薄膜力学性能

关于薄膜力学性能2定义

用物理的、化学的、或者其他方法，在金属或非金属基体表面形成一层具有一定厚度(小于)的不同于基体材料且具有一定的强化、防护或特殊功能的覆盖层。第2页,共87页，2024年2月25日，星期天3

分类脆性基底脆性薄膜脆性基底韧性薄膜韧性基底脆性薄膜韧性基底韧性薄膜按力学性质分类第3页,共87页，2024年2月25日，星期天44.1

薄膜的弹性性能一、薄膜的弹性常数

弹性模量是材料最基本的力学性能参之一，由于薄膜的某些本质的不同之处，其弹性模量可能完全不同于同组分的大块材料。第4页,共87页，2024年2月25日，星期天5三点弯曲

如图所示，加载和挠度的测量均在两支点中心位置，两支点的跨距为，载荷增量与中心挠度增量的关系为为薄板抗弯刚度。

(4.1)第5页,共87页，2024年2月25日，星期天6单面镀膜的膜基复合薄板的抗弯刚度为

式中和

分别是基体部分和薄膜部分对轴的惯性矩，

实验中测出载荷增量与中心挠度增量的关系曲线（近似线性），求出其斜率，用(4.1)式求出薄板的抗弯刚度，若基体弹性模量已知，则利用(4.2)式可求得薄膜的弹性模量。(4.2)(4.3)第6页,共87页，2024年2月25日，星期天7压痕法

纳米压痕技术可用以测定薄膜的硬度、弹性模量以及薄膜的蠕变行为等，其理论基础是Sneddon关于轴对称压头载荷与压头深度之间的弹性解析分析，其结果为这里，为压头的纵向位移，为试验载荷曲线的薄膜材料刚度，是压头的接触面积。(4.4)第7页,共87页，2024年2月25日，星期天8为约化弹性模量其中的、、、分别为被测薄膜和压头的弹性模量和泊松比。被测试材料的硬度值定义为当、和确定后，可利用式(4.4)、(4.5)和(4.6)分别求出薄膜的弹性模量和硬度值。(4.5)(4.6)第8页,共87页，2024年2月25日，星期天9二、薄膜的应力应变关系1.

拉伸法基体和薄膜的应力应变关系均满足：

其中，和分别表示外加载荷和横截面积，下标和分别表示基体和薄膜的相关量。

(4.7)(4.8)第9页,共87页，2024年2月25日，星期天10基体和薄膜作为一个整体的试件在外加载荷作用下，分别加载在基体和薄膜上

在拉伸过程中，基体和薄膜没有剥落前，两者的变形一致

根据(4.7)、(4.8)、(4.9)和(4.10)，得到

(4.9)(4.10)(4.11)(4.12)第10页,共87页，2024年2月25日，星期天112.

压痕法

对于大多数纯金属和合金材料来说，它们本身服从幂指数强化模型。当

时，流动应力也可表示成如下形式

式中，

是超过屈服应变

的总的有效应变。

表示应力，定义为时的流动应力，

表示应变。(4.13)(4.14)第11页,共87页，2024年2月25日，星期天12图1幂指数应力－应变关系图如何将压痕曲线与应力应变关系联系起来？第12页,共87页，2024年2月25日，星期天13在压痕测试过程中，加载载荷不断增大，一旦材料发生屈服，外载

可视为下列独立参数的函数：材料的杨氏模量

、泊松比

,压头的杨氏模量

、泊松比，屈服强度

，硬化指数

，压痕深度以及压头半径。故

可表示为(4.15)用约化杨氏模量即

简化上式，得

(4.16)亦可写为

(4.17)第13页,共87页，2024年2月25日，星期天14对(4.17)式进行量纲分析，得

给定

和

，式(4.18)可化为

(4.18)(4.19)无量纲函数的表达式为

(4.21)详细推导过程见流程图2。式中，系数C1

，C2

，C3

，C4

是与hg/R值相关量，详见表4.1。第14页,共87页，2024年2月25日，星期天15表4.1式(4.21)中对应于hg/R的系数第15页,共87页，2024年2月25日，星期天16图2根据p-h曲线确定应力－应变关系的流程图第16页,共87页，2024年2月25日，星期天174.2

薄膜的残余应力一、残余应力的来源通常认为，薄膜中的残余应力分为热应力和内应力两种。热应力是由于薄膜和基底材料热膨胀系数的差异引起的，所以也称为热失配应力。热应力对应的弹性应变为根据Hooke’s定律，应力为

(4.22)(4.23)第17页,共87页，2024年2月25日，星期天18

薄膜—基底体系中由于晶格常数失配在薄膜中产生的内应力由Hoffman的晶界松弛模型得到式中为薄膜材料为无残余应力时的晶格常数，为由于薄膜和基底晶格常数失配引起的薄膜晶格常数的变化，为晶界松弛距离，为晶体尺寸。(4.24)第18页,共87页，2024年2月25日，星期天19二、残余应力的测量1.

