2022-2023学年北京市高一年级下册期中考试数学模拟试卷（含解析）

2022-2023学年北京市高一下册期中考试数学模拟试卷

(含解析)

一、单选题(本大题共10小题，共50分.在每小题列出的选项中，选出符合

题目的一项)

1.给出下列命题正确的是()

A.若卜卜W，则Q=加B.若Q=坂，B=C,则Q=C

C若W=W且α〃B，则α=BD.若4〃B,B〃c，则4〃C

【正确答案】B

【分析】根据向量平行及相等定义分别判断各个选项即可.

【详解】对于A,当Z与B方向不同时，£=弓不成立，，人错误，

对于B,若a=b，b=c，贝∣Jα=c,，B正确，

对于c,当Z与B方向相反时，Z=B不成立，，c错误，

对于D,当B=G时，满足£〃B，b∕∕c'但£〃"不一定成立.所以D错误.

故选：B.

2.在“8C中，A为钝角，则点P(tan8,cos4)()

A.在第一象限B.在第二象限C.在第三象限D.在第四

象限

【正确答案】D

【分析】根据题意，得到A为钝角，所以8为锐角，可得tan8>0,cosΛ<0,即可求解.

【详解】因为—8C中，A为钝角，所以B为锐角，可得tan8>0,CoSN<0,

所以点尸(tanB,cos4)在第四象限.

故选：D.

3.要得到函数V=COS2x+。的图象，只需将函数y=cos2x的图象()

tTT

A.向左平移。个单位长度B.向左平移土∙个单位长度

6

TT

C.向右平移一个单位长度D.向右平移。个单位长度

6

【正确答案】B

【分析】直接利用三角函数的平移变换求解.

(7r∖Γ(7r∖

【详解】因为函数y=cos2x+w=Cos2%+-,

\3J[_V6人

所以要得到函数y=cos(2x+。]的图象，只需将函数V=CoS2x的图象向左平移?个单位

长度，

故选：B

本题主要考查三角函数的图象的平移变换，属于基础题.

4,函数/(x)=COS22x—sin?2x的最小正周期是()

π

A.—B.πC.2乃D.4万

2

【正确答案】A

【分析】利用二倍角公式化简/(x)解析式，由此求得其最小正周期.

【详解】依题意/(x)=COS4x,

所以/(x)的最小正周期为T=今='.

故选：A

5.已知tana=2,tan/?=3,则tan(α+P)=

11

A.1B.—1C.—D.

77

【正确答案】B

【详解】tan(α+0=产3=三三=T,故选B.

1-tan«∙tanβl-2×3

6.设a，b,C是非零向量，则"a石=a∙c"是"B=c"的()

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【正确答案】B

【分析】分别判断充分性和必要性成立情况得出结论.

【详解】若a∙6=a∙c,则a,仅—c)=O,a_L(B—c)4b=c；

若E=C'则B—c=a∙G=O即—c)=Ona∙B=a∙c-

,ia-b=a-c,'Mub=c,'的必要而不充分条件;

故选：B.

7,已知COS-a)=g,则sin2a=()

1177

A.-B.—C.—D.——

552525

【正确答案】C

【分析】

方法一：因为sin2a=sin--2----a=cos2--a所以根据余弦的二倍角公

[214〃(4JJ

式求解即可；

方法二：将条件式打开，然后观察其与目标式的关系然后求解.

【详解】法一：因为CoS-aj=∣∙,

所以sin2a=siny-2^-a]=cos21?一a1-2cos2Z)7

、4J25

故选：C.

πΓ所以争

法二：因为CoS--crCOSa+sinα)=±

)5

所以COSa+sinα=勺&，平方得l+sin2α=%•，得sin2tz=1".

52525

故选：C.

本题考查三角恒等变换，考查给值求值问题，难度一般.通常求解给值求值问题，要先将目

标式化简，观察其与条件式的关系，然后再运用公式求解.

