《概率论教程》 课件全套 曹显兵 第1-5章 随机事件与概率- 大数定律与中心极限定理

随机事件与概率

-初等概率模型概率论1/372022/02/23随机事件与概率随机事件及概率古典概率模型几何概率模型作业目录2/372022/02/23随机事件与概率在中学，同学们都接触过概率论的一些基本知识，本节的主要任务是带领同学们回顾一下中学学习过的概率论的基础内容.1.随机现象：在一定条件下，并不总能出现相同结果的现象，如抛一枚硬币、掷一颗骰子等.2.随机试验：具有以下三个特征的试验(1)可以在相同的条件下重复进行；(2)每次试验的结果不止一个，且能够事先明确所有可能的结果；(3)每次试验前不能确定那个结果会出现.随机事件及概率3/372022/02/23随机事件与概率

随机事件及概率4/372022/02/23随机事件与概率

随机事件及概率5/372022/02/23随机事件与概率

随机事件及概率6/372022/02/23随机事件与概率

随机事件及概率7/372022/02/23随机事件与概率

随机事件及概率8/372022/02/23随机事件与概率粗一看，概率的主观定义不是很科学，“个人信念”的主观色彩太浓.但仔细一想，现实世界中却有一些“可能性大小”是由个人信念来确定的，而且这样确定的概率合乎实际，对人们的决策和行动有重要的指导作用.注“概率”是现代科学中最基本的概率之一，像科学和哲学中的许多基本概念一样，很难给出无懈可击的精确定义.为了避免含糊不清，数学上将用公理化方法给“概率”下定义，他不直接回答“概率”是什么,而是把“概率”应该具备的几条基本性质概况出来，把具有这几条性质的量叫做概率.随机事件及概率9/372022/02/23随机事件与概率

古典概率模型10/372022/02/23随机事件与概率

古典概率模型11/372022/02/23随机事件与概率

古典概率模型12/372022/02/23随机事件与概率例4在由6位女教授和16位男教授组成的候选人中，随机地选出11位理事.(1)求有3位女教授当选的概率；(2)求6位女教授都当选的概率.古典概率模型13/372022/02/23随机事件与概率

,古典概率模型14/372022/02/23随机事件与概率

古典概率模型15/372022/02/23随机事件与概率

古典概率模型16/372022/02/23随机事件与概率

古典概率模型17/372022/02/23随机事件与概率

古典概率模型18/372022/02/23随机事件与概率

古典概率模型19/372022/02/23随机事件与概率

古典概率模型20/372022/02/23随机事件与概率

古典概率模型21/372022/02/23随机事件与概率

古典概率模型22/372022/02/23随机事件与概率例9

有10本不同的书，把他们随机地分给5个人.

求：(1)甲，乙，丙各得两本，丁得3本，戊得1本的概率；(2)有三人各得两本，有一人的三本，有一人得一本的概率.古典概率模型23/372022/02/23随机事件与概率

古典概率模型24/372022/02/23随机事件与概率

古典概率模型25/372022/02/23随机事件与概率

古典概率模型26/372022/02/23随机事件与概率

几何概率模型27/372022/02/23随机事件与概率

几何概率模型28/372022/02/23随机事件与概率

几何概率模型29/372022/02/23随机事件与概率例11

甲乙两人约定在下午6时到7时之间在某处会面，并约定先到者等候另一个人20min，过时即可离去.求两人可能会面的概率.几何概率模型30/372022/02/23随机事件与概率

几何概率模型31/372022/02/23随机事件与概率

几何概率模型32/372022/02/23随机事件与概率

几何概率模型33/372022/02/23随机事件与概率

几何概率模型34/372022/02/23随机事件与概率

几何概率模型35/372022/02/23随机事件与概率

作业36/372022/02/23随机事件与概率

作业37/372022/02/23随机事件与概率概率论随机事件与概率

–概率的公理化体系2022/02/15随机事件与概率38/26目录2022/02/15随机事件与概率39/261

σ

代数2

概率4

作业3

概率的基本性质

σ

代数2022/02/15随机事件与概率40/26

σ

代数2022/02/15随机事件与概率41/26σ

代数

2022/02/15随机事件与概率42/26

σ

代数2022/02/15随机事件与概率43/26

σ

代数2022/02/15随机事件与概率44/26

σ

代数2022/02/15随机事件与概率45/26

概率2022/02/15随机事件与概率46/26

概率2022/02/15随机事件与概率47/26

概率2022/02/15随机事件与概率48/26

概率的基本性质2022/02/15随机事件与概率49/26

概率的基本性质2022/02/15随机事件与概率50/26概率的基本性质

2022/02/15随机事件与概率51/26

2022/02/15随机事件与概率52/26概率的基本性质概率的基本性质例3

抛一枚硬币

5次,求既出现正面又出现反面的概率.2022/02/15随机事件与概率53/26概率的基本性质

2022/02/15随机事件与概率54/26概率的基本性质

2022/02/15随机事件与概率55/26

概率的基本性质2022/02/15随机事件与概率56/26概率的基本性质

2022/02/15随机事件与概率57/26

概率的基本性质2022/02/15随机事件与概率58/26

概率的基本性质2022/02/15随机事件与概率59/26

概率的基本性质2022/02/15随机事件与概率60/26

作业2022/02/15随机事件与概率61/26

作业2022/02/15随机事件与概率62/26

作业2022/02/15随机事件与概率63/26概率论随机事件与概率

–条件概率与事件的独立性2022/02/1564/34目录2022/02/1565/341

条件概率2

乘法公式3

事件的独立性4

作业在考虑某些事件的概率时,我们常常需要提出附加的一些限制性条

件,也就是说在某些条件(比如事件A发生)下研究某个事件发生的概率,

这就是本节学习的条件概率.例1从分别写有1,

2,…,10的10张卡片中随机抽取一张,

已知抽出的卡片的号码不小于3.

