《第四章章末复习》名师教案

第四章几何图形初步章末复习课（张祖全）一、思维导图几何图形平面图形几何图形平面图形立体图形常见立体图形从不同方向看立体图形立体图形的平面展开图柱体、锥体、球体直线、射线、线段射线表示方法直线表示方法基本事实线段表示方法基本事实大小比较线段中点角表示方法大小比较余角、补角方位角角平分线余角、补角的性质二、典型例题例1.如图是一个正方体盒子的表面展开图，该正方体六个面上分别标有不同的数字，且相对两个面上的数字互为相反数．（1）把﹣16，9，16，﹣5，﹣9，5分别填入图中的六个小正方形中；（2）若某相对两个面上的数字分别为和，求x的值．【知识点】立体图形与平面图形.【解题过程】解：（1）如图：（2）由某相对两个面上的数字分别为和，得+=0．解得x=2．【思路点拨】（1）根据正方体展开图中两面中间隔一个面是对面，可得答案；（2）根据对面上的数互为相反数，可得关于x的方程，根据解方程，可得答案．【答案】（1）如图：=2．练习：把小正方体的6个面分别涂上六种不同的颜色，并画上朵数不等的花，各面上的颜色和花的朵数情况如表：现将上述大小相等、颜色花朵分布完全一样的四个立方体拼成一个水平放置的长方体（如图），那么长方体下底面有（）朵花．颜色红黄蓝白紫绿花的朵数123456A.15 B.16 C.21 D.17【知识点】立体图形与平面图形.【解题过程】解：由题意可得，右边正方体的下边为白色，右二的立方体的下侧为绿色，右三的为黄色，左一的为紫色，那么长方体的下底面共有花数4+6+2+5=17朵．故选D．【思路点拨】由图中显示的规律，可分别求出，右边正方体的下边为白色，左边为绿色，后面为紫色，按此规律，可依次得出右二的立方体的下侧为绿色，右三的为黄色，左一的为紫色，即可求出下底面的花朵数．【答案】D．例2.如图，已知线段AB和CD的公共部分为BD，且，线段AB、CD的中点E、F之间距离是20，求AB、CD的长．【知识点】线段的性质.【数学思想】方程思想.【解题过程】解：设BD=x，则AB=3x，CD=4x．∵点E、点F分别为AB、CD的中点，∴，，．∴．∵EF=20，∴，解得：．∴，．【思路点拨】根据线段中点的性质，可得，，根据线段的和差，可得AC的长、EF的长，根据解方程，可得x的值，利用得出，，，是解题关键．【答案】，．练习：如图，一条街道旁有A、B、C、D、E五幢居民楼．某大桶水经销商统计各楼居民每周所需大桶水的数量如下表：楼号ABCDE大桶水数量/桶3855507285他们计划在这5幢楼中租赁一间门市房，设立大桶水供应点．若仅考虑这5幢楼内的居民取水所走路程之和最小，大桶水供应点应设在哪幢楼？【知识点】线段的性质.【解题过程】解：设每户居民每次取一桶水．以点A为取水点，则五幢楼内的居民取水所走路程之和=；以点B为取水点，则五幢楼内的居民取水所走路程之和=，以点C为取水点，则五幢楼内的居民取水所走路程之和=，以点D为取水点，则五幢楼内的居民取水所走路程之和=，以点E为取水点，则五幢楼内的居民取水所走路程之和为：=，故以点D为取水点，五幢楼内的居民取水所走路程之和最小．【思路点拨】此题为数学知识的应用，由题意设立大桶水供应点，肯定要尽量缩短居民取水所走路程之间的里程，即需应用两点间线段最短定理来求解．【答案】以点D为取水点，五幢楼内的居民取水所走路程之和最小．例3.如图（1），将两块直角三角尺的直角顶点C叠放在一起，（1）若∠DCE=35°，∠ACB=；若∠ACB=140°，则∠DCE=；（2）猜想∠ACB与∠DCE的大小有何特殊关系，并说明理由；（3）如图（2），若是两个同样的直角三角尺60°锐角的顶点A重合在一起，则∠DAB与∠CAE的大小又有何关系，请说明理由．【知识点】余角和补角.【解题过程】解：（1）∵∠ECB=90°，∠DCE=35°∴∠DCB=90°﹣35°=55°∵∠ACD=90°∴∠ACB=∠ACD+∠DCB=145°，另若∵∠ACB=140°，∠ACD=90°∴∠DCB=140°﹣90°=50°∵∠ECB=90°∴∠DCE=90°﹣50°=40°，故答案为145°，40°（2）猜想得∠ACB+∠DCE=180°（或∠ACB与∠DCE互补）理由：∵∠ECB=90°，∠ACD=90°∴∠ACB=∠ACD+∠DCB=90°+∠DCB∠DCE=∠ECB﹣∠DCB=90°﹣∠DCB∴∠ACB+∠DCE=180°．