Stoney公式

在薄膜残余应力的作用下，基底会发生挠曲，这种变形尽管很微小，但通过激光干涉仪或者表面轮廓仪，能够测量到挠曲的曲率半径。基底挠曲的程度反映了薄膜残余应力的大小，Stoney给出了二者之间的关系式中下标和分别对应于薄膜和基底，为厚度，为曲率半径，和分别是基底的弹性模量和泊松比。(4.26)第19页,共87页，2024年2月25日，星期天20

Stoney公式广泛应用于计算薄膜的残余应力，但使用时应明确该公式的适用范围，

Stoney公式采取了如下假设(1)

即薄膜厚度远小于基低厚度。这一条件通常都能被满足，实际情况下薄膜和基底厚度相差非常大。(2)

即基底与薄膜的弹性模量相近。(3)基底材料是均质的、各向同性的、线弹性的，且基底初始状态没有挠曲。(4)薄膜材料是各向同性的，薄膜残余应力为双轴应力。(5)薄膜残余应力沿厚度方向均匀分布。(6)小变形，并且薄膜边缘部分对应力的影响非常微小。第20页,共87页，2024年2月25日，星期天212.多层薄膜的情形

这种情况下，尽管薄膜有很多层，但与基底的厚度相比，薄膜的总厚度还是非常小，仍然满足Stoney公式的第一条假设。对于层薄膜Stoney公式化为如下形式式中下标1，2，…，n分别代表各层薄膜的编号，为残余应力，其余字符的意义与式(4.26)相同。(4.27)第21页,共87页，2024年2月25日，星期天223.

薄膜厚度与基底可比时的情形

如图所示,和相差不大，采取图中所示的柱坐标系统，显然，不为零的残余应力分量只有和,相应的弹性应变能密度为其中和为应变分量

(4.28)(4.29a)(4.29b)式(4.29a)、(4.29b)中的是失配度，u(r)和w(r)代表基底中面的位移。第22页,共87页，2024年2月25日，星期天23图3柱坐标系下由于基底中面转动引起的应变第23页,共87页，2024年2月25日，星期天24小变形时和分别为

是基底中面的应变，基底的曲率用表示。将式(4.30)代入式(4.29)，得到用和表示的应变总能量(4.30)(4.31)第24页,共87页，2024年2月25日，星期天25应变能处于平衡状态需满足，。即导出

(4.32)其中，即薄膜与基底的厚度比，为薄膜与基底的弹性模量比。当时，式(4.32)退化为Stoney公式。第25页,共87页，2024年2月25日，星期天264.

一级近似的薄膜应力梯度分布

实际上，薄膜应力在厚度方向是有梯度的。通常，薄膜的单轴应力沿厚度方向的分布可用多项式表示为

其中为厚度方向的坐标，为薄膜厚度。一般计算取的情况(一级近似)

式(4.34)取加号时对应拉应力，取减号时对应压力。

(4.33)(4.34)第26页,共87页，2024年2月25日，星期天27

X射线衍射法测定材料中的残余应力的原理是因为物体内部存在的残余应力，使得晶体的晶格常数发生弹性变形，即晶面间距发生了变化。通过晶体的Bragg衍射反映在相应于某一晶面族的衍射峰发生了位移。对于多晶材料，不同晶粒的同族晶面间距随这些晶面相对于应力方向的改变发生规则的变化。当应力方向平行于晶面时，晶面间距最小；当应力方向与晶面垂直时，晶面间距最大。因此，只要测出不同方向上同族晶面的间距，根据弹性力学原理就可计算出残余应力的大小。

(4.35)5.