求该号码为奇数的概率.条件概率2022/02/1566/34条件概率

2022/02/1567/34

条件概率2022/02/1568/34例2某个家庭有两个小孩.

假设男女孩出生的概率相同.

已知至少有

一个男孩的条件下,

(1)求两个都是男孩的概率;

(2)求另一个是女孩的概

率.条件概率2022/02/1569/34

条件概率2022/02/1570/34条件概率例3

设盒子中有7个白球和3个黑球,从中无放回地随机取出三个球.

已知其中之一是黑球,试求其余两个球都是白球的概率.2022/02/1571/34条件概率2022/02/1572/34

条件概率2022/02/1573/34

条件概率2022/02/1574/34

乘法公式2022/02/1575/34

乘法公式2022/02/1576/34

乘法公式2022/02/1577/34

乘法公式2022/02/1578/34

乘法公式2022/02/1579/34

乘法公式2022/02/1580/34乘法公式

2022/02/1581/34乘法公式

2022/02/1582/34

事件的独立性2022/02/1583/34事件的独立性例7

两个射手彼此独立地向同一个目标射击,设甲击中目标的概率为0.9,

乙击中目标的概率为0.8.

求目标被击中的概率.2022/02/1584/34

事件的独立性2022/02/1585/34事件的独立性

2022/02/1586/34

事件的独立性2022/02/1587/34

事件的独立性2022/02/1588/34

事件的独立性2022/02/1589/34事件的独立性

2022/02/1590/34事件的独立性

2022/02/1591/34事件的独立性

2022/02/1592/34

事件的独立性2022/02/1593/34事件的独立性

2022/02/1594/34

作业2022/02/1595/34

作业2022/02/1596/34

作业2022/02/1597/34概率论随机事件与概率

–全概率公式和贝叶斯公式2022/02/15随机事件与概率98/234作业目录2

贝叶斯公式1

全概率公式3独立随机试验序列2022/02/15随机事件与概率99/23

全概率公式2022/02/15随机事件与概率100/23

全概率公式2022/02/15随机事件与概率101/23例1保险公司认为某险种的投保人分成两类,一类是容易出事故者,另一类是安全者.

统计表明,一个易出事故者在一年内发生事故的概率为0.4,而安全者发生事故的概率为0.1.

假设第一类人占此险种投保人的百分之二十.现有一个新的投保者来投此保险,求该投保人在购买保单后一年内出事故的概率.全概率公式2022/02/15随机事件与概率102/23

全概率公式2022/02/15随机事件与概率103/23全概率公式

2022/02/15随机事件与概率104/23

全概率公式2022/02/15随机事件与概率105/23

全概率公式2022/02/15随机事件与概率106/23

全概率公式2022/02/15随机事件与概率107/23贝叶斯公式

2022/02/15随机事件与概率108/23

贝叶斯公式2022/02/15随机事件与概率109/23例4

(疾病普查)假设冠状肺炎的患病率为0.5%,通过验血诊断的误诊率为5%

(即非患者中有5%的人验血为阳性,

患者中有5%的人验血结果为阴性).

现在某人验血结果为阳性,求该人患有此病的概率.贝叶斯公式2022/02/15随机事件与概率110/23

贝叶斯公式2022/02/15随机事件与概率111/23贝叶斯公式

2022/02/15随机事件与概率112/23贝叶斯公式

2022/02/15随机事件与概率113/23

独立随机试验序列2022/02/15随机事件与概率114/23

独立随机试验序列2022/02/15随机事件与概率115/23

独立随机试验序列2022/02/15随机事件与概率116/23

独立随机试验序列2022/02/15随机事件与概率117/231.

甲口袋有a个白球,b个黑球,

乙口袋有n个白球,

m个黑球.

(1)从甲口袋任取一个球放入乙口袋,然后从乙口袋任取一个球,求从乙口袋取出的球是白球的概率;

(2)从甲口袋任取两个球放入乙口袋,然后再从乙口袋中任取一个球,求从乙口袋取出的球是白球的概率.2.

钥匙丢了,掉在宿舍,教室和路上的概率分别为0.5,0.3,0.2,而掉在上述三个地方被找到的概率分别为0.8,0.3,

0.

1,求钥匙被找到的概率.3.

两台车床加工同样的零件,第一台出不合格品的概率为0.03,第二台出不合格品的概率为0.06,加工出来的零件放在一起,并且已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍.

(1)求任取一个零件是合格品的概率;

(2)如果取出的零件是不合格品,求取到的零件由第二台车床加工的概率.

作业2022/02/15随机事件与概率118/23

作业2022/02/15随机事件与概率119/23

作业2022/02/15随机事件与概率120/23随机事件与概率——概率的连续性概率论2022/02/15随机事件与概率121/12概率的连续性博雷尔坎泰利引理作业目录2022/02/15随机事件与概率122/12

概率的连续性2022/02/15随机事件与概率123/12概率的连续性

2022/02/15随机事件与概率124/12

概率的连续性2022/02/15随机事件与概率125/12概率的连续性

2022/02/15随机事件与概率126/12概率的连续性

2022/02/15随机事件与概率127/12

博雷尔坎泰利引理2022/02/15随机事件与概率128/12

博雷尔坎泰利引理2022/02/15随机事件与概率129/12

博雷尔坎泰利引理2022/02/15随机事件与概率130/12

博雷尔坎泰利引理2022/02/15随机事件与概率131/12作业

2022/02/15随机事件与概率132/12随机变量及其分布

随机变量及其分布函数2022/02/15随机变量及其分布函数133/13

随机变量的定义2022/02/15随机变量及其分布函数134/13

2022/02/15随机变量及其分布函数135/13注:

从上面的例子还可以看出随机变量作为实值函数,可以是一一对应,也可以是多对一,

自变量(即样本点)可以不是数字,但函数值一定是实数.

