高中数学人教A版选修2-3作业2-3-2离散型随机变量的方差1

离散型随机变量的方差一、选择题1．若随机变量X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(1,2)))，则D(X)的值为()A．2 B．1C．eq\f(1,2) D.eq\f(1,4)[答案]B[解析]∵X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(1,2)))，∴D(X)＝4×eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))＝1.故选B.2．若X的分布列为X01Ppq其中p∈(0,1)，则()A．D(X)＝p3 B．D(X)＝p2C．D(X)＝p－p2 D．D(X)＝pq2[答案]C[解析]由两点分布的方差公式D(X)＝p(1－p)＝p－p2.故选C．3．(2015·长沙高二检测)已知随机变量ξ的分布列为ξ1234Peq\f(1,4)eq\f(1,3)eq\f(1,6)eq\f(1,4)则Dξ的值为()A．eq\f(29,12) B．eq\f(121,144)C．eq\f(179,144) D．eq\f(17,12)[答案]C[解析]∵Eξ＝1×eq\f(1,4)＋2×eq\f(1,3)＋3×eq\f(1,6)＋4×eq\f(1,4)＝eq\f(29,12)，∴Dξ＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(17,12)))2×eq\f(1,4)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,12)))2×eq\f(1,3)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,12)))2×eq\f(1,6)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(19,12)))2×eq\f(1,4)＝eq\f(179,144).故选C．4．对一道试题，甲解出的概率为eq\f(2,3)，乙解出的概率为eq\f(4,5)，设解出该题的人数为X，则D(X)等于()A．eq\f(22,15) B．eq\f(86,225)C．eq\f(225,484) D．eq\f(225,85)[答案]B[解析]∵X的取值0,1,2，∴P(X＝0)＝eq\f(1,3)×eq\f(1,5)＝eq\f(1,15)，P(X＝1)＝eq\f(2,3)×eq\f(1,5)＋eq\f(1,3)×eq\f(4,5)＝eq\f(6,15)，P(X＝2)＝eq\f(2,3)×eq\f(4,5)＝eq\f(8,15).∴X的分布列为X012Peq\f(1,15)eq\f(6,15)eq\f(8,15)∴E(X)＝0×eq\f(1,15)＋1×eq\f(6,15)＋2×eq\f(8,15)＝eq\f(22,15)，D(X)＝eq\f(1,15)(0－eq\f(22,15))2＋eq\f(6,15)(1－eq\f(22,15))2＋eq\f(8,15)(2－eq\f(22,15))2＝eq\f(86,225).5．若随机变量X1～B(n,0.2)，X2～B(6，p)，X3～B(n，p)，且E(X1)＝2，D(X2)＝eq\f(3,2)，则D(X3)等于()A．eq\f(1,2) B．eq\f(3,2)C．eq\f(5,2) D．eq\f(7,2)[答案]C[解析]∵X1～B(n,0.2)，X2～B(6，p)，∴E(X1)＝0.2n＝2，∴n＝10，D(X2)＝6p(1－p)＝eq\f(3,2)，∴p＝eq\f(1,2)，X3～B(10，eq\f(1,2))，∴D(X3)＝10×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(5,2).6．设ξ～B(n，p)，且E(ξ)＝12，D(ξ)＝4，则n与p的值分别为()A．18，eq\f(1,3) B．12，eq\f(2,3)C．18，eq\f(2,3) D．12，eq\f(1,3)[答案]C[解析]由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Eξ＝12,Dξ＝4))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(np＝12,np1－p＝4))，得p＝eq\f(2,3)，n＝18.