（3）∠DAB+∠CAE=120°理由如下：由于∠DAB=∠DAE+∠CAE+∠CAB故∠DAB+∠CAE=∠DAE+∠CAE+∠CAB+∠CAE=∠DAC+∠BAE=120°．【思路点拨】（1）本题已知两块直角三角尺实际就是已知三角板的各个角的度数，根据角的和差就可以求出∠ACB、∠DCE的度数；（2）根据前两个小问题的结论猜想∠ACB与∠DCE的大小关系，结合前两问的解决思路得出证明；（3）根据（1）（2）解决思路确定∠DAB与∠CAE的大小并证明．【答案】（1）145°，40°；（2）∠ACB+∠DCE=180°；（3）∠DAB+∠CAE=120°练习：已知：如图，∠AOB是直角，∠AOC=40°，ON是∠AOC的平分线，OM是∠BOC的平分线．（1）求∠MON的大小；（2）当锐角∠AOC的大小发生改变时，∠MON的大小是否发生改变？为什么？【知识点】角的比较与运算.【解题过程】解：（1）∵∠AOB是直角，∠AOC=40°，∴∠AOB+∠AOC=130°，∵OM是∠BOC的平分线，ON是∠AOC的平分线，∴，,∴，（2）当锐角∠AOC的大小发生改变时，∠MON的大小不发生改变．∵，又∠AOB是直角，不改变，∴．【思路点拨】（1）根据∠AOB是直角，∠AOC=40°，可得∠AOB+∠AOC=130°，再利用OM是∠BOC的平分线，ON是∠AOC的平分线，即可求得答案．（2）根据，又利用∠AOB是直角，不改变，可得．【答案】（1）；（2）的大小不发生改变.章末检测题章末检测题一、选择题（本题共12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案的代号填在题后的括号中.1.如图，对于直线AB，线段CD，射线EF，其中能相交的图是（）A.A.B.C.D.【知识点】直线、射线、线段.【数学思想】【解题过程】解：A.直线AB与线段CD不能相交，故本选项错误；B.直线AB与射线EF能够相交，故本选项正确；C.射线EF与线段CD不能相交，故本选项错误；D.直线AB与射线EF不能相交，故本选项错误．故选B．【思路点拨】根据直线、射线、线段的定义对各选项分析判断利用排除法求解，熟记定义并准确识图是解题的关键．【答案】B．2.如图，（）A.60° B.90° C.110° D.180°．【知识点】余角和补角.【数学思想】【解题过程】解：∵∠1+90°+∠2=180°，∴∠1+∠2=90°．故选B．【思路点拨】根据平角的定义得到∠1+90°+∠2=180°，即有∠1+∠2=90°．【答案】B．3.甲看乙的方向是北偏东30°，那么乙看甲的方向是（）A.南偏东60° B.南偏西60° C.南偏东30° D.南偏西30°【知识点】余角和补角.【数学思想】【解题过程】解：两个物体互相观测所在的方位之间的关系是：角度不变，方向相反，故选D.【思路点拨】根据方位角的概念，画图正确表示出方位角，即可求解．【答案】D．4.如图，田亮同学用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是（）A.两点确定一条直线B.经过一点有无数条直线C.两点之间，直线最短D.两点之间，线段最短【知识点】线段的性质.【数学思想】【解题过程】解：∵用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树叶的周长要小，∴线段AB的长小于点A绕点C到B的长度，∴能正确解释这一现象的数学知识是两点之间，线段最短，故选D．【思路点拨】正确理解题意是解答本题的关键.根据“用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树叶的周长要小”得到线段AB的长小于点A绕点C到B的长度，从而确定答案．【答案】D．5.