随机变量的取值具有随机性,

随机变量取值的概率反映的是相应随机事件的概率.

2022/02/15随机变量及其分布函数136/13

2022/02/15随机变量及其分布函数137/13

分布函数的定义2022/02/15随机变量及其分布函数138/13

2022/02/15随机变量及其分布函数139/13

分布函数的性质2022/02/15随机变量及其分布函数140/13

2022/02/15随机变量及其分布函数141/13

2022/02/15随机变量及其分布函数142/13

随机变量的严格数学定义2022/02/15随机变量及其分布函数143/13

作业2022/02/15随机变量及其分布函数144/13

2022/02/15随机变量及其分布函数145/13随机变量及其分布

离散型随机变量2023/03/21随机变量及其分布函数146/24

离散型随机变量的定义2023/03/21随机变量及其分布函数147/24

离散型随机变量的性质2023/03/21随机变量及其分布函数148/24

XP例1.设随机变量X的分布律为

2023/03/21随机变量及其分布函数149/24

即X01234Pp(1-p)p(1-p)²p(1-p)³p(1-p)⁴p2023/03/21随机变量及其分布函数150/24

2023/03/21随机变量及其分布函数151/24

二项分布2023/03/21随机变量及其分布函数152/24

2023/03/21随机变量及其分布函数153/24

2023/03/21随机变量及其分布函数154/24

泊松分布2023/03/21随机变量及其分布函数155/24

2023/03/21随机变量及其分布函数156/24例6.某专卖店出售某种商品，根据历史数据可知，月销售量服从参

数为8的泊松分布.问在月初进货时，需要多少库存量，才能有90%的把握满足顾客的需求.2023/03/21随机变量及其分布函数157/24例7.有10000名同年龄段且社会阶层相同的人参加了某保险公司的

一项人寿保险.每个投保人在每年年初交纳200元保费，而在这一年中若投保人死亡，则受益人可以从保险公司获得100000元的赔偿费.根据历史数据可知该类人的年死亡率为0.001.求保险公司在这项业务上(1)亏本的概率.(2)至少获利500000元的概率.2023/03/21随机变量及其分布函数158/24

2023/03/21随机变量及其分布函数159/24

超几何分布2023/03/21随机变量及其分布函数160/24

2023/03/21随机变量及其分布函数161/24

几何分布2023/03/21随机变量及其分布函数162/24

2023/03/21随机变量及其分布函数163/24

2023/03/21随机变量及其分布函数164/24

负二项分布2023/03/21随机变量及其分布函数165/24

2023/03/21随机变量及其分布函数166/24例11

甲、乙两人进行公开赌博，约定5局3胜，胜者得赌金800元.现因某种原因在甲胜了一局后终止比赛.试问应当如何分配赌金.解：合理得分配方案应该是按照“若把赌博进行到底，甲、乙二人各

自取胜的概率”.记X表示甲取得2次成功所需的局数，则甲赢的概率为

2023/03/21随机变量及其分布函数167/241.有3个盒子，第一个盒子有1个白球和4个黑球；第二个盒子有2个白球和3个黑球；第三个盒子有3个白球和2个黑球.现任取一个盒子，然后从中任取3个球.记X表示取到的白球个数.(1)求X

的分布律；(2)求取到白球数不少于2个的概率.2.掷一颗骰子4次，求点数6

出现的次数的概率分布.3.一批产品共有100件，其中10件是不合格品.根据验收规则，从中

任取5件产品进行质量检验.假如5件中无不合格品，则这批产品被接收，否则就要重新对这批产品进行逐个检验.(1)求5件中不合格品数X的分布律；(2)求需要对这批产品逐个进行检查的概率.4.一批产品中有10%不合格品，现从中任取3件，求其中至多有一件不合格品的概率.作业2023/03/21随机变量及其分布函数168/24