TT

8.已知函数/(x)=Sin3x-cos3x(3>0)图象的相邻两条对称轴之间的距离为一，则下

2

列结论错误的是()

A.7(x)的图象关于点(一事,0)对称

B./(尤)在上单调递增

c∙/(χ)在θɪ上的值域为[—1,1]

D.将/(X)的图象向右平移工个单位长度，得到的函数图象关于V轴对称

8

【正确答案】C

【分析】利用辅助角公式将函数化简，再根据函数的最小正周期求出。，即可得到函数的

解析式，由正弦函数的对称性可判断A；根据正弦函数单调性通过解不等式可判断B；根据

X的范围和正弦函数的性质直接求解可判断C；由函数图象的平移变换，结合余弦函数的性

质可判断D

【详解】解：/(x)=sinωx-cosωxV∑sinlωx-^∖(ω>0),

TT

•••函数/(X)图象的相邻两条对称轴之间的距离为一,

2

π2TT

函数的最小正周期是一x2=7，.∙.T=7=—,

2ω

.'.ω=2,/(x)=V∑sinf2x-^j,

:一~—J≈sinl—---J=sin(-æ)=O,/(x)关于[--^-,0J对称，故A正确；

77"TTJTJTj7Γ

由----∖-2kπ<Ix≤——∖-2kn,k∈Z,解得----∖-kιt<x<-----∖-k‰k∈Z,

24288

<^ΓΓ^τ,ʌ,rr

所以/(X)的一个单调增区间为一7,丁，而—~~~O9~O~，

_OoJ|_124J[_oo

.∙∙∕(x)在q,?上单调递增，故B正确；

当0≤x<工时，有0≤2x≤π,则一工≤2x-工<3不，所以一^^<sin2x--≤1,

24442I4)

Λ∕(X)∈[-1,√2],故C错误；

将/(x)的图象向右平移C个单位长度得到

8

V=J∑sin2(》一方)一；=&5也(2》一:1]=一&(：052%关于3;轴对称，故D正确.

故选：C

9.己知AZ8C的外接圆的圆心为O,/8=20，AC=2y∕2'/氏4。为钝角，M是线段

BC的中点，则痂.近=()

【正确答案】C

---------1——-ULUUUU

【分析】将/Λ∕=Q(45+/C)表示出来，代入运算即可，AB与No的夹角用半径表

示出来即可.

【详解】∙.∙M为BC的中点，.∙.万7=；(益+万)，设外接圆的半径为R,NC与/BAO

互余，

故CoS∕BAO=sinNC,

uuurUUir1uurUUirιuuuruuιrι..∕Ξι.ʃ

AM-AO=-AB-AO+-AC-AO=-×2yrβ×R×-+-×2r^×R×-=3+2=5.

222R2R

此题考查基本向量运算，关键的在与半径形成的两向量的夹角余弦值用半径和边长表示出来

即可，属于较易题目.

10.17世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定

理，另一个是黄金分割.如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿

黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它

是一个顶角为36°的等腰三角形（另一种是顶角为108。的等腰三角形）.例如，五角星由五个黄

金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金AZ8C中，生=避二L根据

AC2

这些信息，可得sin234°=（）

,l-2√5r3+√5r√5+l

484

4+√5

8

【正确答案】C

【分析】先求出CoSN/CB=避二ɪ,再根据二倍角余弦公式求出CoSI44'，然后根据诱导

4

公式求出Sin234n∙

【详解】由题意可得：NACB=7*，且“°后―1，

COSZ-Zzι∖^D——

AC4

√5+l

所以COSl44'=2cos272,-l=2χ

4

所以sin234"=Sin(144"+90')=cos144°=一占十∣,

故选：C

本题考查了二倍角的余弦公式和诱导公式，属于基础题.

二、填空题(本大题共6小题，共30.0分)

一C,.2sina-cosα

11.已知tana=2,r则------------=___________.

Sina+cosα

【正确答案】1

.—2sina-COSa2tana—12×2-l,

【详解】-------------=----------=--------=1.

sina+cosatanα+12+1

12.已知向量力=(3-2),⅛=(1,3),若万工5,则归+同=.

【正确答案】5√2

【分析】由)工B可得∕l=6,G+B的坐标表示，后由向量模的坐标表示可得答案.

【详解】因)从，则2—6=0=>2=6,方+B=(7,1),则B+N=ΛΛ77T=5√Σ.

⅛⅛5√2

35

13.已知α,/?都为锐角，Sina=M,cos(α+/7)=百，则COS夕的值为.

【正确答案】—

65

【分析】首先利用角的变换得COS夕=CoS[(α+A)-α],再结合两角差的余弦公式，以及

同角三角函数基本关系式，即可求解.

