第五章 一元函数的导数及其应用综合测试卷（解析版）

第五章一元函数的导数及其应用综合测试卷第Ⅰ卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．曲线在点处的切线方程为（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】，，故，所以在点处的切线方程为，即.故选：C2．一质点运动的位移方程为，当时，该质点的瞬时速度为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为，所以当时，.故选：C.3．函数在区间上的（

）A．最小值为0，最大值为B．最小值为0，最大值为C．最小值为，最大值为D．最小值为0，最大值为2【答案】B【解析】，所以在区间上单调递增，因此的最小值为，最大值为.故选：B4．若为函数的极值点，则函数的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】，因为是函数的极值点，所以，则，所以，当时，，当时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以．故选：C5．已知函数，为的导函数，，则（

）A．的极大值为，无极小值B．的极小值为，无极大值C．的极大值为，无极小值D．的极小值为，无极大值【答案】C【解析】的定义域为，，所以，求导得，令，得，当时，；当时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减，且当时，取得极大值，无极小值．故选：C．6．若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由，则函数的定义域是，又函数在区间上单调递减，则，得，所以，解得，所以实数的取值范围是．故选：A．7．函数在区间的图象上存在两条相互垂直的切线，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由，不妨设这两条相互垂直的切线的切点为，且若，则恒成立，不符合题意，可排除A项；所以，此时易知单调递增，要满足题意则需.故选：D8．设，，其中e为自然对数的底数，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】令，则，当时，，单调递增，因此，即，令，则，当时，，单调递减，因此，即所以.故选：D二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．已知定义域为的函数的导函数为，且的图象如图所示，则（

）

A．在上单调递减 B．有极小值C．有2个极值点 D．在处取得最大值【答案】AB【解析】由的图象可知或时，，则单调递减，故A正确；又或时，，则单调递增，所以当时，有极小值，故B正确；由的图象结合单调性可知，2，4时，有极值，所以有3个极值点，故C错误；当时，，则单调递增，所以，在处不能取得最大值，故D错误．故选：AB．10．如果函数在区间上是减函数，则实数的值可以是（）A．0 B．1 C．2 D．【答案】BCD【解析】函数开口向上，对称轴，因为在上是减函数，所以.故选：BCD.11．已知函数，则所有正确的结论是（

）A．函数是增函数B．函数的值域为C．曲线关于点对称D．曲线有且仅有两条斜率为的切线【答案】ABC【解析】对于：函数，函数在上为增函数，则复合函数在上为增函数，所以函数是增函数，故A正确；对于：函数，函数在上为增函数且，则，于是，即，所以，即函数的值域为，故B正确；对于C：，，则有，曲线关于点对称，故C正确；对于D：，其导数，若，变形可得，令，则，因为，所以，又，于是，即关于的一元二次方程无实数根，所以无解，即曲线不存在斜率为的切线，故D错误.故选：ABC.12．已知函数及其导函数的定义域均为，且，，则（

）A．不可能在定义域内单调递增 B．有一个极小值点C．无极大值点 D．无极小值点【答案】BC【解析】根据题意由可得，即，又可知，其中为常数，所以，即；又因为，则；所以，则，令，则，由可得或；所以时，，当或时，；因此函数在上单调递减，在和上单调递增，又，，；函数的图象如下图所示：显然函数存在唯一变号零点，且，又恒成立，所以也存在唯一变号零点，且；因此可知时，，当时，；可得函数在上单调递减，在上单调递增，可知A错误；此时即为函数的一个极小值点，即B正确，D错误；且无极大值点，C正确；故选：BC第Ⅱ卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若直线与曲线相切，则．【答案】【解析】由求导得，设切点为，则切线的斜率为，解得，则切点坐标为，将代入直线，得，解得，所以.故答案为：14．已知函数，若不等式对于所有恒成立，则实数的取值范围是.【答案】或【解析】，，，函数在闭区间上为增函数，而，函数在上的最大值为4，由对于所有，恒成立，得，即，解得：或.实数的取值范围是或.故答案为：或.15．知函数在上存在递增区间，则实数的取值范围为．【答案】【解析】由题意得的定义域为，所以，因为函数在区间上存在递增区间，即在区间上能成立，即，设，开口向上，对称轴为，所以当时，单调递增，所以，所以，则，即.故答案为：.16．已知函数，直线，若直线与的图象交于点，与直线交于点，则之间的最短距离是.【答案】【解析】函数，直线，若直线与的图象交于点，与直线交于点，直线的斜率为，直线的斜率为，两直线垂直，则函数图象上的点到直线的最短距离，即为，之间的最短距离，由题意可得，．令，则，解得，，取点，点到直线的距离，则，之间的最短距离是．故答案为：．四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。17．（10分）设函数(1)求的极大值点与极小值点及单调区间；(2)求在区间上的最大值与最小值．【解析】（1）函数的导数为．令，解得，．由，得，即的单调递增区间为，由，得或，即的单调递减区间为，．的极大值点，极小值点．（2）列表当x变化时，，的变化表为：x0－0＋极小值当时，，当时，，当时，．∴在区间上的最大值为63，最小值为0.18．（12分）已知函数，．(1)求曲线在点处的切线方程；(2)证明：在上单调递增．【解析】（1）因为，所以，所以曲线在点处的切线方程为，即．（2）由（1）知，，因为，，所以，所以设，则导函数，所以在上单调递增，所以，所以，所以在上单调递增19．（12分）某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：m），其中容器的中间为圆柱体，左右两端均为半球体，按照设计要求容器的体积为m3.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱体部分每平方米建造费用为3万元，半球体部分每平方米建造费用为4万元．设该容器的总建造费用为y万元．(1)将y表示成r的函数，并求该函数的定义域；(2)确定r和l为何值时，该容器的建造费用最小，并求出最小建造费用．【解析】（1）由题意可知，，∴，又圆柱的侧面积为，两端两个半球的表面积之和为，所以，又，，所以定义域为.（2）因为，所以令，得，令，得，又定义域为，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以当米时，该容器的建造费用最小，为万元，此时m.20．（12分）已知函数．(1)求的极值；(2)若在区间有2个零点，求的取值范围．【解析】（1）因为，定义域为，所以，当时，由于，则恒成立，所以在上单调递增，无极值，当时，令，解得，当时，，则在上单调递增；当时，，则在上单调递减：所以当时，在处取极大值，无极小值；（2），令，得，令，在区间有2个零点，即与在区间有2个交点，，，，当，，在上单增，当，，在上单减，，的最大值为，，与在区间有2个交点，则．21．（12分）已知函数.(1)若曲线在点处的切线方程为，求的值；(2)当时，在恒成立，求的最大值.【解析】（1）由得，因为曲线在点处的切线方程为，所以，所以；（2）因为在恒成立，所以，当时，，则，记，，则，所以在上单调递增，即在上单调递增，又，所以，使得，即，故在上单调递减，上单调递增，所以，因为，所以，所以，所以，所以，从而，因为，所以，所以的最大值为0.22．（12分）已知函数，且曲线在原点处的切线方程为.(1)求实数的值；(2)讨论在R上的零点个数，并证明.【解析】（1）由已知可得，.根据导数的几何意义结合已知可得，，所以，，.（2）由（1）可得，