2023/03/21随机变量及其分布函数169/24随机变量及其分布

连续型随机变量2023/03/21连续型随机变量170/39

定义及性质2023/03/21连续型随机变量171/39

2023/03/21连续型随机变量172/39

2023/03/21连续型随机变量173/39均匀分布

2023/03/21连续型随机变量174/39

2023/03/21连续型随机变量175/39例2假设每天整点从A站都有班车发往B站.一位乘客打算从A站去

往B站,且他在9点到10点等可能地到达A站.求该乘客候车时间小于30min

的概率.2023/03/21连续型随机变量176/39

2023/03/21连续型随机变量177/39

正态分布2023/03/21连续型随机变量178/39

2023/03/21连续型随机变量179/39

标准正态分布2023/03/21连续型随机变量180/39

2023/03/21连续型随机变量181/39

2023/03/21连续型随机变量182/39

2023/03/21连续型随机变量183/39

2023/03/21连续型随机变量184/39

2023/03/21连续型随机变量185/39

2023/03/21连续型随机变量186/39

2023/03/21连续型随机变量187/39指数分布

2023/03/21连续型随机变量188/39

2023/03/21连续型随机变量189/39

2023/03/21连续型随机变量190/39

2023/03/21连续型随机变量191/39

2023/03/21连续型随机变量192/39

2023/03/21连续型随机变量193/39

2023/03/21连续型随机变量194/39

伽马分布2023/03/21连续型随机变量195/39

2023/03/21连续型随机变量196/39

2023/03/21连续型随机变量197/39

2023/03/21连续型随机变量198/39贝塔分布

2023/03/21连续型随机变量199/39

2023/03/21连续型随机变量200/39贝塔分布

2023/03/21连续型随机变量201/39

随机变量是连续型随机变量的充分条件2023/03/21连续型随机变量202/39

2023/03/21连续型随机变量203/39本节课的重点:1、概率密度的性质；2、均匀分布、

指数分布、

正态分布、伽马分布的密度函数和他们的概率意义.本节课的难点:1、指数分布的无记忆性；2、正态分布的性质.总结2023/03/21连续型随机变量204/39

作业2023/03/21连续型随机变量205/39

2023/03/21连续型随机变量206/39

2023/03/21连续型随机变量207/39

2023/03/21连续型随机变量208/39随机变量及其分布

随机变量函数的分布2023/04/11随机变量函数的分布209/18

博雷尔函数与随机变量的函数2023/04/11随机变量函数的分布210/18

离散型随机变量函数的分布2023/04/11随机变量函数的分布211/18X-2-10123P0.20.20.30.10.10.1

2023/04/11随机变量函数的分布212/18

2023/04/11随机变量函数的分布213/18

2023/04/11随机变量函数的分布214/18

2023/04/11随机变量函数的分布215/18

2023/04/11随机变量函数的分布216/18

2023/04/11随机变量函数的分布217/18

2023/04/11随机变量函数的分布218/182.

g(x)为严格单调函数的情况.当g(x)不是单调函数,或者不易写出g(x)的单调区间的时候,通常需

要先计算Y

的分布函数,然后对分布函数求导,得到密度函数.

我们这里

主要介绍所得到的随机变量仍然为连续型随机变量的情形.g(x)为一般函数2023/04/11随机变量函数的分布219/18

2023/04/11随机变量函数的分布220/18

2023/04/11随机变量函数的分布221/18

重要结论2023/04/11随机变量函数的分布222/18

2023/04/11随机变量函数的分布223/18注:

本定理告诉我们,在实际应用中,可以通过服从区间[0,1]上的均

匀分布的随机变量的观测值得到以给定的分布函数为分布函数的随机变

量的观测值.2023/04/11随机变量函数的分布224/18

作业X-2-

1013P1/51/61/51/1511/30

2023/04/11随机变量函数的分布225/18

2023/04/11随机变量函数的分布226/18概率论多维随机变量及其分布

–

多维随机变量2023/04/11多维随机变量227/24目录1

多维随机变量及其分布2

离散型多维多维随机变量

3

连续型多维随机变量4

作业2023/04/11多维随机变量228/24

多维随机变量及其分布2023/04/11多维随机变量229/24

多维随机变量及其分布2023/04/11多维随机变量230/24

多维随机变量及其分布2023/04/11多维随机变量231/24

离散型多维多维随机变量·

·

··

·

··

·

·............1.

离散型多维随机变量的定义及描述2023/04/11多维随机变量232/24

离散型多维多维随机变量2023/04/11多维随机变量233/24例1袋子中有1个红球,2个黑球与3个白球.

现在有放回地依次从袋子中取两个球,记X和Y分别表示所取出的红球和黑球的个数.

求二维随机变量(X,Y)的分布律.离散型多维多维随机变量2023/04/11多维随机变量234/24

离散型多维多维随机变量2023/04/11多维随机变量235/24

离散型多维多维随机变量2023/04/11多维随机变量236/24

离散型多维多维随机变量2023/04/11多维随机变量237/24离散型多维多维随机变量

2023/04/11多维随机变量238/24

离散型多维多维随机变量2023/04/11多维随机变量239/24

离散型多维多维随机变量2023/04/11多维随机变量240/24

连续型多维随机变量2023/04/11多维随机变量241/24

连续型多维随机变量2023/04/11多维随机变量242/24

连续型多维随机变量

2023/04/11多维随机变量243/24连续型多维随机变量

2023/04/11多维随机变量244/24

连续型多维随机变量2023/04/11多维随机变量245/24连续型多维随机变量

2023/04/11多维随机变量246/24连续型多维随机变量

2023/04/11多维随机变量247/24

作业2023/04/11多维随机变量248/24

作业2023/04/11多维随机变量249/24

作业2023/04/11多维随机变量250/24概率论多维随机变量及其分布

–边缘分布与条件分布2022/04/12多维随机变量及其分布251/22目录1

边缘分布2

条件分布3

作业2022/04/12多维随机变量及其分布252/22

边缘分布2022/04/12多维随机变量及其分布253/22

边缘分布2022/04/12多维随机变量及其分布254/22

边缘分布

2022/04/12多维随机变量及其分布255/22

X\Yy1y2·

·

·p

·jx1p11p12·

·

·p1·x2p21p22·

·

·p2·...............pi

·p

·1p

·2·

·

·边缘分布2022/04/12多维随机变量及其分布256/22边缘分布X

\Y12310.090.210.2420.070.110.28例

2设二维随机变量(X,Y)的联合分布律如下求边缘分布律.2022/04/12多维随机变量及其分布257/22边缘分布

2022/04/12多维随机变量及其分布258/22

边缘分布2022/04/12多维随机变量及其分布259/22

边缘分布2022/04/12多维随机变量及其分布260/22

边缘分布2022/04/12多维随机变量及其分布261/22边缘分布

2022/04/12多维随机变量及其分布262/22

条件分布2022/04/12多维随机变量及其分布263/22

条件分布

2022/04/12多维随机变量及其分布264/22例

5某人向一目标独立重复射击,

Sn表示第n次击中目标时的射击

次数,n=1,2.