【详解】因为见4都是锐角，所以0<α+4<π,

cosa=Vl-sin2a=-sin(α+A)=JI-cos?(α+/?)12

13

所以

cosβ=COS[(α+/?)—α]=cos(α+P)c°sα+sin(α+0Sina=乜3巴L史

'713513565

故些

65

14.求值：tan55o+tan65o-ʌ/ɜtan55otan65o

【正确答案】-6

【分析】利用两角和的正切公式展开变形后可以求值

【详解】因为tan120°=tan(55o+650)=Jan550+tan65：=Y

1-tan55tan65

即：-√3+√3tan55otan65°=tan55°+tan65o

故：tan55o+tan65o-ʌ/ɜtan55otan65o=-ʌ/ɜ

故答案为∙-JJ

15.如图所示，点尸是单位圆上的一个动点，它从初始位置《。,0)开始沿单位圆按逆时针

方向运动角ɑ[θ<α<])到达点片，然后继续沿单位圆逆时针方向运动?到达点£,若

【正确答案】3--4

10

【分析】由E在单位圆上，得出鸟的坐标，再根据三角函数的定义得出COSa的值,

从而求出sin[α+?J的值，再运用两角差的余弦公式求解.

（Jr∖4TtTtSTT

【详解】由题意得CoSla+=I=-∙.∙-<α+-<——,

I3J5336

・•.sin(α+33

I3J5

(πy∖π

：.cosα=cosa+———

Ll3j3

(兀\π.(π∖.π

-cosa+—cos—+sɪna+—sin—

I3j3I3)3

%"斗与电+公

2Iɜj2I3；

14+V3x3=3^3-4

=—×

252510

故填.地心

10

本题考查三角函数的定义、同角三角函数的平方关系和两角差的余弦公式的应用，本题运用

了角的配凑思想：用已知角表示待求的角，此配凑思想是解决此类问题的常用方法，如果本

JlʌJIJl

«+—I=COSaCoS二一SinaSin不展开来求CoSa的值，运

（3）33

算比较复杂，此题属于中档题.

16.“勾股定理”在西方被称为“毕达哥拉斯定理”，三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾

股圆方图”，用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明.如图所示的“勾股圆方图“中，

四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形.若直角三角形中较小的锐角为

现已知阴影部分与大正方形的面积之比为3，则锐角α=.

【正确答案】—

【分析】先设大正方形的边长为α再表示小正方形边长,利用几何图形面积比找到。,与ɑ的关

系，最后应用同角三角函数关系结合二倍角公式即可求解

【详解】如图所示：设NZDN=α,大正方形边长为。，

则DN=acosa，AN=QSina，MN=acosa-QSina,

y+∙⅛cosα

则S阴=(QCOSa—QSina)×(QSina

f2v

O(QCOSa-QSHIa)+(QCOSa)X(QSnla

3阴J2'''

S-2

JABCDa

sin2(7+COS2(7-2sinacosα+—sinαcosa=-,

28

331

化为一Sin2a=-,则sin2a=-,

482

由题意α∈[θ,;,则2α∈(θ,5),

TTTr

故2。二一，解得α=L.

612

π

故答案为.--

12

三、解答题（本大题共6小题，共72.0分.解答应写出文字说明，证明过程或

演算步骤）

17.已知平面向量问=1,同=2,向量Z与B的夹角为60°.

(I)求U与卜+34；

(2)求证：

【正确答案】(1)a-b=∖^p+36∣=√43

(2)证明见解析

【分析】(1)代入向量数量积，以及模的计算公式，即可求解;

(2)要证明向量垂直，转化为证明仅-B)∙Z=o.

【小问1详解】

由题意，<7∙Λ=∣<7∣∙∣⅛∣COS60O=1×2×-ɪ=1,

+6a∙b+9b^=Jl+6xl+9x4=yj43;

【小问2详解】

证明：由(1)得Q∙B=1,

所以(α-1)∙α=Q-a`b=1—1=0,

故α.

18.如图，已知：正方形/BCZ)边长为1,尸是正方形48C。的对角线8。上一点，四边形

PE4E为矩形.建立坐标系用向量法证明：

(2)PCLEF.

【正确答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

【分析】直接建系，设。尸=厂，则每个点的坐标都可以表示，用向量的坐标运算证明即可.

【小问1详解】

证明：以点。为原点，ZM所在的直线为Jr轴建立平面直角坐标系，如图:

y↑CB

设C(0,1),力《,0),5(1,1),

设PPl=尸，则尸ɔʃ-r,ɪr,

\/

•^PC=[--rl--r]

,・[2"2J，

E点、为ɪ,ɔɛʃ'>"'[(ɪ匕0)，

-I∖(√ΣYf√ΣY

Λ122

R=O⅛W邛KJlJ

.∙.PC=EF；

【小问2详解】

______(√∑Y√∑斗「争(争)

由(1)得，PC∙EF=--r—r-

I2A2

，八也一身+L』，

2222

所以无_1_而，即尸CJ∙E77∙

19.已知α,α为锐角，sin(α:店,cos(α÷∕7)=-ll.