X射线衍射法第27页,共87页，2024年2月25日，星期天28测定原理：用X射线测定应力，被测材料必须是晶体,晶格可视为天然的光栅,X射线照到晶体上可产生衍射现象.晶面间距d和入射X射线波长:满足关系式:X射线在晶体上衍射时衍射角:布拉格定律

布拉格角

残余应力的X射线测定法第28页,共87页，2024年2月25日，星期天29将布拉格方程微分可得到:

当晶面间距因应力而发生相对变化时，衍射角将随之发生变化。所以只要测出试样表面上某个衍射方向上某个晶面的衍射线位移量即可算出晶面间距的变化量，再根据弹性力学定律计算出该方向上的应力数值。残余应力的X射线测定法第29页,共87页，2024年2月25日，星期天30

X射线衍射法测量残余应力中最常用的方法是法，其基本原理简述如下。

下图为测试的试样表面，图中、和为主应力方向。由于X射线对物体的穿入能力有限，因而X射线测量的是物体表层应力(记为)。因为物体表层不受外力时即处于平面应力状态，所以。设任意方向应变为(以与试样表面法向方向的夹角表示的方位)，按弹性力学原理，有此式中的方向是在物体表面上的投影方向。

(4.36)第30页,共87页，2024年2月25日，星期天31

可由以其方向为法向的面的面间距的变化表征，即有式中为有应力时以方向为法线方向的晶面间距；为无应力时晶面间距。

(4.37)第31页,共87页，2024年2月25日，星期天32由方程(4.35)、

(4.36)和(4.37)可得到

(4.38)式中为应力常数，是曲线的斜率。因此只需测定曲线的斜率就可得到值。

第32页,共87页，2024年2月25日，星期天33测试方法

根据上述原理原则上可采用X衍射方法对样品表面特定方向上的宏观内应力进行实际测定，现介绍衍射仪法和应力仪法。第33页,共87页，2024年2月25日，星期天341.为任意角的测定为画曲线、取分别为四点测量

测4点或4点以上的方法，叫法

衍射仪法

第34页,共87页，2024年2月25日，星期天352、00___450法其应力计算公式由(6.33)式可以得到即此时应力常数与法的不同

衍射仪法

(4.39)第35页,共87页，2024年2月25日，星期天36应力仪法之间的关系式为固定Ψ法固定Ψ0法X射线照射方式有两种第36页,共87页，2024年2月25日，星期天37用应力仪进行00____450测量时，两次所测的应变分量分别为η和(450+η)方向，所以计算公式为

(4.40)

应力仪法第37页,共87页，2024年2月25日，星期天38残余应力的X射线测定法模型推导对理想的多晶体，在无应力的状态下，不同方位的同族晶面间距是相等的，而当受到一定的宏观应力时，不同晶粒的同族晶面间距随晶面方位及应力的大小发生有规律的变化，如图所示。可以认为，某方位面间距相对于均应力时的变化第38页,共87页，2024年2月25日，星期天39残余应力的X射线测定法反映了由应力造成的面法线方向上的弹性应变显然，在面间距随方位的变化率与作用应力之间存在一定函数关系。因此，建立待测残余应力与空间某方位上的应变之间的关系式是解决应力测量问题的关键。第39页,共87页，2024年2月25日，星期天40残余应力的X射线测定法平面应力状态：在物体的自由表面，其法线方向的应力为零，当物体内应力沿垂直于表面的方向变化梯度极小，而X射线的穿透深度又很浅,这种平面应力假定是合理的取主应力方向待测方向第40页,共87页，2024年2月25日，星期天41是与的夹角，OZ与构成的平面称“测量方向平面”以及与待测应力垂直的方向、残余应力的X射线测定法是此平面上任意n方向上的应变，它与OZ之间的夹角为。则和主应变的关系为是相对于主应力坐标系的方向余弦第41页,共87页，2024年2月25日，星期天42残余应力的X射线测定法当时，对于一个连续、均质、各向同性的物体来说，根据广义虎克定律，应力应变关系为第42页,共87页，2024年2月25日，星期天43残余应力的X射线测定法在平面应力条件下，代入上页的公式对求导：结论：和随方向余弦成线性关系第43页,共87页，2024年2月25日，星期天44残余应力的X射线测定法根据布拉格方程和式，将此式对求导结论：与成线性关系

用度表示结论：宏观应力测试的基本公式第44页,共87页，2024年2月25日，星期天45残余应力的X射线测定法宏观应力表达式即为K称为应力常数，它决定于被测材料的弹性性质（弹性模量E，泊松比），及所选用衍射面的衍射角（亦即衍射面间距及光源的波长）第45页,共87页，2024年2月25日，星期天46残余应力的X射线测定法X射线穿透深度范围内有明显的应力梯度、非平面应力状态（三维应力状态）或材料内存在织构(texture)（择优取向(preferredorientation)）,这三种情况对关系的影响如图，在这些情况下，均需用特殊方法测算残余应力残余应力。第46页,共87页，2024年2月25日，星期天47