设每次击中目标的概率为p(0<p<1),求S2=

j的条件下S1的条件分布律,

j=2,3,···.条件分布2022/04/12多维随机变量及其分布265/22例

6假设在某天内进入某商场的顾客数X服从泊松分布P(λ),每名

进入商城的顾客购买甲商品的概率为p,并且每位顾客是否购买该商品相

互独立,求商场中购买甲商品的顾客数Y

的分布律.条件分布2022/04/12多维随机变量及其分布266/22

条件分布2022/04/12多维随机变量及其分布267/22条件分布

2022/04/12多维随机变量及其分布268/22

条件分布2022/04/12多维随机变量及其分布269/22

作业2022/04/12多维随机变量及其分布270/22

作业2022/04/12多维随机变量及其分布271/22

作业2022/04/12多维随机变量及其分布272/22概率论多维随机变量及其分布

–

随机变量的独立性2023/04/17多维随机变量及其分布273/181

离散型随机变量的独立性目录2

连续型随机变量的独立性

3

作业4

随机变量的和2023/04/17多维随机变量及其分布274/18

随机变量的独立性2023/04/17多维随机变量及其分布275/18

随机变量的独立性2023/04/17多维随机变量及其分布276/18

离散型随机变量的独立性2023/04/17多维随机变量及其分布277/18

离散型随机变量的独立性2023/04/17多维随机变量及其分布278/18

离散型随机变量的独立性2023/04/17多维随机变量及其分布279/18例

2设一部手机在[0,t]内收到的短信数Y服从泊松分布P(λ).

每个

短信是否是广告短信与其到达时间独立,也与其它短信是否是广告短信

独立.

假设每个收到的短信是广告短信的概率为p,证明[0,t]内收到的广

告短信数X与非广告短信数Z相互独立.离散型随机变量的独立性2023/04/17多维随机变量及其分布280/18

连续型随机变量的独立性2023/04/17多维随机变量及其分布281/18

连续型随机变量的独立性2023/04/17多维随机变量及其分布282/18连续型随机变量的独立性

2023/04/17多维随机变量及其分布283/18连续型随机变量的独立性例

4两人在某天8点至9点间独立等可能地到达某地会面,

先到者等

候20分钟后离去.

求这两个人能相遇的概率.2023/04/17多维随机变量及其分布284/18连续型随机变量的独立性

2023/04/17多维随机变量及其分布285/18

作业2023/04/17多维随机变量及其分布286/18

作业2023/04/17多维随机变量及其分布287/18

随机变量的和2023/04/17多维随机变量及其分布288/18随机变量的和

2023/04/17多维随机变量及其分布289/18

随机变量的和2023/04/17多维随机变量及其分布290/18概率论多维随机变量及其分布

–

随机变量函数的分布2023/04/17多维随机变量及其分布291/331

随机变量的和目录2

随机变量的最值3其他随机变量函数的分布4

作业2023/04/17多维随机变量及其分布292/33

随机变量的和2023/04/17多维随机变量及其分布293/33随机变量的和

2023/04/17多维随机变量及其分布294/33

2023/04/17多维随机变量及其分布295/33

随机变量的和2023/04/17多维随机变量及其分布296/33

随机变量的和2023/04/17多维随机变量及其分布297/33

随机变量的和2023/04/17多维随机变量及其分布298/33

随机变量的和2023/04/17多维随机变量及其分布299/33随机变量的和

2023/04/17多维随机变量及其分布300/33

随机变量的和2023/04/17多维随机变量及其分布301/33

随机变量的和2023/04/17多维随机变量及其分布302/33

随机变量的最值2023/04/17多维随机变量及其分布303/33

随机变量的最值2023/04/17多维随机变量及其分布304/33

随机变量的最值2023/04/17多维随机变量及其分布305/33随机变量的最值

2023/04/17多维随机变量及其分布306/33其他随机变量函数的分布

下面介绍几个利用一般方法计算的多维随机变量函数的分布的例

子.2023/04/17多维随机变量及其分布307/33

其他随机变量函数的分布

2023/04/17多维随机变量及其分布308/33其他随机变量函数的分布

2023/04/17多维随机变量及其分布309/33

其他随机变量函数的分布2023/04/17多维随机变量及其分布310/33注

本节所介绍的随机变量函数的分布主要针对多维连续型随机变量的函数所形成的连续型随机变量以及多维离散型随机变量的函数所形成的离散型随机变量的分布.

除此之外,还有多维连续型随机变量的函数所形成的离散型随机变量的分布.这个问题相对比较简单,我们只需要先确定所形成的离散型随机变量的取值,然后计算出随机变量取每个值的概率(也就是计算多维连续型随机变量在不同区域上的积分)即可.