(1)求COSa的值;

（2）求角4.

【正确答案】（1）ɪ

7

'、"12

【分析】（1）一方面由题设条件可解得eos[ɑ-^j=]^,另一方面，

Tl

H+-利用和角公式展开即得所求

（2）要求角〃，可以先求sin/7,而SinA=Sin[（α+力）一ɑ]利用差角公式展开即可，结

合夕的范围即得所求

【小问1详解】

所以COSa=CoSa——+—

ʌ3√3.

’兀、π.(.π1

I3j3I3；37

【小问2详解】

因为α,仅为锐角，所以0<α+夕<π,则sin(α+∕J)>O,

因为COS(α+，)=—荷,所以sin(α+4)=JI-CoSɪɪ(α+β)-~~~^•

又α为锐角，COSa=L,所以Sina=JI-COS2a=4"，

77

故Sinβ=Sin[(α+p)-α]=Sin(O+/ŋcosα-COS(α+/ŋsinɑ

=辿XTlIX拽=亘

1471472

Tr

因为尸为锐角，所以4=g∙

八兀兀'

20.己知函数/(x)=SinOX+9)(υ>0,——<φ<-的部分图像如图所示.

22)

（1）求函数/（x）的解析式：

（2）若X«0,兀］,求函数/（x）的最值.

（ɪJl

【正确答案】（1）/（x）=sin-X+—

126

（2）最小值为最大值为1

【分析】（1）最值求A,周期求特殊点求求0；（2）先求出ox+。的范围，再求/,（X）

最大和最小值即可.

【小问1详解】

2ππ,2π1

由图像知，/（X）的最小正周期T=4一+—=4π=—CD=-

33ω2

又函数/（χ）过点（年,1）,

、

/.sinlχ‰=1.

23/

712兀，~兀兀兀

・，・—∖-φ—z,κτιH—,Zτ∈Z,—<0<_f：∙(P=一

32226

1πj

/.f(X)=sin—x+-.

26)

【小问2详解】

π1π2π

x∈[θ,π],—≤-x+-≤——

6263

TCTt兀2兀

∙.∙函数y=sinX在上单调递增，在上单调递减,

6223

τ7...π1.π,2π√3

又・sin—=—，sin—=1,sin—=—，

62232

函数N=SinX在ɪ-ɪ上的最小值为J,最大值为1.

632

...函数/(x)的最小值为最大值为L

.f*ɪ

21.已知函数［(x)=2。Qsxsmx+-

I6J2

(1)求/(χ)的最小正周期;

(2)求/(x)的单调递减区间以及在区间一五，一W上的最值.

JT2乃

【正确答案】(1)T=»：(2)递减区间是％万+%■,«万+于CkeZ),最小值是-1,最

大值是0.

【分析】

(1)先利用三角恒等变换化简函数解析式，再求最小值:

(2)将3X+9代入正弦函数的单调区间求解单调区间，通过计算&X+9的范围求值域.

π

【详解】(1)/'(X)=2cosXsinx+-

62

2鹏皿21

I22J2

Λ∕3sinxcosx+COS2X-ɪ

2

√3.C1+cosIx1

——sɪnZxH---------------------

222

=—sin2x÷lcos2x

22

=sin2x-∖——

I6j

所以/(x)的最小正周期T=芳=".

JII3TT

(2)由2kτιH—≤2x4—≤2k兀H----QkwZ),

262

7127

得kτιH—≤X≤kτcH-----QkwZ),

63

所以/(x)的单调递减区间是口乃+工,版■+玛(AreZ).

63

,77Γ7Γ,7VTl

当XE-----,----时，2xH-----∈―兀,---,

~L124J6L3」

则sin(2x+令∈[-l,θ].

/JTJ1T

故/(χ)在区间一五，一区上的最小值是-1，最大值是O∙

本题考查利用恒等变换化简三角函数解析式，求解函数性质；涉及单调区间、最小正周期以

及值域的求解，属三角函数综合基础题.

22.某游乐场的摩天轮示意图如图.已知该摩天轮的半径为30米，轮上最低点与地面的距

离为2米，沿逆时针方向匀速旋转