高中数学一轮复习 对数函数

第2.5章基本初等函数

2.5.5对数函数

课程要求心中有敷

1理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然(常

用)对数;通过阅读材料，了解对数的发现历史以及对简化运算的作用；

2通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数

高中要求

的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型；能借助计算器或计算机画出具体

对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点；

3知道指数函数y=ax和对数函数y=log。x互为反函数.

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1对数函数的概念

函数y=Zog。尤(a〉。，a41)叫做对数函数，其中久是自变量，定义域是(。,+8),

解释

函数y=/ogM中系数为1,底数是不为1正实数的常数，真数为变量北

【例】判断下列函数是否为对数函数：

(l)y=log2x+1(2)y=log3(x-2)(3)y=3log5x(4)y=logix

解(1)不是，对数式后加了2；(2)不是，真数不是x；(3)不是,系数不为1；(4)是.

2图像与性质

a>10<a<1

4尸

图像：一

°\z(M)r

定义域(。，+8)

值域R

过定点(1,0)

奇偶性非奇非偶

单调性在(0,+8)上是增函数在(0,+8)上是减函数

变化对图像在第一象限内，a越大图象越靠低；

的影响在第四象限内，a越大图象越靠高.

可与指数函数就函数的定义域、值域、单调性等函数性质进行比较学习.

［例1］画出函数y=log2x^y=log工尤的图象，说下他们的函数性质.

2

y=log2x：定义域是(0,+8),值域是R,在(0,+8)上递增，非奇非偶函数;

y=logix：定义域是(0,+8),值域是R,在(0,+8)上递减，非奇非偶函数.

2

y=log2%与y=log”关于％轴对称.

2

3对数型函数模型

形如y=且女。a>0,且aH1)的函数称为对数型函数.

经典例题从典例中见解Hfil力

【题型1】对数函数的概念

【典题1】已知对数函数f(x)的图象经过点C，2),试求f(3)的值.

解析设f(%)=logax(a>0,且aW1),

2

••,对数函数/(%)的图象经过点(不2),・•.(目=loga1=2.a=1.

・•・a=|,・•・/(x)=logi%.

33

f(3)=logi3=logiG)=—1.

变式练习

1.已知对数函数/(%)的图象经过点(100,2),则函数/(%)解析式为.

答案/(%)=lgx

解析设/(久)=logax(a>0,且aW1),

贝Ulogal00=2,解得a=10,

所以/(%)=igx.

2

2.函数y=log5(%-2x-3)的定义域是.

答案｛久>3或％<—1]

解析由/-2%-3>0,解得％>3或％<-1,故答案是｛%|%>3或久<-l｝o

【题型2】对数函数的图象以及性质

【典题1】如图所示的曲线是对数函数y=logaX的图象.已知a从旧2,中取值，则相应曲线C1，0，。3,

。4的a值依次为()

A-^444B-低"2CD.pV3,^,|

解析由底数对对数函数图象的影响这一性质可知，C4的底数<。3的底数<。2的底数<的的底数.故相应于

曲线Ci，C2,C3,C4的底数依次是祗相，裔.

变式练习

1.函数y=(；尸与函数/(%)=log”的图象的交点的个数为()

32

A.0B.1C.2D.3

答案B

解析分别画出函数y=(；尸(红色曲线)与函数f(x)=bg”(蓝色曲线)的图象，如图所示

$7

由图象可知，函数y=(；尸与函数/(久)=Zogy的图象的交点的个数有1个，

32

故选：B.

2.函数y=2g|x|()

A.是偶函数，在区间(-8,0)上单调递增B.是偶函数，在区间(-%。)上单调递减

C.是奇函数，在区间(-8,0)上单调递增D.是奇函数，在区间(-8,0)上单调递减

答案B

解析函数y=匈因定义域为｛x|xK。｝,而-尤|=匈因,所以该函数为偶函数，

y=国久在(0,+8)上单调递增,

.•・函数y=国因在(一oo,0)上单调递减，在(0,+8)上单调递增；故选8.

3.函数y=匈(|%+1])的大致图象是()

解析•.•函数y=lg(\x+1|)=1，

・•・当久>一1时，y=lg(x+1)的图象是函数y=Zg%的图象向左平移1个单位得到的；

当％V-1时，y=0(一%-1)的图象与函数y=lg(x+1)的图象关于直线％=-1对称,

・,・函数y=Ig^x+1])的大致图象是B.