其他随机变量函数的分布2023/04/17多维随机变量及其分布311/33

其他随机变量函数的分布2023/04/17多维随机变量及其分布312/33

其他随机变量函数的分布2023/04/17多维随机变量及其分布313/33

其他随机变量函数的分布2023/04/17多维随机变量及其分布314/33

其他随机变量函数的分布在本节的最后,介绍一下求二维随机变量函数的变量替换法.2023/04/17多维随机变量及其分布315/33

其他随机变量函数的分布2023/04/17多维随机变量及其分布316/33

其他随机变量函数的分布2023/04/17多维随机变量及其分布317/33

其他随机变量函数的分布2023/04/17多维随机变量及其分布318/33

作业2023/04/17多维随机变量及其分布319/33

作业2023/04/17多维随机变量及其分布320/33

作业2023/04/17多维随机变量及其分布321/33

作业2023/04/17多维随机变量及其分布322/33

作业

2023/04/17多维随机变量及其分布323/33概率论随机变量的数字特征

随机变量的数学期望随机变量的数字特征324/522023/04/251

引例2

数学期望的定义3

常见随机变量的期望4

数学期望的性质5

作业目录随机变量的数字特征325/522023/04/25

引例随机变量的数字特征326/522023/04/25假设在班里有放回地独立重复选取N次,则当N比较大时,得j分的

学生被选到的次数大约为Npj

,且这N次选择所得到的平均分大约为

j

·

Npj

=

jpj该平均分恰好为X

的期望.引例随机变量的数字特征327/522023/04/25数学期望的定义

随机变量的数字特征328/522023/04/25

数学期望的定义随机变量的数字特征329/522023/04/25

随机变量的数字特征330/522023/04/25

数学期望的定义随机变量的数字特征331/522023/04/25

数学期望的定义随机变量的数字特征332/522023/04/25

数学期望的定义随机变量的数字特征333/522023/04/25

例题随机变量的数字特征334/522023/04/25例

217世纪,一位赌徒向帕斯卡请教如下问题.

两个赌博水平相当

的赌徒同出50法郎的赌注,并约定五局三胜者获得这100法郎,

当赌博进

行到三局,

甲胜了两局,

乙胜了一局,

因故要中止赌博,现问这100法郎如

何分配？例题随机变量的数字特征335/522023/04/25例题

随机变量的数字特征336/522023/04/25

常见随机变量的期望随机变量的数字特征337/522023/04/25

常见随机变量的期望随机变量的数字特征338/522023/04/25常见随机变量的期望

随机变量的数字特征339/522023/04/25

常见随机变量的期望随机变量的数字特征340/522023/04/25

常见随机变量的期望随机变量的数字特征341/522023/04/25

常见随机变量的期望随机变量的数字特征342/522023/04/25

常见随机变量的期望随机变量的数字特征343/522023/04/25

常见随机变量的期望随机变量的数字特征344/522023/04/25

常见随机变量的期望随机变量的数字特征345/522023/04/25

数学期望的性质随机变量的数字特征346/522023/04/25

数学期望的性质随机变量的数字特征347/522023/04/25

数学期望的性质随机变量的数字特征348/522023/04/25

数学期望的性质随机变量的数字特征349/522023/04/25

数学期望的性质随机变量的数字特征350/522023/04/25

数学期望的性质随机变量的数字特征351/522023/04/25

数学期望的性质随机变量的数字特征352/522023/04/25数学期望的性质例

3设X~b(n,

p),求E[X(X-1)].随机变量的数字特征353/522023/04/25

数学期望的性质随机变量的数字特征354/522023/04/25数学期望的性质例

4设X,

Y独立同分布,且都服从标准正态分布,求E(X2+Y2).随机变量的数字特征355/522023/04/25

数学期望的性质随机变量的数字特征356/522023/04/25数学期望的性质例

5设X,

Y独立同分布,且都服从指数分布Exp(λ),求Z=max{X,

Y}的数学期望.随机变量的数字特征357/522023/04/25

数学期望的性质随机变量的数字特征358/522023/04/25

数学期望的性质随机变量的数字特征359/522023/04/25

数学期望的性质例

6设随机变量X

的分布函数为随机变量的数字特征360/522023/04/25

数学期望的性质随机变量的数字特征361/522023/04/25例

7某超市销售某种产品,假设每销售一单位该产品可获利a元,若积压一单位该产品损失b元,设市场的销量X~U(c,

d)上的均匀分布,问超市采购多少该产品可获得最大的平均利润.数学期望的性质随机变量的数字特征362/522023/04/25数学期望的性质

随机变量的数字特征363/522023/04/25数学期望的性质例

8设一个盒子中装有m个颜色不相同的球,每次任取一个,有放回

地摸n次,记X为n次摸球中摸到球的颜色的数目,求EX.随机变量的数字特征364/522023/04/25数学期望的性质

随机变量的数字特征365/522023/04/25

数学期望的性质随机变量的数字特征366/522023/04/25

数学期望的性质随机变量的数字特征367/522023/04/25数学期望的性质例

9某医生为社区的n个人看病,假设每次前来看病的人等可能地是

其中任何一个,求该医生在有人第二次看病前平均看过病的人数.随机变量的数字特征368/522023/04/25

数学期望的性质随机变量的数字特征369/522023/04/25例

10某播线员负责三部电话,假设各部电话独立且每部电话等待下

一个来电的时间服从参数为λ的指数分布,求该接线员等待第一个电话的

平均时间.数学期望的性质随机变量的数字特征370/522023/04/25

数学期望的性质随机变量的数字特征371/522023/04/251.设X为离散型随机变量,且P(X=-2)=0.4,P(X=0)=P(X=2)=0.3.求EX,E(3X+5).2.

对一批产品进行检查,如果查到第a件全为合格品,就认为这批产品合格,

若在前a件中发现不合格品,则停止检查,且认为这批产品不合格.设产品数量很多,且每次查到不合格品的概率为p.问每批产品平均要查多少件?3.

某人想用10000元投资某种股票,该股票当前的价格是2元每股,假设一年后该股票等可能为1元每股或4元每股.

而理财顾问给他的建议是.

若期望一年后所拥有的股票市值达到最大,则现在就购买,

若期望一年后所拥有的股票数量达到最大,则一年后购买.

试问理财顾问的建议是否正确.作业随机变量的数字特征372/522023/04/25

作业随机变量的数字特征373/522023/04/25

作业随机变量的数字特征374/522023/04/25

作业随机变量的数字特征375/522023/04/25概率论随机变量的数字特征

随机变量的方差2023/05/16随机变量的数字特征376/314

作业目录2023/05/16随机变量的数字特征377/311

方差的定义和性质2

常见随机变量的方差

3

切比雪夫不等式

方差的定义和性质2023/05/16随机变量的数字特征378/31例

1现有两个投资项目,根据未来市场的优劣,可以获得不同的收

益.若未来市场为优,则甲项目可收益11万元,

乙项目可收益6万元;若未

来市场为中,则甲项目可收益为3

万元,

乙项目为4万元;若未来市场差,则甲项目赔3万元,

乙项目赔1万元.

