AO仁平面AOM，因此BCL平面AOM，BC仁平面ABC，所以平面ABCL平面AOM由（1）中平面ABCL平面AOM，且平面ABC八平面AOM=OA，ON仁平面AOM，可得ONL平面ABC；以OB,OA,ON分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如下图所示：又因为BCLMO，BCLAO，所以人AOM即为二面角A-BC-B1的平面角，所以人AOM=θ,(3-4cosθ)2(3-4cosθ)2BB1C1-2,23cosC1-2,23cosθ,23sinθ;设平面AA1C1C的一个法向量为=(x,y,z)，-3,4,-2)，设直线BB1与平面AA1C1C所成角的为a，即θ=时，直线BB1与平面AA1C1C所成角的正弦值为.②当θe,时，sina=cosBB1,ynBB1.nyn((3-4cosθ)2设f(θ)=,θe,，则f'(θ)=>0在θe,恒成立，所以f(θ)在θe,上单调递增，f(θ)e-4,， -4cosθsinθe-4,，易知6-4<，所以2e[0,3]；所以当θe,时，直线BB1与平面AA1C1C所成角的正弦的最大值为.23．如图，在三棱锥A-BCD中，ZBCD=90。,AB=AC=AD,BD的中点为G.(1)证明：直线AG平面BCD；(2)若BD2,BC1，当直线AB与平面ACD所成的角最大时，求三棱锥ABCD的体积.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）通过证明△ABG△ACG，可得AGCG，结合线面垂直判定定理可证；（2以C为坐标原点，CD,CB,CH的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量表示出直线AB与平面ACD所成角的正弦，结合基本不等式可得AG，然后可求体积.因为BCD90。,BGDG，所以BGCG.又因为ABAD,G为BD的中点，所以AGBD，所以AGBAGD90。.又因为AG为公共边，所以△ABG△ACG，又因为AGBD,BDCGG,CG,BD平面BCD，所以AG平面BCD.（2）过点C作直线CH平面BCD，以C为坐标原点，CD,CB,CH的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.cos,BAcos,BA---.(1)(1)0,0.设平面ACD的一个法向量为=(x,y,z)，设直线AB与平面ACD所成的角为Q，------BA2a 1.a24a24214<时，等号成立，此时，直线AB与平面ACD所成的角Q最大.故当直线AB与平面ACD所成的角最大时，三棱锥A-BCD的体积为.24．已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面AA1B1B为正方形，AB=BC，E，F分别为AC和CC1的中点，D为棱A1B1上的动点.BFLA1B1.(1)证明：BFLDE；(2)求平面BB1C1C与平面DEF所成的二面角正弦值的最小值及此时点D的位置.【答案】(1)证明见解析(2)最小值为，点D为靠近B1的A1B1的四等分点【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出直线BF，DE的方向向量即可证明；（2）求出平面BB1C1C与平面DEF的法向量即可求解.【详解】（1）因为三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱，所以BB1L底面ABC，又BC,AB仁底面ABC，所以BB1LAB，BB1LBC，又因为AB∥A1B1，BFLA1B1，所以BFLAB，又BB1八BF=B，BB1,BF仁平面BB1C1C，所以ABL平面BB1C1C，又BC仁平面BB1C1C，所以ABLBC，即BA,BC,BB1两两垂直，以B为原点，分别以BA,BC,BB1所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系，设AB=2，则所以L，即BFLDE.（2）设平面DEF的法向量为=(x,y,z)，633633根+++--+---则3平面BB1C1C的一个法向量为=(2,0,0)，设平面BB1C1C与平面DEF所成的二面角为θ,---n---BA+取最小值为，此时cosθ取得最大值，((6)2所以平面BB1C1C与平面DEF所成的二面角正弦值的最小值为，此时点D为靠近B1的A1B1的四等分点.题型四距离的最值范围问题25．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2，动点P在体对角APC距离的最大值为()【答案】D【分析】以点D为原点建立空间直角坐标系，表示出的坐标，然后求出平面APC的法向量，表示出点B到平面APC的距离为，即可得到其最大值.【详解】如图，以点D为原点建立空间直角坐标系，设BP=λBD1(0<λ<1)，λ=(-λ,-λ,2λ)，------------------------------可取=(2λ,2λ,2λ-1)，---------AB.2λ则点B到平面APC的距离为AB.cosAB,==12λ2-4λ+1，---------AB.2λ当λ=0时，点B到平面APC的距离为0，22λ1212λ2-4λ+1==<λ4λ+4（|λ-)| 3-1+21λ4λ+4（|λ-)| 当且仅当λ=时，取等号，所以点B到平面APC的最大距离为，故选:D.26．如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，则线段AD1上的动点P到直线A1C1的距离的最小值为6326334234【答案】D【分析】利用坐标法，设P(x,0,1-x),0<x<1，可得动点P到直线A1C1的距离为d=用二次函数的性质即得.332x2-x+1222 +一x22∴动点P到直线A1C1的距离为22-----------2AP.ACAC1AP ---x一x+33(1)2+33时取等号，即线段AD1上的动点P到直线A1C1的距离的最小值为故选：D.333则下列结论正确的有()AA1=2，动点P在体对角线BD1上（含端点A．顶点B到平面APC的最大距离为B．存在点P，使得A．顶点B到平面APC的最大距离为2C．AP+PC的最小值D．当P为BD1中点时，ZAPC为钝角【答案】ABC【分析】对A，以点D为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求出点B到平面APC的距离，分析即可判对B，当BD1L平面APC，则BD1LAP,BD1L