天一大联考·2023-2024学年高中毕业班阶段性测试（四）数学

数学

考生注意：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘

贴在答题卡上的指定位置.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写

在本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.已知集合4=NeZIl<XW4],8=|%GZI--8X+12<0|,则4U8的子集的个数为

A.7B.8C.15D.16

2.已知复数z满足z（l+4i）=2+"则2=

,67.67.「6,7.67.

A•甘+WD司仁一行+罚nD.一行一罚

3.已知等差数列｛%I的前n项和为S.,且%寺=4,则a9-a6=

A.2B.3C.4D.6

4,已知非零向量a力满足lai=21＞，且1。-26=IQ+4＞，则明）的夹角为

AA.26LB江3C—3D—6

5.已知函数/（%）=（工+。）历-11的单调递减区间为（1,2）,则实数a的值为

A.-3B.-2C.1D.2

6.已知命题pTBc（。用，（cos疔n~（sin6）”则

A.->p：mge（。4），（cos0）9,n6>（sin。产,且-!p是真命题

B.rp：V夕G（0,于），（cos。产&>（sin6）5,且rp是假命题

C.rpT6e（o,子），（cose）x>（sine）叫且rP是假命题

D.rp：V6G（o,彳），（cos8）.d>（sine）W且rp是真命题

数学试题第1页（共4页）

7.已知圆锥SO1的高为4,体积为攀,若圆锥的顶点S与底面圆周上的所有点均在球。上，

则球0的体积为

A.187rB.241TC.361rD.481r

8.已知f(*)为偶函数,对任意xeR有f(x+2)=/(x)当“e［0,l)时,/U)=4x-2,

则方程/(，)=10g2l*-ll的所有实根之和为

A.3B.6C.7D.8

二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符

合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分・

9.在实际应用中，通常用吸光度A和透光率T来衡量物体的透光性能,它们之间的换算公式

为4=lg/，下表为不同玻璃材料的透光率：

玻璃材料材料1材料2材料3

T0.70.80.9

设材料1、材料2、材料3的吸光度分别为劣,4，则

A.A,>A2B.A2>3A3

C.Ai+A2>242D.aa>寿

10.已知函数/(*)=4sin(3t+w)的部分图象如图，则

AJQ)的最小正周期为F『

B.将/(x)的图象向右平移尹单位长度得到一个偶函数的图象廿汆

仁/(4)在［--0］上有3个零点-；

D./(x)的图象的对称轴为直线%岑+敢诙।

11.已知函数/(*)=x3+3x2+bx+l的导函数/'(%)的极值点是/(%)的零点，则

A./(x)在R上单调递增

B./(x)的图象关于点(-1,0)中心对称

C.若a+c>-2,则/(a)+f(c)>0

D.过坐标原点仅有一条直线与曲旗yqA”)相切

12.已知数列1%｝的通项公式为4=其前门项和为Sn.对任意正整数叫设

m=240-1)，其中,记/(2=b1+b2+…则

r2,n=1,

A.S=B.S-3^n(n+1)

"心2n+2

C.f(2m)=f(m)DJ(a“+3-S"+1=几

三、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知3sina=cosa,则tanfa-孑)=，

数学试题第2页(共4页)

14.如图，四棱锥P-4BCD的底面为平行四边形,£,F分别为棱4D,0C上的点,4。=34£,且

出〃平面EBF,则黑=

15.已知曲线片割在点（-1,-2）处的切线方程为广版+6,记max｛p,q|设函，

数F（«）=max|4lx-ll,fec+6|，则数动的最小值为、・，

16.如图，一个池塘的东、西两侧的端点分别为吃力,现取水库周边两点C力,测得C0=80m,

LADB=135°,Z.BDC=LDCA=15。，乙ACB=120。,池塘旁边有一条与直线AB垂直的小

路/，且点4到2的距离为206m.小张（P点）沿着小路I行进并观察4,8两点处竖立的

旗帜（与小张的眼睛在同一水平面内），则小张的视线以与m的夹角的正切值的最大值

为.

四、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤・

17.（10分）

已知等比数列｛aj的公比q=2,记其前n项和为S.,且a2,a3+3,a4成等差数列.