根据薄膜内的残余应力不改变薄膜的厚度，对有和无残余应力的薄膜作相同深度的压痕实验，获得两条曲线。对比两条曲线，按下图确定残余应力的符号。6.压痕法第47页,共87页，2024年2月25日，星期天48根据式(4.39)确定面积

其中

，

、

为薄膜的弹性模量与泊松比，

、

为压头的弹性模量与泊松比，对于Vickers压头，，对于Berkovich压头,。

同理

(4.39)(4.40)第48页,共87页，2024年2月25日，星期天49获得、的值后，对于残余拉应力，代入下式

计算得到。

对于残余压应力，代入下式

计算得到。

Vickers压头,Berkovich压头,圆锥压头(4.43)(4.44)第49页,共87页，2024年2月25日，星期天50

膜内应力的存在使膜基复合体产生一定程度的弯曲变形。根据弹性力学理论，由镀膜前后悬臂梁的曲率半径、中性面位置和抗弯刚度的变化，可得到镀膜悬臂梁任意横截面上应力对中性面产生的弯矩为上式是在薄膜和基体泊松比相等的条件下导出的。在通常情况下，

，上式可近似为

(4.45)(4.46)7.悬臂梁法测量原理第50页,共87页，2024年2月25日，星期天51

另外，根据弯矩定义，设膜厚为

时膜内的平均应力为

，弯矩

也为由于

，上式可近似为

由(4.46)和(4.48)可得到平均应力的表达式为在

的条件下，(4.49)式简化为

(4.47)(4.48)(4.49)(4.50)第51页,共87页，2024年2月25日，星期天52

镀膜前，基体处于平直状态，即

，镀膜后，

，

为悬臂梁长度，

为悬臂梁镀膜后自由端的挠度，(4.50)式转化为(4.51)式即为Stoney公式。Berry对Stoney公式进行了修正，用基体的平面模量

代替双向模量，那么，(4.51)式变为由(4.52)式可以看出，求解膜内残余应力时不需要知道薄膜的弹性模量。

(4.51)(4.52)第52页,共87页，2024年2月25日，星期天53

制作薄膜时，不可避免地使在基底上的薄膜产生残余应力。这种应力会对加工出来的微结构的力学行为产生重要影响。在内部残余应力的作用下，会产生几类重要的力学行为：三、残余应力对薄膜性能的影响残余应力的梯度分布使微悬臂梁弯曲残余压应力使微梁屈曲残余应力对粘附有影响

第53页,共87页，2024年2月25日，星期天54

以图4所示的压应力为例，其作用使微悬臂梁(弹性模量为)向上弯曲。

设应力的梯度分布为

应力对应的弯矩为

将式(4.53)代入式(4.54)，计算出(4.53)(4.54)(4.55)1.

残余应力的梯度分布使微悬臂梁弯曲第54页,共87页，2024年2月25日，星期天55图4由于压应力而向上弯曲的微悬臂梁第55页,共87页，2024年2月25日，星期天56如果忽略横向泊松比的影响，可以导出微梁弯曲的曲率半径

(4.56)把式(4.56)给出的弯矩代入，得到

(4.57)如果考虑泊松比对横向的影响，微梁弯曲的曲率半径为

(4.58)第56页,共87页，2024年2月25日，星期天57

有厚度为、横截面积为的矩形截面梁，其截面的惯性矩。假设梁的任一截面都承受着轴向力，的大小不变且均匀分布。与一个外部的横向均布载荷共同作用，使得微梁各部分发生位移，如果微梁所用材料的密度为，弹性模量为，并且材料是各向同性的，那么梁发生弯曲的微分方程为(4.59)2.残余压应力使微梁屈曲第57页,共87页，2024年2月25日，星期天58这里考虑的是微梁在其内部应力作用下发生的屈曲，为零。当

足够大时梁失稳。假设位移可被分离变量表示为、，则式(4.59)变为(4.60)为梁的频率，式(4.60)的解为

(4.61a)(4.61b)第58页,共87页，2024年2月25日，星期天59对于两端简支的梁和两端固支的梁将边界条件代入式(4.61a)、(4.61b)，可解出位移表达式，结构发生屈曲的临界载荷为两端简支梁

