线性方程组的表示消元法

关于线性方程组的表示消元法2定义1§1线性方程组的表示、消元法第2页,共37页，2024年2月25日，星期天3让第3页,共37页，2024年2月25日，星期天4借助于矩阵乘法，线性方程组可表示为第4页,共37页，2024年2月25日，星期天5第5页,共37页，2024年2月25日，星期天6线性方程组研究的主要问题为：（1）线性方程组是否有解？（2）线性方程组如有解，有多少个解?（3）线性方程组如有解，如何求解？如解有无穷多，如何表示所有的解？第6页,共37页，2024年2月25日，星期天7引例求解线性方程组用消元法解下列方程组的过程．消元法解线性方程组第7页,共37页，2024年2月25日，星期天8解第8页,共37页，2024年2月25日，星期天9用“回代”的方法求出解：第9页,共37页，2024年2月25日，星期天10解得(2)第10页,共37页，2024年2月25日，星期天11

从上面的例子我们可以看出，用消元法解线性方程组，实际上是对线性方程组施行了以下三种变换：

(1)互换两个方程的位置；

(2)用一非零数c乘某一方程；

(3)把其中一个方程的k倍加到另一个方程上我们称以上三种变换为线性方程组的初等变换

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这三种初等变换只改变了线性方程组的系数和常数，而未知量保持不变。因此，如果将未知量与系数和常数项分离开来，实际上是对系数和常数项构成的增广矩阵作了三种初等行变换。因此解线性方程组时只需对由系数和常数项所构成的增广矩阵作初等行变换。

第12页,共37页，2024年2月25日，星期天13问题：（1）为什么经过一系列的初等行变换以后得到的新的方程组的解为原方程组的解。我们需要给出它的理论依据。(2)是否任意一个线性方程组都有解，在什么条件下方程组无解？

第13页,共37页，2024年2月25日，星期天14第14页,共37页，2024年2月25日，星期天15第15页,共37页，2024年2月25日，星期天16阶梯矩阵定义例第一，二，三行的首元所在的列依次为2，1，3，不是严格增的，故不是阶梯行.第16页,共37页，2024年2月25日，星期天17（1）可划出一条阶梯线，线的下方全为零；（2）每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元素为非零元，即非零行的第一个非零元．行阶梯形矩阵特点：第17页,共37页，2024年2月25日，星期天18回顾:消元法解方程的过程实际上就是用一系列初等行变换把增广矩阵化为阶梯形矩阵(特别是若当阶梯形)的过程.现重新用初等行变换化增广矩阵为Jordan阶梯形的方法求解线性方程组第18页,共37页，2024年2月25日，星期天19解第19页,共37页，2024年2月25日，星期天20第20页,共37页，2024年2月25日，星期天21第21页,共37页，2024年2月25日，星期天22阶梯形第22页,共37页，2024年2月25日，星期天23若当阶梯形于是得到原方程组的同解方程组第23页,共37页，2024年2月25日，星期天24例

解线性方程组第24页,共37页，2024年2月25日，星期天25解：写出增广矩阵，对其进行初等行变换化简：以为增广矩阵的线性方程组有一矛盾方程0=47，从而原方程组无解。

第25页,共37页，2024年2月25日，星期天26注：若原方程组与同解方程组中出现矛盾方程，则原方程组无解。

第26页,共37页，2024年2月25日，星期天27例

用消元法解线性方程组第27页,共37页，2024年2月25日，星期天28解：第28页,共37页，2024年2月25日，星期天29所以原方程组的解为，与用Gramer法则所得结果一样。

第29页,共37页，2024年2月25日，星期天30例

解齐次线性方程组AX=0，其中系数矩阵第30页,共37页，2024年2月25日，星期天31解：

与原方程组同解的齐次线性方程组BX=0的一般形式为，

第31页,共37页，2024年2月25日，星期天32很显然对于任意的都能解出令，得

方程组的解为

第32页,共37页，2024年2月25日，星期天33从上面的例子可以看出，求解线性方程组分为以下几步：1.对增广矩阵作初等行变换化为阶梯形；2.若阶梯形增广矩阵对应的最后一个不为零的方程为，则原方程组无解；否则方程组一定有解.3.有解的情况下:当阶梯形增广矩阵非零数行等于未知数个数时,则解唯一;否则非零行数就小于未知数,这时候方程组有无穷多解.要解出方程组,就需要继续对阶梯形增广矩阵进行初等行变换,最终化为若当阶梯形.若当阶梯形增广矩阵对应的方程组实际上就是解(让非首元对应的未知数取任意数).第33页,共37页，2024年2月25日，星期天34证明：必要性。设满足。若，则

A可逆，有唯一解矛盾，故。

充分性。当n=1时，有非零解，假设n-1时结论成立。

定理1

设A为n阶方阵，则齐次线性方程组AX=0有非零解的充分必要条件是。

第34页,共37页，2024年2月25日，星期天35当为n时，设A经初等变换化为阶梯形矩阵B：，其中C为n-1阶方阵，P为n阶可逆矩阵。取行列式得。解同解方程组。若b=0，则是一个非零解；

第35页,共37页，2024年2月25日，星期天36若，则，由归纳假设，齐次线性方程组有非零解