分别从正面、左面和上面这三个方向看下面的四个几何体，得到如图所示的平面图形，那么这个几何体是（）A.A.B.C.D.【知识点】立体图形与平面图形.【数学思想】【解题过程】解：∵由从正面、左面看可得此几何体为柱体，根据从上面看是三角形可判断出此几何体为三棱柱．∴选C.【思路点拨】由从正面、左面看可得此几何体为柱体，根据从上面看是三角形可判断出此几何体为三棱柱．【答案】C．6.2012年12月26日京广高铁全线通车．一列往返于北京和广州的火车，沿途要经过石家庄、郑州、武汉、长沙四站，铁路部门要为这趟列车准备印制（）种车票．A．6 B．12 C．15 D．30【知识点】直线、射线、线段【数学思想】数形结合【解题过程】解：∵从北京出发的有5种车票，从石家庄出发的有4种车票，从郑州出发的有3种车票，从武汉出发的有2种车票，从长沙出发的有1种车票，∴一列往返于北京和广州的火车，沿途要经过石家庄、郑州、武汉、长沙四站，铁路部门要为这趟列车准备印制2×（5+4+3+2+1）=30种车票，故选D．【思路点拨】画出线段图，计算线段条数乘以2倍即可.【答案】D．7.已知A、B、C三点，若过其中任意两点画一条直线，则画出的不同直线（）A.一定有三条；B.只能有一条；C.可能有三条，也可能只有一条；D.以上结论都不对.【知识点】直线的性质.【数学思想】分类讨论.【解题过程】解：如图所示：可以看出可以为1条直线，也可以是3条直线．故选择C．【思路点拨】当A、B、C三点在同一直线时，可以知道有一条直线；当三点不在同一条直线时，由定理：过两点有且只有一条直线，可以得出答案．【答案】C．8.点A、B、C在同一条数轴上，其中点A、B表示的数分别为﹣3、1，若BC=2，则A、C两点的距离为（）A.3 B.2 C.3或5 D.2或6【知识点】两点的距离.【数学思想】分类讨论.【解题过程】解：此题画图时会出现两种情况，即点C在线段AB内，点C在线段AB外，所以要分两种情况计算．点A、B表示的数分别为﹣3、1，AB=4．第一种情况：在AB外，AC=4+2=6；第二种情况：在AB内，AC=4﹣2=2．故选：D．【思路点拨】分情况讨论A、B、C三点的位置关系，即点C在线段AB内，点C在线段AB外．【答案】D．9.如图是一块手表，早上8时的时针、分针的位置如图所示，那么分针与时针所成的角的度数是（）A.60° B.80° C.120° D.150°【知识点】角.【数学思想】【解题过程】解：根据图形，8点整分针与时针的夹角正好是（12﹣8）×30°=120度．故选C．【思路点拨】早上8时，时针指向8，分针指向12．钟表12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为30°．分针与时针之间有四个格，可求解．【答案】C．10.已知M是线段AB的中点，那么，①AB=2AM；②BM=AB；③AM=BM；④AM+BM=AB．上面四个式子中，正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【知识点】线段中点的性质【思路点拨】线段的中点分线段为相等的两部分，又因为点M在AB上，所以AM+BM=AB，进而可得出结论.【解题过程】∵M是线段AB的中点，

∴AM=BM=AB，AM+BM=AB，

∴题中①②③④的结论都正确，故选D．【答案】D11.甲乙两人各用一张正方形的纸片ABCD折出一个45°的角（如图），两人做法如下：甲：将纸片沿对角线AC折叠，使B点落在D点上，则∠1=45°；乙：将纸片沿AM、AN折叠，分别使B、D落在对角线AC上的一点P，则∠MAN=45°．对于两人的做法，下列判断正确的是（）A.甲乙都对 B.甲对乙错 C.甲错乙对 D.甲乙都错【知识点】角的比较与运算.【数学思想】【解题过程】解：∵AC为正方形的对角线，∴∠1==45°；∵AM、AN为折痕，∴∠2=∠3，∠4=∠5，又∵∠DAB=90°，∴∠3+∠4==45°．∴二者的做法都对．故选A．【思路点拨】甲沿正方形的对角线进行折叠，根据正方形对角线的性质，可得∠1=45°，故甲的做法是正确的；乙进行折叠后，可得两对等角，而四个角的和为90°，故∠MAN=45°是正确的，这样答案可得．