两端固支梁

进一步得到使结构发生屈曲的临界残余应力为

两端简支梁

两端固支梁

(4.63)(4.64)(4.65)(4.66)第59页,共87页，2024年2月25日，星期天60(a)悬臂梁(b)两端固支梁图5由于压应力而屈曲的微梁结构第60页,共87页，2024年2月25日，星期天614.3

薄膜的断裂韧性一、薄膜的界面性能

膜与基体界面间结合类型

冶金结合界面

扩散结合界面外延生长界面化学键结合界面

分子键结合界面

机械结合界面

第61页,共87页，2024年2月25日，星期天62

在表面涂覆技术中，覆材与基材通过一定的物理化学作用结合在一起，存在于两者界面上的结合力随涂覆类型的不同有着较大的差异。这些力既可以是主价键力，也可以是次价键力。主价键力又称为化学键力，存在于原子(或离子)之间，包括离子键力、共价键力及金属键力；次价键力又称为分子间的作用力，包括取向力、诱导力、色散力，合称为范德华力。

2.

涂层与基体界面间的结合力

第62页,共87页，2024年2月25日，星期天63材料的润湿性能界面元素的扩散情况基体表面的状态膜内的应力状态此外，涂敷的工艺参数、覆材粒子与基体表面的活化状态、覆层结晶质量等因素对覆层的结合性能也有不同程度的影响。3.

影响界面结合强度的因素第63页,共87页，2024年2月25日，星期天64二、界面断裂韧性的测量方法

1.

胶带法

胶带法是Strong于1935年提出的一种测量薄膜界面结合强度的方法，Strong用此方法测试了铝膜/玻璃基体的结合强度，具体做法如下：先把具有粘着能力的胶带贴到薄膜表面上，然后剥离胶带，测出其施加的力，并观察残留在基体上与胶带上薄膜材料的残余量，从而得出薄膜对基体的附着强弱，胶带法只能得出定性的结论，且当薄膜的结合强度超过胶带时，该方法完全失去作用。第64页,共87页，2024年2月25日，星期天652.

拉张法

拉张法通过施加一与薄膜和基体界面相垂直的拉张力来从基体上剥离薄膜，根据剥离时所施加的拉张力定出附着力。具体来说，在薄膜的表面上粘结一平滑的圆板再把基体固定住，然后再圆板相垂直的方向施加一拉力使薄膜从基片上脱落，同时测出剥离时所加的力。第65页,共87页，2024年2月25日，星期天663.划痕法

在所有测试方法中，划痕法是目前较为成熟的，也是应用最广泛的一种。它的定量精度较高，监控破坏点的手段也较多。

划痕法测试时压头以一定的速度在试样表面划过，同时作用于压头上的垂直压力逐步或连续地增大直到薄膜脱离。实际在划痕内只有很少量的薄膜是完全剥落的，因此该方法十分便于膜/基界面临界载荷（

）的确定。第66页,共87页，2024年2月25日，星期天67

划痕法中，作用在压头上的垂直压力加载方式有两种：步进式和连续式。涂层从基体剥落的最小压力称为临界载荷，记为。

划痕法是采用金刚石划针（椎角110o，曲率半径0.2mm）在恒定或连续增加的正应力作用下，以一定的速度刻划涂层表面，直至发生膜层结合的破坏，以对应得临界载荷

作为膜基结合强度的度量。其中临界载荷的确定方法有显微观察法微区成分分析法声发射法切向摩擦力法第67页,共87页，2024年2月25日，星期天684.

Shearlag模型

对于韧性基体，膜内存在裂纹时，膜是否从基体上脱落，取决于界面结合能力和基体的屈服强度。

和

分别是薄膜的断裂强度和基体的屈服强度，当

时，可用shearlag模型得到界面结合强度其中，

为膜厚，

裂纹间距，

为裂纹密度，

为界面剪切强度界面断裂韧性

满足

(4.71)

(4.72)

(4.73)

第68页,共87页，2024年2月25日，星期天69Suo-Hutchinson给出材料界面裂纹的能量释放率满足下面关系而应力强度因子与能量释放率的关系为

(4.74)

(4.75)

5.Suo-Hutchinson模型

第69页,共87页，2024年2月25日，星期天706.