（I）求｛4｝的通项公式；

（口）求｛SJ的前几项和4

18.（12分）

如图，在三棱柱ABC-A.B,C,中,1平面ABC,AB=AC=AAt,AB_UC,O,E分别为棱

4C,&G的中点.

（I）求证:GD〃平面ABE；

（H）求直线BC与平面ABE所成角的正弦值.

数学试题第3页（共4页）

19.(12分)

在钝角三角形ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,6,c,已知acosA=bcosB.

(I)证明：A4BC是等腰三角形；

(H)若asinC=1且c2=246,求△ABC的面积.

20.(12分)

已知数列］anl的各项均为正数，其前n项和记为5n,a.=1，且沙=空2(人为常数).

snan

(I)若—。3构成等比数列，求人的值；

(口)若A=3,且」一+'-+…+—!—<M恒成立，求实数M的最小值.

ala302a4anan^2

21.（12分）

如图，在三棱锥P-ABC中，PAJMC,Q,D,E分别是线段/<4,QC,AC的中点，30=4,

PA=2AC=4BE=4.

(I)求证：OEJ■平面ABC；

(n)若二面角Q-BD-A的余弦值为去，求2cB.

22.(12分)

已知函数/(%)=mexeR.

(I)若/(%)>0恒成立，求m的取值范围；

Rnf(x\,

(II)设正实数叼，42「”户”(22)满足E%=2,证明：£—^nm-2e~'.

in1ia1C

数学试题第4页(共4页)

数学•答案

一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分，共40分.

1.D2.B3.D4.C5.A

6.D7.C8.B

二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分，共20分每小题全部选对的得5分,部分选对的得2分，有选错的得。分.

9.AC10.ABD11.ABC12.BCD

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.-/14./

15.华16.竽

四、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.解析（1）因为%,%+3,%成等差数列,所以2（＜13+3）=。2+%,...........................................................（2分）

得2a3+6=—+a3?,SP2a}+6=崇+2%，解得a3=12,.................................................................................（4分）

q2

所以a„=a,q"-3=12x2-3=3x2“l...............................................................................................................（5分）

（11）由（I）知%=3X2,T=3,...........................................................................................................................（6分）

所以S.=^m^=3x2'-3,.......................................................................................................................（8分）

1—z

则7；=6x,12"）_3”=3x2“+i-6-3”......................................................................................................（10分）

I—2

18.解析（I）如图，设4G的中点为F,连接4F,EF.

因为E,尸分别为与G,A,C,的中点，所以EF//A.B,,

又Afi〃4所以所以4F在平面48E内...........................................（2分）

因为4。=/4©,仇?=/4的，4。工46,所以4。n6匕.....................................（3分）

所以四边形4〃购尸是平行四边形,4F〃GD,......................................................................................................（4分）

又C"C平面/IBE,所以CW〃平面4BE...........................................................................................................（5分）

—1—

(U)以4为坐标原点,分别以为4,A1Cl,44所在的直线为X,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

............................................................................................(6分)

设4B=AC=A4]=2,则点B(2,0,2),C(0,2,2),A(0,0,2),£(1,1,0),

前=(-2,2,0),同=(2,0,0),懿=(1,1,-2)...............................................(8分)

设平面ABE的法向量为n=(%,y,z),

-A$=(x9y9z)•(2,0,0)=2x=0,rx=0,

由，,得

,n・AE=(x,yt2)•(1,1,-2)=x+y—2z=0,Ly=2z,

不妨令z=l,得平面ABE的一个法向量为n=(0,2,1)......................................(10分)

设直线BC与平面ABE所成的角为仇

则sin/Ic08s屁〉I=1^L§LJ©"”(之2&|=喳...........................(12分)

\n\\BC\6x2&5

19.解析(I)由条件及正弦定理可得sinAcosA=sinBeasB,...................................

所以sin2A=sin2B.........................................................................（2分）

因为4潭2(0,”)，且4+8£(0,“)，所以24:28或24+28=仃，

即4=8或71+8=.....................................................................（3分）

因为△ABC是钝角三角形，所以4+8*手，...............................................（4分）

所以4=8,所以△ABC是等腰三角形....................................................（5分）

(U)由题意及(I)得4=5,从而a=b.