假设市场发生优,

中,差的概率分别

为0.2，0.7，0.1,

问哪个投资项目好?方差的定义和性质2023/05/16随机变量的数字特征379/31方差的定义和性质解

设甲项目的收益为X万元,

乙项目的收益为Y万元,则X,Y

的分

布律分别为Y64-1P0.20.70.1X113-3P0.20.70.12023/05/16随机变量的数字特征380/31

方差的定义和性质2023/05/16随机变量的数字特征381/31

方差的定义和性质2023/05/16随机变量的数字特征382/31

方差的定义和性质2023/05/16随机变量的数字特征383/31

方差的定义和性质2023/05/16随机变量的数字特征384/31

方差的定义和性质

2023/05/16随机变量的数字特征385/31

方差的定义和性质2023/05/16随机变量的数字特征386/31方差的定义和性质

2023/05/16随机变量的数字特征387/31方差的定义和性质

2023/05/16随机变量的数字特征388/31

常见随机变量的方差

2023/05/16随机变量的数字特征389/31常见随机变量的方差

2023/05/16随机变量的数字特征390/31

常见随机变量的方差2023/05/16随机变量的数字特征391/31

常见随机变量的方差2023/05/16随机变量的数字特征392/31常见随机变量的方差

2023/05/16随机变量的数字特征393/31

常见随机变量的方差2023/05/16随机变量的数字特征394/31

常见随机变量的方差2023/05/16随机变量的数字特征395/31

常见随机变量的方差

2023/05/16随机变量的数字特征396/31

常见随机变量的方差2023/05/16随机变量的数字特征397/31切比雪夫不等式

2023/05/16随机变量的数字特征398/31

切比雪夫不等式2023/05/16随机变量的数字特征399/31切比雪夫不等式例

4设X

的方差存在,则DX

=0当且仅且P{X

=

EX}

=

1.2023/05/16随机变量的数字特征400/31

切比雪夫不等式2023/05/16随机变量的数字特征401/31切比雪夫不等式

2023/05/16随机变量的数字特征402/31

切比雪夫不等式2023/05/16随机变量的数字特征403/31

作业

2023/05/16随机变量的数字特征404/31

作业2023/05/16随机变量的数字特征405/31

作业2023/05/16随机变量的数字特征406/31概率论随机变量的数字特征

协方差和相关系数2023/05/23随机变量的数字特征407/40目录5

作业2023/05/23随机变量的数字特征408/401

协方差2

相关系数3

协方差矩阵

4

矩

协方差2023/05/23随机变量的数字特征409/40协方差

2023/05/23随机变量的数字特征410/40

协方差2023/05/23随机变量的数字特征411/40

协方差2023/05/23随机变量的数字特征412/40

协方差

2023/05/23随机变量的数字特征413/40

协方差2023/05/23随机变量的数字特征414/40

协方差2023/05/23随机变量的数字特征415/40协方差

2023/05/23随机变量的数字特征416/40协方差

2023/05/23随机变量的数字特征417/40

协方差

2023/05/23随机变量的数字特征418/40

2023/05/23随机变量的数字特征419/40

相关系数2023/05/23随机变量的数字特征420/40相关系数

2023/05/23随机变量的数字特征421/40

相关系数2023/05/23随机变量的数字特征422/40

相关系数2023/05/23随机变量的数字特征423/40

相关系数2023/05/23随机变量的数字特征424/40相关系数

2023/05/23随机变量的数字特征425/40

相关系数

2023/05/23随机变量的数字特征426/40

相关系数2023/05/23随机变量的数字特征427/40相关系数2023/05/23随机变量的数字特征428/40

相关系数2023/05/23随机变量的数字特征429/40相关系数

2023/05/23随机变量的数字特征430/40相关系数

2023/05/23随机变量的数字特征431/40协方差

2023/05/23随机变量的数字特征432/40

协方差2023/05/23随机变量的数字特征433/40

协方差2023/05/23随机变量的数字特征434/40

协方差矩阵2023/05/23随机变量的数字特征435/40协方差矩阵

2023/05/23随机变量的数字特征436/40

协方差矩阵2023/05/23随机变量的数字特征437/40协方差矩阵

2023/05/23随机变量的数字特征438/40

协方差矩阵2023/05/23随机变量的数字特征439/40

矩2023/05/23随机变量的数字特征440/40矩

2023/05/23随机变量的数字特征441/40

矩2023/05/23随机变量的数字特征442/40

作业

2023/05/23随机变量的数字特征443/40

作业2023/05/23随机变量的数字特征444/40

作业2023/05/23随机变量的数字特征445/40

作业2023/05/23随机变量的数字特征446/40概率论随机变量的数字特征

多维正态分布与次序统计量2022/05/11随机变量的数字特征447/31目录1

n

维正态分布2

次序统计量3

作业2022/05/11随机变量的数字特征448/31

n

维正态分布2022/05/11随机变量的数字特征449/31n

维正态分布

2022/05/11随机变量的数字特征450/31n

维正态分布

2022/05/11随机变量的数字特征451/31n

维正态分布

2022/05/11随机变量的数字特征452/31

2022/05/11随机变量的数字特征453/31n

维正态分布

2022/05/11随机变量的数字特征454/31

2022/05/11随机变量的数字特征455/31n

维正态分布

2022/05/11随机变量的数字特征456/31

2022/05/11随机变量的数字特征457/31n

维正态分布