4.已知函数/(%)=lg\x-l\f下列命题中所有正确的序号是.

(1)函数/(%)的定义域和值域均为A；

(2)函数/(%)在(-8,1)单调递减，在(1,+8)单调递增；

(3)函数/(%)的图象关于y轴对称；

(4)函数/(%+1)为偶函数；

(5)若f(a)>0,则aV0或Q>2.

答案(2)(4X5)

解析,・•函数/(%)=-1|,故有％-1。0,x1,

故定义域为｛%|xW1｝HR,故(1)不正确.

由函数y=匈|%—1|在(一8,1)单调递减，在(1,+8)单调递增，可得

函数/(%)=均|%—1|在(一8,1)单调递减,在(1,+8)单调递增，故(2)正确.

由于函数/(%)的定义域不关于原点对称，故函数/(%)不具有奇偶性，故(3)不正确.

由于函数/(%+1)=匈团，其图象关于y轴对称，故是偶函数，故(4)正确.

由f(a)>0,则有0|a—1|>0,故

a-1>1或a—1<—1,

a<0或Q>2,故(5)正确,

故答案为⑵(4X5).

【题型3】对数函数的应用

0A

【典题1］设a=6,b=log040.5,c=log80.4,则a,hc的大小关系是()

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.b<c<a

04

解析va=6>l,b=log040.56(0,1),c=log80.4<0,

••a>b>c.故选：B.

【典题2】不等式10g2(7—1)<1的解集为.

22

解析log2(%-1)<1<=>log2(%-1)<log22

0<x2-1<2,解得一或1<%<国.

【典题3】已知/(%)=2+log?%,%€［1,3］,求y=+/(，)的最大值及相应的％.

解析,・•/(%)=2+log3x,xe［1,3］,

・・x22

•y=Lf()］+/(/)=(log3x)+6log3x+6且定义域为［1,3］•

令t=log3%(xG［1,3］).

•・・t=log?%在区间［1,3］上是增函数，04£W1.

从而要求y=+/(/)在区间［1,3］上的最大值，

只需求y=/+6t+6在区间［0,1］上的最大值即可.

・・・y=产+6t+6在［-3,+8)上是增函数，

・••当t=l,即％=3时，ymax=1+6+6=13.

综上可知，当％=3时，y=+/(第2)的最大值为13.

变式练习

[若a=Log215b=c=2°?,则()

A.c<b<aB.b<c<aC.a<b<cD.b<a<c

答案D

02

解析log20.1<log2l.S<log22=1,2>2°=1；

b<a<c,故选：D.

2.已知“久)=<1在区间(一8,+8)上是单调递增函数，则实数a的取值范围是(

A.(1,6)B.[1,6)C.[1,|]D.(1,+8)

答案B

解析/(X)在(-%+8)上为单调递增函数；

6—a>0

・•.a>1；解得，|<a<6；

、(6-CL),1—4a〈logJ

.•・实数a的取值范围为《,6).故选：B.

3.设a>0,b>0,则下列叙述正确的是()

A.若仇a—2b>Inb—2a,则a>bB.若ma—2b>Inb—2a,则a<b

C.若伍a—2a>仇b—2b,则a>bD.若仇a-2Q>仇b—2b,则QVb

答案A

解析,-ey=与y=2%均为增函数，

故/(%)=1rlx+2%在(0,+8)上为增函数，

故f(a)>f(b)a>b>0,

即仇a+2a>Inb+2Z?<=>a>h>0,

即仇a~2b>Inb—2a=a>b>0,

故选：A.

4.不等式10g2(%2-1)<3的解集为.

答案—3VxV—1或1V%V3

2

解析log2_1)<3Qlog2(%-1)<log28

0<x2—1<8，解得—3<x<—1或1V%V3.

5.函数y=logi(x2一6%+10)的值域是.

答案（一8,0]

解析0**t=x2—6%4-10=(%—3)2+1>1

・,・内层函数的值域变[L+°°),而y=logit^[l,+8)是减函数，故y<logil=0

22

・,・函数一6%+10)的值域是(一8,0],故应选C.

2

6.已知函数f(x)=loga告(a>0,且aH1).

(1)求函数/(x)的定义域；

(2)判断函数f(x)的奇偶性；

(3)求使f(x)>0的x的取值范围.

答案(1)(-1,1)(2)奇函数(3)当a>1时，0<x<1；当0<a<1时，-1<x<0.

解析(1)由m>0,得一故函数f(x)的定义域为(一1,1).