气泡法

准备试样前，在平整的基体上预制一个穿透孔，然后将薄膜沉积到该基体上。

理论模型的示意图如图所示，在油压q的逐渐加大过程中，界面裂纹将逐渐扩展，薄膜将逐步被剥离。q第70页,共87页，2024年2月25日，星期天71

我们假设被剥离的部分是各向同性的半径为a的固支圆板，用vonKarman非线性板理论来分析被剥离的部分。这样在外载荷油压q的作用下，圆板中的应变能为我们应用Euler-Lagrange变分原理可以得到在固支边界条件下关于位移

和

的Euler-Lagrange耦合微分方程，由这个微分方程可以容易得到

和

,从而，进一步可以得到无量纲的膜应力和无量纲的弯矩

分别为

(4.79)

(4.80)

第71页,共87页，2024年2月25日，星期天72对于比较小的外载荷q，我们有圆板中心点的挠度值为

另一方面在无量纲的膜应力和无量纲的弯矩的作用下，界面裂纹的能量释放率由Suo和Hutchinson得到的结果为，如果用无量纲的形式表示则为进一步，我们也可以得到只依赖于无量纲参数

的数据拟合公式为

(4.81)

(4.82)

(4.83)

(4.84)

第72页,共87页，2024年2月25日，星期天73无量纲参数

为

这里

是薄膜的厚度。由于界面裂纹是混合型裂纹，我们用相角表示裂纹I和裂纹II的贡献

(4.85)(4.86)第73页,共87页，2024年2月25日，星期天744.4

薄膜的硬度

目前针对薄膜的硬度广泛采用的方法是纳米压痕法。发展纳米压痕技术的原动力在于：当压痕的形貌尺寸减至百纳米级，利用扫描电镜找到并测量压痕费时费力，且测量误差较大，直接利用测量得到的连续载荷-位移数据得出压痕面积而不是利用扫描电镜测量压痕边长时其在测量方法上区别于常规显微硬度仪的特征。该方法可以提高压痕面积的测量精度、降低测量人员的劳动强度并减少测量中的人为因素。第74页,共87页，2024年2月25日，星期天75纳米压痕硬度的定义为其中，为载荷，为压痕的投影面积而不是三棱锥硬度中的表面积，压痕投影面积根据载荷-位移曲线得出。如何由载荷-位移曲线得到是纳米压痕技术的一个关键部分。

(4.87)第75页,共87页，2024年2月25日，星期天76下面简单介绍纳米压痕技术获得薄膜硬度，其分析步骤为(1)初始卸载刚度（或柔度）

根据弹性接触理论，卸载初始阶段（卸载段的前25%-50%）的载荷-位移曲线可由下式拟合其中，为常数，由实验数据经最小二乘法得到，初始卸载刚度（或柔度）由上式微分在载荷峰值处绘出。(4.88)第76页,共87页，2024年2月25日，星期天77(3)

确定接触面积函数

其中，右端第一项为理想几何形状压头造成压痕的投影面积，后几项为几何形状的修正项，为待定系数。至此，可由任一材料的载荷-位移曲线结合(4.88)、

(4.89)和

(4.90)得到，再由定义式得到硬度值。(4.89)(4.90)(2)

确定接触深度第77页,共87页，2024年2月25日，星期天784.5

薄膜的摩擦、磨损和磨蚀

一、薄膜的摩擦学概念

即使不考虑固体表面邻近区域与块体材料间的力学特性值的区别，但由于没有掌握固体表面邻近区域的力学特性，因此还不能从块体材料的已知特性值，推测出摩擦系数的实际数值。人们已经知道，材料抵抗摩擦相对变形的微观流动和有关破坏特性，取决于材料延展性、组织、结构、表面邻近材质和局部应力等。第78页,共87页，2024年2月25日，星期天79摩擦系数(等于摩擦力除以载荷)用下式表示式中，为接触部位的个数；为每个接触部位的真实接触面积，为材料的剪切强度。取为，则为真实接触部位产生塑性变形时的材料塑性流动应力，可近似看作等于压陷硬度。在大多情况下可忽略值。

式(4.94)表明，摩擦力与表观接触面积无关而与载荷成正比，即摩擦系数与面压力无关而为恒定值，这就是所谓的Amonton第二定律。(4.94)第79页,共87页，2024年2月25日，星期天80

如果在硬质材料表面上，涂覆具有小剪切强度的材料(一般说来这种材料也软),或者用某些方法，把小剪切强度的固体或流体输送至接触表面上，由公式(4.94)就可以知道摩擦系数得以减小，即相反，在软质材料表面上，存在硬质表面层时，软质材料只要不产生贯通破坏，则式(4.94)就使用