2022/05/11随机变量的数字特征458/31n

维正态分布

2022/05/11随机变量的数字特征459/31

n

维正态分布2022/05/11随机变量的数字特征460/31

n

维正态分布2022/05/11随机变量的数字特征461/31

2022/05/11随机变量的数字特征462/31

n

维正态分布2022/05/11随机变量的数字特征463/31

n

维正态分布2022/05/11随机变量的数字特征464/31n

维正态分布

2022/05/11随机变量的数字特征465/31n

维正态分布

2022/05/11随机变量的数字特征466/31

n

维正态分布2022/05/11随机变量的数字特征467/31

次序统计量2022/05/11随机变量的数字特征468/31

次序统计量2022/05/11随机变量的数字特征469/31次序统计量

2022/05/11随机变量的数字特征470/31

次序统计量2022/05/11随机变量的数字特征471/31

次序统计量2022/05/11随机变量的数字特征472/31次序统计量

2022/05/11随机变量的数字特征473/31次序统计量

2022/05/11随机变量的数字特征474/31次序统计量

2022/05/11随机变量的数字特征475/31

作业2022/05/11随机变量的数字特征476/31

作业2022/05/11随机变量的数字特征477/31概率论随机变量的数字特征

特征函数2023/05/23随机变量的数字特征478/35目录1

复随机变量2

特征函数的定义3

特征函数的性质4

常见分布的特征函数5

多维随机变量的特征函数6

作业2023/05/23随机变量的数字特征479/35

复随机变量2023/05/23随机变量的数字特征480/35复随机变量

2023/05/23随机变量的数字特征481/35

复随机变量2023/05/23随机变量的数字特征482/35

特征函数的定义2023/05/23随机变量的数字特征483/35

特征函数的定义2023/05/23随机变量的数字特征484/35特征函数的定义

2023/05/23随机变量的数字特征485/35特征函数的定义

2023/05/23随机变量的数字特征486/35

特征函数的定义2023/05/23随机变量的数字特征487/35

特征函数的性质2023/05/23随机变量的数字特征488/35

特征函数的性质2023/05/23随机变量的数字特征489/35

特征函数的性质

2023/05/23随机变量的数字特征490/35

特征函数的性质2023/05/23随机变量的数字特征491/35

特征函数的性质2023/05/23随机变量的数字特征492/35特征函数的性质

2023/05/23随机变量的数字特征493/35

特征函数的性质2023/05/23随机变量的数字特征494/35

特征函数的性质

2023/05/23随机变量的数字特征495/35特征函数的性质由于分布函数是右连续的,故分布函数可以由特征函数唯一确定.注:由该定理可以看出分布函数与特征函数之间是一一对应的关系.

2023/05/23随机变量的数字特征496/35

特征函数的性质2023/05/23随机变量的数字特征497/35

2023/05/23随机变量的数字特征498/35

常见分布的特征函数2023/05/23随机变量的数字特征499/35

常见分布的特征函数2023/05/23随机变量的数字特征500/35

常见分布的特征函数2023/05/23随机变量的数字特征501/35常见分布的特征函数

2023/05/23随机变量的数字特征502/35

常见分布的特征函数2023/05/23随机变量的数字特征503/35常见分布的特征函数

2023/05/23随机变量的数字特征504/35

常见分布的特征函数2023/05/23随机变量的数字特征505/35

常见分布的特征函数2023/05/23随机变量的数字特征506/35

常见分布的特征函数2023/05/23随机变量的数字特征507/35

多维随机变量的特征函数2023/05/23随机变量的数字特征508/35

多维随机变量的特征函数2023/05/23随机变量的数字特征509/35

多维随机变量的特征函数2023/05/23随机变量的数字特征510/35

作业2023/05/23随机变量的数字特征511/35

作业

2023/05/23随机变量的数字特征512/35概率论大数定律与中心极限定理

–

随机变量序列的收敛性2023/05/30大数定律与中心极限定理513/23目录1

依概率收敛2

依分布收敛

3

以概率1收敛

4

作业2023/05/30大数定律与中心极限定理514/23

依概率收敛

2023/05/30大数定律与中心极限定理515/23依概率收敛

2023/05/30大数定律与中心极限定理516/23

依概率收敛2023/05/30大数定律与中心极限定理517/23

依概率收敛2023/05/30大数定律与中心极限定理518/23

依分布收敛

2023/05/30大数定律与中心极限定理519/23依分布收敛

2023/05/30大数定律与中心极限定理520/23

依分布收敛

2023/05/30大数定律与中心极限定理521/23

依分布收敛注:上述定理的逆命题不成立,即依分布收敛不能推出依概率收敛.2023/05/30大数定律与中心极限定理522/23依分布收敛

2023/05/30大数定律与中心极限定理523/23依分布收敛

2023/05/30大数定律与中心极限定理524/23

依分布收敛

2023/05/30大数定律与中心极限定理525/23

依分布收敛2023/05/30大数定律与中心极限定理526/23

依分布收敛2023/05/30大数定律与中心极限定理527/23

依分布收敛2023/05/30大数定律与中心极限定理528/23

以概率1收敛2023/05/30大数定律与中心极限定理529/23

以概率1收敛2023/05/30大数定律与中心极限定理530/23以概率1收敛

2023/05/30大数定律与中心极限定理531/23以概率1收敛

注:上述定理表明以概率1收敛蕴含依概率收敛,但反之不成立.1n(jXn-Xj≥"),有n=k

2023/05/30大数定律与中心极限定理532/23

以概率1收敛

2023/05/30大数定律