(2)•••/(-x)=log芸=_log分=一/(%)，

aL-rXa1-X

又由(1)知函数/(久)的定义域关于原点对称，

・,・函数/(%)是奇函数.

(3)当a>1时，由loga岩>0=loga1,得吉>1，解得OV%<1;

当0Va<1时，

由10ga占>0=10gaL得0<1-若<1,解得一l<X<0.

故当。>1时，工的取值范围是｛%[0<久V1｝;

当0Va<1时，％的取值范围是｛%|-1<%V0].

7.已知函数/(%)=[003(1%)」003(27%),其中％G[1,3].

(1)求函数/(%)的值域；(2)求函数/(%)的单调区间.

答案(1)[—4,0](2)[1,3]

解析(l)/(x)=log3(^x)-log3(27x)=(-1+log3x)(3+log3x),x6[1,3]

令t=log3xe[-2,1],

则9(t)=(-1+t)(3+t)=产+2t—3=(t+I)?-4,tG[—2,1]

当t=一1时：g(t)min=g(—1)=一4,

当t=1时：g(t)max=g(l)=0

函数f(x)的值域为：/(%)e[-4,0]；

2

(2)由t=log3K在*6弓,3]为增函数，并由(1)知g(t)=(t+I)~4,

在te[-2,-1]为减函数，在t€1,1]为增函数，

即当te[—2,—1]时，此时/(%)为减函数；

当—时，此时久€虑,3],/(%)为增函数.

综上：/(X)单调减区间为：XG/(X)单调增区间为：X6[1,3].

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1.若函数/(%)=loga(%+b)的图象如图，其中a,5为常数.则函数g(%)=a"+b的大致图象是()

解析由函数/(%)=loga(%+b)的图象为减函数可知0<aV1,

/(%)=loga(%+b)的图象由/(%)=loga%向左平移可知0<&<1,

故函数9(%)=凝+b的大致图象是。，故选D.

2.已知匈a+Igb=0,函数/(%)=谟与函数g(%)=-log》化的图象可能是()

答案B

解析Iga+Igb=0,・•.ab=1则b=:

从而g(%)=—logbx=logax,

・•・函数/(%)与函数或式)的单调性是在定义域内同增同减

结合选项可知选8.

3.设a=log23,b=q,c=log34,贝瓦c的大小关系为()

A.b<a<cB.c<a<bC.a<b<cD.c<b<a

答案D

.,_1441

角牛析a—log23>log22^=-=b,b-log3竽>log34=c,

•••a,b,c的大小关系为c<b<a.

故选：D.

4.函数/(%)=log?(a/+2%+a)的值域为R,则实数a的取值范围为()

A.[L+8)B.(0,1)C.[-1,1]D.[0,1]

答案D

22

解析令g(%)=ax+2%+a,因为函数f(%)=log2(ax+2%+a)的值域为R,

所以g(%)的值域包含(0,+oo).

①当。=0时，以久)=2%,值域为R3(0,+8),成立.

②当aKO时，要使g(x)的值域包含(0,+8),贝4a2>0'解得0<aWL

综上，CLG[0,1].

故选：D.

5.若实数x,y,z互不相等，且满足2久=3?=log4Z,贝(!()

A.z>x>yB.z>y>x

C.z>x,z>yD.以上三个答案都不正确

答案C

yk

解析设尹=3=log4z-k>0,则x=log2fc,y=log3fc,z=4,

由指数函数图象与对数函数图象的关系易得：z>久，z>y,

故选：C.

6.已知/(短)=x,则/(5)=.

答案In5

解析令力=ex,则％=Int,所以/(t)=Int,即/(%)=Inx.所以/(5)=In5.

2

7.函数y=log5(x-x-2)的定义域是.

答案{加久>2或1}

解析由/-%-2>0,解得汽>2或％<-1,故答案是{制工>2或％<-1}.

8.设函数若函数八%)的值域为兄则实数a的取值范围是

答案［1,+8)

解析x>e时,/(x)>1,x<e时,/(%)=a-x2<a,

・・,函数的值域为R,・•.a21,

・・.实数Q的取值范围是［L+8).

9.若关于％的方程/。史％=含在区间(0,1)上有解，则实数6的取值范围是

答案(-8,0)U(1,+00)

解析当久6(0,1)时,logixe(0,+oo),

2

所以要使方程1。%久=Ei在区间(0,1)上有解，只需热>0即可，

解得m<0或zn>1,所