等式性质与不等式性质导学案-高一上学期数学人教A版

暑假新高一数学第五讲等式的性质和不等式的性质一、知识要点：知识点1：不等关系1．两个实数比较大小的依据(1)a＞b⇔a－b＞0；(2)a＝b⇔a－b＝0；(3)a＜b⇔a－b＜0.2．不等式的基本性质(1)对称性：a＞b⇔b＜a；(2)传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c；(3)可加性：a＞b⇒a＋c＞b＋c，a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d；(4)可乘性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd；(5)可乘方：a＞b＞0⇒an＞bn(n∈N，n≥1)；(6)可开方：a＞b＞0⇒eq\r(n,a)＞eq\r(n,b)(n∈N，n≥2)．注：(1)同向不等式可以相加，不能相减；(2)一个不等式的两边同乘以同一正数，不等号方向不变；同乘以同一负数，不等号方向改变．知识点2：一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系判别式：Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有两相异实数根x1，x2(x1<x2)有两相等实数根x1＝x2＝－eq\f(b,2a)没有实数根ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集{x|x<x1或x>x2}{x|x≠x1}{x|x∈R}ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集{x|x1<x<x2}∅eq\a\vs4\al(∅)知识点3：常用结论1．倒数性质：(1)a>b，ab>0⇒eq\f(1,a)<eq\f(1,b)；(2)a<0<b⇒eq\f(1,a)<eq\f(1,b)；(3)a>b>0，d>c>0⇒eq\f(a,c)>eq\f(b,d).2．分数性质：若a>b>0，m>0，则真分数性质：eq\f(b,a)<eq\f(b＋m,a＋m)；eq\f(b,a)>eq\f(b－m,a－m)(b－m>0)。考点一：比较两个数(式)的大小【例1】（1）已知a1，a2∈(0,1)，记M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，则M与N的大小关系是()A．M<N B．M>NC．M＝N D．不确定（2）设a，b∈[0，＋∞)，A＝eq\r(a)＋eq\r(b)，B＝eq\r(a＋b)，则A，B的大小关系是()A．A≤B B．A≥BC．A<B D．A>B（3）若实数m≠1，比较m＋2与eq\f(3,1－m)的大小．（4）设，求证：.规律方法：比较两个数大小的常用方法考点二：不等式的性质及应用【例2】（1）已知，为非零实数，且，则下列不等式一定成立的是A． B． C． D．（2）若，则下列不等式中正确的是A． B． C． D．（3）若非零实数，满足，则下列不等式一定成立的是A． B． C． D．（4）若，，则下列不等式中必然成立的一个是A． B． C． D．（5）若，则下列不等式正确的是A． B． C． D．（6）（多选题）若，下列不等式正确的是A． B． C． D．（7）已知，，则，，的大小关系是A． B． C． D．【例3】（1）已知－1<x<4，2<y<3，则x－y的取值范围是________，3x＋2y的取值范围是________．（2）已知，求的取值范围。规律方法：利用不等式的性质求取值范围的方法由a<f(x，y)<b，c<g(x，y)<d，求F(x，y)的取值范围，可利用待定系数法解决，即设F(x，y)＝mf(x，y)＋ng(x，y)(或其他形式)，通过恒等变形求得m，n的值，再利用不等式的同向可加性和可乘性求得F(x，y)的取值范围．此类问题的一般解法：(1)建立待求整体与已知范围的整体的关系；(2)通过“一次性”使用不等式的运算求得整体范围．考点三：一元二次不等式的解法【例4】解下列不等式：（1）－3x2－2x＋8≥0；（2）0＜x2－x－2≤4.（3） （4）；【例5】（1）解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1＜0(a＞0)