【答案】A．有一个正六面体骰子，放在桌面上，将骰子沿如图所示的顺时针方向滚动，每滚动90°算一次，则滚动第2018次后，骰子朝下一面的点数是（）．A.2B.3C.4D.5【知识点】立体图形与平面图形.【数学思想】【解题过程】解：观察图形知道点数三和点数四相对，点数二和点数五相对，且四次一循环，∵2018÷4=504…2，∴滚动第2018次后与第二次相同，∴朝下的点数为3，故答案为：B．【思路点拨】观察图形知道点数三和点数四相对，点数二和点数五相对，且四次一循环，从而确定答案．【答案】B．二、填空题（本题6个下题，每小题4分，共24分）在每个小题中，请将正确答案直接填在题中的横线上.13.把角度化为度、分的形式，则20.5°=20°′．【知识点】角.【数学思想】【解题过程】解：20.5°=20°30′．故答案为：30．【思路点拨】1°=60′，可得0.5°=30′，由此计算即可．【答案】30．14.如图，将一副三角尺叠放在一起，使直角顶点重合于点O，绕点O任意转动其中一个三角尺，则与∠AOD始终相等的角是．【知识点】余角和补角.【数学思想】【解题过程】解：∵∠AOB=∠COD=90°，∴∠AOD=∠AOB﹣∠BOD=90°﹣∠BOD，∠BOC=∠COD﹣∠BOD=90°﹣∠BOD，∴∠AOD=∠BOC．故答案为∠BOC．【思路点拨】因为是一幅三角尺，所以∠AOB=∠COD=90°，再利用∠AOD=∠AOB﹣∠BOD=90°﹣∠BOD，∠BOC=∠COD﹣∠BOD=90°﹣∠BOD，同角的余角相等，可知与∠AOD始终相等的角是∠BOC．【答案】∠BOC．15.谜语：正看三条边，侧看三条边，上看圆圈圈，就是没直边（打一几何体）．【知识点】从不同方向看立体图形.【数学思想】【解题过程】解：从正面、左面看到的图形都是三角形，从上面看到的图是圆圈，故此几何体为锥体．【思路点拨】从正面、左面看到的图形都是三角形，从上面看到的图是圆圈，故此几何体为锥体．【答案】圆锥．16.如图，C、D是线段AB上的两点，且D是线段AC的中点，若AB=10，BC=4，则AD的长为____________.【知识点】线段的性质.【数学思想】【解题过程】解：∵AB=10，BC=4，∴AC=AB﹣BC=6，又∵点D是AC的中点，∴AD==3，答：AD的长为3．【思路点拨】由AB=10，BC=4，可求出AC=AB﹣BC=6，再由点D是AC的中点，则可求得AD的长．【答案】3.如图所示：把两块完全相同的直角三角板的直角顶点重合，如果∠AOD=128°，那么∠BOC=．【知识点】余角与补角.【数学思想】【解题过程】解：∵∠AOB=∠COD=90°，而∠AOD=128°，∴∠BOD=∠AOD﹣90°=38°，∴∠BOC=∠COD﹣∠BOD=90°﹣38°=52°．故答案为52°．【思路点拨】根据题意得到∠AOB=∠COD=90°，再计算∠BOD=∠AOD﹣90°=38°，然后根据∠BOC=∠COD﹣∠BOD进行计算即可．【答案】52°．18.平面内两两相交的8条直线，其交点个数最少为个，最多为个，则等于______.【知识点】直线、射线、线段．【数学思想】【解题过程】解：根据题意可得：8条直线相交于一点时交点最少，此时交点为1个，即m=1；任意两直线相交都产生一个交点时交点最多，∵任意三条直线不过同一点，∴此时交点为：，即=28；则=29．【思路点拨】规律探索.由题意可得8条直线相交于一点时交点最少，任意两直线相交都产生一个交点时交点最多，由此可得出的值，从而得出答案.【答案】29．三、解答题（本题共2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤.19.写出下列几何体的名称：解：①________；②________；③________；④________；⑤________；⑥________；⑦________；⑧_______.【知识点】立体图形与平面图形.