由正弦定理得csinA=asinC=1,

所以「二七，且”就Jin(A+8)=丽，...........................................

（7分）

由c?=246=2§a,可得二二.弋—7,

sinA81n2AsmAcosA

整理得的4=与，所以4=1..............................................................

（9分）

3D

所以C=F-A-B=竽，...............................................................(10分)

由asinC=l,得6=a=

所以〃枷=/aisinC=/x^X^X^=^,..........................................(12分)

20.解析(I)令n=l,得含=叱2,即宇=中，所以a”A,...............................(1分)

3]Q]1I

令n=2,得3="+入，即1：：：%=入：入=2,所以%=]+A..................................(2分)

52%1+AA

因为由,%,%构成等比数列，所以由。3=4，..................................................(3分)

—2—

即1+4=人2,解得入=1^卜=£^<0,舍去）.........................................（5分）

（11）由已知得沪=卡,所以％—“）=351,,即4*=35@...............................................（6分）

所以册+l。n+2=：3S“.]②,由②-①得an+l（QR♦2-Qe）=3Q-l，...............................................................（7分）

又%+1>0,所以4+2-4=3,

所以数列]aj的奇数项和偶数项分别构成公差为3的等差数列.

由（I）可知=A=3,...................................................................................................................................（8分）

设」一+」一+…+---=Tn,

aa

°103Q2a4nn^2

1/1111\1111\41/11\…八、

=T（^+^-^-^）=T（1+T-^-^）=V-T（^+^h...............（1。分）

144

当几一►+8时,Q°T+8，1T（）,所以Tn<方■且Tn-^—,

故M的最小值为告..................................................................（12分）

21.解析（I）因为D,E分别是线段QC/C的中点，

所以DE//PA,B.DE=y（24=---PA=1.

因为P4_L4C,所以OE_L4c........................................................................................................................（1分）

因为BD=4,BE=l,所以DE?+BE?=耽所以DE_LBE........................................................................（2分）

又因为AC,8EU平面4BC,且ACn8E=E,...............................................................................................（3分）

所以OE_L平面43c........................................................................................................................................（4分）

（II）因为E是线段4c的中点，且有4c=2BE=2,所以△48C是直角三角形，其中48_L8C.

由（I）可知0E±平面4BC,所以可以B为坐标原点,BC,B4所在直线为明y轴，过点B且与即平行的直线

为z轴建立如图所示的空间直角坐标系..................................................（5分）

—3—

因为481BC,4C=2,设Z.4C8=6(0<6<»

J[l|AB=ACsin=2sin0tBC=4CCO80=2cos0............................................................................................(6分)

则3(0,0,0),A(0,2sin6,0),C(2cos6,0,0),Q(0,2sin6,2),0(cos6,sin8,1),

所以#=(-cosg,—sinG,-1),砂=(—cosG,sin6,1),加=(—cose,sin9,-1)........................(7分)

不妨设平面QBD与平面ABD的法向量分别为n1=(均,为冬)9n2=(8为也)，

r/l1,D6=0,rn2,DB=0,

则有T

-x{cos0-y{sin6=0,r-x2cos6-y2sin-z2=0,

{-X]cose+力sin8+Zi=0,1-42cos6+ysin6-z=0・

22

分别令=COS%此时有分

Z[=sin6,Z2A[=(0,-1,sin8)9n2=(-1,0,cos(10分)

sin0cos8________1

则lcos〈〃],n)I=(U分)

2+sir?©,>/l+cos203

整理得sin22^=1.

因为0<6</,所以sin26=1,26="^■，即学,

所以〃3学(12分)

22.解析（I）｛£）20恒成立，等价于亍恒成立，即mN（卞）...........................（1分）

设=事则"*）=匕二.........................................................（2分）

当，V1时,“（，）>0,中（工）单调递增，当*>1时,“（/）<0,中（*）单调递减，

所以「（"）„,=«（1）=',...........................................................................................................................（3分）

e

故m的取值范围是［3',+8）...................