故选C．7．抛掷一枚硬币，规定正面向上得1分，反面向上得－1分，则得分X的均值与方差分别为()A．E(X)＝0，D(X)＝1 B．E(X)＝eq\f(1,2)，D(X)＝eq\f(1,2)C．E(X)＝0，D(X)＝eq\f(1,2) D．E(X)＝eq\f(1,2)，D(X)＝1[答案]A[解析]要计算随机变量的期望和方差，应先列出其分布列．抛掷一枚硬币，规定正面向上得1分，反面向上得－1分，则得分X的分布列为X1－1P0.50.5所以E(X)＝1×0.5＋(－1)×0.5＝0，D(X)＝(1－0)2×0.5＋(－1－0)2×0.5＝1.故选A．二、填空题8．已知随机变量X的分布列为：X123P0.40.5x则X的方差为________．[答案]0.41[解析]由题意可知0.4＋0.5＋x＝1，即x＝0.1，∴E(X)＝1×0.4＋2×0.5＋3×0.1＝1.7，∴D(X)＝(1－1.7)2×0.4＋(2－1.7)2×0.5＋(3－1.7)2×0.1＝0.41.9．某射手击中目标的概率为p，则他射击n次，击中目标次数ξ的方差为________．[答案]np(1－p)[解析]∵ξ～B(n，p)，∴D(ξ)＝np(1－p)．三、解答题10．甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量ξ与η，且ξ、η的分布列为ξ123Pa0.10.6η123P0.3b0.3求：(1)a、b的值；(2)计算ξ、η的期望与方差，并以此分析甲、乙技术状况．[解析](1)由离散型随机变量的分布列的性质可知a＋0.1＋0.6＝1，∴a＝0.3.同理0.3＋b＋0.3＝1，b＝0.4.(2)E(ξ)＝1×0.3＋2×0.1＋3×0.6＝2.3，E(η)＝1×0.3＋2×0.4＋3×0.3＝2，D(ξ)＝(1－2.3)2×0.3＋(2－2.3)2×0.1＋(3－2.3)2×0.6＝0.81，D(η)＝(1－2)2×0.3＋(2－2)2×0.4＋(3－2)2×0.3＝0.6.由于E(ξ)＞E(η)，说明在一次射击中，甲的平均得分比乙高，但D(ξ)>D(η)，说明甲得分的稳定性不如乙，因此甲、乙两人技术水平都不够全面，各有优势与劣势．一、选择题1．已知X的分布列为X01Ppq其中p∈(0,1)，则()A．E(X)＝p，D(X)＝pqB．E(X)＝p，D(X)＝p2C．E(X)＝q，D(X)＝q2D．E(X)＝1－p，D(X)＝p－p2[答案]D[解析]∵X～B(1，q)，∴p＋q＝1，E(X)＝1－p，D(X)＝p－p2.2．设X是离散型随机变量，P(X＝x1)＝eq\f(2,3)，P(X＝x2)＝eq\f(1,3)，且x1<x2，现已知：E(X)＝eq\f(4,3)，D(X)＝eq\f(2,9)，则x1＋x2的值为()A．eq\f(5,3) B．eq\f(7,3)C．3 D．eq\f(11,3)[答案]C[解析]由题意，p(X＝x1)＋p(X＝x2)＝1，所以随机变量X只有x1，x2两个取值，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1·\f(2,3)＋x2·\f(1,3)＝\f(4,3)，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1－\f(4,3)))2·\f(2,3)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2－\f(4,3)))2·\f(1,3)＝\f(2,9).))解得x1＝1，x2＝2，所以x1＋x2＝3，故选C．3．已知X的分布列如下表：X－1012Pabceq\f(5,18)且a、b、c成等比数列，E(X)＝eq\f(1,9)，则a＝()A．eq\f(1,6) B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,2) D．eq\f(2,3)[答案]C[解析]由分布列的性质得a＋b＋c＝eq\f(13,18)①∵E(X)＝eq\f(1,9)，∴－a＋c＋eq\f(5,9)＝eq\f(1,9)，∴a－c＝eq\f(4,9)，②又a、b、c成等比数列，∴b2＝ac，③将②代入①、③得，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a＋b＝\f(7,6)，④,b2＝aa－\f(4,9).