【数学思想】【解题过程】解：①正方体；②圆柱；③长方体；④球；⑤圆锥；⑥三棱锥；⑦三棱柱；⑧圆台.【思路点拨】辨析立体图形，正确写出名称即可.【答案】①正方体；②圆柱；③长方体；④球；⑤圆锥；⑥三棱锥；⑦三棱柱；⑧圆台.20.读句画图．已知不在同一直线上的四个点A、B、C、D．（1）画直线AD；（2）连接AB；（3）画射线CD；（4）反向延长射线CD至点F，使DC=2CF．【知识点】直线、射线、线段.【数学思想】【解题过程】解：（1）如图所示：直线AD即为所求；（2）如图所示：线段AB即为所求；（3）如图所示：射线CD即为所求；（4）如图所示：线段FC即为所求．【思路点拨】（1）根据直线向两方无限延伸得出即可；（2）根据线段有两个端点画出图形；（3）根据射线向一方无限延伸画出图形；（4）利用反向延长线段的作法得出即可．【答案】（1）如图所示：直线AD即为所求；（2）如图所示：线段AB即为所求；（3）如图所示：射线CD即为所求；（4）如图所示：线段FC即为所求．四、解答题（本题共4个下题，每小题10分，共40分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤.21.如图是一个正方体的平面展开图，标注了A字母的是正方体的正面，如果正方体的左面与右面标注的式子相等．（1）求的值．（2）求正方体的上面和底面的数字和．【知识点】立体图形的展开图.【数学思想】【解题过程】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，“A”与“﹣2”是相对面，“3”与“1”是相对面，“”与“”是相对面，（1）∵正方体的左面与右面标注的式子相等，∴=3﹣2，解得=1；（2）∵标注了A字母的是正方体的正面，左面与右面标注的式子相等，∴上面和底面上的两个数字是3和1，∴3+1=4．【思路点拨】（1）正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形确定出相对面，然后列出方程求解即可；（2）确定出上面和底面上的两个数字3和1，然后相加即可．【答案】（1）=1；（2）4．22.一个角的余角比它的补角的还少20°，求这个角．【知识点】余角与补角【数学思想】方程思想【解题过程】解：设这个角为x，则它的余角为，补角为，根据题意可，得，解得=75°．故答案为75°．【思路点拨】首先根据余角与补角的定义，设这个角为，则它的余角为，补角为，再根据题中给出的等量关系列方程即可求解．【答案】75°．23.已知：如图，点C是线段AB上一点，且3AC=2AB．D是AB的中点，E是CB的中点，DE=6，求：（1）AB的长；（2）求AD∶CB．【知识点】线段比较与运算.【数学思想】【解题过程】解：（1）设AB=，∵3AC=2AB，∴，，∵E是CB的中点，∴，∵D是AB的中点，∴，故，解可得：=18．故AB的长为18；（2）由（1）得：，，故AD∶CB=3∶2．【思路点拨】在一条直线或线段上的线段的加减运算和倍数运算，首先明确线段间的相互关系，根据题目中几何图形，再根据题意进行计算．【答案】（1）18；（2）AD∶CB=3∶2．已知一条射线OA，如果从点O再引两条射线OB和OC，使∠AOB=60°，∠BOC=20°，求∠AOC的度数．【知识点】角的比较与运算.【数学思想】分类讨论思想.【解题过程】解：①如图1，射线OC在∠AOB的外部时，∵∠AOB=60°，∠BOC=20°，∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=60°+20°=80°；②射线OC在∠AOB的内部时，∵∠AOB=60°，∠BOC=20°，∴∠AOC=∠AOB﹣∠BOC=60°﹣20°=40°．综上所示，∠AOC的度数为：80°或40°．故答案为80°或40°．【思路点拨】因为射线OC的位置不明确，所以分①射线OC在∠AOB的外部，②射线OC在∠AOB的内部两种情况进行讨论求解．【答案】80°或40°．五、解答题（本题2个小题，第25题10分，第26题12分，共22分）解答时每小题必须给出必要的演算过程