⑤))由④得b＝eq\f(7,6)－2a，代入⑤得，a＝eq\f(1,2)或a＝eq\f(49,54)，当a＝eq\f(49,54)时，a＋eq\f(5,18)＝eq\f(64,54)>0，不合题意舍去，∴a＝eq\f(1,2).二、填空题4．随机变量ξ的取值为0、1、2，若P(ξ＝0)＝eq\f(1,5)，E(ξ)＝1，则D(ξ)＝________.[答案]eq\f(2,5)[解析]设ξ＝1的概率为P.则E(ξ)＝0×eq\f(1,5)＋1×P＋2(1－P－eq\f(1,5))＝1，∴P＝eq\f(3,5).故D(ξ)＝(0－1)2×eq\f(1,5)＋(1－1)2×eq\f(3,5)＋(2－1)2×eq\f(1,5)＝eq\f(2,5).5．设p为非负实数，随机变量X的概率分布为X012Peq\f(1,2)－ppeq\f(1,2)则E(X)的最大值为____________，D(X)的最大值为______．[答案]eq\f(3,2)1[解析]E(X)＝0×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－p))＋1×p＋2×eq\f(1,2)＝p＋1∵0≤eq\f(1,2)－p≤eq\f(1,2)，0≤p≤eq\f(1,2)，∴p＋1≤eq\f(3,2)，D(X)＝(p＋1)2·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－p))＋p2·p＋(p－1)2×eq\f(1,2)＝－p2＋1－p＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(p＋\f(1,2)))2＋eq\f(5,4)≤1.三、解答题6．盒子中有5个球，其中3个白球，2个黑球，从中任取2个球，求取出白球的期望和方差．[解析]取出白球个数ξ的可能取值为0,1,2.ξ＝0表示取出的2个球都是黑球，P(ξ＝0)＝eq\f(1,C\o\al(2,5))＝eq\f(1,10)；ξ＝1表示取出的2个球1个黑球，1个白球，P(ξ＝1)＝eq\f(C\o\al(1,3)C\o\al(1,2),C\o\al(2,5))＝eq\f(3,5)；ξ＝2表示取出的2个球都是白球，P(ξ＝2)＝eq\f(C\o\al(2,3),C\o\al(2,5))＝eq\f(3,10)，于是E(ξ)＝0×eq\f(1,10)＋1×eq\f(3,5)＋2×eq\f(3,10)＝1.2，D(ξ)＝(0－1.2)2×eq\f(1,10)＋(1－1.2)2×eq\f(3,5)＋(2－1.2)2×eq\f(3,10)＝0.36.7．一次英语单元测验由20个选择题构成，每个选择题有4个选项，其中有且仅有一个选项是正确答案，每题选择正确答案得5分，不作出选择或选错不得分，满分100分．学生甲选对任一题的概率为0.9.学生乙则在测验中对每题都从4个选项中随机地选择一个．求学生甲和学生乙在这次英语单元测验中成绩的数学期望和方差．[解析]设学生甲和学生乙在这次英语测验中选择了正确答案的选择题个数分别是X和η，则X～B(20,0.9)，η～B(20,0.25)，所以E(X)＝20×0.9＝18，D(X)＝1.8，E(η)＝20×0.25＝5，D(η)＝3.75，由于答对每题得5分，学生甲和学生乙在这次英语测验中成绩分别是5X和5η.所以，他们在测验中成绩的数学期望与方差分别是E(5X)＝5E(X)＝5×18＝90，E(5η)＝5E(η)＝5×5＝25，D(5X)＝25D(X)＝25×1.8＝45，D(5η)＝25D(η)＝25×3.75＝93.75.8．一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示．将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立．(1)求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率；(2)用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列，期望E(X)及方差D(X)．[解析](1)设A1表示事件“日销售量不低于100个”，A2表示事件“日销售量低于50个”，B表示事件“在未来连续3天是有连续2天日销售量不低于100个且另一天销售量低于50个”，因此P(A1)＝(0.006＋0.004＋0.002)×50＝0.6P(A2)＝0.003×50＝0.1